दृढ़ता बारकोड: Difference between revisions

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{{Short description|Technique in topological data analysis}}
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सांस्थानिक [[टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण|डेटा विश्लेषण]] में, दृढ़ता बारकोड, जिसे कभी-कभी बारकोड में छोटा किया जाता है,  [[दृढ़ता मॉड्यूल|दृढ़ता मापदण्ड]] का बीजगणितीय अपरिवर्तनीय है जो सांस्थानिक लक्षण के बढ़ते परिवार में अनुरूपता [[होमोलॉजी (गणित)|(गणित)]] की स्थिरता को दर्शाता है।<ref>{{Cite journal |last=Ghrist |first=Robert |date=2007-10-26 |title=Barcodes: The persistent topology of data |url=http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0273-0979-07-01191-3 |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |language=en |volume=45 |issue=01 |pages=61–76 |doi=10.1090/S0273-0979-07-01191-3 |issn=0273-0979}}</ref> औपचारिक रूप से, दृढ़ता बारकोड में [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] में [[अंतराल (गणित)]] का [[मल्टीसेट]] होता है, जहां प्रत्येक अंतराल की लंबाई  [[निस्पंदन (गणित)]] में  सांस्थानिक  सुविधा के जीवनकाल से मिलता है, जो सामान्यतौर पर बिंदु बादल पर बनाई जाती है, एक [[ग्राफ़ (अलग गणित)]], एक [[अदिश क्षेत्र]], या, अत्यधिक सामान्यतः, सरल परिसर या  श्रृंखला परिसर होता है । सामान्यतौर पर, बारकोड में लंबे अंतराल अत्यधिक मजबूत सुविधाओं के अनुरूप होते हैं, यद्यपि छोटे अंतराल में डेटा में शोर होने की अत्यधिक संभावना होती है। दृढ़ता बारकोड पूर्ण अपरिवर्तनीय है जो  निस्पंदन में सभी सांस्थानिक  जानकारी को कब्जा करता है।<ref name="Barannikov 1994">{{Cite journal|title = फ़्रेमयुक्त मोर्स कॉम्प्लेक्स और इसके अपरिवर्तनीय|journal = Advances in Soviet Mathematics  | date = 1994|pages = 93–115|volume = 21|first = Sergey|last = Barannikov |series = ADVSOV |doi=10.1090/advsov/021/03|isbn = 9780821802373 |s2cid = 125829976 }}</ref> बीजगणितीय सांस्थानिक में, दृढ़ता बारकोड को पहली बार 1994 में सेर्गेई बारानिकोव द्वारा विहित रूपों के अपरिवर्तनीय के रूप में पेश किया गया था।<ref name="Barannikov 1994"/>दो समानांतर रेखाओं पर समाप्त होने वाले [[रेखा खंड]] के एक बहुसमूह से मिलकर, और बाद में, [[गुन्नार कार्लसन]] और अन्य द्वारा ज्यामिति प्रसंस्करण  2004 में हुआ था।<ref name=":0">{{Cite journal |last=Carlsson |first=Gunnar |last2=Zomorodian |first2=Afra |last3=Collins |first3=Anne |last4=Guibas |first4=Leonidas |date=2004-07-08 |title=आकृतियों के लिए दृढ़ता बारकोड|url=https://dl.acm.org/doi/10.1145/1057432.1057449 |journal=Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing |language=en |location=Nice France |publisher=ACM |pages=124–135 |doi=10.1145/1057432.1057449 |isbn=978-3-905673-13-5}}</ref>
सांस्थानिक [[टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण|डेटा विश्लेषण]] में, दृढ़ता बारकोड, जिसे कभी-कभी बारकोड में छोटा किया जाता है,  [[दृढ़ता मॉड्यूल|दृढ़ता मापांक]] का बीजगणितीय अपरिवर्तनीय है जो सांस्थानिक लक्षण के बढ़ते परिवार में अनुरूपता [[होमोलॉजी (गणित)|(गणित)]] की स्थिरता को दर्शाता है।<ref>{{Cite journal |last=Ghrist |first=Robert |date=2007-10-26 |title=Barcodes: The persistent topology of data |url=http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0273-0979-07-01191-3 |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |language=en |volume=45 |issue=01 |pages=61–76 |doi=10.1090/S0273-0979-07-01191-3 |issn=0273-0979}}</ref> औपचारिक रूप से, दृढ़ता बारकोड में [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] में [[अंतराल (गणित)]] का विविध समुच्चय होता है, जहां प्रत्येक अंतराल की लंबाई  [[निस्पंदन (गणित)]] में  सांस्थानिक  सुविधा के जीवनकाल से मिलता है, जो सामान्यतौर पर बिंदु बादल पर बनाई जाती है, एक [[ग्राफ़ (अलग गणित)]], एक [[अदिश क्षेत्र]], या, अत्यधिक सामान्यतः, सरल परिसर या  श्रृंखला परिसर होता है । सामान्यतौर पर, बारकोड में लंबे अंतराल अत्यधिक मजबूत सुविधाओं के अनुरूप होते हैं, यद्यपि छोटे अंतराल में डेटा में शोर होने की अत्यधिक संभावना होती है। दृढ़ता बारकोड पूर्ण अपरिवर्तनीय है जो  निस्पंदन में सभी सांस्थानिक  जानकारी को कब्जा करता है।<ref name="Barannikov 1994">{{Cite journal|title = फ़्रेमयुक्त मोर्स कॉम्प्लेक्स और इसके अपरिवर्तनीय|journal = Advances in Soviet Mathematics  | date = 1994|pages = 93–115|volume = 21|first = Sergey|last = Barannikov |series = ADVSOV |doi=10.1090/advsov/021/03|isbn = 9780821802373 |s2cid = 125829976 }}</ref> बीजगणितीय सांस्थानिक में, दृढ़ता बारकोड को पहली बार 1994 में सेर्गेई बारानिकोव द्वारा विहित रूपों के अपरिवर्तनीय के रूप में पेश किया गया था।<ref name="Barannikov 1994"/>दो समानांतर रेखाओं पर समाप्त होने वाले [[रेखा खंड]] के बहुसमूह से मिलकर, और बाद में, [[गुन्नार कार्लसन]] और अन्य द्वारा ज्यामिति प्रसंस्करण  2004 में हुआ था।<ref name=":0">{{Cite journal |last=Carlsson |first=Gunnar |last2=Zomorodian |first2=Afra |last3=Collins |first3=Anne |last4=Guibas |first4=Leonidas |date=2004-07-08 |title=आकृतियों के लिए दृढ़ता बारकोड|url=https://dl.acm.org/doi/10.1145/1057432.1057449 |journal=Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing |language=en |location=Nice France |publisher=ACM |pages=124–135 |doi=10.1145/1057432.1057449 |isbn=978-3-905673-13-5}}</ref>




== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
<math>\mathbb F</math> एक निश्चित क्षेत्र (गणित) होता है। फिर दृढ़ता मापदण्ड <math>M</math> पर अनुक्रमित किया गया <math>\mathbb R</math> का  परिवार सम्मिलित होता है <math>\mathbb F</math>-वेक्टर रिक्त स्थान <math>\{ M_t \}_{t \in \mathbb R}</math> और [[रेखीय मानचित्र]] <math>\varphi_{s,t} : M_s \to M_t</math> प्रत्येक के लिए <math>s \leq t</math> ऐसा है कि <math>\varphi_{s,t} \circ \varphi_{r,s} = \varphi_{r,t}</math> सभी के लिए <math>r \leq s \leq t</math>.<ref>{{Cite journal |last=Zomorodian |first=Afra |last2=Carlsson |first2=Gunnar |date=2005 |title=पर्सिस्टेंट होमोलॉजी की गणना|url=http://link.springer.com/10.1007/s00454-004-1146-y |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=33 |issue=2 |pages=249–274 |doi=10.1007/s00454-004-1146-y |issn=0179-5376}}</ref> यह निर्माण विशिष्ट नहीं है <math>\mathbb R</math>; वास्तव में, यह किसी भी पूर्णतः ऑर्डर किए गए समुच्चय  के साथ समान रूप से काम करता है।
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[[File:An example of the 0-dimensional persistence barcode of a filtered complex.png|thumb|400x400px|चार नेस्टेड सरल कॉम्प्लेक्स की एक श्रृंखला और परिणामी निस्पंदन का 0-आयामी दृढ़ता बारकोड।]]दृढ़ता मापदण्ड <math>M</math> इसे परिमित प्रकार का कहा जाता है यदि इसमें अद्वितीय परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों की सीमित संख्या होती है। बाद वाली स्थिति को कभी-कभी बिंदुवार परिमित-आयामी कहा जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Crawley-Boevey |first=William |date=2015 |title=बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मॉड्यूल का अपघटन|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219498815500668 |journal=Journal of Algebra and Its Applications |language=en |volume=14 |issue=05 |pages=1550066 |doi=10.1142/S0219498815500668 |issn=0219-4988}}</ref>
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फिर किसी के लिए <math>\mathbb R</math>-अनुक्रमित दृढ़ता मापदण्ड <math>M</math> परिमित प्रकार का, मल्टीसेट उपस्थित है <math>\mathcal B_M</math> ऐसे अंतरालों का <math>M \cong \bigoplus_{I \in \mathcal B_M}Q(I)</math>, जहां दृढ़ता मापदण्ड के मापदण्ड [[मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग|का प्रत्यक्ष योग]] सूचकांक-वार किया जाता है। मल्टीसेट <math>\mathcal B_M</math> का बारकोड कहलाता है <math>M</math>, और यह अंतरालों के पुनर्क्रमण तक अद्वितीय है।<ref name=":0" />
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इस परिणाम को 2020 में विलियम क्रॉली-बोवे और मैग्नस बोटनान द्वारा मनमाने ढंग से पूर्ण-आदेशित समुच्चय पर अनुक्रमित बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मापदण्ड के मामले में विस्तारित किया गया था।<ref>Botnan, Magnus, and William Crawley-Boevey. "[https://www.ams.org/journals/proc/2020-148-11/S0002-9939-2020-14790-9/S0002-9939-2020-14790-9.pdf Decomposition of persistence modules]." ''Proceedings of the American Mathematical Society'' 148, no. 11 (2020): 4581-4596.</ref> एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर अंतिम रूप से उत्पन्न मापदण्ड के लिए संरचना प्रमेय से ज्ञात परिणामों का निर्माण, साथ ही [[पूर्णांक]] के मामले के लिए जाल ढोने का काम किया था |  
इस परिणाम को 2020 में विलियम क्रॉली-बोवे और मैग्नस बोटनान द्वारा मनमाने ढंग से पूर्ण-आदेशित समुच्चय पर अनुक्रमित बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मापांक के मामले में विस्तारित किया गया था।<ref>Botnan, Magnus, and William Crawley-Boevey. "[https://www.ams.org/journals/proc/2020-148-11/S0002-9939-2020-14790-9/S0002-9939-2020-14790-9.pdf Decomposition of persistence modules]." ''Proceedings of the American Mathematical Society'' 148, no. 11 (2020): 4581-4596.</ref> एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर अंतिम रूप से उत्पन्न मापांक के लिए संरचना प्रमेय से ज्ञात परिणामों का निर्माण, साथ ही [[पूर्णांक]] के मामले के लिए जाल ढोने का काम किया था |  




Revision as of 10:53, 14 July 2023

सांस्थानिक डेटा विश्लेषण में, दृढ़ता बारकोड, जिसे कभी-कभी बारकोड में छोटा किया जाता है, दृढ़ता मापांक का बीजगणितीय अपरिवर्तनीय है जो सांस्थानिक लक्षण के बढ़ते परिवार में अनुरूपता (गणित) की स्थिरता को दर्शाता है।[1] औपचारिक रूप से, दृढ़ता बारकोड में विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में अंतराल (गणित) का विविध समुच्चय होता है, जहां प्रत्येक अंतराल की लंबाई निस्पंदन (गणित) में सांस्थानिक सुविधा के जीवनकाल से मिलता है, जो सामान्यतौर पर बिंदु बादल पर बनाई जाती है, एक ग्राफ़ (अलग गणित), एक अदिश क्षेत्र, या, अत्यधिक सामान्यतः, सरल परिसर या श्रृंखला परिसर होता है । सामान्यतौर पर, बारकोड में लंबे अंतराल अत्यधिक मजबूत सुविधाओं के अनुरूप होते हैं, यद्यपि छोटे अंतराल में डेटा में शोर होने की अत्यधिक संभावना होती है। दृढ़ता बारकोड पूर्ण अपरिवर्तनीय है जो निस्पंदन में सभी सांस्थानिक जानकारी को कब्जा करता है।[2] बीजगणितीय सांस्थानिक में, दृढ़ता बारकोड को पहली बार 1994 में सेर्गेई बारानिकोव द्वारा विहित रूपों के अपरिवर्तनीय के रूप में पेश किया गया था।[2]दो समानांतर रेखाओं पर समाप्त होने वाले रेखा खंड के बहुसमूह से मिलकर, और बाद में, गुन्नार कार्लसन और अन्य द्वारा ज्यामिति प्रसंस्करण 2004 में हुआ था।[3]


परिभाषा

एक निश्चित क्षेत्र (गणित) होता है। फिर दृढ़ता मापांक पर अनुक्रमित किया गया का परिवार सम्मिलित होता है -सदिश रिक्त स्थान और रेखीय मानचित्र प्रत्येक के लिए ऐसा है कि सभी के लिए .[4] यह निर्माण विशिष्ट नहीं है ; वास्तव में, यह किसी भी पूर्णतः क्रम किए गए समुच्चय के साथ समान रूप से काम करता है।

चार नेस्टेड सरल कॉम्प्लेक्स की एक श्रृंखला और परिणामी निस्पंदन का 0-आयामी दृढ़ता बारकोड।

दृढ़ता मापांक इसे परिमित प्रकार का कहा जाता है यदि इसमें अद्वितीय परिमित-आयामी सदिश स्थानों की सीमित संख्या होती है। बाद वाली स्थिति को कभी-कभी बिंदुवार परिमित-आयामी कहा जाता है।[5]

में एक अंतराल हो . दृढ़ता मापांक को परिभाषित करें के जरिए , जहां रैखिक मानचित्र अंतराल के अंदर पहचान मानचित्र होता हैं। मापांक इसे कभी-कभी अंतराल मापांक के रूप में जाना जाता है।[6]

फिर किसी के लिए -अनुक्रमित दृढ़ता मापांक परिमित प्रकार का, विविध समुच्चय उपस्थित है ऐसे अंतरालों का , जहां दृढ़ता मापांक का प्रत्यक्ष योग सूचकांक-वार किया जाता है। विविध समुच्चय का बारकोड कहलाता है , और यह अंतरालों के पुनर्क्रमण तक अद्वितीय होता है।[3]

इस परिणाम को 2020 में विलियम क्रॉली-बोवे और मैग्नस बोटनान द्वारा मनमाने ढंग से पूर्ण-आदेशित समुच्चय पर अनुक्रमित बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मापांक के मामले में विस्तारित किया गया था।[7] एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर अंतिम रूप से उत्पन्न मापांक के लिए संरचना प्रमेय से ज्ञात परिणामों का निर्माण, साथ ही पूर्णांक के मामले के लिए जाल ढोने का काम किया था |


संदर्भ

  1. ↑ Ghrist, Robert (2007-10-26). "Barcodes: The persistent topology of data". Bulletin of the American Mathematical Society (in English). 45 (01): 61–76. doi:10.1090/S0273-0979-07-01191-3. ISSN 0273-0979.
  2. ↑ 2.0 2.1 Barannikov, Sergey (1994). "फ़्रेमयुक्त मोर्स कॉम्प्लेक्स और इसके अपरिवर्तनीय". Advances in Soviet Mathematics. ADVSOV. 21: 93–115. doi:10.1090/advsov/021/03. ISBN 9780821802373. S2CID 125829976.
  3. ↑ 3.0 3.1 Carlsson, Gunnar; Zomorodian, Afra; Collins, Anne; Guibas, Leonidas (2004-07-08). "आकृतियों के लिए दृढ़ता बारकोड". Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing (in English). Nice France: ACM: 124–135. doi:10.1145/1057432.1057449. ISBN 978-3-905673-13-5.
  4. ↑ Zomorodian, Afra; Carlsson, Gunnar (2005). "पर्सिस्टेंट होमोलॉजी की गणना". Discrete & Computational Geometry (in English). 33 (2): 249–274. doi:10.1007/s00454-004-1146-y. ISSN 0179-5376.
  5. ↑ Crawley-Boevey, William (2015). "बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मॉड्यूल का अपघटन". Journal of Algebra and Its Applications (in English). 14 (05): 1550066. doi:10.1142/S0219498815500668. ISSN 0219-4988.
  6. ↑ Chazal, Fréderic; de Silva, Vin; Glisse, Marc; Oudot, Steve (2016). दृढ़ता मॉड्यूल की संरचना और स्थिरता. Switzerland. ISBN 978-3-319-42545-0. OCLC 960458101.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  7. ↑ Botnan, Magnus, and William Crawley-Boevey. "Decomposition of persistence modules." Proceedings of the American Mathematical Society 148, no. 11 (2020): 4581-4596.
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