ऊपरी और निचली सीमाएं: Difference between revisions
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[[File:Illustration of supremum.svg|thumb|300px|ऊपरी सीमा के साथ | [[File:Illustration of supremum.svg|thumb|300px|ऊपरी सीमा के साथ सेट और इसकी कम से कम ऊपरी सीमा]]गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, ऊपरी सीमा या प्रमुख<ref name=schaefer/>एक उपसमुच्चय का {{mvar|S}} कुछ [[पूर्व आदेश]] का {{math|(''K'', ≤)}} का तत्व है {{mvar|K}} के प्रत्येक तत्व से अधिक या उसके बराबर है {{mvar|S}}.<ref name="MacLane-Birkhoff" /><ref>{{Cite web|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/upper-bound.html|title=Upper Bound Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)|website=www.mathsisfun.com|access-date=2019-12-03}}</ref> [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]], निचली सीमा या मामूली {{mvar|S}} का तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|K}} जो कि प्रत्येक तत्व से कम या उसके बराबर है {{mvar|S}}. | ||
एक ऊपरी (क्रमशः, निचला) बाउंड वाला | एक ऊपरी (क्रमशः, निचला) बाउंड वाला सेट ऊपर या प्रमुख से घिरा हुआ कहा जाता है<ref name=schaefer/>(क्रमशः नीचे से घिरा हुआ या छोटा) उस सीमा से। | ||
उपरोक्त परिबद्ध (नीचे परिबद्ध) शब्दों का उपयोग गणितीय साहित्य में उन सेटों के लिए भी किया जाता है जिनकी ऊपरी (क्रमशः निचली) सीमाएँ होती हैं।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/UpperBound.html|title=Upper Bound|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref> | उपरोक्त परिबद्ध (नीचे परिबद्ध) शब्दों का उपयोग गणितीय साहित्य में उन सेटों के लिए भी किया जाता है जिनकी ऊपरी (क्रमशः निचली) सीमाएँ होती हैं।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/UpperBound.html|title=Upper Bound|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref> | ||
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उदाहरण के लिए, {{math|5}} सेट के लिए | उदाहरण के लिए, {{math|5}} सेट के लिए निचली सीमा है {{math|1=''S'' = {{mset|5, 8, 42, 34, 13934}}}} ([[पूर्णांकों]] या [[वास्तविक संख्या]]ओं आदि के उपसमुच्चय के रूप में), और ऐसा ही है {{math|4}}. दूसरी ओर, {{math|6}} के लिए निचली सीमा नहीं है {{mvar|S}} चूंकि यह प्रत्येक तत्व से छोटा नहीं है {{mvar|S}}. | ||
सेट {{math|1=''S'' = {{mset|42}}}} है {{math|42}} ऊपरी सीमा और निचली सीमा दोनों के रूप में; अन्य सभी संख्याएँ या तो उसके लिए ऊपरी सीमा या निचली सीमा हैं {{mvar|S}}. | सेट {{math|1=''S'' = {{mset|42}}}} है {{math|42}} ऊपरी सीमा और निचली सीमा दोनों के रूप में; अन्य सभी संख्याएँ या तो उसके लिए ऊपरी सीमा या निचली सीमा हैं {{mvar|S}}. | ||
[[प्राकृतिक संख्या]]ओं के प्रत्येक उपसमुच्चय की निचली सीमा होती है क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं में कम से कम तत्व (0 या 1, सम्मेलन के आधार पर) होता है। प्राकृतिक संख्याओं का | [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के प्रत्येक उपसमुच्चय की निचली सीमा होती है क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं में कम से कम तत्व (0 या 1, सम्मेलन के आधार पर) होता है। प्राकृतिक संख्याओं का अनंत उपसमुच्चय ऊपर से परिबद्ध नहीं किया जा सकता है। [[पूर्णांक]]ों का अनंत उपसमुच्चय नीचे से परिबद्ध या ऊपर से परिबद्ध हो सकता है, लेकिन दोनों नहीं। परिमेय संख्याओं का अनंत उपसमुच्चय नीचे से परिबद्ध हो भी सकता है और नहीं भी, और ऊपर से परिबद्ध हो भी सकता है और नहीं भी। | ||
एक गैर-खाली [[पूरी तरह से आदेशित सेट]] के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय में ऊपरी और निचली दोनों सीमाएँ होती हैं। | एक गैर-खाली [[पूरी तरह से आदेशित सेट]] के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय में ऊपरी और निचली दोनों सीमाएँ होती हैं। | ||
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इसी प्रकार, | इसी प्रकार, समारोह {{mvar|g}} डोमेन पर परिभाषित {{mvar|D}} और समान कोडोमेन है {{math|(''K'', ≤)}} की ऊपरी सीमा है {{italics correction|{{mvar|f}}}}, अगर {{math|''g''(''x'') ≥ {{italics correction|''f''}}(''x'')}} प्रत्येक के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|D}}. कार्यक्रम {{mvar|g}} आगे कार्यों के सेट की ऊपरी सीमा कहा जाता है, यदि यह उस सेट में प्रत्येक कार्य की ऊपरी सीमा है। | ||
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एक अपर बाउंड को टाइट अपर बाउंड, [[सबसे कम]] अपर बाउंड या [[अंतिम]] कहा जाता है, अगर कोई छोटा मान अपर बाउंड नहीं है। इसी तरह, | एक अपर बाउंड को टाइट अपर बाउंड, [[सबसे कम]] अपर बाउंड या [[अंतिम]] कहा जाता है, अगर कोई छोटा मान अपर बाउंड नहीं है। इसी तरह, निचली सीमा को तंग निचली सीमा, सबसे बड़ी निचली सीमा, या कम सीमा कहा जाता है, यदि कोई बड़ा मूल्य निचली सीमा नहीं है। | ||
== सटीक ऊपरी सीमा == | == सटीक ऊपरी सीमा == | ||
एक ऊपरी सीमा {{mvar|u}} | एक ऊपरी सीमा {{mvar|u}} उपसमुच्चय का {{mvar|S}} पूर्व-आदेशित सेट का {{math|(''K'', ≤)}} के लिए सटीक ऊपरी सीमा कहा जाता है {{mvar|S}} अगर का हर तत्व {{mvar|K}} जिसका कड़ाई से पालन किया जाता है {{mvar|u}} के कुछ तत्वों द्वारा भी प्रमुख है {{mvar|S}}. [[रैखिक क्रम]] के घटे हुए उत्पाद की सटीक ऊपरी सीमा PCF सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।<ref>{{Cite web|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168007298000116|title=Exact upper bounds and their uses in set theory|last=Kojman|first=Menachem}}</ref> | ||
Revision as of 12:17, 25 July 2023
गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, ऊपरी सीमा या प्रमुख[1]एक उपसमुच्चय का S कुछ पूर्व आदेश का (K, ≤) का तत्व है K के प्रत्येक तत्व से अधिक या उसके बराबर है S.[2][3] द्वैत (आदेश सिद्धांत), निचली सीमा या मामूली S का तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है K जो कि प्रत्येक तत्व से कम या उसके बराबर है S.
एक ऊपरी (क्रमशः, निचला) बाउंड वाला सेट ऊपर या प्रमुख से घिरा हुआ कहा जाता है[1](क्रमशः नीचे से घिरा हुआ या छोटा) उस सीमा से। उपरोक्त परिबद्ध (नीचे परिबद्ध) शब्दों का उपयोग गणितीय साहित्य में उन सेटों के लिए भी किया जाता है जिनकी ऊपरी (क्रमशः निचली) सीमाएँ होती हैं।[4]
उदाहरण
उदाहरण के लिए, 5 सेट के लिए निचली सीमा है S = {5, 8, 42, 34, 13934} (पूर्णांकों या वास्तविक संख्याओं आदि के उपसमुच्चय के रूप में), और ऐसा ही है 4. दूसरी ओर, 6 के लिए निचली सीमा नहीं है S चूंकि यह प्रत्येक तत्व से छोटा नहीं है S.
सेट S = {42} है 42 ऊपरी सीमा और निचली सीमा दोनों के रूप में; अन्य सभी संख्याएँ या तो उसके लिए ऊपरी सीमा या निचली सीमा हैं S.
प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक उपसमुच्चय की निचली सीमा होती है क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं में कम से कम तत्व (0 या 1, सम्मेलन के आधार पर) होता है। प्राकृतिक संख्याओं का अनंत उपसमुच्चय ऊपर से परिबद्ध नहीं किया जा सकता है। पूर्णांकों का अनंत उपसमुच्चय नीचे से परिबद्ध या ऊपर से परिबद्ध हो सकता है, लेकिन दोनों नहीं। परिमेय संख्याओं का अनंत उपसमुच्चय नीचे से परिबद्ध हो भी सकता है और नहीं भी, और ऊपर से परिबद्ध हो भी सकता है और नहीं भी।
एक गैर-खाली पूरी तरह से आदेशित सेट के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय में ऊपरी और निचली दोनों सीमाएँ होती हैं।
कार्यों की सीमा
परिभाषाओं को फ़ंक्शन (गणित) और यहां तक कि कार्यों के सेट के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
एक समारोह दिया f किसी फ़ंक्शन के डोमेन के साथ D और पूर्व-आदेशित सेट (K, ≤) कोडोमेन के रूप में, तत्व y का K की ऊपरी सीमा है f अगर y ≥ f(x) प्रत्येक के लिए x में D. यदि समानता कम से कम मान के लिए है तो ऊपरी सीमा को गणितीय शब्दजाल#शार्प कहा जाता है x. यह इंगित करता है कि बाधा इष्टतम है, और इस प्रकार असमानता को अमान्य किए बिना इसे और कम नहीं किया जा सकता है।
इसी प्रकार, समारोह g डोमेन पर परिभाषित D और समान कोडोमेन है (K, ≤) की ऊपरी सीमा है f, अगर g(x) ≥ f(x) प्रत्येक के लिए x में D. कार्यक्रम g आगे कार्यों के सेट की ऊपरी सीमा कहा जाता है, यदि यह उस सेट में प्रत्येक कार्य की ऊपरी सीमा है।
≥ को ≤ से बदलकर (सेट के) कार्यों के लिए निचली सीमा की धारणा को समान रूप से परिभाषित किया गया है।
तंग सीमा
एक अपर बाउंड को टाइट अपर बाउंड, सबसे कम अपर बाउंड या अंतिम कहा जाता है, अगर कोई छोटा मान अपर बाउंड नहीं है। इसी तरह, निचली सीमा को तंग निचली सीमा, सबसे बड़ी निचली सीमा, या कम सीमा कहा जाता है, यदि कोई बड़ा मूल्य निचली सीमा नहीं है।
सटीक ऊपरी सीमा
एक ऊपरी सीमा u उपसमुच्चय का S पूर्व-आदेशित सेट का (K, ≤) के लिए सटीक ऊपरी सीमा कहा जाता है S अगर का हर तत्व K जिसका कड़ाई से पालन किया जाता है u के कुछ तत्वों द्वारा भी प्रमुख है S. रैखिक क्रम के घटे हुए उत्पाद की सटीक ऊपरी सीमा PCF सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।[5]
यह भी देखें
- सबसे बड़ा तत्व और सबसे छोटा तत्व
- अधम और श्रेष्ठ
- अधिकतम और न्यूनतम तत्व
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. p. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- ↑ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1991). Algebra. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 145. ISBN 0-8218-1646-2.
- ↑ "Upper Bound Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-03.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Upper Bound". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-03.
- ↑ Kojman, Menachem. "Exact upper bounds and their uses in set theory".
