द्विघात वृद्धि: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "{{For|other uses of the word "quadratic" in mathematics|Quadratic (disambiguation)}} गणित में, एक फ़ंक्शन (गणित) या अनु...") |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{For|other uses of the word "quadratic" in mathematics|Quadratic (disambiguation)}} | {{For|other uses of the word "quadratic" in mathematics|Quadratic (disambiguation)}} | ||
गणित में, | गणित में, [[फ़ंक्शन (गणित)]] या [[अनुक्रम]] को द्विघात वृद्धि प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है जब इसके मान फ़ंक्शन तर्क या अनुक्रम स्थिति के [[वर्ग (बीजगणित)]] के [[आनुपातिकता (गणित)]] होते हैं। द्विघात वृद्धि का अर्थ अक्सर [[सीमा (गणित)]] में अधिक सामान्यतः द्विघात वृद्धि होता है, क्योंकि तर्क या अनुक्रम स्थिति अनंत तक जाती है - [[बड़ी थीटा संकेतन]] में, <math>f(x)=\Theta(x^2)</math>.<ref>{{citation|title=The Nature of Computation|first1=Cristopher|last1=Moore|authorlink=Cristopher Moore|first2=Stephan|last2=Mertens|publisher=Oxford University Press|year=2011|isbn=9780191620805|page=22|url=https://books.google.com/books?id=jnGKbpMV8xoC&pg=PA22}}.</ref> इसे लगातार (वास्तविक चर के [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाले फ़ंक्शन के लिए) या अलग-अलग (वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के लिए, यानी [[पूर्णांक]] या [[प्राकृतिक संख्या]] चर के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए) दोनों तरह से परिभाषित किया जा सकता है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
| Line 7: | Line 7: | ||
*कुछ पूर्णांक अनुक्रम जैसे [[त्रिकोणीय संख्या]]एँ। <math>n</math>वें>वें त्रिकोणीय संख्या का मान है <math>n(n+1)/2</math>, लगभग <math>n^2/2</math>. | *कुछ पूर्णांक अनुक्रम जैसे [[त्रिकोणीय संख्या]]एँ। <math>n</math>वें>वें त्रिकोणीय संख्या का मान है <math>n(n+1)/2</math>, लगभग <math>n^2/2</math>. | ||
वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे व्युत्पन्न के स्थिर होने के बराबर है (यानी, तीसरी व्युत्पन्न शून्य है), और इस प्रकार द्विघात वृद्धि वाले कार्य बिल्कुल द्विघात बहुपद हैं, क्योंकि ये [[कर्नेल (रैखिक ऑपरेटर)]] हैं तीसरे व्युत्पन्न ऑपरेटर का <math>D^3</math>. इसी प्रकार, अनुक्रम (पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या चर का वास्तविक कार्य) के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे [[परिमित अंतर]] के स्थिर होने के बराबर है (तीसरा परिमित अंतर शून्य है),<ref>{{citation|title=Elementary Mathematical Models: Order Aplenty and a Glimpse of Chaos|first=Dan|last=Kalman|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780883857076|page=81|url=https://books.google.com/books?id=jhiZSkDtgvYC&pg=PA81}}.</ref> और इस प्रकार द्विघात वृद्धि वाला अनुक्रम भी द्विघात बहुपद है। दरअसल, द्विघात वृद्धि के साथ पूर्णांक-मूल्यवान अनुक्रम पूर्णांक मानों के साथ शून्यवें, पहले और दूसरे [[द्विपद गुणांक]] में बहुपद है। गुणांक को [[टेलर बहुपद]] (यदि निरंतर) या अंतर ऑपरेटर#न्यूटन.27s श्रृंखला (यदि असतत हो) लेकर निर्धारित किया जा सकता है। | |||
[[ कलन विधि ]] उदाहरणों में शामिल हैं: | [[ कलन विधि ]] उदाहरणों में शामिल हैं: | ||
*इनपुट लंबाई के | *इनपुट लंबाई के फ़ंक्शन के रूप में, कुछ एल्गोरिदम, जैसे कि [[सम्मिलन सॉर्ट]], द्वारा सबसे खराब स्थिति में लिया गया समय।<ref>{{citation | ||
| last = Estivill-Castro | first = Vladimir | | last = Estivill-Castro | first = Vladimir | ||
| editor-last = Atallah | editor-first = Mikhail J. | editor-link = Mikhail Atallah | | editor-last = Atallah | editor-first = Mikhail J. | editor-link = Mikhail Atallah | ||
| Line 20: | Line 20: | ||
| title = Algorithms and Theory of Computation Handbook | | title = Algorithms and Theory of Computation Handbook | ||
| year = 1999}}.</ref> | | year = 1999}}.</ref> | ||
* [[ब्रीडर (सेलुलर ऑटोमेटन)]] जैसे स्पेस-फिलिंग [[ सेलुलर automaton ]] पैटर्न में जीवित कोशिकाओं की संख्या, समय चरणों की संख्या के | * [[ब्रीडर (सेलुलर ऑटोमेटन)]] जैसे स्पेस-फिलिंग [[ सेलुलर automaton ]] पैटर्न में जीवित कोशिकाओं की संख्या, समय चरणों की संख्या के फ़ंक्शन के रूप में जिसके लिए पैटर्न सिम्युलेटेड है।<ref>{{citation | ||
| last1 = Griffeath | first1 = David | | last1 = Griffeath | first1 = David | ||
| last2 = Hickerson | first2 = Dean | | last2 = Hickerson | first2 = Dean | ||
| Line 31: | Line 31: | ||
| title = New constructions in cellular automata | | title = New constructions in cellular automata | ||
| year = 2003}}. See in particular [https://books.google.com/books?id=_nTUZffjvb4C&pg=PA81 p. 81]: "A breeder is any pattern which grows quadratically by creating a steady stream of copies of a second object, each of which creates a stream of a third."</ref> | | year = 2003}}. See in particular [https://books.google.com/books?id=_nTUZffjvb4C&pg=PA81 p. 81]: "A breeder is any pattern which grows quadratically by creating a steady stream of copies of a second object, each of which creates a stream of a third."</ref> | ||
*मेटकाफ का नियम बताता है कि | *मेटकाफ का नियम बताता है कि संचार नेटवर्क का मूल्य उसके उपयोगकर्ताओं की संख्या के आधार पर चतुष्कोणीय रूप से बढ़ता है।<ref>{{citation|title=Bandwagon Effects in High-technology Industries|first=Jeffrey H.|last=Rohlfs|publisher=MIT Press|year=2003|isbn=9780262681384|contribution=3.3 Metcalfe's law|pages=29–30|url=https://books.google.com/books?id=rmFag8P4CF8C&pg=PA29}}.</ref> | ||
Revision as of 00:25, 7 July 2023
गणित में, फ़ंक्शन (गणित) या अनुक्रम को द्विघात वृद्धि प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है जब इसके मान फ़ंक्शन तर्क या अनुक्रम स्थिति के वर्ग (बीजगणित) के आनुपातिकता (गणित) होते हैं। द्विघात वृद्धि का अर्थ अक्सर सीमा (गणित) में अधिक सामान्यतः द्विघात वृद्धि होता है, क्योंकि तर्क या अनुक्रम स्थिति अनंत तक जाती है - बड़ी थीटा संकेतन में, .[1] इसे लगातार (वास्तविक चर के वास्तविक संख्या-मूल्य वाले फ़ंक्शन के लिए) या अलग-अलग (वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के लिए, यानी पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या चर के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए) दोनों तरह से परिभाषित किया जा सकता है।
उदाहरण
द्विघात वृद्धि के उदाहरणों में शामिल हैं:
- कोई भी द्विघात बहुपद.
- कुछ पूर्णांक अनुक्रम जैसे त्रिकोणीय संख्याएँ। वें>वें त्रिकोणीय संख्या का मान है , लगभग .
वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे व्युत्पन्न के स्थिर होने के बराबर है (यानी, तीसरी व्युत्पन्न शून्य है), और इस प्रकार द्विघात वृद्धि वाले कार्य बिल्कुल द्विघात बहुपद हैं, क्योंकि ये कर्नेल (रैखिक ऑपरेटर) हैं तीसरे व्युत्पन्न ऑपरेटर का . इसी प्रकार, अनुक्रम (पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या चर का वास्तविक कार्य) के लिए, द्विघात वृद्धि दूसरे परिमित अंतर के स्थिर होने के बराबर है (तीसरा परिमित अंतर शून्य है),[2] और इस प्रकार द्विघात वृद्धि वाला अनुक्रम भी द्विघात बहुपद है। दरअसल, द्विघात वृद्धि के साथ पूर्णांक-मूल्यवान अनुक्रम पूर्णांक मानों के साथ शून्यवें, पहले और दूसरे द्विपद गुणांक में बहुपद है। गुणांक को टेलर बहुपद (यदि निरंतर) या अंतर ऑपरेटर#न्यूटन.27s श्रृंखला (यदि असतत हो) लेकर निर्धारित किया जा सकता है।
कलन विधि उदाहरणों में शामिल हैं:
- इनपुट लंबाई के फ़ंक्शन के रूप में, कुछ एल्गोरिदम, जैसे कि सम्मिलन सॉर्ट, द्वारा सबसे खराब स्थिति में लिया गया समय।[3]
- ब्रीडर (सेलुलर ऑटोमेटन) जैसे स्पेस-फिलिंग सेलुलर automaton पैटर्न में जीवित कोशिकाओं की संख्या, समय चरणों की संख्या के फ़ंक्शन के रूप में जिसके लिए पैटर्न सिम्युलेटेड है।[4]
- मेटकाफ का नियम बताता है कि संचार नेटवर्क का मूल्य उसके उपयोगकर्ताओं की संख्या के आधार पर चतुष्कोणीय रूप से बढ़ता है।[5]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Moore, Cristopher; Mertens, Stephan (2011), The Nature of Computation, Oxford University Press, p. 22, ISBN 9780191620805.
- ↑ Kalman, Dan (1997), Elementary Mathematical Models: Order Aplenty and a Glimpse of Chaos, Cambridge University Press, p. 81, ISBN 9780883857076.
- ↑ Estivill-Castro, Vladimir (1999), "Sorting and order statistics", in Atallah, Mikhail J. (ed.), Algorithms and Theory of Computation Handbook, Boca Raton, Florida: CRC, pp. 3-1–3-25, MR 1797171.
- ↑ Griffeath, David; Hickerson, Dean (2003), "A two-dimensional cellular automaton crystal with irrational density", New constructions in cellular automata, St. Fe Inst. Stud. Sci. Complex., New York: Oxford Univ. Press, pp. 79–91, MR 2079729. See in particular p. 81: "A breeder is any pattern which grows quadratically by creating a steady stream of copies of a second object, each of which creates a stream of a third."
- ↑ Rohlfs, Jeffrey H. (2003), "3.3 Metcalfe's law", Bandwagon Effects in High-technology Industries, MIT Press, pp. 29–30, ISBN 9780262681384.
 | This mathematical analysis–related article is a stub. You can help Wikipedia by expanding it. |
