बेथ संख्या: Difference between revisions

Revision as of 11:20, 26 July 2023

गणित में, विशेष रूप से सेट सिद्धांत में, 'बेथ संख्याएँ' एक निश्चित अनंत गणनीय संख्या सिरणी हैं (जिन्हें 'ट्रांसफाइनाइट संख्याएँ' भी कहा जाता है), जिन्हें सामान्यतः निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है: $\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots$ , जहाँ $\beth$ दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करता है। बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं ( $\aleph _{0},\aleph _{1},\dots$ ) से संबंधित होती हैं, लेकिन यदि 'सामान्यरूपी प्रतिधारा का सिद्धांत' सत्य न हो, तो ऐसे अंक होते हैं जिन्हें $\aleph$ के द्वारा नहीं चिह्नित किया गया हो।

परिभाषा

बेथ संख्याओं को ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\beth _{0}=\aleph _{0},$
$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$
$\beth _{\lambda }=\sup {\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda },$

यहाँ $\alpha$ एक आदिक और $\lambda$ एक सीमा आदिक हैं।

गणित में, $\beth _{0}=\aleph _{0}$ कोई भी गिनती योग्य अनंत सेट की परिमाणता होती है, जैसे $\mathbb {N}$ (प्राकृतिक संख्याएँ) का सेट, ताकि $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$ ।

होने देना $\alpha$ एक क्रमसूचक बनें, और $A_{\alpha }$ कार्डिनलिटी के साथ एक सेट बनें $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ . तब,

${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ के सत्ता स्थापित को दर्शाता है $A_{\alpha }$ (अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय $A_{\alpha }$ ),
सेट $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ से सभी कार्यों के सेट को दर्शाता है $A_{\alpha }$ {0,1} तक,
कार्डिनल $2^{\beth _{\alpha }}$ कार्डिनल घातांक का परिणाम है, और
$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=|2^{A_{\alpha }}|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|$ के पावर सेट की कार्डिनैलिटी है $A_{\alpha }$ .

इस परिभाषा को देखते हुए,

\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots

क्रमशः की प्रमुखताएँ हैं

\mathbb {N} ,\ {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\ \dots .

ताकि दूसरा बेथ नंबर हो $\beth _{1}$ के बराबर है ${\mathfrak {c}}$ , सातत्य की कार्डिनैलिटी (वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी), और तीसरी बेथ संख्या $\beth _{2}$ सातत्य के शक्ति सेट की प्रमुखता है।

कैंटर के प्रमेय के कारण, पूर्ववर्ती अनुक्रम में प्रत्येक सेट की कार्डिनैलिटी उसके पूर्ववर्ती की तुलना में सख्ती से अधिक है। अनंत सीमा वाले ऑर्डिनल्स के लिए, λ, संबंधित बेथ संख्या को λ से बिल्कुल छोटे सभी ऑर्डिनल्स के लिए बेथ संख्याओं के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है:

\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.

कोई यह भी दिखा सकता है कि वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड $V_{\omega +\alpha }$ प्रमुखता है $\beth _{\alpha }$ .

एलेफ़ संख्याओं से संबंध

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत कार्डिनैलिटी कुल क्रम हैं; कोई भी दो प्रमुखताएँ तुलनीय होने में असफल नहीं हो सकतीं। इस प्रकार, चूँकि परिभाषा के अनुसार कोई भी अनंत कार्डिनैलिटी बीच में नहीं है $\aleph _{0}$ और $\aleph _{1}$ , यह इस प्रकार है कि

\beth _{1}\geq \aleph _{1}.

इस तर्क को दोहराने से (अनंत प्रेरण देखें) परिणाम मिलता है

 $\beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }$  सभी अध्यादेशों के लिए  $\alpha$ .

सातत्य परिकल्पना समतुल्य है

\beth _{1}=\aleph _{1}.

सातत्य परिकल्पना#सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना कहती है कि इस प्रकार परिभाषित बेथ संख्याओं का अनुक्रम एलेफ़ संख्याओं के अनुक्रम के समान है, अर्थात,

 $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$  सभी अध्यादेशों के लिए  $\alpha$ .

विशिष्ट कार्डिनल्स

बेथ शून्य

चूँकि इसे परिभाषित किया गया है $\aleph _{0}$ , या एलेफ़ नल, कार्डिनैलिटी के साथ सेट होता है $\beth _{0}$ शामिल करना:

प्राकृतिक संख्याएँ N
परिमेय संख्याएं Q
बीजगणितीय संख्याएँ
गणनायोग्य संख्याएँ और संगणनीय समुच्चय
पूर्णांकों के परिमित समुच्चय का समुच्चय
पूर्णांकों के मल्टीसेट का सेट
पूर्णांकों के परिमित अनुक्रमों का समुच्चय

बेथ एक

कार्डिनैलिटी के साथ सेट $\beth _{1}$ शामिल करना:

पारलौकिक संख्याएँ
अपरिमेय संख्याएँ
वास्तविक संख्या आर
संमिश्र संख्या C
अगणनीय वास्तविक संख्याएँ
यूक्लिडियन स्थान आरⁿ
प्राकृतिक संख्याओं का घात समुच्चय (प्राकृतिक संख्याओं के सभी उपसमूहों का समुच्चय)
पूर्णांकों के अनुक्रमों का सेट (अर्थात् सभी फ़ंक्शन 'एन' → 'जेड', जिसे अक्सर 'जेड' कहा जाता है)^न)
वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का समुच्चय, R^एन
आर से आर तक सभी [[वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य]]ों का सेट
आर से आर तक सभी निरंतर कार्यों का सेट
वास्तविक संख्याओं के परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय
सी से सी तक सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का सेट ( होलोमार्फिक फ़ंक्शन)

बेथ दो

$\beth _{2}$ (दो के साथ उच्चारित) को '2' भी कहा जाता है^c' (उच्चारण में c की घात दो होती है)।

कार्डिनैलिटी के साथ सेट $\beth _{2}$ शामिल करना:

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का घात समुच्चय, इसलिए यह वास्तविक रेखा के उपसमुच्चयों की संख्या, या वास्तविक संख्याओं के समुच्चयों की संख्या है
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के घात समुच्चय का घात समुच्चय
आर से आर (आर) तक सभी फ़ंक्शन (गणित) का सबसेट^आर)
आर से सभी कार्यों का सेट^म से 'R'ⁿ
प्राकृतिक संख्याओं के सेट से सभी कार्यों के सेट की शक्ति सेट, इसलिए यह प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट की संख्या है
'आर', 'क्यू' और 'एन' का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन
'आर' में नियतात्मक भग्न का सेटⁿ ^[1]
आर में यादृच्छिक फ्रैक्टल्स का सेटⁿ ^[2]

बेथ ओमेगा

$\beth _{\omega }$ (उच्चारण बेथ ओमेगा) सबसे छोटी, बेशुमार मजबूत सीमा कार्डिनल है।

सामान्यीकरण

अधिक सामान्य प्रतीक $\beth _{\alpha }(\kappa )$ , ऑर्डिनल्स α और कार्डिनल्स κ के लिए, कभी-कभी उपयोग किया जाता है। इसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:

\beth _{0}(\kappa )=\kappa ,

\beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

यदि λ एक सीमा क्रमसूचक है।

इसलिए

\beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) में, किसी भी कार्डिनल κ और μ के लिए, एक क्रमिक α होता है जैसे:

\kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).

और ZF में, किसी भी कार्डिनल κ और ऑर्डिनल्स α और β के लिए:

\beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).

नतीजतन, ZF में किसी भी कार्डिनल κ और μ के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या उसके बिना यूआर-तत्व अनुपस्थित हैं, समानता

\beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )

सभी पर्याप्त रूप से बड़े ऑर्डिनल्स β के लिए मान्य है। अर्थात्, एक क्रमसूचक α है, जो प्रत्येक क्रमसूचक β ≥ α के लिए समानता रखता है।

यह उर-तत्वों (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या उसके बिना) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में भी लागू होता है, बशर्ते कि उर-तत्व एक सेट बनाते हैं जो एक शुद्ध सेट के साथ समतुल्य होता है (एक सेट जिसका सकर्मक सेट #ट्रांसिटिव क्लोजर में कोई उर-तत्व नहीं होता है)। यदि पसंद का सिद्धांत मान्य है, तो उर-तत्वों का कोई भी सेट शुद्ध सेट के साथ समतुल्य है।

बोरेल निर्धारण

बोरेल निर्धारण गणनीय सूचकांक के सभी बेथ के अस्तित्व से निहित है।^[3]

यह भी देखें

अनंत संख्या
बेशुमार सेट

संदर्भ

↑ Soltanifar, Mohsen (2021). "नियतात्मक भग्न के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का एक सामान्यीकरण". Mathematics. 9 (13): 1546. doi:10.3390/math9131546.
↑ Soltanifar, Mohsen (2022). "रैंडम फ्रैक्टल्स के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का दूसरा सामान्यीकरण". Mathematics. 10 (5): 706. doi:10.3390/math10050706.
↑ Leinster, Tom (23 July 2021). "Borel Determinacy Does Not Require Replacement". The n-Category Café. The University of Texas at Austin. Retrieved 25 August 2021.

ग्रन्थसूची

T. E. Forster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995 — Beth number is defined on page 5.
Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (reprint of 1974 ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3. See pages 6 and 204–205 for beth numbers.
Roitman, Judith (2011). Introduction to Modern Set Theory. Virginia Commonwealth University. ISBN 978-0-9824062-4-3. See page 109 for beth numbers.

[:3-1] Soltanifar, Mohsen (2021). "नियतात्मक भग्न के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का एक सामान्यीकरण". Mathematics. 9 (13): 1546. doi:10.3390/math9131546.

[:4-2] Soltanifar, Mohsen (2022). "रैंडम फ्रैक्टल्स के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का दूसरा सामान्यीकरण". Mathematics. 10 (5): 706. doi:10.3390/math10050706.

[3] Leinster, Tom (23 July 2021). "Borel Determinacy Does Not Require Replacement". The n-Category Café. The University of Texas at Austin. Retrieved 25 August 2021.

[1]

[2]

[3]

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 {{short description|Infinite Cardinal number}}
-गणित में, विशेष रूप से सेट सिद्धांत में, बेथ संख्याएं [[अनंत सेट]] कार्डिनल संख्याओं (जिन्हें ट्रांसफिनिट संख्याओं के रूप में भी जाना जाता है) का एक निश्चित अनुक्रम है, पारंपरिक रूप से लिखा गया है <math>\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots</math>, कहाँ <math>\beth</math> दूसरा [[हिब्रू वर्णमाला]] (शर्त (अक्षर)) है। बेथ संख्याएं [[एलेफ़ संख्या]]ओं से संबंधित हैं (<math>\aleph_0,\ \aleph_1,\ \dots</math>), परंतु  जब तक [[सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना]] सत्य नहीं होती, तब तक संख्याओं को अनुक्रमित किया जाता है <math>\aleph</math> जिन्हें अनुक्रमित नहीं किया गया है <math>\beth</math>.
+गणित में, विशेष रूप से सेट सिद्धांत में, 'बेथ संख्याएँ' एक निश्चित अनंत गणनीय संख्या सिरणी हैं (जिन्हें 'ट्रांसफाइनाइट संख्याएँ' भी कहा जाता है), जिन्हें सामान्यतः निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है: <math>\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots</math>, जहाँ <math>\beth</math> दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करता है। बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं (<math>\aleph_0, \aleph_1, \dots</math>) से संबंधित होती हैं, लेकिन यदि 'सामान्यरूपी प्रतिधारा का सिद्धांत' सत्य न हो, तो ऐसे अंक होते हैं जिन्हें <math>\aleph</math> के द्वारा नहीं चिह्नित किया गया हो।
-== परिभाषा ==
+== परिभाषा==
 बेथ संख्याओं को [[ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन]] द्वारा परिभाषित किया गया है:
-* <math>\beth_0=\aleph_0,</math>
+*<math>\beth_0=\aleph_0,</math>
-* <math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},</math>
+*<math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},</math>
-* <math>\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \},</math>
+*<math>\beth_{\lambda}=\sup{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda },</math>
-कहाँ <math>\alpha</math> एक क्रमसूचक है और <math>\lambda</math> एक [[सीमा क्रमसूचक]] है.<ref>{{cite book |last=Jech |first=Thomas |author-link= |date=2002 |title=समुच्चय सिद्धान्त|edition=3rd Millennium ed, rev. and expanded. Corrected 4th printing 2006|url= |location= |publisher=Springer |page=55   |isbn=978-3-540-44085-7}}</ref>
+यहाँ <math>\alpha</math> एक आदिक और <math>\lambda</math> एक सीमा आदिक हैं।
-कार्डिनल <math>\beth_0=\aleph_0</math> सेट जैसे किसी भी गणनीय अनंत [[सेट (गणित)]] की कार्डिनैलिटी है <math>\mathbb{N}</math> [[प्राकृतिक संख्या]]ओं का, ताकि  <math>\beth_0=|\mathbb{N}|</math>.
+गणित में, <math>\beth_0=\aleph_0</math> कोई भी गिनती योग्य अनंत सेट की परिमाणता होती है, जैसे <math>\mathbb{N}</math> (प्राकृतिक संख्याएँ) का सेट, ताकि <math>\beth_0=|\mathbb{N}|</math>।
 होने देना <math>\alpha</math> एक क्रमसूचक बनें, और <math>A_\alpha</math> कार्डिनलिटी के साथ एक सेट बनें <math>\beth_\alpha=|A_\alpha|</math>. तब,
-*<math>\mathcal{P}(A_\alpha)</math> के [[ सत्ता स्थापित ]] को दर्शाता है <math>A_\alpha</math> (अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय <math>A_\alpha</math>),
+*<math>\mathcal{P}(A_\alpha)</math> के [[ सत्ता स्थापित | सत्ता स्थापित]]  को दर्शाता है <math>A_\alpha</math> (अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय <math>A_\alpha</math>),
 *सेट <math>2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)</math> से सभी कार्यों के सेट को दर्शाता है <math>A_\alpha</math> {0,1} तक,
 *कार्डिनल <math>2^{\beth_\alpha}</math> [[कार्डिनल घातांक]] का परिणाम है, और
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 :<math>\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots</math>
 क्रमशः की प्रमुखताएँ हैं
 :<math>\mathbb{N},\ \mathcal{P}(\mathbb{N}),\ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})),\ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))),\ \dots.</math>
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 कोई यह भी दिखा सकता है कि वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड <math>V_{\omega+\alpha} </math> प्रमुखता है <math>\beth_{\alpha} </math>.
-== एलेफ़ संख्याओं से संबंध ==
+==एलेफ़ संख्याओं से संबंध==
 पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत कार्डिनैलिटी कुल क्रम हैं; कोई भी दो प्रमुखताएँ तुलनीय होने में असफल नहीं हो सकतीं। इस प्रकार, चूँकि परिभाषा के अनुसार कोई भी अनंत कार्डिनैलिटी बीच में नहीं है <math>\aleph_0</math> और <math>\aleph_1</math>, यह इस प्रकार है कि
 :<math>\beth_1 \ge \aleph_1.</math>
 इस तर्क को दोहराने से ([[अनंत प्रेरण]] देखें) परिणाम मिलता है
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   <math>\beth_\alpha = \aleph_\alpha</math> सभी अध्यादेशों के लिए <math>\alpha</math>.
-== विशिष्ट कार्डिनल्स ==
+==विशिष्ट कार्डिनल्स==
-=== बेथ शून्य ===
+===बेथ शून्य===
 चूँकि इसे परिभाषित किया गया है <math>\aleph_0</math>, या [[एलेफ़ नल]], कार्डिनैलिटी के साथ सेट होता है <math>\beth_0</math> शामिल करना:
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 *पूर्णांकों के परिमित अनुक्रमों का समुच्चय
-=== बेथ एक ===
+===बेथ एक===
 {{main|cardinality of the continuum}}
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 कार्डिनैलिटी के साथ सेट <math>\beth_1</math> शामिल करना:
-* [[पारलौकिक संख्याएँ]]
+*[[पारलौकिक संख्याएँ]]
-* [[अपरिमेय संख्या]]एँ
+*[[अपरिमेय संख्या]]एँ
 *वास्तविक संख्या आर
 *संमिश्र संख्या C
 *[[अगणनीय वास्तविक संख्या]]एँ
-*[[ यूक्लिडियन स्थान ]] आर<sup>n</sup>
+*[[ यूक्लिडियन स्थान | यूक्लिडियन स्थान]]  आर<sup>n</sup>
 *प्राकृतिक संख्याओं का घात समुच्चय (प्राकृतिक संख्याओं के सभी उपसमूहों का समुच्चय)
 *पूर्णांकों के [[अनुक्रम]]ों का सेट (अर्थात् सभी फ़ंक्शन 'एन' → 'जेड', जिसे अक्सर 'जेड' कहा जाता है)<sup>न</sup>)
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 *आर से आर तक सभी निरंतर कार्यों का सेट
 *वास्तविक संख्याओं के परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय
-*सी से सी तक सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का सेट ([[ होलोमार्फिक ]] फ़ंक्शन)
+*सी से सी तक सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का सेट ([[ होलोमार्फिक | होलोमार्फिक]]  फ़ंक्शन)
-=== बेथ दो ===
+===बेथ दो===
 <math>\beth_2</math> (दो के साथ उच्चारित) को '2' भी कहा जाता है<sup>c</sup>' (उच्चारण में c की घात दो होती है)।
 कार्डिनैलिटी के साथ सेट <math>\beth_2</math> शामिल करना:
-* वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का घात समुच्चय, इसलिए यह वास्तविक रेखा के उपसमुच्चयों की संख्या, या वास्तविक संख्याओं के समुच्चयों की संख्या है
+*वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का घात समुच्चय, इसलिए यह वास्तविक रेखा के उपसमुच्चयों की संख्या, या वास्तविक संख्याओं के समुच्चयों की संख्या है
-* प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के घात समुच्चय का घात समुच्चय
+*प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के घात समुच्चय का घात समुच्चय
-* आर से आर (आर) तक सभी [[फ़ंक्शन (गणित)]] का [[सबसेट]]<sup>आर</sup>)
+*आर से आर (आर) तक सभी [[फ़ंक्शन (गणित)]] का [[सबसेट]]<sup>आर</sup>)
-* आर से सभी कार्यों का सेट<sup>म</sup> से 'R'<sup>n</sup>
+*आर से सभी कार्यों का सेट<sup>म</sup> से 'R'<sup>n</sup>
-* प्राकृतिक संख्याओं के सेट से सभी कार्यों के सेट की शक्ति सेट, इसलिए यह प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट की संख्या है
+*प्राकृतिक संख्याओं के सेट से सभी कार्यों के सेट की शक्ति सेट, इसलिए यह प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट की संख्या है
-* 'आर', 'क्यू' और 'एन' का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन
+*'आर', 'क्यू' और 'एन' का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन
-* 'आर' में नियतात्मक [[भग्न]] का सेट<sup>n</sup> <ref name=":3">{{Cite journal|title= नियतात्मक भग्न के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का एक सामान्यीकरण|year=2021 |doi=10.3390/math9131546 |doi-access=free |last1=Soltanifar |first1=Mohsen |journal=Mathematics |volume=9 |issue=13 |page=1546 }}</ref>
+*'आर' में नियतात्मक [[भग्न]] का सेट<sup>n</sup> <ref name=":3">{{Cite journal|title= नियतात्मक भग्न के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का एक सामान्यीकरण|year=2021 |doi=10.3390/math9131546 |doi-access=free |last1=Soltanifar |first1=Mohsen |journal=Mathematics |volume=9 |issue=13 |page=1546 }}</ref>
-* आर में यादृच्छिक फ्रैक्टल्स का सेट<sup>n</sup> <ref name=":4">{{Cite journal|title= रैंडम फ्रैक्टल्स के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का दूसरा सामान्यीकरण|year=2022 |doi=10.3390/math10050706 |doi-access=free |last1=Soltanifar |first1=Mohsen |journal=Mathematics |volume=10 |issue=5 |page=706 }}</ref>
+*आर में यादृच्छिक फ्रैक्टल्स का सेट<sup>n</sup> <ref name=":4">{{Cite journal|title= रैंडम फ्रैक्टल्स के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का दूसरा सामान्यीकरण|year=2022 |doi=10.3390/math10050706 |doi-access=free |last1=Soltanifar |first1=Mohsen |journal=Mathematics |volume=10 |issue=5 |page=706 }}</ref>
-=== बेथ ओमेगा ===
+===बेथ ओमेगा===
 <math>\beth_\omega</math> (उच्चारण बेथ ओमेगा) सबसे छोटी, [[बेशुमार]] [[मजबूत सीमा कार्डिनल]] है।
@@ Line 113: / Line 115: @@
 यह उर-तत्वों (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या उसके बिना) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में भी लागू होता है, बशर्ते कि उर-तत्व एक सेट बनाते हैं जो एक [[शुद्ध सेट]] के साथ समतुल्य होता है (एक सेट जिसका सकर्मक सेट #ट्रांसिटिव क्लोजर में कोई उर-तत्व नहीं होता है)। यदि पसंद का सिद्धांत मान्य है, तो उर-तत्वों का कोई भी सेट शुद्ध सेट के साथ समतुल्य है।
-== [[बोरेल निर्धारण]] ==
+==[[बोरेल निर्धारण]]==
 बोरेल निर्धारण गणनीय सूचकांक के सभी बेथ के अस्तित्व से निहित है।<ref>{{cite web
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-== यह भी देखें ==
+==यह भी देखें==
-* अनंत संख्या
+*अनंत संख्या
-* [[बेशुमार सेट]]
+*[[बेशुमार सेट]]
-== संदर्भ ==
+==संदर्भ==
 <references />
@@ Line 138: / Line 140: @@
 ==ग्रन्थसूची==
-* [[Thomas Forster|T. E. Forster]], ''Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe'', [[Oxford University Press]], 1995 &mdash; ''Beth number'' is defined on page 5.
+*[[Thomas Forster|T. E. Forster]], ''Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe'', [[Oxford University Press]], 1995 &mdash; ''Beth number'' is defined on page 5.
-* {{ cite book | last=Bell | first=John Lane |author1link = John Lane Bell|author2=Slomson, Alan B. | year=2006 | title=Models and Ultraproducts: An Introduction | edition=reprint of 1974 | orig-year=1969 | publisher=[[Dover Publications]] | isbn=0-486-44979-3 }} See pages 6 and 204–205 for beth numbers.
+*{{cite book | last=Bell | first=John Lane |author1link = John Lane Bell|author2=Slomson, Alan B. | year=2006 | title=Models and Ultraproducts: An Introduction | edition=reprint of 1974 | orig-year=1969 | publisher=[[Dover Publications]] | isbn=0-486-44979-3 }} See pages 6 and 204–205 for beth numbers.
-* {{cite book
+*{{cite book
    | last = Roitman
    | first = Judith
@@ Line 148: / Line 150: @@
    | publisher = [[Virginia Commonwealth University]]
    | isbn = 978-0-9824062-4-3 }} See page 109 for beth numbers.
-[[Category: कार्डिनल संख्या]] [[Category: अनंतता]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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