स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र: Difference between revisions
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{{short description|Relates the tangent of half of an angle to trigonometric functions of the entire angle}}{{Trigonometry}} | {{short description|Relates the tangent of half of an angle to trigonometric functions of the entire angle}}{{Trigonometry}} | ||
[[त्रिकोणमिति]] में, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र किसी कोण के | [[त्रिकोणमिति]] में, '''स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र''' किसी कोण के अर्ध भाग की स्पर्शरेखा को पूरे कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। अर्ध कोण की स्पर्शरेखा किसी रेखा पर वृत्त का [[त्रिविम प्रक्षेपण]] है। इनमें से निम्नलिखित सूत्र हैं: | ||
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इनसे अर्ध-कोणों की स्पर्शरेखाओं के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन | इनसे अर्ध-कोणों की स्पर्शरेखाओं के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन एवं स्पर्शरेखा को व्यक्त करने वाली पहचान प्राप्त की जा सकती है: | ||
== <math display="block"> | == <math display="block"> | ||
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===बीजगणितीय प्रमाण=== | ===बीजगणितीय प्रमाण=== | ||
दोहरे कोण सूत्रों | दोहरे कोण सूत्रों एवं पायथागॉरियन पहचान <math display="inline">1 + \tan^2 \alpha = 1 \big/ \cos^2 \alpha</math> का उपयोग करना, देता है, | ||
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\quad \text{and} | \quad \text{and} | ||
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साइन | साइन एवं कोसाइन पैदावार के लिए सूत्रों का भागफल लेना | ||
<math display="block">\tan \alpha = \frac{2\tan \tfrac12 \alpha}{1 - \tan ^2 \tfrac12 \alpha}.</math> | <math display="block">\tan \alpha = \frac{2\tan \tfrac12 \alpha}{1 - \tan ^2 \tfrac12 \alpha}.</math> | ||
कोसाइन के लिए पाइथागोरस पहचान को दोहरे कोण सूत्र के साथ जोड़कर, <math display="inline"> \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1, </math> | कोसाइन के लिए पाइथागोरस पहचान को दोहरे कोण सूत्र के साथ जोड़कर, <math display="inline"> \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1, </math>पुनर्व्यवस्थित करने एवं वर्गमूल लेने से परिणाम प्राप्त होते हैं, | ||
पुनर्व्यवस्थित करने | |||
<math display="block"> \left|\sin \alpha\right| = \sqrt {\frac{1-\cos2\alpha}{2}} </math> एवं <math display="block"> \left|\cos \alpha\right| = \sqrt {\frac{1+\cos2\alpha}{2}} </math> | |||
जो विभाजन करने पर | जो विभाजन करने पर प्राप्त होता है, | ||
<math display="block"> \left|\tan \alpha\right| = \frac {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} = \frac { {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} }{1 + \cos 2\alpha} =\frac{{\sqrt {1 - \cos^2 2\alpha}}}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{\left|\sin 2\alpha\right|}{1 + \cos 2\alpha}. </math> वैकल्पिक रूप से, | <math display="block"> \left|\tan \alpha\right| = \frac {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} = \frac { {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} }{1 + \cos 2\alpha} =\frac{{\sqrt {1 - \cos^2 2\alpha}}}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{\left|\sin 2\alpha\right|}{1 + \cos 2\alpha}. </math> वैकल्पिक रूप से, | ||
<math display="block"> \left|\tan \alpha\right| = \frac {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} = \frac {1 - \cos 2\alpha}{ {\sqrt {1 + \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 - \cos 2\alpha}} } = \frac{1 - \cos 2\alpha}{{\sqrt {1 - \cos^2 2\alpha}}} = \frac{1 - \cos 2\alpha}{\left|\sin 2\alpha\right|} | <math display="block"> \left|\tan \alpha\right| = \frac {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} = \frac {1 - \cos 2\alpha}{ {\sqrt {1 + \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 - \cos 2\alpha}} } = \frac{1 - \cos 2\alpha}{{\sqrt {1 - \cos^2 2\alpha}}} = \frac{1 - \cos 2\alpha}{\left|\sin 2\alpha\right|}, </math> | ||
इससे पता चलता है कि इन अंतिम दो सूत्रों में निरपेक्ष मान चिह्न हटाये जा सकते हैं, चाहे कोई भी चतुर्थांश हो {{mvar|α}} में है। निरपेक्ष मान पट्टियों के साथ या उसके बिना ये सूत्र तब लागू नहीं होते जब दाहिनी ओर अंश | इससे पता चलता है कि इन अंतिम दो सूत्रों में निरपेक्ष मान चिह्न हटाये जा सकते हैं, चाहे कोई भी चतुर्थांश हो {{mvar|α}} में है। निरपेक्ष मान पट्टियों के साथ या उसके बिना ये सूत्र तब लागू नहीं होते जब दाहिनी ओर अंश एवं हर दोनों शून्य हों। | ||
इसके अलावा, साइन | इसके अलावा, साइन एवं कोसाइन दोनों के लिए कोण जोड़ एवं घटाव सूत्रों का उपयोग करके कोई प्राप्त करता है: | ||
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सेटिंग <math display="inline">a= \tfrac12 (p+q)</math> | सेटिंग <math display="inline">a= \tfrac12 (p+q)</math> एवं <math>b= \tfrac12 (p-q)</math> एवं उपज को प्रतिस्थापित करना: | ||
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'''ज्यामितीय प्रमाण''' | '''ज्यामितीय प्रमाण''' | ||
[[File:Tan.half.svg|right|400px|thumb|इस समचतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई 1 है। क्षैतिज रेखा | [[File:Tan.half.svg|right|400px|thumb|इस समचतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई 1 है। क्षैतिज रेखा एवं दिखाए गए विकर्ण के बीच का कोण है{{math|{{sfrac|1|2}} (''a'' + ''b'')}}. यह विशेष स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र को सिद्ध करने का ज्यामितीय तरीका है जो कहता है {{math|tan {{sfrac|1|2}} (''a'' + ''b'') {{=}} (sin ''a'' + sin ''b'') / (cos ''a'' + cos ''b'')}}. सूत्र {{math|sin {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'')}} एवं {{math|cos {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'')}} विकर्ण की लंबाई से वास्तविक दूरियों का अनुपात है।]]ऊपर दिए गए सूत्रों को दाईं ओर समचतुर्भुज आकृति पर लागू करने से यह आसानी से दिखाया जा सकता है | ||
<math display="block">\tan \tfrac12 (a+b) = \frac{\sin \tfrac12 (a + b)}{\cos \tfrac12 (a + b)} = \frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}.</math> | <math display="block">\tan \tfrac12 (a+b) = \frac{\sin \tfrac12 (a + b)}{\cos \tfrac12 (a + b)} = \frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}.</math> | ||
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{{Main|Weierstrass substitution}} | {{Main|Weierstrass substitution}} | ||
[[Image:Weierstrass substitution.svg|right|400px|thumb|वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का | [[Image:Weierstrass substitution.svg|right|400px|thumb|वीयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का ज्यामितीय प्रमाण]]त्रिकोणमिति के विभिन्न अनुप्रयोगों में, नए चर के [[तर्कसंगत कार्य]]ों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों (जैसे [[ उन लोगों के ]] एवं [[ कोज्या ]]) को फिर से लिखना उपयोगी है। <math>t</math>. की परिभाषा के कारण इन सर्वसमिकाओं को सामूहिक रूप से स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र के रूप में जाना जाता है <math>t</math>. ये पहचानें साइन एवं कोसाइन में तर्कसंगत कार्यों को के कार्यों में परिवर्तित करने के लिए [[ गणना ]] में उपयोगी हो सकती हैं {{math|''t''}} उनके प्रतिअवकलज खोजने के लिए। | ||
ज्यामितीय रूप से, निर्माण इस प्रकार होता है: किसी भी बिंदु के लिए {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}} [[इकाई चक्र]] पर, इससे होकर गुजरने वाली रेखा | ज्यामितीय रूप से, निर्माण इस प्रकार होता है: किसी भी बिंदु के लिए {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}} [[इकाई चक्र]] पर, इससे होकर गुजरने वाली रेखा एवं बिंदु खींचें {{math|(−1, 0)}}. यह बिंदु पार करता है {{math|''y''}}-किसी बिंदु पर अक्ष {{math|1=''y'' = ''t''}}. कोई सरल ज्यामिति का उपयोग करके यह दिखा सकता है {{math|1=''t'' = tan(φ/2)}}. खींची गई रेखा का समीकरण है {{math|1=''y'' = (1 + ''x'')''t''}}. रेखा एवं वृत्त के प्रतिच्छेदन का समीकरण तब [[द्विघात समीकरण]] होता है {{math|''t''}}. इस समीकरण के दो समाधान हैं {{math|(−1, 0)}} एवं {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}}. यह हमें बाद वाले को तर्कसंगत कार्यों के रूप में लिखने की अनुमति देता है {{math|''t''}} (समाधान नीचे दिए गए हैं)। | ||
पैरामीटर {{math|''t''}} बिंदु के त्रिविम प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करता है {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}} उस पर {{math|''y''}}-प्रक्षेपण के केंद्र के साथ अक्ष {{math|(−1, 0)}}. इस प्रकार, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र त्रिविम निर्देशांक के बीच रूपांतरण देते हैं {{math|''t''}} इकाई वृत्त | पैरामीटर {{math|''t''}} बिंदु के त्रिविम प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करता है {{math|(cos ''φ'', sin ''φ'')}} उस पर {{math|''y''}}-प्रक्षेपण के केंद्र के साथ अक्ष {{math|(−1, 0)}}. इस प्रकार, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र त्रिविम निर्देशांक के बीच रूपांतरण देते हैं {{math|''t''}} इकाई वृत्त एवं मानक कोणीय निर्देशांक पर {{math|''φ''}}. | ||
तो हमारे पास हैं | तो हमारे पास हैं | ||
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एवं | |||
<math display="block">e^{i \varphi} = \frac{1 + i t}{1 - i t}, \qquad | <math display="block">e^{i \varphi} = \frac{1 + i t}{1 - i t}, \qquad | ||
e^{-i \varphi} = \frac{1 - i t}{1 + i t}. | e^{-i \varphi} = \frac{1 - i t}{1 + i t}. | ||
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सीधे ऊपर | सीधे ऊपर एवं प्रारंभिक परिभाषा के बीच फाई को समाप्त करके <math>t</math>, कोई [[प्राकृतिक]] लघुगणक के संदर्भ में [[आर्कटिक स्पर्शरेखा]] के लिए निम्नलिखित उपयोगी संबंध पर पहुंचता है | ||
<math display="block">2 \arctan t = -i \ln\frac{1+it}{1-it}.</math> | <math display="block">2 \arctan t = -i \ln\frac{1+it}{1-it}.</math> | ||
कैलकुलस में, वेयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का उपयोग [[तर्कसंगत कार्य]]ों के प्रतिअवकलन खोजने के लिए किया जाता है {{math|sin ''φ''}} | कैलकुलस में, वेयरस्ट्रैस प्रतिस्थापन का उपयोग [[तर्कसंगत कार्य]]ों के प्रतिअवकलन खोजने के लिए किया जाता है {{math|sin ''φ''}} एवं{{math|cos ''φ''}}. सेटिंग के बाद | ||
<math display="block">t=\tan\tfrac12\varphi.</math> | <math display="block">t=\tan\tfrac12\varphi.</math> | ||
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<math display="block">\varphi=2\arctan(t)+2\pi n , </math> | <math display="block">\varphi=2\arctan(t)+2\pi n , </math> | ||
कुछ पूर्णांक के लिए {{math|''n''}}, | कुछ पूर्णांक के लिए {{math|''n''}}, एवं इसलिए | ||
<math display="block">d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}.</math>'''[[अतिशयोक्ति]]पूर्ण पहचान''' | <math display="block">d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}.</math>'''[[अतिशयोक्ति]]पूर्ण पहचान''' | ||
कोई भी [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों के साथ | कोई भी [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों के साथ पूरी तरह से अनुरूप खेल खेल सकता है। हाइपरबोला की (दाहिनी शाखा पर) बिंदु किसके द्वारा दिया जाता है{{math|(cosh ''ψ'', sinh ''ψ'')}}. इसे प्रक्षेपित करना {{math|''y''}}-केंद्र से अक्ष {{math|(−1, 0)}} निम्नलिखित देता है: | ||
<math display="block">t = \tanh\tfrac12\psi = \frac{\sinh\psi}{\cosh\psi+1} = \frac{\cosh\psi-1}{\sinh\psi}</math> | <math display="block">t = \tanh\tfrac12\psi = \frac{\sinh\psi}{\cosh\psi+1} = \frac{\cosh\psi-1}{\sinh\psi}</math> | ||
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\end{align} | \end{align} | ||
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एवं | |||
<math display="block">e^\psi = \frac{1 + t}{1 - t}, \qquad | <math display="block">e^\psi = \frac{1 + t}{1 - t}, \qquad | ||
e^{-\psi} = \frac{1 - t}{1 + t}.</math> | e^{-\psi} = \frac{1 - t}{1 + t}.</math> | ||
खोज {{math|''ψ''}} के अनुसार {{math|''t''}} [[व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों के बीच निम्नलिखित संबंध की ओर ले जाता है <math>\operatorname{artanh}</math> | खोज {{math|''ψ''}} के अनुसार {{math|''t''}} [[व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों के बीच निम्नलिखित संबंध की ओर ले जाता है <math>\operatorname{artanh}</math> एवं प्राकृतिक लघुगणक: | ||
== <math display="block">2 \operatorname{artanh} t = \ln\frac{1+t}{1-t}.</math>गुडरमैनियन फ़ंक्शन == | == <math display="block">2 \operatorname{artanh} t = \ln\frac{1+t}{1-t}.</math>गुडरमैनियन फ़ंक्शन == | ||
{{Main|Gudermannian function}} | {{Main|Gudermannian function}} | ||
अतिशयोक्तिपूर्ण पहचानों की तुलना वृत्ताकार पहचानों से करने पर, कोई यह नोटिस करता है कि उनमें समान कार्य शामिल हैं {{math|''t''}}, अभी क्रमपरिवर्तित किया गया। यदि हम पैरामीटर की पहचान करते हैं {{math|''t''}} दोनों ही मामलों में हम वृत्ताकार फलनों | अतिशयोक्तिपूर्ण पहचानों की तुलना वृत्ताकार पहचानों से करने पर, कोई यह नोटिस करता है कि उनमें समान कार्य शामिल हैं {{math|''t''}}, अभी क्रमपरिवर्तित किया गया। यदि हम पैरामीटर की पहचान करते हैं {{math|''t''}} दोनों ही मामलों में हम वृत्ताकार फलनों एवं अतिपरवलयिक फलनों के बीच संबंध पर पहुंचते हैं। अर्थात यदि | ||
<math display="block">t = \tan\tfrac12 \varphi = \tanh\tfrac12 \psi</math> | <math display="block">t = \tan\tfrac12 \varphi = \tanh\tfrac12 \psi</math> | ||
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<math display="block">\varphi = 2\arctan \bigl(\tanh \tfrac12 \psi\,\bigr) \equiv \operatorname{gd} \psi.</math> | <math display="block">\varphi = 2\arctan \bigl(\tanh \tfrac12 \psi\,\bigr) \equiv \operatorname{gd} \psi.</math> | ||
कहाँ {{math|gd(''ψ'')}}[[गुडर्मनियन फ़ंक्शन]] है। गुडेरमैनियन फ़ंक्शन वृत्ताकार फ़ंक्शंस | कहाँ {{math|gd(''ψ'')}}[[गुडर्मनियन फ़ंक्शन]] है। गुडेरमैनियन फ़ंक्शन वृत्ताकार फ़ंक्शंस एवं हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस के बीच सीधा संबंध देता है जिसमें जटिल संख्याएं शामिल नहीं होती हैं। स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्रों के उपरोक्त विवरण (इकाई वृत्त एवं मानक हाइपरबोला को प्रक्षेपित करें)। {{math|''y''}}-अक्ष) इस फ़ंक्शन की ज्यामितीय व्याख्या दें। | ||
==तर्कसंगत मान | ==तर्कसंगत मान एवं पायथागॉरियन त्रिगुण== | ||
{{main article|Pythagorean triple}} | {{main article|Pythagorean triple}} | ||
भुजाओं की लंबाई वाले पाइथागोरस त्रिभुज से प्रारंभ करना {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, | भुजाओं की लंबाई वाले पाइथागोरस त्रिभुज से प्रारंभ करना {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, एवं {{mvar|c}} जो धनात्मक पूर्णांक हैं एवं संतुष्ट करते हैं {{math|''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} {{=}} ''c''{{sup|2}}}}, इससे तुरंत पता चलता है कि त्रिभुज के प्रत्येक [[आंतरिक कोण]] में साइन एवं कोसाइन के लिए तर्कसंगत मान हैं, क्योंकि ये केवल भुजाओं की लंबाई के अनुपात हैं। इस प्रकार, इनमें से प्रत्येक कोण का उपयोग करते हुए, इसके अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के लिए तर्कसंगत मान होता है {{math|tan ''φ''/2 {{=}} sin ''φ'' / (1 + cos ''φ'')}}. | ||
विपरीत भी सही है। यदि दो धनात्मक कोण हैं जिनका योग 90° है, प्रत्येक | विपरीत भी सही है। यदि दो धनात्मक कोण हैं जिनका योग 90° है, प्रत्येक परिमेय अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के साथ है, एवं तीसरा कोण [[समकोण]] है तो इन आंतरिक कोणों वाला त्रिभुज पाइथागोरस त्रिभुज के [[समान (ज्यामिति)]] हो सकता है। यदि तीसरे कोण का समकोण होना आवश्यक नहीं है, लेकिन वह कोण है जो तीन धनात्मक कोणों का योग 180° बनाता है तो तीसरे कोण के पास आवश्यक रूप से अपने अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के लिए तर्कसंगत संख्या होगी जब पहले दो ऐसा करते हैं (का उपयोग करके) स्पर्शरेखाओं के लिए कोण जोड़ एवं घटाव सूत्र) एवं त्रिभुज को हेरोनियन त्रिभुज में स्केल किया जा सकता है। | ||
आम तौर पर, अगर {{mvar|K}} सम्मिश्र संख्याओं का [[फ़ील्ड विस्तार]] है {{math|tan ''φ''/2 ∈ ''K'' ∪ {{(}}∞{{)}}}} इसका आशय है {{math|{sin ''φ'', cos ''φ'', tan ''φ'', sec ''φ'', csc ''φ'', cot ''φ''} ⊆ ''K'' ∪ {{(}}∞{{)}}}}. | आम तौर पर, अगर {{mvar|K}} सम्मिश्र संख्याओं का [[फ़ील्ड विस्तार]] है {{math|tan ''φ''/2 ∈ ''K'' ∪ {{(}}∞{{)}}}} इसका आशय है {{math|{sin ''φ'', cos ''φ'', tan ''φ'', sec ''φ'', csc ''φ'', cot ''φ''} ⊆ ''K'' ∪ {{(}}∞{{)}}}}. |
Revision as of 20:10, 22 July 2023
त्रिकोणमिति |
---|
संदर्भ |
कानून और सिद्धांत |
पथरी |
त्रिकोणमिति में, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र किसी कोण के अर्ध भाग की स्पर्शरेखा को पूरे कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। अर्ध कोण की स्पर्शरेखा किसी रेखा पर वृत्त का त्रिविम प्रक्षेपण है। इनमें से निम्नलिखित सूत्र हैं:
प्रमाण
बीजगणितीय प्रमाण
दोहरे कोण सूत्रों एवं पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना, देता है,
इससे पता चलता है कि इन अंतिम दो सूत्रों में निरपेक्ष मान चिह्न हटाये जा सकते हैं, चाहे कोई भी चतुर्थांश हो α में है। निरपेक्ष मान पट्टियों के साथ या उसके बिना ये सूत्र तब लागू नहीं होते जब दाहिनी ओर अंश एवं हर दोनों शून्य हों।
इसके अलावा, साइन एवं कोसाइन दोनों के लिए कोण जोड़ एवं घटाव सूत्रों का उपयोग करके कोई प्राप्त करता है:
ज्यामितीय प्रमाण
ऊपर दिए गए सूत्रों को दाईं ओर समचतुर्भुज आकृति पर लागू करने से यह आसानी से दिखाया जा सकता है
अभिन्न कलन में स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन
त्रिकोणमिति के विभिन्न अनुप्रयोगों में, नए चर के तर्कसंगत कार्यों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों (जैसे उन लोगों के एवं कोज्या ) को फिर से लिखना उपयोगी है। . की परिभाषा के कारण इन सर्वसमिकाओं को सामूहिक रूप से स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र के रूप में जाना जाता है . ये पहचानें साइन एवं कोसाइन में तर्कसंगत कार्यों को के कार्यों में परिवर्तित करने के लिए गणना में उपयोगी हो सकती हैं t उनके प्रतिअवकलज खोजने के लिए।
ज्यामितीय रूप से, निर्माण इस प्रकार होता है: किसी भी बिंदु के लिए (cos φ, sin φ) इकाई चक्र पर, इससे होकर गुजरने वाली रेखा एवं बिंदु खींचें (−1, 0). यह बिंदु पार करता है y-किसी बिंदु पर अक्ष y = t. कोई सरल ज्यामिति का उपयोग करके यह दिखा सकता है t = tan(φ/2). खींची गई रेखा का समीकरण है y = (1 + x)t. रेखा एवं वृत्त के प्रतिच्छेदन का समीकरण तब द्विघात समीकरण होता है t. इस समीकरण के दो समाधान हैं (−1, 0) एवं (cos φ, sin φ). यह हमें बाद वाले को तर्कसंगत कार्यों के रूप में लिखने की अनुमति देता है t (समाधान नीचे दिए गए हैं)।
पैरामीटर t बिंदु के त्रिविम प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करता है (cos φ, sin φ) उस पर y-प्रक्षेपण के केंद्र के साथ अक्ष (−1, 0). इस प्रकार, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र त्रिविम निर्देशांक के बीच रूपांतरण देते हैं t इकाई वृत्त एवं मानक कोणीय निर्देशांक पर φ.
तो हमारे पास हैं
गुडरमैनियन फ़ंक्शन
अतिशयोक्तिपूर्ण पहचानों की तुलना वृत्ताकार पहचानों से करने पर, कोई यह नोटिस करता है कि उनमें समान कार्य शामिल हैं t, अभी क्रमपरिवर्तित किया गया। यदि हम पैरामीटर की पहचान करते हैं t दोनों ही मामलों में हम वृत्ताकार फलनों एवं अतिपरवलयिक फलनों के बीच संबंध पर पहुंचते हैं। अर्थात यदि
तर्कसंगत मान एवं पायथागॉरियन त्रिगुण
भुजाओं की लंबाई वाले पाइथागोरस त्रिभुज से प्रारंभ करना a, b, एवं c जो धनात्मक पूर्णांक हैं एवं संतुष्ट करते हैं a2 + b2 = c2, इससे तुरंत पता चलता है कि त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में साइन एवं कोसाइन के लिए तर्कसंगत मान हैं, क्योंकि ये केवल भुजाओं की लंबाई के अनुपात हैं। इस प्रकार, इनमें से प्रत्येक कोण का उपयोग करते हुए, इसके अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के लिए तर्कसंगत मान होता है tan φ/2 = sin φ / (1 + cos φ).
विपरीत भी सही है। यदि दो धनात्मक कोण हैं जिनका योग 90° है, प्रत्येक परिमेय अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के साथ है, एवं तीसरा कोण समकोण है तो इन आंतरिक कोणों वाला त्रिभुज पाइथागोरस त्रिभुज के समान (ज्यामिति) हो सकता है। यदि तीसरे कोण का समकोण होना आवश्यक नहीं है, लेकिन वह कोण है जो तीन धनात्मक कोणों का योग 180° बनाता है तो तीसरे कोण के पास आवश्यक रूप से अपने अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के लिए तर्कसंगत संख्या होगी जब पहले दो ऐसा करते हैं (का उपयोग करके) स्पर्शरेखाओं के लिए कोण जोड़ एवं घटाव सूत्र) एवं त्रिभुज को हेरोनियन त्रिभुज में स्केल किया जा सकता है।
आम तौर पर, अगर K सम्मिश्र संख्याओं का फ़ील्ड विस्तार है tan φ/2 ∈ K ∪ {∞} इसका आशय है {sin φ, cos φ, tan φ, sec φ, csc φ, cot φ} ⊆ K ∪ {∞}.