हावेर्सिन फार्मूला: Difference between revisions

Revision as of 09:35, 25 July 2023

हावर्साइन सूत्र गोले पर दो बिंदुओं के बीच उनके देशांतर और अक्षांशों को देखते हुए महान-वृत्त की दूरी निर्धारित करता है। मार्गदर्शन में महत्वपूर्ण, यह गोलाकार त्रिकोणमिति में अधिक सामान्य सूत्र का विशेष मामला है, हैवरसाइन का नियम, जो गोलाकार त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों से संबंधित है।

अंग्रेजी में हावर्साइन्स की पहली तालिका 1805 में जेम्स एंड्रयू द्वारा प्रकाशित की गई थी,^[1] लेकिन फ्लोरियन काजोरी ने जोस डे मेंडोज़ा वाई रियोस द्वारा पहले किए गए प्रयोग का श्रेय दिया है^[2]^[3] हावर्साइन शब्द 1835 में जेम्स इनमैन द्वारा गढ़ा गया था।^[4]^[5]

ये नाम इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि वे परंपरागत रूप से दिए गए हैवर्सिन फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखे गए हैं $hav(θ) = sin2(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ/2)$ . सूत्रों को समान रूप से हावेर्साइन के किसी भी गुणज के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि पुराने वर्साइन फ़ंक्शन (हावेर्साइन से दोगुना)। कंप्यूटर के आगमन से पहले, दो के कारकों द्वारा विभाजन और गुणन को समाप्त करना इतना सुविधाजनक साबित हुआ कि 19वीं और 20वीं सदी की शुरुआत में नेविगेशन और त्रिकोणमितीय ग्रंथों में है उसका संस्करण मान और लघुगणक की तालिकाएं शामिल की गईं।^[6]^[7]^[8] इन दिनों हावर्साइन फॉर्म इस मायने में भी सुविधाजनक है कि इसके सामने कोई गुणांक नहीं है $sin 2$ समारोह।

निरूपण

चलो केंद्रीय कोण $θ$ किसी गोले पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच:

\theta ={\frac {d}{r}}

कहाँ:

$d$ गोले के बड़े वृत्त के अनुदिश दो बिंदुओं के बीच की दूरी है (बड़े-वृत्त की दूरी देखें),
$r$ गोले की त्रिज्या है.

हावेर्साइन फॉर्मूला हावर्साइन फ़ंक्शन की अनुमति देता है $θ$ (वह है, $hav(θ)$ ) की गणना सीधे अक्षांश से की जाएगी (द्वारा दर्शाया गया है)। $φ$ ) और देशांतर (द्वारा दर्शाया गया है)। $λ$ ) दो बिंदुओं में से:

\operatorname {hav} \left(\theta \right)=\operatorname {hav} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)

कहाँ

$φ 1$ , $φ 2$ बिंदु 1 का अक्षांश और बिंदु 2 का अक्षांश हैं,
$λ 1$ , $λ 2$ बिंदु 1 का देशांतर और बिंदु 2 का देशांतर हैं।

अंत में, हावर्साइन फ़ंक्शन $hav(θ)$ , ऊपर दोनों केंद्रीय कोण पर लगाया गया $θ$ और अक्षांश और देशांतर में अंतर है

\operatorname {hav} (\theta )=\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}

हावर्साइन फ़ंक्शन कोण के आधे वर्सिन की गणना करता है $θ$ .

दूरी के लिए हल करने के लिए $d$ , आर्कवेर्सिन (उलटा हैवर्सिन) लागू करें $h = hav(θ)$ या आर्कसीन (व्युत्क्रम साइन) फ़ंक्शन का उपयोग करें:

d=r\operatorname {archav} (h)=2r\arcsin \left({\sqrt {h}}\right)

या अधिक स्पष्ट रूप से:

{\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+(1-\operatorname {hav} (\varphi _{1}-\varphi _{2})-\operatorname {hav} (\varphi _{1}+\varphi _{2}))\cdot \operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}+\varphi _{1}}{2}}\right)\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right).\end{aligned}}

^[9]

इन सूत्रों का उपयोग करते समय, किसी को यह सुनिश्चित करना चाहिए {{math|h}तैरनेवाला स्थल त्रुटि के कारण 1 से अधिक नहीं है ( $d$ केवल वास्तविक संख्या है $0 \leq h \leq 1$ ). $h$ केवल एंटीपोडल बिंदुओं (गोले के विपरीत पक्षों पर) के लिए 1 तक पहुंचता है - इस क्षेत्र में, जब परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है, तो सूत्र में अपेक्षाकृत बड़ी संख्यात्मक त्रुटियां उत्पन्न होती हैं। क्योंकि $d$ तब बड़ा होता है (आ रहा है)। $π R$ , आधी परिधि) छोटी सी त्रुटि अक्सर इस असामान्य मामले में बड़ी चिंता का विषय नहीं होती है (हालांकि अन्य महान-वृत्त दूरी सूत्र हैं जो इस समस्या से बचते हैं)। (उपरोक्त सूत्र कभी-कभी आर्कटिक स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा जाता है, लेकिन यह समान संख्यात्मक समस्याओं से ग्रस्त है $h = 1$ .)

जैसा कि नीचे वर्णित है, समान सूत्र हैवरसाइन के बजाय कोसाइन (कभी-कभी कोसाइन का गोलाकार नियम कहा जाता है, समतल ज्यामिति के लिए कोसाइन के नियम के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) का उपयोग करके लिखा जा सकता है, लेकिन यदि दो बिंदु साथ करीब हैं (उदाहरण के लिए किलोमीटर) अलग, पृथ्वी पर) कोई भी समाप्त हो सकता है $cos(d / R) = 0.99999999$ , जिससे गलत उत्तर प्राप्त होता है। चूँकि हावर्साइन फॉर्मूला साइन का उपयोग करता है, यह उस समस्या से बचाता है।

पृथ्वी पर लागू होने पर कोई भी सूत्र केवल अनुमान है, जो पूर्ण क्षेत्र नहीं है: पृथ्वी त्रिज्या $R$ ध्रुवों पर 6356.752 किमी से लेकर भूमध्य रेखा पर 6378.137 किमी तक भिन्न होता है। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि पृथ्वी की सतह पर उत्तर-दक्षिण रेखा की वक्रता त्रिज्या (अनुप्रयोग) भूमध्य रेखा (≈6335.439 किमी) की तुलना में ध्रुवों पर 1% अधिक है (≈6399.594 किमी) - इसलिए हैवरसाइन सूत्र और कोसाइन का नियम 0.5% से बेहतर होने की गारंटी नहीं दी जा सकती। पृथ्वी की अण्डाकारता पर विचार करने वाली अधिक सटीक विधियाँ विंसेंटी के सूत्रों और भौगोलिक दूरी लेख के अन्य सूत्रों द्वारा दी गई हैं।

हावर्साइन्स का नियम

गोलाकार त्रिभुज को हावर्ससाइन के नियम द्वारा हल किया गया

एक इकाई गोले को देखते हुए, गोले की सतह पर त्रिभुज को तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले बड़े वृत्तों द्वारा परिभाषित किया गया है $u$ , $v$ , और $w$ गोले पर. यदि इन तीनों भुजाओं की लम्बाई है $a$ (से $u$ को $v$ ), $b$ (से $u$ को $w$ ), और $c$ (से $v$ को $w$ ), और विपरीत कोने का कोण $c$ है $C$ , तो हावर्साइन्स का कानून कहता है:^[10]

\operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C).

चूँकि यह इकाई गोला है, लंबाई $a$ , $b$ , और $c$ गोले के केंद्र से उन भुजाओं द्वारा अंतरित कोणों ( कांति में) के बराबर होते हैं (एक गैर-इकाई गोले के लिए, इनमें से प्रत्येक चाप की लंबाई उसके केंद्रीय कोण के त्रिज्या से गुणा के बराबर होती है) $R$ गोले का).

इस कानून से पिछले खंड का हैवर्साइन फॉर्मूला प्राप्त करने के लिए, कोई केवल विशेष मामले पर विचार करता है $u$ भौगोलिक उत्तरी ध्रुव है, जबकि $v$ और $w$ वे दो बिंदु हैं जिनका पृथक्करण $d$ निर्धारित किया जाना है. उस मामले में, $a$ और $b$ हैं $π / 2 - φ 1,2$ (अर्थात, सह-अक्षांश), $C$ देशांतर पृथक्करण है $λ 2 - λ 1$ , और $c$ वांछित है $d / R$ . नोट किया कि $sin(π / 2 - φ) = cos(φ)$ , हैवरसाइन सूत्र तुरंत अनुसरण करता है।

हैवरसाइन के नियम को प्राप्त करने के लिए, कोसाइन के गोलाकार नियम से शुरुआत की जाती है:

\cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह सूत्र हल करने का अनूठे तरीका है $c$ कब $c$ छोटा है। इसके बजाय, हम उस पहचान को प्रतिस्थापित करते हैं $cos(θ) = 1 - 2 hav(θ)$ , और त्रिकोणमितीय पहचान#जोड़/घटाव प्रमेय का भी उपयोग करते हैं $cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)$ , उपरोक्त हावर्साइन्स का नियम प्राप्त करने के लिए।

प्रमाण

कोई सूत्र सिद्ध कर सकता है:

\operatorname {hav} \left(\theta \right)=\operatorname {hav} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)

उनके अक्षांश और देशांतर द्वारा दिए गए बिंदुओं को कार्तीय समन्वय प्रणाली#तीन आयामों में परिवर्तित करके, फिर उनका डॉट उत्पाद#ज्यामितीय परिभाषा लेकर।

दो बिंदुओं पर विचार करें ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ इकाई क्षेत्र पर, उनके अक्षांश द्वारा दिया गया $\varphi$ और देशांतर $\lambda$ :

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\lambda _{2},\varphi _{2})\\{\bf {p_{1}}}&=(\lambda _{1},\varphi _{1})\end{aligned}}

ये निरूपण गोलाकार समन्वय प्रणाली के समान हैं, हालांकि अक्षांश को भूमध्य रेखा से कोण के रूप में मापा जाता है, न कि उत्तरी ध्रुव से। इन बिंदुओं का कार्टेशियन निर्देशांक में निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\cos(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}}}&=(\cos(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}

यहां से हम सीधे डॉट उत्पाद की गणना करने और आगे बढ़ने का प्रयास कर सकते हैं, हालांकि जब हम निम्नलिखित तथ्य पर विचार करते हैं तो सूत्र काफी सरल हो जाते हैं: यदि हम गोले को z-अक्ष के साथ घुमाते हैं तो दो बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं बदलेगी। यह वास्तव में इसमें स्थिरांक जोड़ देगा $\lambda _{1},\lambda _{2}$ . ध्यान दें कि समान विचार अक्षांशों को बदलने पर लागू नहीं होते हैं - अक्षांशों में स्थिरांक जोड़ने से बिंदुओं के बीच की दूरी बदल सकती है। हमारे स्थिरांक को चुनकर $-\lambda _{1}$ , और सेटिंग $\lambda '=\lambda _{2}-\lambda _{1}$ , हमारे नए बिंदु बन गए:

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}'}}&=(\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}'}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\&=(\cos(\varphi _{1}),\;0,\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}

साथ $\theta$ के बीच के कोण को दर्शाता है ${\bf {p_{1}}}$ और ${\bf {p_{2}}}$ , अब हमारे पास वह है:

{\begin{aligned}\cos(\theta )&=\langle {\bf {p_{1}}},{\bf {p_{2}}}\rangle =\langle {\bf {p_{1}'}},{\bf {p_{2}'}}\rangle =\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})+\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\&=\sin(\varphi _{2})\sin(\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})-\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})+\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\\&=\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})(-1+\cos(\lambda '))\Rightarrow \\\operatorname {hav} \left(\theta \right)&=\operatorname {hav} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\operatorname {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)\end{aligned}}

यह भी देखें

दृष्टि में कमी
विंसेंटी के सूत्र

संदर्भ

↑ van Brummelen, Glen Robert (2013). स्वर्गीय गणित: गोलाकार त्रिकोणमिति की भूली हुई कला. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. 0691148929. Retrieved 2015-11-10.
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↑ Cajori, Florian (1952) [1929]. गणितीय संकेतन का इतिहास. Vol. 2 (2 (3rd corrected printing of 1929 issue) ed.). Chicago: Open court publishing company. p. 172. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147. Retrieved 2015-11-11. हैवरसाइन सबसे पहले जोस डे मेंडोज़ा वाई रियोस (मैड्रिड, 1801, 1805, 1809) के लघुगणकीय छंदों की तालिकाओं में दिखाई देता है, और बाद में जेम्स इनमैन (1821) के नेविगेशन पर एक ग्रंथ में दिखाई देता है। (एनबी। आईएसबीएन और कोसिमो, इंक., न्यूयॉर्क, 2013 द्वारा दूसरे संस्करण के पुनर्मुद्रण के लिए लिंक।)
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↑ "haversine". Oxford English Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. 1989.
↑ H. B. Goodwin, The haversine in nautical astronomy, Naval Institute Proceedings, vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746: Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two, and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number. This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman, of the Portsmouth Royal Navy College, nearly a century ago.
↑ W. W. Sheppard and C. C. Soule, Practical navigation (World Technical Institute: Jersey City, 1922).
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अग्रिम पठन

U. S. Census Bureau Geographic Information Systems FAQ, (content has been moved to What is the best way to calculate the distance between 2 points?)
R. W. Sinnott, "Virtues of the Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
Deriving the haversine formula, Ask Dr. Math (Apr. 20–21, 1999).^{[dead link]} Archived 20 January 2020 at the Wayback Machine
Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

बाहरी संबंध

Implementations of the haversine formula in 91 languages at rosettacode.org and in 17 languages on codecodex.com Archived 2018-08-14 at the Wayback Machine
Other implementations in C++, C (MacOS), Pascal Archived 2019-01-16 at the Wayback Machine, Python, Ruby, JavaScript, PHP Archived 2018-08-12 at the Wayback Machine,Matlab Archived 2020-05-13 at the Wayback Machine, MySQL

[Brummelen_2013-1] van Brummelen, Glen Robert (2013). स्वर्गीय गणित: गोलाकार त्रिकोणमिति की भूली हुई कला. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. 0691148929. Retrieved 2015-11-10.

[Ríos_1795-2] Mendoza y Ríos, Joseph (1795). चंद्र दूरी द्वारा देशांतर की गणना के कुछ नए तरीकों पर रिपोर्ट: और अन्य नेविगेशन समस्याओं के समाधान के लिए इसके सिद्धांत का अनुप्रयोग (in Spanish). Madrid, Spain: Imprenta Real.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[Cajori_1929-3] Cajori, Florian (1952) [1929]. गणितीय संकेतन का इतिहास. Vol. 2 (2 (3rd corrected printing of 1929 issue) ed.). Chicago: Open court publishing company. p. 172. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147. Retrieved 2015-11-11. हैवरसाइन सबसे पहले जोस डे मेंडोज़ा वाई रियोस (मैड्रिड, 1801, 1805, 1809) के लघुगणकीय छंदों की तालिकाओं में दिखाई देता है, और बाद में जेम्स इनमैन (1821) के नेविगेशन पर एक ग्रंथ में दिखाई देता है। (एनबी। आईएसबीएन और कोसिमो, इंक., न्यूयॉर्क, 2013 द्वारा दूसरे संस्करण के पुनर्मुद्रण के लिए लिंक।)

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[OED_1989_Haversine-5] "haversine". Oxford English Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. 1989.

[6] H. B. Goodwin, The haversine in nautical astronomy, Naval Institute Proceedings, vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746: Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two, and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number. This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman, of the Portsmouth Royal Navy College, nearly a century ago.

[7] W. W. Sheppard and C. C. Soule, Practical navigation (World Technical Institute: Jersey City, 1922).

[8] E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables (Macmillan, New York, 1913).

[Gade2010-9] Gade, Kenneth (2010). "एक गैर-एकवचन क्षैतिज स्थिति प्रतिनिधित्व". Journal of Navigation. 63 (3): 395–417. Bibcode:2010JNav...63..395G. doi:10.1017/S0373463309990415. ISSN 0373-4633.

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 {{Short description|Formula for the great-circle distance between two points on a sphere}}
-हावर्साइन सूत्र एक गोले पर दो बिंदुओं के बीच उनके देशांतर और [[अक्षांश]]ों को देखते हुए महान-[[वृत्त]] की दूरी निर्धारित करता है। [[ मार्गदर्शन ]] में महत्वपूर्ण, यह [[गोलाकार त्रिकोणमिति]] में एक अधिक सामान्य सूत्र का एक विशेष मामला है, हैवरसाइन का नियम, जो गोलाकार त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों से संबंधित है।
+हावर्साइन सूत्र गोले पर दो बिंदुओं के बीच उनके देशांतर और [[अक्षांश]]ों को देखते हुए महान-[[वृत्त]] की दूरी निर्धारित करता है। [[ मार्गदर्शन |मार्गदर्शन]] में महत्वपूर्ण, यह [[गोलाकार त्रिकोणमिति]] में अधिक सामान्य सूत्र का विशेष मामला है, हैवरसाइन का नियम, जो गोलाकार त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों से संबंधित है।
 अंग्रेजी में हावर्साइन्स की पहली तालिका 1805 में जेम्स एंड्रयू द्वारा प्रकाशित की गई थी,<ref name="Brummelen_2013">{{cite book | first=Glen Robert | last=van Brummelen | author-link=Glen Robert van Brummelen | title=स्वर्गीय गणित: गोलाकार त्रिकोणमिति की भूली हुई कला| date=2013 | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=9780691148922 | id=0691148929 | url=https://books.google.com/books?id=0BCCz8Sx5wkC&pg=PR7 | access-date=2015-11-10}}</ref> लेकिन [[फ्लोरियन काजोरी]] ने जोस डे मेंडोज़ा वाई रियोस द्वारा पहले किए गए प्रयोग का श्रेय दिया है<ref name="Ríos_1795">{{cite book | first=Joseph | last=de Mendoza y Ríos | author-link=José de Mendoza y Ríos | title=चंद्र दूरी द्वारा देशांतर की गणना के कुछ नए तरीकों पर रिपोर्ट: और अन्य नेविगेशन समस्याओं के समाधान के लिए इसके सिद्धांत का अनुप्रयोग| language=Spanish | url=https://books.google.com/books?id=030t0OqlX2AC | year=1795 | publisher=Imprenta Real | location=Madrid, Spain}}</ref><ref name="Cajori_1929">{{cite book | first=Florian | last=Cajori | author-link=Florian Cajori | title=गणितीय संकेतन का इतिहास| volume=2 | orig-year=1929<!-- 1929-03 --> | publisher=[[Open court publishing company]] | location=Chicago | date=1952 | edition=2 (3rd corrected printing of 1929 issue) | page=172 | isbn=978-1-60206-714-1 | id=1602067147 | url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC | access-date=2015-11-11 | quote=हैवरसाइन सबसे पहले [[जोस डे मेंडोज़ा वाई रियोस]] (मैड्रिड, 1801, 1805, 1809) के लघुगणकीय छंदों की तालिकाओं में दिखाई देता है, और बाद में [[जेम्स इनमैन]] (1821) के नेविगेशन पर एक ग्रंथ में दिखाई देता है।}} (एनबी। आईएसबीएन और कोसिमो, इंक., न्यूयॉर्क, 2013 द्वारा दूसरे संस्करण के पुनर्मुद्रण के लिए लिंक।)</ref> [[हावर्साइन]] शब्द 1835 में [[जेम्स इनमैन]] द्वारा गढ़ा गया था।<ref name="Inman_1835">{{cite book |last=Inman<!-- Rev. D.D. --> |first=James |url=https://books.google.com/books?id=-fUOnQEACAAJ |title=नेविगेशन और समुद्री खगोल विज्ञान: ब्रिटिश नाविकों के उपयोग के लिए|date=1835 |publisher=W. Woodward, C. & J. Rivington |edition=3 |location=London, UK |author-link=James Inman |access-date=2015-11-09 |orig-year=1821}} (चौथा संस्करण: [https://books.google.com/books?id=MK8PAAAAYAAJ]।)</ref><ref name="OED_1989_Haversine">{{OED2|haversine}}</ref>
-ये नाम इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि वे परंपरागत रूप से दिए गए हैवर्सिन फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखे गए हैं {{math|hav(''θ'') {{=}} sin<sup>2</sup>({{sfrac|''θ''|2}})}}. सूत्रों को समान रूप से हावेर्साइन के किसी भी गुणज के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि पुराने वर्साइन फ़ंक्शन (हावेर्साइन से दोगुना)। कंप्यूटर के आगमन से पहले, दो के कारकों द्वारा विभाजन और गुणन को समाप्त करना इतना सुविधाजनक साबित हुआ कि 19वीं और 20वीं सदी की शुरुआत में नेविगेशन और त्रिकोणमितीय ग्रंथों में है[[ उसका संस्करण ]] मान और लघुगणक की तालिकाएं शामिल की गईं।<ref>H. B. Goodwin, [https://books.google.com/books?id=KSNKAAAAYAAJ&lpg=PA735&pg=PA735 The haversine in nautical astronomy], ''Naval Institute Proceedings'', vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746: ''Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two, and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number.  This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman, of the Portsmouth Royal Navy College, nearly a century ago.''</ref><ref>W. W. Sheppard and C. C. Soule, [https://books.google.com/books?id=8S0wAAAAYAAJ Practical navigation] (World Technical Institute: Jersey City, 1922).</ref><ref>E. R. Hedrick, [https://archive.org/details/logarithmictrigo00hedriala Logarithmic and Trigonometric Tables] (Macmillan, New York, 1913).</ref> इन दिनों हावर्साइन फॉर्म इस मायने में भी सुविधाजनक है कि इसके सामने कोई गुणांक नहीं है {{math|sin<sup>2</sup>}} समारोह।
+ये नाम इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि वे परंपरागत रूप से दिए गए हैवर्सिन फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखे गए हैं {{math|hav(''θ'') {{=}} sin<sup>2</sup>({{sfrac|''θ''|2}})}}. सूत्रों को समान रूप से हावेर्साइन के किसी भी गुणज के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि पुराने वर्साइन फ़ंक्शन (हावेर्साइन से दोगुना)। कंप्यूटर के आगमन से पहले, दो के कारकों द्वारा विभाजन और गुणन को समाप्त करना इतना सुविधाजनक साबित हुआ कि 19वीं और 20वीं सदी की शुरुआत में नेविगेशन और त्रिकोणमितीय ग्रंथों में है[[ उसका संस्करण | उसका संस्करण]] मान और लघुगणक की तालिकाएं शामिल की गईं।<ref>H. B. Goodwin, [https://books.google.com/books?id=KSNKAAAAYAAJ&lpg=PA735&pg=PA735 The haversine in nautical astronomy], ''Naval Institute Proceedings'', vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746: ''Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two, and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number.  This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman, of the Portsmouth Royal Navy College, nearly a century ago.''</ref><ref>W. W. Sheppard and C. C. Soule, [https://books.google.com/books?id=8S0wAAAAYAAJ Practical navigation] (World Technical Institute: Jersey City, 1922).</ref><ref>E. R. Hedrick, [https://archive.org/details/logarithmictrigo00hedriala Logarithmic and Trigonometric Tables] (Macmillan, New York, 1913).</ref> इन दिनों हावर्साइन फॉर्म इस मायने में भी सुविधाजनक है कि इसके सामने कोई गुणांक नहीं है {{math|sin<sup>2</sup>}} समारोह।
 ==निरूपण==
@@ Line 10: / Line 10: @@
 :<math>\theta = \frac{d}{r}</math>
 कहाँ:
-* {{math|''d''}} गोले के एक बड़े वृत्त के अनुदिश दो बिंदुओं के बीच की दूरी है (बड़े-वृत्त की दूरी देखें),
+* {{math|''d''}} गोले के बड़े वृत्त के अनुदिश दो बिंदुओं के बीच की दूरी है (बड़े-वृत्त की दूरी देखें),
 * {{math|''r''}} गोले की त्रिज्या है.
@@ Line 26: / Line 26: @@
 हावर्साइन फ़ंक्शन कोण के आधे वर्सिन की गणना करता है {{math|''θ''}}.
-दूरी के लिए हल करने के लिए {{math|''d''}}, आर्कवेर्सिन (उलटा हैवर्सिन) लागू करें {{math|''h'' {{=}} hav(''&theta;'')}} या [[ आर्कसीन ]] (व्युत्क्रम साइन) फ़ंक्शन का उपयोग करें:
+दूरी के लिए हल करने के लिए {{math|''d''}}, आर्कवेर्सिन (उलटा हैवर्सिन) लागू करें {{math|''h'' {{=}} hav(''&theta;'')}} या [[ आर्कसीन |आर्कसीन]] (व्युत्क्रम साइन) फ़ंक्शन का उपयोग करें:
 : <math>d = r\operatorname{archav}(h) = 2r\arcsin\left(\sqrt{h}\right)</math>
 या अधिक स्पष्ट रूप से:
@@ Line 34: / Line 34: @@
      &= 2r \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}\right) + \cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 \cdot \sin^2\left(\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}\right)}\right).
 \end{align}</math><ref name="Gade2010">{{cite journal|last1=Gade|first1=Kenneth|title=एक गैर-एकवचन क्षैतिज स्थिति प्रतिनिधित्व|journal=Journal of Navigation|volume=63|issue=3|year=2010|pages=395–417|issn=0373-4633|doi=10.1017/S0373463309990415|bibcode=2010JNav...63..395G }}</ref>
-इन सूत्रों का उपयोग करते समय, किसी को यह सुनिश्चित करना चाहिए {{math|''h''}[[तैरनेवाला स्थल]] त्रुटि के कारण 1 से अधिक नहीं है ({{math|''d''}} केवल [[वास्तविक संख्या]] है {{math|0 ≤ ''h'' ≤ 1}}). {{math|''h''}} केवल एंटीपोडल बिंदुओं (गोले के विपरीत पक्षों पर) के लिए 1 तक पहुंचता है - इस क्षेत्र में, जब परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है, तो सूत्र में अपेक्षाकृत बड़ी संख्यात्मक त्रुटियां उत्पन्न होती हैं। क्योंकि {{math|''d''}} तब बड़ा होता है (आ रहा है)। {{math|π''R''}}, आधी परिधि) एक छोटी सी त्रुटि अक्सर इस असामान्य मामले में एक बड़ी चिंता का विषय नहीं होती है (हालांकि अन्य महान-वृत्त दूरी सूत्र हैं जो इस समस्या से बचते हैं)। (उपरोक्त सूत्र कभी-कभी [[आर्कटिक स्पर्शरेखा]] फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा जाता है, लेकिन यह समान संख्यात्मक समस्याओं से ग्रस्त है {{math|''h'' {{=}} 1}}.)
+<nowiki>इन सूत्रों का उपयोग करते समय, किसी को यह सुनिश्चित करना चाहिए {{math|</nowiki>''h''}[[तैरनेवाला स्थल]] त्रुटि के कारण 1 से अधिक नहीं है ({{math|''d''}} केवल [[वास्तविक संख्या]] है {{math|0 ≤ ''h'' ≤ 1}}). {{math|''h''}} केवल एंटीपोडल बिंदुओं (गोले के विपरीत पक्षों पर) के लिए 1 तक पहुंचता है - इस क्षेत्र में, जब परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है, तो सूत्र में अपेक्षाकृत बड़ी संख्यात्मक त्रुटियां उत्पन्न होती हैं। क्योंकि {{math|''d''}} तब बड़ा होता है (आ रहा है)। {{math|π''R''}}, आधी परिधि) छोटी सी त्रुटि अक्सर इस असामान्य मामले में बड़ी चिंता का विषय नहीं होती है (हालांकि अन्य महान-वृत्त दूरी सूत्र हैं जो इस समस्या से बचते हैं)। (उपरोक्त सूत्र कभी-कभी [[आर्कटिक स्पर्शरेखा]] फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा जाता है, लेकिन यह समान संख्यात्मक समस्याओं से ग्रस्त है {{math|''h'' {{=}} 1}}.)
-जैसा कि नीचे वर्णित है, एक समान सूत्र हैवरसाइन के बजाय कोसाइन (कभी-कभी कोसाइन का गोलाकार नियम कहा जाता है, समतल ज्यामिति के लिए कोसाइन के नियम के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) का उपयोग करके लिखा जा सकता है, लेकिन यदि दो बिंदु एक साथ करीब हैं (उदाहरण के लिए एक किलोमीटर) अलग, पृथ्वी पर) कोई भी समाप्त हो सकता है {{math|cos({{sfrac|''d''|''R''}}) {{=}} 0.99999999}}, जिससे गलत उत्तर प्राप्त होता है। चूँकि हावर्साइन फॉर्मूला साइन का उपयोग करता है, यह उस समस्या से बचाता है।
+जैसा कि नीचे वर्णित है, समान सूत्र हैवरसाइन के बजाय कोसाइन (कभी-कभी कोसाइन का गोलाकार नियम कहा जाता है, समतल ज्यामिति के लिए कोसाइन के नियम के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) का उपयोग करके लिखा जा सकता है, लेकिन यदि दो बिंदु साथ करीब हैं (उदाहरण के लिए किलोमीटर) अलग, पृथ्वी पर) कोई भी समाप्त हो सकता है {{math|cos({{sfrac|''d''|''R''}}) {{=}} 0.99999999}}, जिससे गलत उत्तर प्राप्त होता है। चूँकि हावर्साइन फॉर्मूला साइन का उपयोग करता है, यह उस समस्या से बचाता है।
-पृथ्वी पर लागू होने पर कोई भी सूत्र केवल एक अनुमान है, जो एक पूर्ण क्षेत्र नहीं है: पृथ्वी त्रिज्या {{math|''R''}} ध्रुवों पर 6356.752 किमी से लेकर भूमध्य रेखा पर 6378.137 किमी तक भिन्न होता है। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि पृथ्वी की सतह पर उत्तर-दक्षिण रेखा की [[वक्रता त्रिज्या (अनुप्रयोग)]] भूमध्य रेखा (≈6335.439 किमी) की तुलना में ध्रुवों पर 1% अधिक है (≈6399.594 किमी) - इसलिए हैवरसाइन सूत्र और कोसाइन का नियम 0.5% से बेहतर होने की गारंटी नहीं दी जा सकती।{{Citation needed|reason=Your explanation here|date=January 2019}} पृथ्वी की अण्डाकारता पर विचार करने वाली अधिक सटीक विधियाँ विंसेंटी के सूत्रों और [[भौगोलिक दूरी]] लेख के अन्य सूत्रों द्वारा दी गई हैं।
+पृथ्वी पर लागू होने पर कोई भी सूत्र केवल अनुमान है, जो पूर्ण क्षेत्र नहीं है: पृथ्वी त्रिज्या {{math|''R''}} ध्रुवों पर 6356.752 किमी से लेकर भूमध्य रेखा पर 6378.137 किमी तक भिन्न होता है। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि पृथ्वी की सतह पर उत्तर-दक्षिण रेखा की [[वक्रता त्रिज्या (अनुप्रयोग)]] भूमध्य रेखा (≈6335.439 किमी) की तुलना में ध्रुवों पर 1% अधिक है (≈6399.594 किमी) - इसलिए हैवरसाइन सूत्र और कोसाइन का नियम 0.5% से बेहतर होने की गारंटी नहीं दी जा सकती। पृथ्वी की अण्डाकारता पर विचार करने वाली अधिक सटीक विधियाँ विंसेंटी के सूत्रों और [[भौगोलिक दूरी]] लेख के अन्य सूत्रों द्वारा दी गई हैं।
-== हावर्साइन्स का नियम{{anchor|Law}}==
+== हावर्साइन्स का नियम==
-[[File:Law-of-haversines.svg|right|thumb|गोलाकार त्रिभुज को हावर्ससाइन के नियम द्वारा हल किया गया]]एक इकाई गोले को देखते हुए, गोले की सतह पर एक त्रिभुज को तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले बड़े वृत्तों द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''u''}}, {{math|''v''}}, और {{math|''w''}} गोले पर. यदि इन तीनों भुजाओं की लम्बाई है {{math|''a''}} (से {{math|''u''}} को {{math|''v''}}), {{math|''b''}} (से {{math|''u''}} को {{math|''w''}}), और {{math|''c''}} (से {{math|''v''}} को {{math|''w''}}), और विपरीत कोने का कोण {{math|''c''}} है {{math|''C''}}, तो हावर्साइन्स का कानून कहता है:<ref name="Korn_2000">{{cite book |title=वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए गणितीय पुस्तिका: संदर्भ और समीक्षा के लिए परिभाषाएँ, प्रमेय और सूत्र|first1=Grandino Arthur |last1=Korn |first2=Theresa M.|author2-link= Theresa M. Korn |last2=Korn |edition=3rd<!-- (based on 1968 edition by McGrawHill, Inc.) --> |date=2000 |orig-year=1922 |publisher=[[Dover Publications]] |location=Mineola, New York |chapter=Appendix B: B9. Plane and Spherical Trigonometry: Formulas Expressed in Terms of the Haversine Function |pages=892–893 |isbn=978-0-486-41147-7}}</ref>
+[[File:Law-of-haversines.svg|right|thumb|गोलाकार त्रिभुज को हावर्ससाइन के नियम द्वारा हल किया गया]]एक इकाई गोले को देखते हुए, गोले की सतह पर त्रिभुज को तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले बड़े वृत्तों द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''u''}}, {{math|''v''}}, और {{math|''w''}} गोले पर. यदि इन तीनों भुजाओं की लम्बाई है {{math|''a''}} (से {{math|''u''}} को {{math|''v''}}), {{math|''b''}} (से {{math|''u''}} को {{math|''w''}}), और {{math|''c''}} (से {{math|''v''}} को {{math|''w''}}), और विपरीत कोने का कोण {{math|''c''}} है {{math|''C''}}, तो हावर्साइन्स का कानून कहता है:<ref name="Korn_2000">{{cite book |title=वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए गणितीय पुस्तिका: संदर्भ और समीक्षा के लिए परिभाषाएँ, प्रमेय और सूत्र|first1=Grandino Arthur |last1=Korn |first2=Theresa M.|author2-link= Theresa M. Korn |last2=Korn |edition=3rd<!-- (based on 1968 edition by McGrawHill, Inc.) --> |date=2000 |orig-year=1922 |publisher=[[Dover Publications]] |location=Mineola, New York |chapter=Appendix B: B9. Plane and Spherical Trigonometry: Formulas Expressed in Terms of the Haversine Function |pages=892–893 |isbn=978-0-486-41147-7}}</ref>
 : <math>\operatorname{hav}(c) = \operatorname{hav}(a - b) + \sin(a)\sin(b)\operatorname{hav}(C).</math>
-चूँकि यह एक इकाई गोला है, लंबाई {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, और {{math|''c''}} गोले के केंद्र से उन भुजाओं द्वारा अंतरित कोणों ([[ कांति ]] में) के बराबर होते हैं (एक गैर-इकाई गोले के लिए, इनमें से प्रत्येक चाप की लंबाई उसके केंद्रीय कोण के त्रिज्या से गुणा के बराबर होती है) {{math|''R''}} गोले का).
+चूँकि यह इकाई गोला है, लंबाई {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, और {{math|''c''}} गोले के केंद्र से उन भुजाओं द्वारा अंतरित कोणों ([[ कांति | कांति]] में) के बराबर होते हैं (एक गैर-इकाई गोले के लिए, इनमें से प्रत्येक चाप की लंबाई उसके केंद्रीय कोण के त्रिज्या से गुणा के बराबर होती है) {{math|''R''}} गोले का).
 इस कानून से पिछले खंड का हैवर्साइन फॉर्मूला प्राप्त करने के लिए, कोई केवल विशेष मामले पर विचार करता है {{math|''u''}} [[भौगोलिक उत्तरी ध्रुव]] है, जबकि {{math|''v''}} और {{math|''w''}} वे दो बिंदु हैं जिनका पृथक्करण {{math|''d''}} निर्धारित किया जाना है. उस मामले में, {{math|''a''}} और {{math|''b''}} हैं {{math|{{sfrac|π|2}} − ''φ''<sub>1,2</sub>}} (अर्थात, सह-अक्षांश), {{math|''C''}} देशांतर पृथक्करण है {{math|''λ''<sub>2</sub> − ''λ''<sub>1</sub>}}, और {{math|''c''}} वांछित है {{math|{{sfrac|''d''|''R''}}}}. नोट किया कि {{math|sin({{sfrac|π|2}} − ''φ'') {{=}} cos(''φ'')}}, हैवरसाइन सूत्र तुरंत अनुसरण करता है।
@@ Line 50: / Line 50: @@
 :<math>\cos(c) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\cos(C). \,</math>
-जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह सूत्र हल करने का एक अनूठे तरीका है {{math|''c''}} कब {{math|''c''}} छोटा है। इसके बजाय, हम उस पहचान को प्रतिस्थापित करते हैं {{math|cos(''θ'') {{=}} 1 − 2 hav(''θ'')}}, और त्रिकोणमितीय पहचान#जोड़/घटाव प्रमेय का भी उपयोग करते हैं {{math|cos(''a'' − ''b'') {{=}} cos(''a'') cos(''b'') + sin(''a'') sin(''b'')}}, उपरोक्त हावर्साइन्स का नियम प्राप्त करने के लिए।
+जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह सूत्र हल करने का अनूठे तरीका है {{math|''c''}} कब {{math|''c''}} छोटा है। इसके बजाय, हम उस पहचान को प्रतिस्थापित करते हैं {{math|cos(''θ'') {{=}} 1 − 2 hav(''θ'')}}, और त्रिकोणमितीय पहचान#जोड़/घटाव प्रमेय का भी उपयोग करते हैं {{math|cos(''a'' − ''b'') {{=}} cos(''a'') cos(''b'') + sin(''a'') sin(''b'')}}, उपरोक्त हावर्साइन्स का नियम प्राप्त करने के लिए।
 ==प्रमाण==
@@ Line 72: / Line 72: @@
 {\bf p_1} &= (\cos(\lambda_1)\cos(\varphi_1), \;\sin(\lambda_1)\cos(\varphi_1), \;\sin(\varphi_1))
 \end{align}</math>
-यहां से हम सीधे डॉट उत्पाद की गणना करने और आगे बढ़ने का प्रयास कर सकते हैं, हालांकि जब हम निम्नलिखित तथ्य पर विचार करते हैं तो सूत्र काफी सरल हो जाते हैं: यदि हम गोले को z-अक्ष के साथ घुमाते हैं तो दो बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं बदलेगी। यह वास्तव में इसमें एक स्थिरांक जोड़ देगा <math>\lambda_1, \lambda_2</math>. ध्यान दें कि समान विचार अक्षांशों को बदलने पर लागू नहीं होते हैं - अक्षांशों में एक स्थिरांक जोड़ने से बिंदुओं के बीच की दूरी बदल सकती है। हमारे स्थिरांक को चुनकर <math>-\lambda_1</math>, और सेटिंग <math>\lambda' = \lambda_2 - \lambda_1</math>, हमारे नए बिंदु बन गए:
+यहां से हम सीधे डॉट उत्पाद की गणना करने और आगे बढ़ने का प्रयास कर सकते हैं, हालांकि जब हम निम्नलिखित तथ्य पर विचार करते हैं तो सूत्र काफी सरल हो जाते हैं: यदि हम गोले को z-अक्ष के साथ घुमाते हैं तो दो बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं बदलेगी। यह वास्तव में इसमें स्थिरांक जोड़ देगा <math>\lambda_1, \lambda_2</math>. ध्यान दें कि समान विचार अक्षांशों को बदलने पर लागू नहीं होते हैं - अक्षांशों में स्थिरांक जोड़ने से बिंदुओं के बीच की दूरी बदल सकती है। हमारे स्थिरांक को चुनकर <math>-\lambda_1</math>, और सेटिंग <math>\lambda' = \lambda_2 - \lambda_1</math>, हमारे नए बिंदु बन गए:
 :<math>\begin{align}

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