फ्रोबेनियस सहसंयोजक: Difference between revisions

Revision as of 22:37, 3 August 2023

आव्यूह (गणित) में, एक वर्ग आव्यूह के फ्रोबेनियस सहसंयोजक $A$ इसके विशेष बहुपद हैं, अर्थात् प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) आव्यूह $A$ _i के आइगेन वैल्यू, आइगेन सदिश और आइगेनसमष्टि से संबद्ध $A$ .^[1]^{: pp.403, 437–8} इनका नाम गणितज्ञ फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है।

प्रत्येक सहसंयोजक आइगेन वैल्यू $λ i$ , से संबद्ध आइगेनसमष्टि पर एक प्रक्षेपण है। फ्रोबेनियस सहसंयोजक सिल्वेस्टर के सूत्र के गुणांक हैं, जो आव्यूह $f (A)$ के एक फलन को आव्यूह बहुपद के रूप में व्यक्त करता है, अर्थात् $A$ के आइगेनवैल्यू पर उस फलन के मानों का एक रैखिक संयोजन है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए A एक विकर्णीय आव्यूह है जिसका आइगेन वैल्यू λ₁, …, λ_k है।

फ्रोबेनियस सहसंयोजक $A i$ , i = 1 के लिए,…, k, आव्यूह है

A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)~.

यह अनिवार्य रूप से आव्यूह तर्क के साथ लैग्रेंज बहुपद है। यदि आइगेन वैल्यू λ_i सरल है, फिर एक-आयामी उप-समष्टि के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण आव्यूह के रूप में, $A i$ की एक इकाई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।

यह मूलतः आव्यूह तर्क वाला लैग्रेंज बहुपद है। यदि आइगेन वैल्यू λ_i सरल है, तो एक-आयामी उप-समष्टि के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण आव्यूह के रूप में, $A i$ में एक इकाई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) होता है।

सहसंयोजकों की गणना

फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस (1849-1917), जर्मन गणितज्ञ। उनकी मुख्य रुचि अण्डाकार कार्य विभेदक समीकरण और बाद में समूह सिद्धांत थे।

आव्यूह $A$ के फ्रोबेनियस सहसंयोजकों को किसी भी आइगेन अपघटन A = SDS⁻¹ से प्राप्त किया जा सकता है, जहां S गैर-एकवचन है और D , D_i_,i = λ_i के साथ विकर्ण है। यदि A में कोई एकाधिक आइगेन वैल्यू नहीं है, तो मान लीजिए कि ci, A का iवां दायां आइगेन सदिश है, अर्थात, S; का i वां स्तंभ है; और मान लीजिए कि r_i , $A$ का i वां बायां आइगेन सदिश है, अर्थात् S−1 की iवीं पंक्ति है। तब A_i = c_i r_i.।

यदि $A$ का आइगेन वैल्यू λ_i कई बार प्रदर्शित होता है, तो $A i = Σ j c j r j$ , जहां आइगेन वैल्यू λi से जुड़ी सभी पंक्तियों और स्तंभों का योग होता है।^[1]^: p.521

उदाहरण

दो-दो आव्यूह पर विचार करें:

A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.

इस आव्यूह के दो आइगेन वैल्यू, 5 और −2 हैं; इस तरह $(A - 5)(A + 2) = 0$ .

संगत आइगेन अपघटन है

A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.

इसलिए फ्रोबेनियस सहसंयोजक, स्पष्ट रूप से अनुमान हैं

{\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}

साथ

A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=I~.

टिप्पणी $tr A 1 = tr A 2 = 1$ , आवश्यकता अनुसार है।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

[horn-1] 1.0 ^1.1 Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

[1]

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-[[मैट्रिक्स (गणित)]] में, एक [[वर्ग मैट्रिक्स]] के फ्रोबेनियस सहसंयोजक  {{mvar|A}} इसके विशेष बहुपद हैं, अर्थात् [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] मैट्रिक्स ए<sub>''i''</sub> के eigenvalue, eigenvector और eigenspace से संबद्ध  {{mvar|A}}.<ref name=horn>Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), ''Topics in Matrix Analysis''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-46713-1}}</ref>{{rp|pp.403,437–8}} इनका नाम गणितज्ञ [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] के नाम पर रखा गया है।
+[[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] में, एक [[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] के '''फ्रोबेनियस सहसंयोजक'''  {{mvar|A}} इसके विशेष बहुपद हैं, अर्थात् [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] आव्यूह {{mvar|A}}<sub>''i''</sub> के आइगेन वैल्यू, आइगेन सदिश और आइगेनसमष्टि से संबद्ध  {{mvar|A}}.<ref name=horn>Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), ''Topics in Matrix Analysis''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-46713-1}}</ref>{{rp|pp.403,437–8}} इनका नाम गणितज्ञ [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] के नाम पर रखा गया है।
+प्रत्येक सहसंयोजक आइगेन वैल्यू {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}}, से संबद्ध आइगेनसमष्टि पर एक प्रक्षेपण है। फ्रोबेनियस सहसंयोजक सिल्वेस्टर के सूत्र के गुणांक हैं, जो आव्यूह {{math|''f''(''A'')}} के एक फलन को आव्यूह बहुपद के रूप में व्यक्त करता है, अर्थात् {{mvar|A}} के आइगेनवैल्यू पर उस फलन के मानों का एक रैखिक संयोजन है।
-प्रत्येक सहसंयोजक eigenvalue, eigenvector और eigenvalue से जुड़े eigenspace पर एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}}.
-फ्रोबेनियस सहसंयोजक सिल्वेस्टर के सूत्र के गुणांक हैं, जो एक [[मैट्रिक्स फ़ंक्शन]] को व्यक्त करते हैं {{math|''f''(''A'')}} एक मैट्रिक्स बहुपद के रूप में, अर्थात् एक रैखिक संयोजन
-उस फ़ंक्शन के मानों के eigenvalues पर {{mvar|A}}.
 ==औपचारिक परिभाषा==
-होने देना {{mvar|A}} eigenvalues λ के साथ एक [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] बनें<sub>1</sub>, ..., एल<sub>''k''</sub>.
+मान लीजिए A एक विकर्णीय आव्यूह है जिसका आइगेन वैल्यू ''λ''<sub>1</sub>, …, ''λ<sub>k</sub>'' है।
-फ्रोबेनियस सहसंयोजक {{math|''A''<sub>''i''</sub>}}, i = 1 के लिए,…, k, मैट्रिक्स है
+फ्रोबेनियस सहसंयोजक {{math|''A''<sub>''i''</sub>}}, i = 1 के लिए,…, k, आव्यूह है
 :<math> A_i \equiv  \prod_{j=1 \atop j \ne i}^k \frac{1}{\lambda_i-\lambda_j} (A - \lambda_j I)~. </math>
-यह अनिवार्य रूप से मैट्रिक्स तर्क के साथ [[लैग्रेंज बहुपद]] है। यदि eigenvalue λ<sub>''i''</sub> सरल है, फिर एक-आयामी उप-स्थान के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण मैट्रिक्स के रूप में,  {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} की एक इकाई [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] है।
+यह अनिवार्य रूप से आव्यूह तर्क के साथ [[लैग्रेंज बहुपद]] है। यदि आइगेन वैल्यू λ<sub>''i''</sub> सरल है, फिर एक-आयामी उप-समष्टि के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण आव्यूह के रूप में,  {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} की एक इकाई [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] है।
-{{see also|Resolvent formalism}}
+यह मूलतः आव्यूह तर्क वाला लैग्रेंज बहुपद है। यदि आइगेन वैल्यू λ<sub>''i''</sub> सरल है, तो एक-आयामी उप-समष्टि के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण आव्यूह के रूप में, {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} में एक इकाई [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] होता है।
+{{see also|समाधान औपचारिकता}}
 ==सहसंयोजकों की गणना==
-[[File:GeorgFrobenius.jpg|180px|thumb|right|फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस (1849-1917), जर्मन गणितज्ञ। उनकी मुख्य रुचि [[अण्डाकार कार्य]] विभेदक समीकरण और बाद में [[समूह सिद्धांत]] थे।]]एक मैट्रिक्स के फ्रोबेनियस सहसंयोजक {{mvar|A}} किसी भी [[eigendecomposition]] से प्राप्त किया जा सकता है {{math|''A'' {{=}} ''SDS''<sup>−1</sup>}}, कहाँ {{mvar|S}} गैर-एकवचन है और {{mvar|D}} के साथ विकर्ण है {{math|''D''<sub>''i'',''i''</sub> {{=}} ''λ''<sub>''i''</sub>}}.
+[[File:GeorgFrobenius.jpg|180px|thumb|right|फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस (1849-1917), जर्मन गणितज्ञ। उनकी मुख्य रुचि [[अण्डाकार कार्य]] विभेदक समीकरण और बाद में [[समूह सिद्धांत]] थे।]]आव्यूह ''{{mvar|A}}'' के फ्रोबेनियस सहसंयोजकों को किसी भी आइगेन अपघटन ''A'' = ''SDS''<sup>−1</sup> से प्राप्त किया जा सकता है, जहां ''S'' गैर-एकवचन है और D , ''D<sub>i</sub>''<sub>,''i''</sub> = ''λ<sub>i</sub>'' के साथ विकर्ण है। यदि A में कोई एकाधिक आइगेन वैल्यू नहीं है, तो मान लीजिए कि ci, A का iवां दायां आइगेन सदिश है, अर्थात, ''S''; का i वां स्तंभ है; और मान लीजिए कि ''r<sub>i</sub>'' , ''{{mvar|A}}'' का i वां बायां आइगेन सदिश है, अर्थात् S−1 की iवीं पंक्ति है। तब ''A<sub>i</sub>'' = ''c<sub>i</sub>'' ''r<sub>i</sub>''.।
-अगर {{mvar|A}} में कोई एकाधिक eigenvalues नहीं है, तो मान लीजिए c<sub>''i''</sub> हो {{mvar|i}}का सही eigenvector {{mvar|A}}, वह यह है कि {{mvar|i}}वाँ कॉलम {{mvar|S}}; और चलो आर<sub>''i''</sub> हो {{mvar|i}}वें बाएँ eigenvector {{mvar|A}}, अर्थात् {{mvar|i}}वीं पंक्ति {{mvar|S}}<sup>−1</sup>. तब {{math|''A''<sub>''i''</sub> {{=}} ''c''<sub>''i''</sub> ''r''<sub>''i''</sub>}}.
-अगर {{mvar|A}} का एक eigenvalue λ है<sub>''i''</sub> फिर, कई बार प्रदर्शित होना {{math|''A''<sub>''i''</sub> {{=}} Σ<sub>''j''</sub> ''c''<sub>''j''</sub> ''r''<sub>''j''</sub>}}, जहां योग eigenvalue λ से जुड़ी सभी पंक्तियों और स्तंभों पर है<sub>''i''</sub>.<ref name=horn/>{{rp|p.521}}
+यदि {{mvar|A}} का आइगेन वैल्यू ''λ<sub>i</sub>'' कई बार प्रदर्शित होता है, तो {{math|''A''<sub>''i''</sub> {{=}} Σ<sub>''j''</sub> ''c''<sub>''j''</sub> ''r''<sub>''j''</sub>}}, जहां आइगेन वैल्यू λi से जुड़ी सभी पंक्तियों और स्तंभों का योग होता है।<ref name=horn/>{{rp|p.521}}
 ==उदाहरण==
-दो-दो-दो मैट्रिक्स पर विचार करें:
+दो-दो आव्यूह पर विचार करें:
 :<math> A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}.</math>
-इस मैट्रिक्स के दो eigenvalues, 5 और −2 हैं; इस तरह {{math| (''A'' − 5)(''A'' + 2) {{=}} 0}}.
+इस आव्यूह के दो आइगेन वैल्यू, 5 और −2 हैं; इस तरह {{math| (''A'' − 5)(''A'' + 2) {{=}} 0}}.
-संगत eigen अपघटन है
+संगत आइगेन अपघटन है
 :<math> A = \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/7 & 1/7 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}. </math>
 इसलिए फ्रोबेनियस सहसंयोजक, स्पष्ट रूप से अनुमान हैं
@@ Line 35: / Line 38: @@
 साथ
 :<math>A_1 A_2 = 0 , \qquad A_1 + A_2 = I ~.</math>
-टिप्पणी {{math|tr{{nnbsp}}''A''<sub>1</sub> {{=}} tr{{nnbsp}}''A''<sub>2</sub> {{=}} 1}}, आवश्यकता अनुसार।
+टिप्पणी {{math|tr{{nnbsp}}''A''<sub>1</sub> {{=}} tr{{nnbsp}}''A''<sub>2</sub> {{=}} 1}}, आवश्यकता अनुसार है।
 ==संदर्भ==

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