वेइल बीजगणित

एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित में, वेइल बीजगणित बहुपद गुणांक (एक चर में) के साथ अंतर ऑपरेटरों की रिंग (गणित) है, अर्थात् फॉर्म की एक्सप्रेशन है

$f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X).$

अधिक स्पष्ट रूप से, F को अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) होने दें, और F[X] को चर, X में बहुपद रिंग होने दें, F में गुणांक के साथ। फिर प्रत्येक f_if[x] में स्थित है।

∂_XX के संबंध में व्युत्पन्न है। बीजगणित X और ∂_X द्वारा उत्पन्न होता है.

वेइल बीजगणित साधारण रिंग का उदाहरण है जो एक विभाजन की रिंग के ऊपर मैट्रिक्स रिंग नहीं है। यह डोमेन (रिंग सिद्धांत) का गैर-अनुवांशिक उदाहरण और अयस्क विस्तार का उदाहरण भी है।

तत्व द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) द्वारा, वेइल बीजगणित दो जनरेटर, x और y पर मुक्त बीजगणित की भागफल रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है।

$YX-XY=1~.$

वेइल बीजगणित, बीजगणित के अनंत वर्ग में पहला है, जिसे वेइल बीजगणित के नाम से भी जाना जाता है। एन-वें वेइल बीजगणित, ए_n, n चरों में बहुपद गुणांक वाले विभेदक संचालकों का वलय है। यह एक्स द्वारा उत्पन्न होता है_iऔर ∂_Xi</उप>, i = 1, ..., n.

वेइल बीजगणित का नाम हरमन वेइल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें क्वांटम यांत्रिकी में वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए पेश किया था। यह हाइजेनबर्ग बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित, हाइजेनबर्ग समूह के ली बीजगणित का भागफल वलय है, जो हेइजेनबर्ग बीजगणित के केंद्रीय तत्व (अर्थात् [x, y]) को सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की इकाई के बराबर सेट करते है ( ऊपर 1 कहा गया है)।

वेइल बीजगणित को 'सिम्प्लेक्टिक क्लिफ़ोर्ड बीजगणित' के रूप में भी जाना जाता है। वेइल बीजगणित सहानुभूतिपूर्ण द्विरेखीय रूप के लिए उसी संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं जो क्लिफोर्ड बीजगणित गैर-पतित सममित द्विरेखीय रूपों के लिए प्रस्तुत करते हैं।

जेनरेटर और संबंध

कोई बीजगणित ए_n का एब्स्ट्रेक्ट निर्माण दे सकता है जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में. एब्स्ट्रेक्ट सदिश स्थल V (आयाम 2n का) से प्रारंभ करें जो सहानुभूतिपूर्ण रूप ω से सुसज्जित है। वेइल बीजगणित W(V) को परिभाषित करें

$W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),$

जहां T(V) V पर टेंसर बीजगणित और अंकन है $(\!()\!)$ का अर्थ है द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत)।

दूसरे शब्दों में, W(V) केवल संबंध के अधीन V द्वारा उत्पन्न बीजगणित है vu − uv = ω(v, u). फिर, W(V) A_n का समरूपी है डार्बौक्स आधार के चयन के माध्यम से ω. किया जाता है

परिमाणीकरण

बीजगणित W(V) सममित बीजगणित Sym(V) का परिमाणीकरण (भौतिकी) है। यदि V विशेषता शून्य के क्षेत्र पर है, तो W(V) स्वाभाविक रूप से सममित बीजगणित Sym(V) के अंतर्निहित सदिश स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है जो विकृत उत्पाद से सुसज्जित है जिसे ग्रोएनवॉल्ड-मोयल उत्पाद कहा जाता है (सममित बीजगणित को ध्यान में रखते हुए) V पर बहुपद फलन^∗, जहां चर सदिश स्पेस V को फैलाते हैं, और मोयल उत्पाद सूत्र में iħ को 1 से प्रतिस्थापित करते हैं)।

समरूपता Sym(V) से W(V) तक समरूपता मानचित्र द्वारा दी गई है

$a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.$

यदि कोई iħ को प्राथमिकता देता है और जटिल संख्याओं पर काम करता है, तो वह इसके अतिरिक्त X द्वारा उत्पन्न वेइल बीजगणित को परिभाषित कर सकता है (क्वांटम यांत्रिकी उपयोग के अनुसार)।

इस प्रकार, वेइल बीजगणित सममित बीजगणित का परिमाणीकरण है, जो अनिवार्य रूप से मोयल उत्पाद के समान है (यदि बाद वाले के लिए बहुपद कार्यों तक सीमित है), लेकिन पूर्व जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में है (अंतर संचालक माना जाता है) ) और बाद वाला विकृत गुणन के संदर्भ में है।

बाहरी बीजगणित के स्थिति में, वेइल के अनुरूप परिमाणीकरण क्लिफोर्ड बीजगणित है, जिसे ऑर्थोगोनल क्लिफोर्ड बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है।

वेइल बीजगणित के गुण

Further information: स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय

इस स्थिति में कि जमीनी क्षेत्र F विशेषता शून्य है, एनवां वेइल बीजगणित साधारण रिंग नोथेरियन रिंग डोमेन (रिंग सिद्धांत) है। इसका वैश्विक आयाम n है, इसके द्वारा विकृत रिंग के विपरीत, Sym(V), जिसका वैश्विक आयाम 2n है।

इसका कोई परिमित-आयामी निरूपण नहीं है। यद्यपि यह सरलता से अनुसरण करता है, इसे कुछ परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व के लिए σ(X) और σ(Y) का ट्रेस लेकर अधिक सीधे दिखाया जा सकता है (जहां [X,Y] = 1). है

$\mathrm {tr} ([\sigma (X),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.$

चूँकि कम्यूटेटर का ट्रेस शून्य है, और पहचान का ट्रेस प्रतिनिधित्व का आयाम है, प्रतिनिधित्व शून्य आयामी होना चाहिए।

वास्तव में, परिमित-आयामी अभ्यावेदन की अनुपस्थिति की तुलना में अधिक सशक्त कथन हैं। किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न ए_n के लिए मॉड्यूल m, की संगत उपविविधता चार (m) है V × V^∗ 'विशेष विविधता' कहा जाता है जिसका आकार मोटे तौर पर आकार से मेल खाता है m का (एक परिमित-आयामी मॉड्यूल में शून्य-आयामी विशेषता विविधता होगी)। फिर बर्नस्टीन की असमानता (गणितीय विश्लेषण) बताती है कि m गैर-शून्य के लिए उपयोग किया जाता है

$\dim(\operatorname {char} (M))\geq n$

एक और भी सशक्त कथन का प्रमेय है, जो बताता है कि चार (m) लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड उपविविधता है प्राकृतिक सहानुभूति V × V^∗ रूप के लिए उपयोग किया जाता है।

सकारात्मक विशेषता

विशेषता के क्षेत्र (बीजगणित) पर वेइल बीजगणित p > 0 के स्थिति अधिक भिन्न है .

इस स्थिति में, वेइल बीजगणित के किसी भी तत्व d के लिए, तत्व d^p केंद्रीय है, और इसलिए वेइल बीजगणित का केंद्र बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह अपने केंद्र पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है; इससे भी अधिक, यह अपने केंद्र पर बीजगणित है। परिणामस्वरूप, कई परिमित-आयामी निरूपण हैं जो सभी आयाम p के सरल निरूपण से निर्मित हैं।

स्थिर केंद्र

वेइल बीजगणित का केंद्र स्थिरांक का क्षेत्र है। किसी भी तत्व के लिए $h=f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X)$ केंद्र में, $h\partial _{X}=\partial _{X}h$ तात्पर्य $f_{i}'=0$ सभी के लिए $i$ और $hX=Xh$ तात्पर्य $f_{i}=0$ के लिए $i>0$. इस प्रकार $h=f_{0}$ स्थिरांक है.

सामान्यीकरण

स्थिति में इस परिमाणीकरण के बारे में अधिक जानकारी के लिए n = 1 (और फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके बहुपद फलन से बड़े पूर्णांक फलन के वर्ग में विस्तार), विग्नर-वेइल ट्रांसफ़ॉर्म देखें।

वेइल बीजगणित और क्लिफोर्ड *-बीजगणित की और संरचना को स्वीकार करते हैं, और इसे सुपरबीजगणित के सम और विषम शब्दों के रूप में एकीकृत किया जा सकता है, जैसा कि सीसीआर और सीएआर बीजगणित में चर्चा की गई है।

एफ़िन किस्में

वेइल बीजगणित बीजगणितीय विविधताएँ के स्थिति में भी सामान्यीकरण करते हैं। बहुपद वलय पर विचार करें

$R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.$

फिर विभेदक संचालक को की संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है $\mathbb {C}$-की रैखिक व्युत्पत्तियाँ $R$. इसे स्पष्ट रूप से भागफल वलय के रूप में वर्णित किया जा सकता है

${\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.$

यह भी देखें

• जैकोबियन अनुमान
• डिक्समियर अनुमान

संदर्भ

• de Traubenberg, M. Rausch; Slupinski, M. J.; Tanasa, A. (2006). "Finite-dimensional Lie subalgebras of the Weyl algebra". J. Lie Theory. 16: 427–454. arXiv:math/0504224. (Classifies subalgebras of the one-dimensional Weyl algebra over the complex numbers; shows relationship to SL(2,C))
• Tsit Yuen Lam (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131 (2nd ed.). Springer. p. 6. ISBN 978-0-387-95325-0.
• Coutinho, S.C. (1997). "The many avatars of a simple algebra". American Mathematical Monthly. 104 (7): 593–604. doi:10.1080/00029890.1997.11990687.
• Traves, Will (2010). "Differential Operations on Grassmann Varieties". In Campbell, H.; Helminck, A.; Kraft, H.; Wehlau, D. (eds.). Symmetry and Spaces. Progress in Mathematics. Vol. 278. Birkhäuse. pp. 197–207. doi:10.1007/978-0-8176-4875-6_10. ISBN 978-0-8176-4875-6.