समानीत ची-वर्ग आँकड़ा: Difference between revisions

Revision as of 00:38, 12 July 2023

आंकड़ों में, कम किए गए ची-वर्ग आँकड़े का उपयोग फिट परीक्षण के बड़े पैमाने पर किया जाता है। इसे समस्थानिक डेटिंग में माध्य वर्ग भारित विचलन (एमएसडब्ल्यूडी) के रूप में भी जाना जाता है^[1]और भारित न्यूनतम वर्ग के संदर्भ में इकाई भार के विचरण के रूप में भी जाना जाता है।^[2]^[3]

इसके वर्गमूल को प्रतिगमन मानक त्रुटि कहा जाता है,^[4] प्रतिगमन की मानक त्रुटि,^[5]^[6] या समीकरण की मानक त्रुटि^[7](सामान्य न्यूनतम वर्ग कम ची-वर्ग § Notes) है।

परिभाषा

इसे स्वतंत्रता की डिग्री के अनुसार ची-वर्ग वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:^[8]^[9]^[10]^[11]^: 85^[12]^[13]^[14]^[15]

\chi _{\nu }^{2}={\frac {\chi ^{2}}{\nu }},

जहां ची-वर्ग वर्ग विचलन (सांख्यिकी) का भारित योग है:

\chi ^{2}=\sum _{i}{\frac {(O_{i}-C_{i})^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}

इनपुट के साथ: विचरण

\sigma _{i}^{2}

, अवलोकन O, और परिकलित डेटा C है,^[8]स्वतंत्रता की डिग्री,

\nu =n-m

, अवलोकनों की संख्या n से फिट किए गए पैरामीटर की संख्या m के समान है।

भारित न्यूनतम वर्गों में, परिभाषा को प्रायः मैट्रिक्स नोटेशन में लिखा जाता है:

\chi _{\nu }^{2}={\frac {r^{\mathrm {T} }Wr}{\nu }},

जहां r अवशिष्टों का सदिश है, और W भार मैट्रिक्स है, जो प्रेक्षणों के इनपुट (विकर्ण) सहप्रसरण मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है। यदि W अविकर्ण है, तो सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग प्रारम्भ होता है।

सामान्य न्यूनतम वर्गों में, परिभाषा इस प्रकार सरल हो जाती है:

\chi _{\nu }^{2}={\frac {\mathrm {RSS} }{\nu }},

\mathrm {RSS} =\sum r^{2},

जहां भाग वर्गों का अवशिष्ट योग (आरएसएस) है।

जब फ़िट केवल सामान्य माध्य है, तब $\chi _{\nu }^{2}$ प्रारूप मानक विचलन के समान है।

वर्णन

सामान्य नियम के रूप में, जब माप त्रुटि का विचरण प्राथमिक रूप से ज्ञात होता है, a $\chi _{\nu }^{2}\gg 1$ व्यर्थ मॉडल फिट का संकेत देता है। a $\chi _{\nu }^{2}>1$ प्रदर्शित करता है कि फिट ने डेटा को पूर्ण रूप से कैप्चर नहीं किया है (या त्रुटि भिन्नता को कम करके गणना की गई है)। सिद्धांत रूप में, मान $\chi _{\nu }^{2}$ के निकट $1$ प्रदर्शित करता है कि टिप्पणियों और अनुमानों के मध्य संघ की सीमा त्रुटि भिन्नता के अनुरूप है। a $\chi _{\nu }^{2}<1$ प्रदर्शित करता है कि मॉडल डेटा को ओवर-फिट कर रहा है: या तो मॉडल अनुचित रूप से शोर को फिट कर रहा है, या त्रुटि भिन्नता को कम करके गणना की गई है।^[11]^: 89

जब माप त्रुटि का विचरण केवल आंशिक रूप से ज्ञात होता है, तो घटा हुआ ची-वर्ग अनुमानित सुधार के रूप में कार्य कर सकता है।

अनुप्रयोग

भू-कालक्रम

भू-भू-कालक्रम में, एमएसडब्ल्यूडी फिट का ऐसा माप है जो आइसोटोपिक डेटिंग में सबसे सरल उपयोग के साथ, आंतरिक और बाहरी प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता दोनों के सापेक्ष महत्व को ध्यान में रखता है।^[16]^[17]^[1]^[18]^[19]^[20]

सामान्यतः जब:

एमएसडब्ल्यूडी = 1 यदि आयु डेटा t (अंकगणितीय माध्य आयु के लिए) या लॉग (t) (ज्यामितीय माध्य आयु के लिए) स्थान में सामान्य वितरण फिट का उपयोग किया जाता है, या यदि संरचना संबंधी डेटा [log(U/He),log(Th/He)] में द्विचर सामान्य वितरण फिट का उपयोग किया जाता है।

एमएसडब्ल्यूडी <1 यदि देखा गया बिखराव विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं द्वारा अनुमानित से कम है। इस स्तिथि में, डेटा को अल्प विस्तारित कहा जाता है, जो दर्शाता है कि विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं को कम करके गणना की गई थी।

एमएसडब्ल्यूडी > 1 यदि देखा गया बिखराव विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं द्वारा अनुमानित से अधिक है। इस स्तिथि में, डेटा को अत्यधिक विस्तारित कहा जाता है। यह स्थिति (U-Th)/He भू-भू-कालक्रम में अपवाद के अतिरिक्त नियम है, जो आइसोटोप प्रणाली की अर्ध अध्ययन का संकेत देती है। (U-Th)/He डेटा के अत्यधिक विस्तारण के अध्ययन के लिए कई कारण प्रस्तावित किए गए हैं, जिनमें असमान रूप से वितरित U-Th वितरण और विकिरण क्षति सम्मिलित है।

प्रायः भू-कालानुक्रमिक प्रारूप पर मापे गए मान के साथ आयु माप की श्रृंखला निर्धारित करेगा $x_{i}$ भार और $w_{i}$ संबंधित त्रुटि $\sigma _{x_{i}}$ प्रत्येक आयु निर्धारण के लिए जहां तक भार प्रदान करने का संबंध है, कोई या तो मापी गई सभी आयु को समान रूप से माप सकता है, या उन्हें उस प्रारूप के अनुपात के आधार पर माप सकता है जिसका वे प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्रारूपका दो तिहाई भाग पूर्व माप के लिए और एक तिहाई दूसरे और अंतिम माप के लिए उपयोग किया गया था, तो पूर्व माप का भार दूसरे के अपेक्षा दोगुना हो सकता है।

आयु निर्धारण का अंकगणितीय माध्य है

{\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}}{N}},

किंतु यह मान भ्रामक हो सकता है, जब तक कि आयु का प्रत्येक निर्धारण समान महत्व का न हो।

जब प्रत्येक मापे मान को समान भार, या महत्व माना जा सकता है, तो विचरण के पक्षपाती और निष्पक्ष (या क्रमशः "प्रारूप" और "जनसंख्या") अनुमानकों की गणना निम्नानुसार की जाती है:

\sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{N}}{\text{ and }}s^{2}={\frac {N}{N-1}}\cdot \sigma ^{2}={\frac {1}{N-1}}\cdot \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.

मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है।

जब किसी आयु का व्यक्तिगत निर्धारण समान महत्व का नहीं होता है, तो औसत आयु प्राप्त करने के लिए भारित माध्य का उपयोग करना उत्तम होता है, जो निम्नानुसार है:

{\overline {x}}^{*}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}.

विचरण के पक्षपाती भारित अनुमानक को दिखाया जा सकता है:

\sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}},

जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

\sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}{\big )}^{2}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}}}.

प्रारूप विचरण के निष्पक्ष भारित अनुमानक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\cdot {\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}.

पुनः, संगत मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है।

प्रारूप विचरण के निष्पक्ष भारित अनुमानक की गणना निम्नानुसार भी की जा सकती है:

s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}{\big )}^{2}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}.

भारित विचलनों (अभारित एमएसडब्ल्यूडी) के अभारित माध्य वर्ग की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

{\text{MSWD}}_{u}={\frac {1}{N-1}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\frac {(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{\sigma _{x_{i}}^{2}}}.

सादृश्य द्वारा, भारित विचलन (भारित एमएसडब्ल्यूडी) के भारित माध्य वर्ग की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

{\text{MSWD}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\frac {w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}{(\sigma _{x_{i}})^{2}}}.

रैश विश्लेषण

रैश मॉडल पर आधारित डेटा विश्लेषण में, कम किए गए ची-वर्ग सांख्यिकी को आउटफिट माध्य-वर्ग सांख्यिकी कहा जाता है, और सूचना-भारित कम किए गए ची-वर्ग सांख्यिकी को इनफिट माध्य-वर्ग सांख्यिकी कहा जाता है।^[21]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Wendt, I., and Carl, C., 1991,The statistical distribution of the mean squared weighted deviation, Chemical Geology, 275–285.
↑ Strang, Gilbert; Borre, Kae (1997). रैखिक बीजगणित, भूगणित, और जीपीएस (in English). Wellesley-Cambridge Press. p. 301. ISBN 9780961408862.
↑ Koch, Karl-Rudolf (2013). रैखिक मॉडल में पैरामीटर अनुमान और परिकल्पना परीक्षण (in English). Springer Berlin Heidelberg. Section 3.2.5. ISBN 9783662039762.
↑ Julian Faraway (2000), Practical Regression and Anova using R
↑ Kenney, J.; Keeping, E. S. (1963). सांख्यिकी का गणित. van Nostrand. p. 187.
↑ Zwillinger, D. (1995). मानक गणितीय सारणियाँ और सूत्र. Chapman&Hall/CRC. p. 626. ISBN 0-8493-2479-3.
↑ Hayashi, Fumio (2000). अर्थमिति. Princeton University Press. ISBN 0-691-01018-8.
↑ ^8.0 ^8.1 Laub, Charlie; Kuhl, Tonya L. (n.d.), How Bad is Good? A Critical Look at the Fitting of Reflectivity Models using the Reduced Chi-Square Statistic (PDF), University California, Davis, archived from the original (PDF) on 6 October 2016, retrieved 30 May 2015
↑ Taylor, John Robert (1997), An introduction to error analysis, University Science Books, p. 268
↑ Kirkman, T. W. (n.d.), Chi-Square Curve Fitting, retrieved 30 May 2015
↑ ^11.0 ^11.1 Bevington, Philip R. (1969), Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, New York: McGraw-Hill
↑ Measurements and Their Uncertainties: A Practical Guide to Modern Error Analysis, By Ifan Hughes, Thomas Hase [1]
↑ Dealing with Uncertainties: A Guide to Error Analysis, By Manfred Drosg [2]
↑ Practical Statistics for Astronomers, By J. V. Wall, C. R. Jenkins
↑ Computational Methods in Physics and Engineering, By Samuel Shaw Ming Wong [3]
↑ Dickin, A. P. 1995. Radiogenic Isotope Geology. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995, ISBN 0-521-43151-4, ISBN 0-521-59891-5
↑ McDougall, I. and Harrison, T. M. 1988. Geochronology and Thermochronology by the ⁴⁰Ar/³⁹Ar Method. Oxford University Press.
↑ Lance P. Black, Sandra L. Kamo, Charlotte M. Allen, John N. Aleinikoff, Donald W. Davis, Russell J. Korsch, Chris Foudoulis 2003. TEMORA 1: a new zircon standard for Phanerozoic U–Pb geochronology. Chemical Geology 200, 155–170.
↑ M. J. Streule, R. J. Phillips, M. P. Searle, D. J. Waters and M. S. A. Horstwood 2009. Evolution and chronology of the Pangong Metamorphic Complex adjacent to themodelling and U-Pb geochronology Karakoram Fault, Ladakh: constraints from thermobarometry, metamorphic modelling and U-Pb geochronology. Journal of the Geological Society 166, 919–932 doi:10.1144/0016-76492008-117
↑ Roger Powell, Janet Hergt, Jon Woodhead 2002. Improving isochron calculations with robust statistics and the bootstrap. Chemical Geology 185, 191–204.
↑ Linacre, J.M. (2002). "What do Infit and Outfit, Mean-square and Standardized mean?". Rasch Measurement Transactions. 16 (2): 878.

[Wendt-1] 1.0 ^1.1 Wendt, I., and Carl, C., 1991,The statistical distribution of the mean squared weighted deviation, Chemical Geology, 275–285.

[2] Strang, Gilbert; Borre, Kae (1997). रैखिक बीजगणित, भूगणित, और जीपीएस (in English). Wellesley-Cambridge Press. p. 301. ISBN 9780961408862.

[3] Koch, Karl-Rudolf (2013). रैखिक मॉडल में पैरामीटर अनुमान और परिकल्पना परीक्षण (in English). Springer Berlin Heidelberg. Section 3.2.5. ISBN 9783662039762.

[4] Julian Faraway (2000), Practical Regression and Anova using R

[5] Kenney, J.; Keeping, E. S. (1963). सांख्यिकी का गणित. van Nostrand. p. 187.

[6] Zwillinger, D. (1995). मानक गणितीय सारणियाँ और सूत्र. Chapman&Hall/CRC. p. 626. ISBN 0-8493-2479-3.

[7] Hayashi, Fumio (2000). अर्थमिति. Princeton University Press. ISBN 0-691-01018-8.

[laub-8] 8.0 ^8.1 Laub, Charlie; Kuhl, Tonya L. (n.d.), How Bad is Good? A Critical Look at the Fitting of Reflectivity Models using the Reduced Chi-Square Statistic (PDF), University California, Davis, archived from the original (PDF) on 6 October 2016, retrieved 30 May 2015

[9] Taylor, John Robert (1997), An introduction to error analysis, University Science Books, p. 268

[10] Kirkman, T. W. (n.d.), Chi-Square Curve Fitting, retrieved 30 May 2015

[Bevington-11] 11.0 ^11.1 Bevington, Philip R. (1969), Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, New York: McGraw-Hill

[12] Measurements and Their Uncertainties: A Practical Guide to Modern Error Analysis, By Ifan Hughes, Thomas Hase [1]

[13] Dealing with Uncertainties: A Guide to Error Analysis, By Manfred Drosg [2]

[14] Practical Statistics for Astronomers, By J. V. Wall, C. R. Jenkins

[15] Computational Methods in Physics and Engineering, By Samuel Shaw Ming Wong [3]

[16] Dickin, A. P. 1995. Radiogenic Isotope Geology. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995, ISBN 0-521-43151-4, ISBN 0-521-59891-5

[17] McDougall, I. and Harrison, T. M. 1988. Geochronology and Thermochronology by the ⁴⁰Ar/³⁹Ar Method. Oxford University Press.

[18] Lance P. Black, Sandra L. Kamo, Charlotte M. Allen, John N. Aleinikoff, Donald W. Davis, Russell J. Korsch, Chris Foudoulis 2003. TEMORA 1: a new zircon standard for Phanerozoic U–Pb geochronology. Chemical Geology 200, 155–170.

[19] M. J. Streule, R. J. Phillips, M. P. Searle, D. J. Waters and M. S. A. Horstwood 2009. Evolution and chronology of the Pangong Metamorphic Complex adjacent to themodelling and U-Pb geochronology Karakoram Fault, Ladakh: constraints from thermobarometry, metamorphic modelling and U-Pb geochronology. Journal of the Geological Society 166, 919–932 doi:10.1144/0016-76492008-117

[20] Roger Powell, Janet Hergt, Jon Woodhead 2002. Improving isochron calculations with robust statistics and the bootstrap. Chemical Geology 185, 191–204.

[21] Linacre, J.M. (2002). "What do Infit and Outfit, Mean-square and Standardized mean?". Rasch Measurement Transactions. 16 (2): 878.

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-इसके वर्गमूल को प्रतिगमन मानक त्रुटि कहा जाता है,<ref>[https://cran.r-project.org/doc/contrib/Faraway-PRA.pdf Julian Faraway (2000), ''Practical Regression and Anova using R'']</ref> प्रतिगमन की मानक त्रुटि,<ref>{{cite book |last1=Kenney |first1=J. |last2=Keeping |first2=E. S. |year=1963 |title=सांख्यिकी का गणित|publisher=van Nostrand |page=187 }}</ref><ref>{{cite book |last=Zwillinger |first=D. |year=1995 |title=मानक गणितीय सारणियाँ और सूत्र|publisher=Chapman&Hall/CRC |isbn=0-8493-2479-3 |page=626 }}</ref> या समीकरण की मानक त्रुटि<ref>{{cite book | last = Hayashi | first = Fumio | title = अर्थमिति| year = 2000 | publisher = Princeton University Press | isbn = 0-691-01018-8 }}</ref>
+इसके वर्गमूल को प्रतिगमन मानक त्रुटि कहा जाता है,<ref>[https://cran.r-project.org/doc/contrib/Faraway-PRA.pdf Julian Faraway (2000), ''Practical Regression and Anova using R'']</ref> प्रतिगमन की मानक त्रुटि,<ref>{{cite book |last1=Kenney |first1=J. |last2=Keeping |first2=E. S. |year=1963 |title=सांख्यिकी का गणित|publisher=van Nostrand |page=187 }}</ref><ref>{{cite book |last=Zwillinger |first=D. |year=1995 |title=मानक गणितीय सारणियाँ और सूत्र|publisher=Chapman&Hall/CRC |isbn=0-8493-2479-3 |page=626 }}</ref> या समीकरण की मानक त्रुटि<ref>{{cite book | last = Hayashi | first = Fumio | title = अर्थमिति| year = 2000 | publisher = Princeton University Press | isbn = 0-691-01018-8 }}</ref>({{slink|सामान्य न्यूनतम वर्ग कम ची-वर्ग
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 ==परिभाषा==
-इसे [[ची-स्क्वायर वितरण]] | ची-स्क्वायर प्रति डिग्री स्वतंत्रता (सांख्यिकी) के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name=laub /><ref>{{citation |first=John Robert |last=Taylor |title=An introduction to error analysis |page=268 |publisher=University Science Books |date=1997}}</ref><ref>{{citation |url=http://www.physics.csbsju.edu/stats/chi_fit.html |last=Kirkman |first=T. W. |title=Chi-Square Curve Fitting |date=n.d. |access-date=30 May 2015}}</ref><ref name="Bevington"/>{{rp|p=85}}<ref>Measurements and Their Uncertainties: A Practical Guide to Modern Error Analysis, By Ifan Hughes, Thomas Hase [https://books.google.com/books?id=AbEVDAAAQBAJ&dq=reduced%20chi-squared%20in%20regression&pg=PA107]</ref><ref>Dealing with Uncertainties: A Guide to Error Analysis, By Manfred Drosg [https://books.google.com/books?id=GhGAlryfy6cC&dq=reduced%20chi-squared%20per%20degree%20of%20freedom&pg=PA169]</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=GcILAQAAQBAJ&dq=reduced%20chi-squared%20per%20degree%20of%20freedom&pg=PA109 Practical Statistics for Astronomers, By J. V. Wall, C. R. Jenkins]</ref><ref>Computational Methods in Physics and Engineering, By Samuel Shaw Ming Wong [https://books.google.com/books?id=HXF02H8USjIC&dq=reduced%20chi-squared%20per%20degree%20of%20freedom&pg=PA264]</ref>
+इसे स्वतंत्रता की डिग्री के अनुसार [[ची-स्क्वायर वितरण|ची-वर्ग वितरण]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name=laub /><ref>{{citation |first=John Robert |last=Taylor |title=An introduction to error analysis |page=268 |publisher=University Science Books |date=1997}}</ref><ref>{{citation |url=http://www.physics.csbsju.edu/stats/chi_fit.html |last=Kirkman |first=T. W. |title=Chi-Square Curve Fitting |date=n.d. |access-date=30 May 2015}}</ref><ref name="Bevington"/>{{rp|p=85}}<ref>Measurements and Their Uncertainties: A Practical Guide to Modern Error Analysis, By Ifan Hughes, Thomas Hase [https://books.google.com/books?id=AbEVDAAAQBAJ&dq=reduced%20chi-squared%20in%20regression&pg=PA107]</ref><ref>Dealing with Uncertainties: A Guide to Error Analysis, By Manfred Drosg [https://books.google.com/books?id=GhGAlryfy6cC&dq=reduced%20chi-squared%20per%20degree%20of%20freedom&pg=PA169]</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=GcILAQAAQBAJ&dq=reduced%20chi-squared%20per%20degree%20of%20freedom&pg=PA109 Practical Statistics for Astronomers, By J. V. Wall, C. R. Jenkins]</ref><ref>Computational Methods in Physics and Engineering, By Samuel Shaw Ming Wong [https://books.google.com/books?id=HXF02H8USjIC&dq=reduced%20chi-squared%20per%20degree%20of%20freedom&pg=PA264]</ref>
 <math display="block">\chi^2_\nu = \frac{\chi^2} \nu,</math>
 जहां ची-वर्ग वर्ग [[विचलन (सांख्यिकी)]] का भारित योग है:
 <math display="block">\chi^2 = \sum_{i} {\frac{(O_i - C_i)^2}{\sigma_i^2}}</math>
-इनपुट के साथ: विचरण <math>\sigma_i^2</math>, अवलोकन O, और परिकलित डेटा C.<ref name=laub>{{citation |url=http://neutrons2.ornl.gov/workshops/sns_hfir_users/posters/Laub_Chi-Square_Data_Fitting.pdf| archive-url=https://web.archive.org/web/20161006144839/http://neutrons2.ornl.gov/workshops/sns_hfir_users/posters/Laub_Chi-Square_Data_Fitting.pdf | archive-date=6 October 2016| url-status=dead |first1=Charlie |last1=Laub |first2=Tonya L. |last2=Kuhl |title=How Bad is Good? A Critical Look at the Fitting of Reflectivity Models using the Reduced Chi-Square Statistic |publisher=University California, Davis |date=n.d. |access-date=30 May 2015}}</ref>
+इनपुट के साथ: विचरण <math>\sigma_i^2</math>, अवलोकन O, और परिकलित डेटा C है,<ref name=laub>{{citation |url=http://neutrons2.ornl.gov/workshops/sns_hfir_users/posters/Laub_Chi-Square_Data_Fitting.pdf| archive-url=https://web.archive.org/web/20161006144839/http://neutrons2.ornl.gov/workshops/sns_hfir_users/posters/Laub_Chi-Square_Data_Fitting.pdf | archive-date=6 October 2016| url-status=dead |first1=Charlie |last1=Laub |first2=Tonya L. |last2=Kuhl |title=How Bad is Good? A Critical Look at the Fitting of Reflectivity Models using the Reduced Chi-Square Statistic |publisher=University California, Davis |date=n.d. |access-date=30 May 2015}}</ref>स्वतंत्रता की डिग्री, <math>\nu = n - m</math>, अवलोकनों की संख्या n से फिट किए गए पैरामीटर की संख्या m के समान है।
-स्वतंत्रता की डिग्री, <math>\nu = n - m</math>, अवलोकनों की संख्या n से फिट किए गए मापदंडों की संख्या m के बराबर है।
-भारित न्यूनतम वर्गों में, परिभाषा को अक्सर मैट्रिक्स नोटेशन में लिखा जाता है
+भारित न्यूनतम वर्गों में, परिभाषा को प्रायः मैट्रिक्स नोटेशन में लिखा जाता है:
 <math display="block">\chi^2_\nu = \frac{r^\mathrm{T} W r}{\nu},</math>
-जहां r अवशिष्टों का सदिश है, और W भार मैट्रिक्स है, जो प्रेक्षणों के इनपुट (विकर्ण) सहप्रसरण मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है। यदि W गैर-विकर्ण है, तो [[सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग]] लागू होता है।
+जहां r अवशिष्टों का सदिश है, और W भार मैट्रिक्स है, जो प्रेक्षणों के इनपुट (विकर्ण) सहप्रसरण मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है। यदि W अविकर्ण है, तो [[सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग]] प्रारम्भ होता है।
 सामान्य न्यूनतम वर्गों में, परिभाषा इस प्रकार सरल हो जाती है:
-<math display="block">\chi^2_\nu = \frac{\mathrm{RSS}}{\nu},</math>
+<math display="block">\chi^2_\nu = \frac{\mathrm{RSS}}{\nu},</math><math display="block">\mathrm{RSS} = \sum r^2,</math>
-<math display="block">\mathrm{RSS} = \sum r^2,</math>
+जहां भाग [[वर्गों का अवशिष्ट योग]] (आरएसएस) है।
-जहां अंश [[वर्गों का अवशिष्ट योग]] (RSS) है।
-जब फ़िट केवल एक सामान्य माध्य है, तब <math>\chi^2_\nu</math> नमूना [[मानक विचलन]] के बराबर है।
+जब फ़िट केवल सामान्य माध्य है, तब <math>\chi^2_\nu</math> प्रारूप [[मानक विचलन]] के समान है।
-==चर्चा==
+==वर्णन==
-एक सामान्य नियम के रूप में, जब माप त्रुटि का विचरण प्राथमिक रूप से ज्ञात होता है, ए <math>\chi_\nu^2 \gg 1</math> खराब मॉडल फिट का संकेत देता है। ए <math>\chi_\nu^2 > 1</math> इंगित करता है कि फिट ने डेटा को पूरी तरह से कैप्चर नहीं किया है (या त्रुटि भिन्नता को कम करके आंका गया है)। सिद्धांत रूप में, का एक मूल्य <math>\chi_\nu^2</math> आस-पास  <math>1</math> इंगित करता है कि टिप्पणियों और अनुमानों के बीच मिलान की सीमा त्रुटि भिन्नता के अनुरूप है। ए <math>\chi_\nu^2 < 1</math> इंगित करता है कि मॉडल डेटा को ओवर-फिट कर रहा है: या तो मॉडल अनुचित रूप से शोर को फिट कर रहा है, या त्रुटि भिन्नता को कम करके आंका गया है।<ref name="Bevington">{{citation |first=Philip R. |last=Bevington |title=Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences |location=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1969 }}</ref>{{rp|page=89 |quote=For {{math|&chi;<sup>2</sup>}} tests, {{math|&chi;<sub>&nu;</sub><sup>2</sup>}} should be approximately equal to one.}}
+सामान्य नियम के रूप में, जब माप त्रुटि का विचरण प्राथमिक रूप से ज्ञात होता है, a <math>\chi_\nu^2 \gg 1</math> व्यर्थ मॉडल फिट का संकेत देता है। a <math>\chi_\nu^2 > 1</math> प्रदर्शित करता है कि फिट ने डेटा को पूर्ण रूप से कैप्चर नहीं किया है (या त्रुटि भिन्नता को कम करके गणना की गई है)। सिद्धांत रूप में, मान <math>\chi_\nu^2</math> के निकट <math>1</math> प्रदर्शित करता है कि टिप्पणियों और अनुमानों के मध्य संघ की सीमा त्रुटि भिन्नता के अनुरूप है। a <math>\chi_\nu^2 < 1</math> प्रदर्शित करता है कि मॉडल डेटा को ओवर-फिट कर रहा है: या तो मॉडल अनुचित रूप से शोर को फिट कर रहा है, या त्रुटि भिन्नता को कम करके गणना की गई है।<ref name="Bevington">{{citation |first=Philip R. |last=Bevington |title=Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences |location=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1969 }}</ref>{{rp|page=89 |quote=For {{math|&chi;<sup>2</sup>}} tests, {{math|&chi;<sub>&nu;</sub><sup>2</sup>}} should be approximately equal to one.}}
-जब माप त्रुटि का विचरण केवल आंशिक रूप से ज्ञात होता है, तो भारित अंकगणितीय माध्य#अधिक या कम फैलाव के लिए सुधार|घटा हुआ ची-स्क्वायर एक अनुमान के अनुसार सुधार के रूप में काम कर सकता है।
+जब माप त्रुटि का विचरण केवल आंशिक रूप से ज्ञात होता है, तो घटा हुआ ची-वर्ग अनुमानित सुधार के रूप में कार्य कर सकता है।
 == अनुप्रयोग ==
-===[[ भू-कालानुक्रम ]]===
+===[[ भू-कालानुक्रम | भू-कालक्रम]]===
-जियोक्रोनोलॉजी में, एमएसडब्ल्यूडी फिट की अच्छाई का एक माप है जो आइसोटोपिक डेटिंग में सबसे आम उपयोग के साथ, आंतरिक और बाहरी प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता दोनों के सापेक्ष महत्व को ध्यान में रखता है।<ref>Dickin, A. P. 1995. Radiogenic Isotope Geology.  Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995, {{isbn|0-521-43151-4}}, {{isbn|0-521-59891-5}}</ref><ref>McDougall, I. and Harrison, T. M. 1988. Geochronology and Thermochronology by the <sup>40</sup>Ar/<sup>39</sup>Ar Method. Oxford University Press.</ref><ref name=Wendt>Wendt, I., and Carl, C., 1991,The statistical distribution of the mean squared weighted deviation, Chemical Geology, 275–285.</ref><ref>Lance P. Black, Sandra L. Kamo, Charlotte M. Allen, John N. Aleinikoff, Donald W. Davis, Russell J. Korsch, Chris Foudoulis 2003.  TEMORA 1: a new zircon standard for Phanerozoic U–Pb geochronology. Chemical Geology 200, 155–170.</ref><ref>M. J. Streule, R. J. Phillips, M. P. Searle, D. J. Waters and M. S. A. Horstwood 2009. Evolution and chronology of the Pangong Metamorphic Complex adjacent to themodelling and U-Pb geochronology Karakoram Fault, Ladakh: constraints from thermobarometry, metamorphic modelling and U-Pb geochronology.  Journal of the Geological Society 166, 919–932 {{doi|10.1144/0016-76492008-117}}</ref><ref>Roger Powell, [[Janet Hergt]], Jon Woodhead 2002. Improving isochron calculations with robust statistics and the bootstrap.  Chemical Geology 185, 191–204.</ref>
+भू-भू-कालक्रम में, एमएसडब्ल्यूडी फिट का ऐसा माप है जो आइसोटोपिक डेटिंग में सबसे सरल उपयोग के साथ, आंतरिक और बाहरी प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्यता दोनों के सापेक्ष महत्व को ध्यान में रखता है।<ref>Dickin, A. P. 1995. Radiogenic Isotope Geology.  Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995, {{isbn|0-521-43151-4}}, {{isbn|0-521-59891-5}}</ref><ref>McDougall, I. and Harrison, T. M. 1988. Geochronology and Thermochronology by the <sup>40</sup>Ar/<sup>39</sup>Ar Method. Oxford University Press.</ref><ref name=Wendt>Wendt, I., and Carl, C., 1991,The statistical distribution of the mean squared weighted deviation, Chemical Geology, 275–285.</ref><ref>Lance P. Black, Sandra L. Kamo, Charlotte M. Allen, John N. Aleinikoff, Donald W. Davis, Russell J. Korsch, Chris Foudoulis 2003.  TEMORA 1: a new zircon standard for Phanerozoic U–Pb geochronology. Chemical Geology 200, 155–170.</ref><ref>M. J. Streule, R. J. Phillips, M. P. Searle, D. J. Waters and M. S. A. Horstwood 2009. Evolution and chronology of the Pangong Metamorphic Complex adjacent to themodelling and U-Pb geochronology Karakoram Fault, Ladakh: constraints from thermobarometry, metamorphic modelling and U-Pb geochronology.  Journal of the Geological Society 166, 919–932 {{doi|10.1144/0016-76492008-117}}</ref><ref>Roger Powell, [[Janet Hergt]], Jon Woodhead 2002. Improving isochron calculations with robust statistics and the bootstrap.  Chemical Geology 185, 191–204.</ref>
-सामान्य तौर पर जब:
-एमएसडब्ल्यूडी = 1 यदि आयु डेटा टी (अंकगणितीय माध्य आयु के लिए) या लॉग (टी) (ज्यामितीय माध्य आयु के लिए) स्थान में एक [[सामान्य वितरण]] फिट बैठता है, या यदि संरचना संबंधी डेटा [लॉग ([[यूरेनियम]]/) में एक द्विचर सामान्य वितरण फिट बैठता है [[हीलियम]]),लॉग([[थोरियम]]/हे)]-स्पेस (केंद्रीय आयु के लिए)।
+सामान्यतः जब:
-एमएसडब्ल्यूडी <1 यदि देखा गया बिखराव विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं द्वारा अनुमानित से कम है। इस मामले में, डेटा को कम फैलाया हुआ कहा जाता है, जो दर्शाता है कि विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं को कम करके आंका गया था।
+एमएसडब्ल्यूडी = 1 यदि आयु डेटा t (अंकगणितीय माध्य आयु के लिए) या लॉग (t) (ज्यामितीय माध्य आयु के लिए) स्थान में  [[सामान्य वितरण]] फिट का उपयोग किया जाता है, या यदि संरचना संबंधी डेटा [log(U/He),log(Th/He)] में द्विचर सामान्य वितरण फिट का उपयोग किया जाता है।
-एमएसडब्ल्यूडी > 1 यदि देखा गया बिखराव विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं द्वारा अनुमानित से अधिक है। इस मामले में, डेटा को अत्यधिक फैला हुआ कहा जाता है। यह स्थिति (यू-थ)/हे जियोक्रोनोलॉजी में अपवाद के बजाय नियम है, जो आइसोटोप प्रणाली की अधूरी समझ का संकेत देती है। (U-Th)/He डेटा के अत्यधिक फैलाव को समझाने के लिए कई कारण प्रस्तावित किए गए हैं, जिनमें असमान रूप से वितरित U-Th वितरण और विकिरण क्षति शामिल है।
+एमएसडब्ल्यूडी <1 यदि देखा गया बिखराव विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं द्वारा अनुमानित से कम है। इस स्तिथि में, डेटा को अल्प विस्तारित कहा जाता है, जो दर्शाता है कि विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं को कम करके गणना की गई थी।
-अक्सर जियोक्रोनोलॉजिस्ट एक ही नमूने पर मापे गए मूल्य के साथ आयु माप की एक श्रृंखला निर्धारित करेगा <math>x_i</math> एक भार होना <math>w_i</math> और एक संबंधित त्रुटि <math>\sigma_{x_i}</math> प्रत्येक आयु निर्धारण के लिए. जहां तक वजन देने का संबंध है, कोई या तो मापी गई सभी उम्र को समान रूप से तौल सकता है, या उन्हें उस नमूने के अनुपात के आधार पर तौल सकता है जिसका वे प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि नमूने का दो तिहाई हिस्सा पहले माप के लिए और एक तिहाई दूसरे और अंतिम माप के लिए इस्तेमाल किया गया था, तो पहले माप का वजन दूसरे के मुकाबले दोगुना हो सकता है।
+एमएसडब्ल्यूडी > 1 यदि देखा गया बिखराव विश्लेषणात्मक अनिश्चितताओं द्वारा अनुमानित से अधिक है। इस स्तिथि में, डेटा को अत्यधिक विस्तारित कहा जाता है। यह स्थिति (U-Th)/He भू-भू-कालक्रम में अपवाद के अतिरिक्त नियम है, जो आइसोटोप प्रणाली की अर्ध अध्ययन का संकेत देती है। (U-Th)/He डेटा के अत्यधिक विस्तारण के अध्ययन के लिए कई कारण प्रस्तावित किए गए हैं, जिनमें असमान रूप से वितरित U-Th वितरण और विकिरण क्षति सम्मिलित है।
+प्रायः भू-कालानुक्रमिक प्रारूप पर मापे गए मान के साथ आयु माप की श्रृंखला निर्धारित करेगा <math>x_i</math> भार और <math>w_i</math> संबंधित त्रुटि <math>\sigma_{x_i}</math> प्रत्येक आयु निर्धारण के लिए जहां तक भार प्रदान करने का संबंध है, कोई या तो मापी गई सभी आयु को समान रूप से माप सकता है, या उन्हें उस प्रारूप के अनुपात के आधार पर माप सकता है जिसका वे प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्रारूपका दो तिहाई भाग पूर्व माप के लिए और एक तिहाई दूसरे और अंतिम माप के लिए उपयोग किया गया था, तो पूर्व माप का भार दूसरे के अपेक्षा दोगुना हो सकता है।
 आयु निर्धारण का अंकगणितीय माध्य है
 <math display="block">\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^N x_i} N,</math>
-लेकिन यह मान भ्रामक हो सकता है, जब तक कि आयु का प्रत्येक निर्धारण समान महत्व का न हो।
+किंतु यह मान भ्रामक हो सकता है, जब तक कि आयु का प्रत्येक निर्धारण समान महत्व का न हो।
-जब प्रत्येक मापा मूल्य को समान भार, या महत्व माना जा सकता है, तो विचरण के पक्षपाती और निष्पक्ष (या मानक विचलन # क्रमशः नमूना मानक विचलन और जनसंख्या के साथ) अनुमानकों की गणना निम्नानुसार की जाती है:
+जब प्रत्येक मापे मान को समान भार, या महत्व माना जा सकता है, तो विचरण के पक्षपाती और निष्पक्ष (या क्रमशः "प्रारूप" और "जनसंख्या") अनुमानकों की गणना निम्नानुसार की जाती है:
 <math display="block">\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}N \text{ and }
 s^2 = \frac{N}{N-1} \cdot \sigma^2 = \frac{1}{N - 1} \cdot \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2.</math>
 मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है।
-जब किसी आयु का व्यक्तिगत निर्धारण समान महत्व का नहीं होता है, तो औसत आयु प्राप्त करने के लिए भारित माध्य का उपयोग करना बेहतर होता है, जो निम्नानुसार है:
+जब किसी आयु का व्यक्तिगत निर्धारण समान महत्व का नहीं होता है, तो औसत आयु प्राप्त करने के लिए भारित माध्य का उपयोग करना उत्तम होता है, जो निम्नानुसार है:
 <math display="block">\overline{x}^* = \frac{\sum_{i=1}^N w_i x_i}{\sum_{i=1}^N w_i}.</math>
-विचरण के पक्षपाती भारित अनुमानक को दिखाया जा सकता है
+विचरण के पक्षपाती भारित अनुमानक को दिखाया जा सकता है:
 <math display="block">\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N w_i (x_i - \overline{x}^*)^2}{\sum_{i=1}^N w_i},</math>
-जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है
+जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 <math display="block">\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N w_i x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^N w_i - \big(\sum_{i=1}^N w_i x_i\big)^2}{\big(\sum_{i=1}^N w_i\big)^2}.</math>
-नमूना विचरण के निष्पक्ष भारित अनुमानक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
+प्रारूप विचरण के निष्पक्ष भारित अनुमानक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
 <math display="block">s^2 = \frac{\sum_{i=1}^N w_i}{\big(\sum_{i=1}^N w_i\big)^2 - \sum_{i=1}^N w_i^2} \cdot {\sum_{i=1}^N w_i (x_i - \overline{x}^*)^2}.</math>
 पुनः, संगत मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है।
-नमूना विचरण के निष्पक्ष भारित अनुमानक की गणना निम्नानुसार भी की जा सकती है:
+प्रारूप विचरण के निष्पक्ष भारित अनुमानक की गणना निम्नानुसार भी की जा सकती है:
 <math display="block">s^2 = \frac{\sum_{i=1}^N w_i x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^N w_i - \big(\sum_{i=1}^N w_i x_i\big)^2}{\big(\sum_{i=1}^N w_i\big)^2 - \sum_{i=1}^N w_i^2}.</math>
 भारित विचलनों (अभारित एमएसडब्ल्यूडी) के अभारित माध्य वर्ग की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
 <math display="block">\text{MSWD}_u = \frac{1}{N-1} \cdot \sum_{i=1}^N \frac{(x_i - \overline{x})^2}{\sigma_{x_i}^2}.</math>
-सादृश्य द्वारा, भारित विचलन (भारित MSWD) के भारित माध्य वर्ग की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
+सादृश्य द्वारा, भारित विचलन (भारित एमएसडब्ल्यूडी) के भारित माध्य वर्ग की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
 <math display="block">\text{MSWD}_w = \frac{\sum_{i=1}^N w_i}{\big(\sum_{i=1}^N w_i\big)^2 - \sum_{i=1}^N w_i^2 } \cdot \sum_{i=1}^N \frac{w_i (x_i - \overline{x}^*)^2}{(\sigma_{x_i})^2}.</math>
-===राश विश्लेषण===
+===रैश विश्लेषण===
-[[ तीव्र मॉडल ]] पर आधारित डेटा विश्लेषण में, घटी हुई ची-स्क्वायर सांख्यिकी को आउटफिट माध्य-वर्ग सांख्यिकी कहा जाता है, और सूचना-भारित कम ची-स्क्वायर सांख्यिकी को इनफिट माध्य-वर्ग सांख्यिकी कहा जाता है।<ref>{{cite journal |last=Linacre |first=J.M. |title=What do Infit and Outfit, Mean-square and Standardized mean? |journal=Rasch Measurement Transactions |volume=16 |issue=2 |pages=878 |year=2002 |url=https://www.rasch.org/rmt/rmt162f.htm}}</ref>
+[[ तीव्र मॉडल | रैश मॉडल]] पर आधारित डेटा विश्लेषण में, कम किए गए ची-वर्ग सांख्यिकी को आउटफिट माध्य-वर्ग सांख्यिकी कहा जाता है, और सूचना-भारित कम किए गए ची-वर्ग सांख्यिकी को इनफिट माध्य-वर्ग सांख्यिकी कहा जाता है।<ref>{{cite journal |last=Linacre |first=J.M. |title=What do Infit and Outfit, Mean-square and Standardized mean? |journal=Rasch Measurement Transactions |volume=16 |issue=2 |pages=878 |year=2002 |url=https://www.rasch.org/rmt/rmt162f.htm}}</ref>

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