काल्पनिक रेखा (गणित): Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{Short description|Straight line that only contains one real point}} | {{Short description|Straight line that only contains one real point}} | ||
[[जटिल ज्यामिति]] में, | [[जटिल ज्यामिति]] में, काल्पनिक रेखा एक सीधी [[रेखा (ज्यामिति)]] होती है जिसमें केवल [[वास्तविक बिंदु]] होती है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह बिंदु [[जटिल संयुग्म रेखा|समिष्ट संयुग्म रेखा]] के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।<ref>{{citation | ||
| last = Patterson | first = B. C. | | last = Patterson | first = B. C. | ||
| authorlink=Boyd Patterson | | authorlink=Boyd Patterson | ||
| Line 10: | Line 10: | ||
| title = The inversive plane | | title = The inversive plane | ||
| volume = 48 | | volume = 48 | ||
| year = 1941}}.</ref>यह | | year = 1941}}.</ref> | ||
यह [[काल्पनिक वक्र]] की विशेष स्तिथि है। | |||
[[जटिल प्रक्षेप्य तल|समिष्ट प्रक्षेप्य तल]] P<sup>2</sup>(C) में काल्पनिक रेखा पाई जाती है जहां बिंदुओं को तीन [[सजातीय निर्देशांक|सजातीय निर्देशांकों]] द्वारा दर्शाया जाता है: | |||
<math>(x_1,\ x_2,\ x_3),\quad x_i \isin C .</math> | |||
[[बॉयड पैटरसन]] ने इस विमान में रेखाओं का वर्णन किया:<ref>Patterson 590</ref> | [[बॉयड पैटरसन]] ने इस विमान में रेखाओं का वर्णन किया:<ref>Patterson 590</ref> | ||
: उन बिंदुओं का | : उन बिंदुओं का समिष्ट जिनके निर्देशांक जटिल गुणांक वाले सजातीय रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं: | ||
:::<math> a_1\ x_1 +\ a_2\ x_2 \ + a_3\ x_3 \ =\ 0</math> | :::<math> a_1\ x_1 +\ a_2\ x_2 \ + a_3\ x_3 \ =\ 0</math> | ||
:सीधी रेखा है और यह रेखा वास्तविक या काल्पनिक है क्योंकि इसके समीकरण के गुणांक तीन [[वास्तविक संख्या]] | :एक सीधी रेखा है और यह रेखा वास्तविक या काल्पनिक है क्योंकि इसके समीकरण के गुणांक तीन [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के समानुपाती होते हैं या नहीं। | ||
[[फ़ेलिक्स क्लेन]] ने काल्पनिक ज्यामितीय संरचनाओं का वर्णन किया: हम ज्यामितीय संरचना को काल्पनिक मानेंगे यदि उसके सभी निर्देशांक वास्तविक नहीं हैं।<ref>Klein 1928 p 46</ref> | |||
हैटन के अनुसार:<ref>Hatton 1929 page 13, Definition 4</ref> | हैटन के अनुसार:<ref>Hatton 1929 page 13, Definition 4</ref> | ||
:अतिव्यापी इंवोलुशन (गणित) के [[निश्चित बिंदु (गणित)]] (काल्पनिक) का | :अतिव्यापी इंवोलुशन (गणित) के [[निश्चित बिंदु (गणित)]] (काल्पनिक) का समिष्ट जिसमें ओवरलैपिंग इंवोलुशन पेंसिल (वास्तविक) को वास्तविक ट्रांसवर्सल द्वारा विभक्त किया जाता है, काल्पनिक सीधी रेखाओं की एक जोड़ी है। | ||
हैटन | हैटन प्रारंभ है, | ||
: | : इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि काल्पनिक सीधी रेखा एक काल्पनिक बिंदु से निर्धारित होती है, जो कि इनवोलुशन की ड्यूल बिंदु है, और वास्तविक बिंदु, इनवोलुशन पेंसिल का शीर्ष है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
*शंकव खंड | *शंकव खंड | ||
*[[काल्पनिक संख्या]] | *[[काल्पनिक संख्या]] | ||
* | *काल्पनिक बिंदु | ||
* [[बीजगणितीय वक्र]] | * [[बीजगणितीय वक्र]] | ||
Revision as of 22:11, 21 July 2023
जटिल ज्यामिति में, काल्पनिक रेखा एक सीधी रेखा (ज्यामिति) होती है जिसमें केवल वास्तविक बिंदु होती है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह बिंदु समिष्ट संयुग्म रेखा के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।[1]
यह काल्पनिक वक्र की विशेष स्तिथि है।
समिष्ट प्रक्षेप्य तल P2(C) में काल्पनिक रेखा पाई जाती है जहां बिंदुओं को तीन सजातीय निर्देशांकों द्वारा दर्शाया जाता है:
बॉयड पैटरसन ने इस विमान में रेखाओं का वर्णन किया:[2]
- उन बिंदुओं का समिष्ट जिनके निर्देशांक जटिल गुणांक वाले सजातीय रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
- एक सीधी रेखा है और यह रेखा वास्तविक या काल्पनिक है क्योंकि इसके समीकरण के गुणांक तीन वास्तविक संख्याओं के समानुपाती होते हैं या नहीं।
फ़ेलिक्स क्लेन ने काल्पनिक ज्यामितीय संरचनाओं का वर्णन किया: हम ज्यामितीय संरचना को काल्पनिक मानेंगे यदि उसके सभी निर्देशांक वास्तविक नहीं हैं।[3]
हैटन के अनुसार:[4]
- अतिव्यापी इंवोलुशन (गणित) के निश्चित बिंदु (गणित) (काल्पनिक) का समिष्ट जिसमें ओवरलैपिंग इंवोलुशन पेंसिल (वास्तविक) को वास्तविक ट्रांसवर्सल द्वारा विभक्त किया जाता है, काल्पनिक सीधी रेखाओं की एक जोड़ी है।
हैटन प्रारंभ है,
- इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि काल्पनिक सीधी रेखा एक काल्पनिक बिंदु से निर्धारित होती है, जो कि इनवोलुशन की ड्यूल बिंदु है, और वास्तविक बिंदु, इनवोलुशन पेंसिल का शीर्ष है।
यह भी देखें
- शंकव खंड
- काल्पनिक संख्या
- काल्पनिक बिंदु
- बीजगणितीय वक्र
संदर्भ
- ↑ Patterson, B. C. (1941), "The inversive plane", The American Mathematical Monthly, 48: 589–599, doi:10.2307/2303867, MR 0006034.
- ↑ Patterson 590
- ↑ Klein 1928 p 46
- ↑ Hatton 1929 page 13, Definition 4
उद्धरण
- J.L.S. Hatton (1920) The Theory of the Imaginary in Geometry together with the Trigonometry of the Imaginary, Cambridge University Press via Internet Archive
- Felix Klein (1928) Vorlesungen über nicht-euklischen Geometrie, Julius Springer.
