अर्ध-घातांकीय फलन: Difference between revisions
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गणित में, अर्ध-घातांकीय फलन किसी घातांकीय फलन का [[कार्यात्मक वर्गमूल]] होता है। | गणित में, '''अर्ध-घातांकीय फलन''' किसी घातांकीय फलन का [[कार्यात्मक वर्गमूल]] होता है। अर्थात [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] <math>f</math> ऐसा है कि <math>f</math> स्वयं से मिलकर घातांकीय फलन में परिणत होता है:<math display=block>f\bigl(f(x)\bigr) = ab^x,</math>कुछ स्थिरांक के लिए {{nowrap|<math>a</math> and <math>b</math>.}} है: | ||
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किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है <math>f(f(x))</math> के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए <math>f</math> | किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है <math>f(f(x))</math> के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए <math>f</math> विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए <math>A</math> विवृत अंतराल में <math>(0,1)</math> और प्रत्येक निरंतर जटिलता से बढ़ते [[विशेषण फलन|फलन]] के लिए <math>g</math> से <math>[0,A]</math> पर <math>[A,1]</math> इस फलन का निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन तक विस्तार है। वास्तविक संख्याओं पर <math>f</math> जैसे कि {{nowrap|<math>f\bigl(f(x)\bigr)=\exp x</math>.{{r|croneu}}}}प्रोग्राम <math>f</math> [[कार्यात्मक समीकरण]] का अद्वितीय समाधान है:<math display=block> f (x) = | ||
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\ln f ( \exp x) & \mbox{if } x \in (-\infty,0). \\ | \ln f ( \exp x) & \mbox{if } x \in (-\infty,0). \\ | ||
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== | बहुपद और घातांक के मध्य मध्यवर्ती विकास दर के लिए [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।{{r|miltersen}}फलन <math>f</math> कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फलन जितनी तीव्रता से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तीव्रता से बढ़ती है)। यदि यह घटता नहीं है और <math>f^{-1}(x^C)=o(\log x)</math>, प्रत्येक के लिए {{nowrap|every <math>C>0</math>.{{r|razrud}}}}है। | ||
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Revision as of 22:21, 7 July 2023
गणित में, अर्ध-घातांकीय फलन किसी घातांकीय फलन का कार्यात्मक वर्गमूल होता है। अर्थात फलन (गणित) ऐसा है कि स्वयं से मिलकर घातांकीय फलन में परिणत होता है:
कुछ स्थिरांक के लिए and . है:
संवृत-फ़ॉर्म सूत्र की असंभवता
यदि कोई फलन को मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक, लघुगणक और वास्तविक संख्या-मूल्यवान स्थिरांक का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, फिर या तो उप घातीय
या सुपर घातीय है।[1] इस प्रकार, हार्डी L-फलन अर्ध-घातांकीय नहीं हो सकता है।
निर्माण
किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए विवृत अंतराल में और प्रत्येक निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन के लिए से पर इस फलन का निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन तक विस्तार है। वास्तविक संख्याओं पर जैसे कि .[2]प्रोग्राम कार्यात्मक समीकरण का अद्वितीय समाधान है:
सरल उदाहरण, जो की ओर ले जाता है प्रत्येक स्थान सतत प्रथम व्युत्पन्न होने पर और ,होता है, जो इस प्रकार है:
अनुप्रयोग
बहुपद और घातांक के मध्य मध्यवर्ती विकास दर के लिए कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।[3]फलन कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फलन जितनी तीव्रता से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तीव्रता से बढ़ती है)। यदि यह घटता नहीं है और , प्रत्येक के लिए every .[4]है।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ van der Hoeven, J. (2006). Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1888. Springer-Verlag, Berlin. doi:10.1007/3-540-35590-1. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.
- ↑ Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. (1988). "Functional powers near a fixed point". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 132 (2): 520–529. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7. MR 0943525.
- ↑ Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu (1999). "Super-polynomial versus half-exponential circuit size in the exponential hierarchy". In Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin-ichi; Tokuyama, Takeshi (eds.). Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26–28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1627. Springer. pp. 210–220. doi:10.1007/3-540-48686-0_21. MR 1730337.
- ↑ Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven (1997). "Natural proofs". Journal of Computer and System Sciences. 55 (1): 24–35. doi:10.1006/jcss.1997.1494. MR 1473047.
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