गम्बेल वितरण

Gumbel

Probability density function
Cumulative distribution function
Notation	${\text{Gumbel}}(\mu ,\beta )$
Parameters	$\mu ,$ location (real) $\beta >0,$ scale (real)
Support	$x\in \mathbb {R}$
PDF	${\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}$ where $z={\frac {x-\mu }{\beta }}$
CDF	$e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}$
Mean	$\mu +\beta \gamma$ where $\gamma$ is the Euler–Mascheroni constant
Median	$\mu -\beta \ln(\ln 2)$
Mode	$\mu$
Variance	${\frac {\pi ^{2}}{6}}\beta ^{2}$
Skewness	${\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14$
Ex. kurtosis	${\frac {12}{5}}$
Entropy	$\ln(\beta )+\gamma +1$
MGF	$\Gamma (1-\beta t)e^{\mu t}$
CF	$\Gamma (1-i\beta t)e^{i\mu t}$

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, गम्बेल वितरण (जिसे टाइप-I सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग विभिन्न वितरणों के कई नमूनों के अधिकतम (या न्यूनतम) वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

इस वितरण का उपयोग किसी विशेष वर्ष में नदी के अधिकतम स्तर के वितरण को दर्शाने के लिए किया जा सकता है यदि पिछले दस वर्षों के लिए अधिकतम मूल्यों की सूची है। यह भीषण भूकंप, बाढ़ या अन्य प्राकृतिक आपदा घटित होने की संभावना का पूर्वानुमान लगाने में उपयोगी है। मैक्सिमा के वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए गम्बेल वितरण की संभावित प्रयोज्यता चरम मूल्य सिद्धांत से संबंधित है, जो अनुरूपित करता है कि यदि अंतर्निहित नमूना डेटा का वितरण सामान्य या घातीय प्रकार का है तो यह उपयोगी होने की संभावना है। यह लेख अधिकतम मूल्य के वितरण को मॉडल करने के लिए गम्बेल वितरण का उपयोग करता है। न्यूनतम मान को मॉडल करने के लिए, मूल मानों के ऋणात्मक का उपयोग करता है।

गम्बेल वितरण सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण (जिसे फिशर-टिपेट वितरण के रूप में भी जाना जाता है) का एक विशेष स्थिति है। इसे वेइबुल वितरण और दोहरा घातांकीय वितरण के रूप में भी जाना जाता है (एक शब्द जिसे वैकल्पिक रूप से कभी-कभी लाप्लास वितरण को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है)। यह गोम्पर्ट्ज़ वितरण से संबंधित है जब इसका घनत्व पहले मूल के बारे में परिलक्षित होता है और फिर सकारात्मक आधी रेखा तक सीमित होता है तो एक गोम्पर्ट्ज़ फलन प्राप्त होता है।

बहुपद लॉगिट मॉडल के अव्यक्त चर सूत्रीकरण में - असतत विकल्प सिद्धांत में समान्य - अव्यक्त चर की त्रुटियां एक गमबेल वितरण का पालन करती हैं। यह उपयोगी है क्योंकि दो गम्बेल-वितरित यादृच्छिक चर के अंतर में एक लॉजिस्टिक वितरण होता है।

गंबेल वितरण का नाम एमिल जूलियस गम्बेल (1891-1966) के नाम पर रखा गया है, जो वितरण का वर्णन करने वाले उनके मूल पत्रों पर आधारित है।

परिभाषाएँ

गम्बेल वितरण का संचयी वितरण कार्य है

$F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}.\,$

मानक गम्बल वितरण

मानक गम्बेल वितरण वह स्थिति है जहां संचयी वितरण फलन के साथ $\mu =0$ और $\beta =1$ होता है

$F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,$

और संभाव्यता घनत्व फलन

$f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.$

इस मामले में मोड 0 है, माध्य $-\ln(\ln(2))\approx 0.3665$ है, माध्य $\gamma \approx 0.5772$ है (यूलर-माशेरोनी स्थिरांक), और मानक विचलन $\pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.$ है।

n > 1 के लिए संचयी द्वारा दिया गया है

$\kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).$

गुण

मोड μ है, जबकि माध्यिका $\mu -\beta \ln \left(\ln 2\right),$ है और माध्य इस प्रकार दिया गया है?

$\operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta$,

जहाँ $\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

मानक विचलन $\sigma$ $\beta \pi /{\sqrt {6}}$} है इसलिए $\beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi \approx 0.78\sigma .$

मोड पर, जहां $x=\mu$, , $\beta .$ के मान पर ध्यान दिए बिना, $F(x;\mu ,\beta )$ का मान $e^{-1}\approx 0.37$ हो जाता है।

यदि $G_{1},...,G_{k}$ पैरामीटर्स $(\mu ,\beta )$ के साथ आईआईडी गम्बेल यादृच्छिक चर है तो $\max\{G_{1},...,G_{k}\}$ भी पैरामीटर $(\mu +\beta \ln k,\beta )$ के साथ एक गम्बेल यादृच्छिक चर है।

यदि $G_{1},G_{2},...$ आईआईडी यादृच्छिक चर हैं जैसे कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $k$ के लिए $\max\{G_{1},...,G_{k}\}-\beta \ln k$ का वितरण $G_{1}$ के समान है, तो $G_{1}$ आवश्यक रूप से स्केल पैरामीटर $\beta$ के साथ वितरित किया गया है (वास्तव में यह केवल दो पर विचार करने के लिए पर्याप्त है) k>1 के विशिष्ट मान जो सहअभाज्य हैं)।

संबंधित वितरण

• यदि $X$ एक गम्बेल वितरण है, तो Y = −X का नियमित वितरण यह देखते हुए कि Y सकारात्मक है, या समकक्ष रूप से दिया गया है कि X ऋणात्मक है, एक गोम्पर्टज़ वितरण है। सूत्र के अनुसार, Y का सीडीएफ G, X के सीडीएफ, F से संबंधित है $G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)$ y > 0 के लिए परिणाम स्वरुप घनत्व इससे संबंधित हैं $g(y)=f(-y)/F(0)$: गोम्पर्ट्ज़ फलन प्रतिबिंबित गम्बेल घनत्व के समानुपाती होता है जो सकारात्मक अर्ध-रेखा तक सीमित होता है।
• यदि X माध्य 1 के साथ एक घातीय रूप से वितरित चर है, तो −log(X) में एक मानक गम्बेल वितरण है।
• यदि $X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )$ और $Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )$ फिर स्वतंत्र हैं $X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,$ (लॉजिस्टिक वितरण देखें)।
• यदि $X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )$ फिर स्वतंत्र हैं $X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )$. ध्यान दें कि $E(X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =E\left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)$. अधिक समान्य रूप से स्वतंत्र गुम्बेल यादृच्छिक चर के रैखिक संयोजनों का वितरण जीएनआईजी और जीआईजी वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

सामान्यीकृत बहुभिन्नरूपी लॉग-गामा वितरण से संबंधित सिद्धांत गम्बेल वितरण का एक बहुभिन्नरूपी संस्करण प्रदान करता है।

घटना और अनुप्रयोग

गम्बेल ने दिखाया है कि एक घातांकीय वितरण के बाद यादृच्छिक चर के नमूने में अधिकतम मूल्य (या अंतिम क्रम आँकड़ा) नमूना आकार के प्राकृतिक लघुगणक को घटाकर नमूना आकार बढ़ने पर गम्बेल वितरण के पास पहुँच जाता है।\

सीधे रूप से मान लीजिए कि $\rho (x)=e^{-x}$, $x$ का संभाव्यता वितरण है और $Q(x)=1-e^{-x}$ इसका संचयी वितरण है। तब $x$ के $N$ प्राप्तियों में से अधिकतम मान $X$ से छोटा होता है यदि और केवल तभी यदि सभी प्राप्तियाँ $X$ से छोटी हों। तो अधिकतम मान का संचयी वितरण ${\tilde {x}}$ संतुष्ट करता है

$P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},$

और, बड़े $N$ के लिए, दाईं ओर $e^{-e^{(-X)}}.$ पर परिवर्तित हो जाता है।

जल विज्ञान में, इसलिए, गुम्बेल वितरण का उपयोग दैनिक वर्षा और नदी निर्वहन मात्रा के मासिक और वार्षिक अधिकतम मूल्यों जैसे चर का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। और सूखे का वर्णन भी करना है।

गम्बेल ने अनुमानक को भी दर्शाया है r⁄(n+1) किसी घटना की संभावना के लिए - जहां r डेटा श्रृंखला में देखे गए मान की रैंक संख्या है और n अवलोकनों की कुल संख्या है - वितरण के मोड (सांख्यिकी) के आसपास संचयी संभावना का एक निष्पक्ष अनुमानक है। इसलिए, इस अनुमानक का उपयोग अक्सर प्लॉटिंग स्थिति के रूप में किया जाता है।

संख्या सिद्धांत में, गम्बेल वितरण एक पूर्णांक के यादृच्छिक विभाजन में पदों की संख्या का अनुमान लगाता है साथ ही अधिकतम अभाज्य अंतरालों और अभाज्य तारामंडलों के बीच अधिकतम अंतरालों के प्रवृत्ति-समायोजित आकार।

गम्बेल रिपैरामेट्रिज़ेशन ट्रिक्स

यंत्र अधिगम में, गम्बेल वितरण को कभी-कभी श्रेणीबद्ध वितरण से नमूने उत्पन्न करने के लिए नियोजित किया जाता है। इस तकनीक को गम्बेल-मैक्स ट्रिक कहा जाता है और यह रिपेरामेट्रिज़ेशन ट्रिक का एक विशेष उदाहरण है। आइए विस्तार से जानते हैं $(\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})$ गैर-ऋणात्मक हो, और सभी शून्य नहीं, और चलो $g_{1},\ldots ,g_{n}$ गम्बेल(0,1) के स्वतंत्र नमूने बनें, फिर नियमित एकीकरण द्वारा,

$$Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i}))={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}$$

वह है, $\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}$ समान रूप से, कोई भी दिया गया $x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R}$, हम इसके बोल्ट्ज़मैन वितरण से नमूना ले सकते हैं

$$Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i}))={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}$$

संबंधित समीकरणों में शामिल हैं:

• यदि $x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$, तब $(-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)$.
• $\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}$.
• $\max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(-\gamma +\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)$. अर्थात्, गम्बेल वितरण एक अधिकतम-स्थिर वितरण परिवार है।
• $\mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma .$

यादृच्छिक भिन्न पीढ़ी

Further information: Non-uniform random variate generation

चूंकि क्वांटाइल फलन (व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन ), $Q(p)$, एक गम्बेल वितरण द्वारा दिया गया है

$Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),$

विविधता $Q(U)$ मापदंडों के साथ एक गम्बेल वितरण है $\mu$ और $\beta$ जब यादृच्छिक चर $U$ अंतराल पर समान वितरण (निरंतर) से निकाला जाता है $(0,1)$.

संभावना पत्र

ग्राफ़ पेपर का एक टुकड़ा जिसमें गम्बेल वितरण शामिल है।

पूर्व-सॉफ़्टवेयर समय में गम्बेल वितरण को चित्रित करने के लिए संभाव्यता पेपर का उपयोग किया जाता था (चित्रण देखें)। यह पेपर संचयी वितरण फलन के रैखिककरण पर आधारित है $F$ :

$-\ln[-\ln(F)]={\frac {x-\mu }{\beta }}$

कागज में क्षैतिज अक्ष का निर्माण दोहरे लॉग स्केल पर किया गया है। ऊर्ध्वाधर अक्ष रैखिक है. साजिश करके $F$ कागज के क्षैतिज अक्ष पर और $x$-ऊर्ध्वाधर अक्ष पर चर, वितरण को ढलान 1 के साथ एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है$/\beta$. जब CumFreq जैसा वितरण फिटिंग सॉफ्टवेयर उपलब्ध हो गया, तो वितरण की योजना बनाने का कार्य आसान हो गया।

यह भी देखें

• टाइप-2 गम्बेल वितरण
• चरम मूल्य सिद्धांत
• सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण
• फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय
• एमिल जूलियस गम्बेल