अभिसरण के तरीके: Difference between revisions
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गणित में, ऐसे कई अर्थ हैं जिनमें अनुक्रम या श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है। यह आलेख उन सेटिंग्स में अभिसरण के विभिन्न प्रविधियों (इंद्रियों या प्रजातियों) का वर्णन करता है, जहां उन्हें परिभाषित किया गया है। अभिसरण के प्रविधियों की सूची के लिए, अभिसरण की प्रविधि (एनोटेटेड इंडेक्स) देखें: | गणित में, ऐसे कई अर्थ हैं जिनमें अनुक्रम या श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है। यह आलेख उन सेटिंग्स में अभिसरण के विभिन्न प्रविधियों (इंद्रियों या प्रजातियों) का वर्णन करता है, जहां उन्हें परिभाषित किया गया है। अभिसरण के प्रविधियों की सूची के लिए, अभिसरण की प्रविधि (एनोटेटेड इंडेक्स) देखें: | ||
ध्यान दें कि निम्नलिखित वस्तुओं में से प्रत्येक अपने पूर्ववर्ती प्रकारों का विशेष विषय है: [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]], [[ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान ]], यूनिफ़ॉर्म | ध्यान दें कि निम्नलिखित वस्तुओं में से प्रत्येक अपने पूर्ववर्ती प्रकारों का विशेष विषय है: [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]], [[ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान | टोपोलॉजिकल रिक्त समिष्ट]] , यूनिफ़ॉर्म समिष्ट, [[टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह]] (टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह), [[सामान्यीकृत सदिश स्थान|सामान्यीकृत सदिश समिष्ट]], [[ यूक्लिडियन स्थान | यूक्लिडियन समिष्ट]] एवं वास्तविक समष्टि संख्याएँ। साथ ही, ध्यान दें कि कोई भी [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समिष्ट]] [[समान स्थान|समान समिष्ट]] है। | ||
==टोपोलॉजिकल | ==टोपोलॉजिकल समिष्ट के तत्व== | ||
अभिसरण को प्रथम-गणनीय | अभिसरण को प्रथम-गणनीय समिष्टों में [[अनुक्रम की सीमा]] के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। [[नेट (गणित)]] अनुक्रमों का सामान्यीकरण है, जो उन समिष्टों में उपयोगी होते हैं जो पूर्व गणनीय नहीं होते हैं। [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)]] अभिसरण की अवधारणा को एवं सामान्यीकृत करता है। | ||
मीट्रिक रिक्त | मीट्रिक रिक्त समिष्ट में, कोई [[कॉची अनुक्रम|कॉची अनुक्रमों]] को परिभाषित कर सकता है। कॉची नेट एवं फिल्टर [[एकसमान स्थान|समान समिष्टों]] के लिए सामान्यीकरण हैं। इससे भी अधिक सामान्यतः, कॉची रिक्त समिष्ट वे समिष्ट हैं जिनमें कॉची फ़िल्टर को परिभाषित किया जा सकता है। अभिसरण का अर्थ है, "कौची-अभिसरण" एवं कॉची-अभिसरण, एक अभिसरण अनुवर्ती के अस्तित्व के साथ मिलकर अभिसरण को प्रदर्शित करता है। मीट्रिक रिक्त समिष्ट के [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समिष्ट]] की अवधारणा एवं इसके सामान्यीकरण को कॉची अनुक्रमों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। | ||
==टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में तत्वों की श्रृंखला== | ==टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में तत्वों की श्रृंखला== | ||
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में, [[श्रृंखला (गणित)]] के अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। श्रृंखला पर विचार करते समय महत्वपूर्ण अवधारणा [[बिना शर्त अभिसरण|बिना नियम अभिसरण]] है, जो आश्वासन देता है, कि श्रृंखला की सीमा सारांश के क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में, [[श्रृंखला (गणित)]] के अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। श्रृंखला पर विचार करते समय महत्वपूर्ण अवधारणा [[बिना शर्त अभिसरण|बिना नियम अभिसरण]] है, जो आश्वासन देता है, कि श्रृंखला की सीमा सारांश के क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | ||
मानक सदिश | मानक सदिश समिष्ट में, कोई [[पूर्ण अभिसरण]] को मानदंडों की श्रृंखला के अभिसरण के रूप में परिभाषित कर सकता है, (<math>\Sigma|b_k|</math>) निरपेक्ष अभिसरण का अर्थ है .आंशिक योगों के अनुक्रम का कॉची अभिसरण (त्रिभुज असमानता द्वारा), जो परिवर्तन में कुछ समूहों के पूर्ण-अभिसरण (पुनर्क्रमण नहीं) को प्रदर्शित करता है। समूहीकरण द्वारा प्राप्त आंशिक योगों का क्रम मूल श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुवर्ती है। अभिसरण श्रृंखला का मानक अभिसरण मानक रैखिक समिष्ट के लिए बानाच समिष्ट (अर्थात: पूर्ण) होने के लिए समतुल्य स्थिति है। | ||
पूर्ण अभिसरण एवं अभिसरण साथ बिना नियम अभिसरण का अर्थ है, किन्तु बिना नियम अभिसरण सामान्य रूप से पूर्ण अभिसरण का अर्थ नहीं है, संभवता ही | पूर्ण अभिसरण एवं अभिसरण साथ बिना नियम अभिसरण का अर्थ है, किन्तु बिना नियम अभिसरण सामान्य रूप से पूर्ण अभिसरण का अर्थ नहीं है, संभवता ही समिष्ट बनच हो, चूंकि निहितार्थ में <math>\mathbb{R}^d</math> निहित है। | ||
==टोपोलॉजिकल | ==टोपोलॉजिकल समिष्ट पर कार्यों के अनुक्रम का अभिसरण== | ||
कार्यों के अनुक्रम के लिए अभिसरण का सबसे बुनियादी प्रकार (विशेष रूप से, यह कार्यों के क्षेत्र पर किसी भी टोपोलॉजिकल संरचना को नहीं मानता है) [[बिंदुवार अभिसरण]] है। इसे प्रत्येक बिंदु पर कार्यों के मूल्यों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि फलन अपने मानों को समान समिष्ट में लेते हैं, तो कोई बिंदुवार कॉची अभिसरण, समान अभिसरण एवं अनुक्रम के [[समान रूप से कॉची अनुक्रम]] को परिभाषित कर सकता है। | |||
बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार कॉची-अभिसरण से है, एवं यदि वह | बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार कॉची-अभिसरण से है, एवं यदि वह समिष्ट जिसमें फलन अपना मान लेते हैं, पूर्ण हो जाता है, तो इसका विपरीत माना जाता है। [[एकसमान अभिसरण|समान अभिसरण]] का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण एवं समान कॉची अभिसरण से है। समान कॉची अभिसरण एवं अनुवर्ती का बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम का समान अभिसरण प्रदर्शित करता है, एवं यदि कोडोमेन पूर्ण हो गया है, तो समान कॉची अभिसरण समान अभिसरण प्रदर्शित करता है। | ||
यदि | यदि कार्यों का डोमेन टोपोलॉजिकल समिष्ट है, तो समिष्टीय समान अभिसरण (यानी प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर समान अभिसरण) एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण सभी कॉम्पैक्ट [[सघन उपसमुच्चय|उपसमुच्चय]] पर समान अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है। ध्यान दें कि [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|कॉम्पैक्ट अभिसरण]] हमेशा "कॉम्पैक्ट यूनिफ़ॉर्म अभिसरण" का संक्षिप्त रूप है, क्योंकि कॉम्पैक्ट बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण के समान ही होगा (बिंदु हमेशा कॉम्पैक्ट होते हैं)। | ||
समान अभिसरण का तात्पर्य | समान अभिसरण का तात्पर्य समिष्टीय समान अभिसरण एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण दोनों से है, क्योंकि दोनों समिष्टीय धारणाएँ हैं जबकि समान अभिसरण वैश्विक है।, ऐसा इसलिए है क्योंकि समिष्टीय एवं कॉम्पैक्ट समान वस्तु को प्रदर्शित करते हैं। | ||
==टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह पर कार्यों की श्रृंखला== | ==टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह पर कार्यों की श्रृंखला== | ||
कार्यों की श्रृंखला के बिंदुवार एवं समान अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। | कार्यों की श्रृंखला के बिंदुवार एवं समान अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। | ||
मानक रैखिक | मानक रैखिक समिष्ट में मान लेने वाले कार्यों के लिए, पूर्ण अभिसरण सकारात्मक, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की श्रृंखला के अभिसरण को संदर्भित करता है <math>\Sigma|g_k|</math> . बिंदुवार निरपेक्ष अभिसरण तो बस बिंदुवार अभिसरण है <math>\Sigma|g_k|</math>. | ||
[[सामान्य अभिसरण]] गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला का अभिसरण है जो श्रृंखला में प्रत्येक | [[सामान्य अभिसरण]] गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला का अभिसरण है जो श्रृंखला में प्रत्येक फलन के समान मानदंड (अर्थात् सुपर) मानदंड को लेकर प्राप्त किया जाता है (समान अभिसरण) <math>\Sigma|g_k|</math>). बानाच समिष्टों में, बिंदुवार पूर्ण अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है, एवं सामान्य अभिसरण का अर्थ समान अभिसरण है। | ||
टोपोलॉजिकल | टोपोलॉजिकल समिष्ट पर परिभाषित कार्यों के लिए, कोई (ऊपर के अनुसार) समिष्टीय समान अभिसरण एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण | कॉम्पैक्ट (समान) अभिसरण को श्रृंखला के आंशिक योग के संदर्भ में परिभाषित कर सकता है। यदि, इसके अलावा, फलन मानक रैखिक समिष्ट में मान लेते हैं, तो सामान्य अभिसरण # समिष्टीय सामान्य अभिसरण (समिष्टीय, वर्दी, पूर्ण अभिसरण) एवं सामान्य अभिसरण # कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण ([[कॉम्पैक्ट सेट]] पर पूर्ण अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है। | ||
सामान्य अभिसरण का तात्पर्य | सामान्य अभिसरण का तात्पर्य समिष्टीय सामान्य अभिसरण एवं सघन सामान्य अभिसरण दोनों से है। एवं यदि डोमेन समिष्टीय रूप से कॉम्पैक्ट है (सबसे कमजोर अर्थ में भी), तो समिष्टीय सामान्य अभिसरण का तात्पर्य कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण से है। | ||
==माप | ==माप समिष्ट पर परिभाषित कार्य== | ||
{{Main|Convergence of random variables}} | {{Main|Convergence of random variables}} | ||
यदि कोई [[मापने योग्य कार्य]]ों के अनुक्रम पर विचार करता है, तो अभिसरण के कई तरीके उत्पन्न होते हैं जो केवल टोपोलॉजिकल गुणों के बजाय माप-सैद्धांतिक पर निर्भर करते हैं। इसमें लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण, पी-माध्य में अभिसरण एवं माप में अभिसरण शामिल है। ये संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रुचि रखते हैं। | यदि कोई [[मापने योग्य कार्य]]ों के अनुक्रम पर विचार करता है, तो अभिसरण के कई तरीके उत्पन्न होते हैं जो केवल टोपोलॉजिकल गुणों के बजाय माप-सैद्धांतिक पर निर्भर करते हैं। इसमें लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण, पी-माध्य में अभिसरण एवं माप में अभिसरण शामिल है। ये संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रुचि रखते हैं। | ||
Revision as of 20:25, 1 August 2023
गणित में, ऐसे कई अर्थ हैं जिनमें अनुक्रम या श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है। यह आलेख उन सेटिंग्स में अभिसरण के विभिन्न प्रविधियों (इंद्रियों या प्रजातियों) का वर्णन करता है, जहां उन्हें परिभाषित किया गया है। अभिसरण के प्रविधियों की सूची के लिए, अभिसरण की प्रविधि (एनोटेटेड इंडेक्स) देखें:
ध्यान दें कि निम्नलिखित वस्तुओं में से प्रत्येक अपने पूर्ववर्ती प्रकारों का विशेष विषय है: समुच्चय (गणित), टोपोलॉजिकल रिक्त समिष्ट , यूनिफ़ॉर्म समिष्ट, टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह (टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह), सामान्यीकृत सदिश समिष्ट, यूक्लिडियन समिष्ट एवं वास्तविक समष्टि संख्याएँ। साथ ही, ध्यान दें कि कोई भी मीट्रिक समिष्ट समान समिष्ट है।
टोपोलॉजिकल समिष्ट के तत्व
अभिसरण को प्रथम-गणनीय समिष्टों में अनुक्रम की सीमा के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। नेट (गणित) अनुक्रमों का सामान्यीकरण है, जो उन समिष्टों में उपयोगी होते हैं जो पूर्व गणनीय नहीं होते हैं। फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) अभिसरण की अवधारणा को एवं सामान्यीकृत करता है।
मीट्रिक रिक्त समिष्ट में, कोई कॉची अनुक्रमों को परिभाषित कर सकता है। कॉची नेट एवं फिल्टर समान समिष्टों के लिए सामान्यीकरण हैं। इससे भी अधिक सामान्यतः, कॉची रिक्त समिष्ट वे समिष्ट हैं जिनमें कॉची फ़िल्टर को परिभाषित किया जा सकता है। अभिसरण का अर्थ है, "कौची-अभिसरण" एवं कॉची-अभिसरण, एक अभिसरण अनुवर्ती के अस्तित्व के साथ मिलकर अभिसरण को प्रदर्शित करता है। मीट्रिक रिक्त समिष्ट के पूर्ण मीट्रिक समिष्ट की अवधारणा एवं इसके सामान्यीकरण को कॉची अनुक्रमों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में तत्वों की श्रृंखला
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह में, श्रृंखला (गणित) के अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। श्रृंखला पर विचार करते समय महत्वपूर्ण अवधारणा बिना नियम अभिसरण है, जो आश्वासन देता है, कि श्रृंखला की सीमा सारांश के क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है।
मानक सदिश समिष्ट में, कोई पूर्ण अभिसरण को मानदंडों की श्रृंखला के अभिसरण के रूप में परिभाषित कर सकता है, () निरपेक्ष अभिसरण का अर्थ है .आंशिक योगों के अनुक्रम का कॉची अभिसरण (त्रिभुज असमानता द्वारा), जो परिवर्तन में कुछ समूहों के पूर्ण-अभिसरण (पुनर्क्रमण नहीं) को प्रदर्शित करता है। समूहीकरण द्वारा प्राप्त आंशिक योगों का क्रम मूल श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुवर्ती है। अभिसरण श्रृंखला का मानक अभिसरण मानक रैखिक समिष्ट के लिए बानाच समिष्ट (अर्थात: पूर्ण) होने के लिए समतुल्य स्थिति है।
पूर्ण अभिसरण एवं अभिसरण साथ बिना नियम अभिसरण का अर्थ है, किन्तु बिना नियम अभिसरण सामान्य रूप से पूर्ण अभिसरण का अर्थ नहीं है, संभवता ही समिष्ट बनच हो, चूंकि निहितार्थ में निहित है।
टोपोलॉजिकल समिष्ट पर कार्यों के अनुक्रम का अभिसरण
कार्यों के अनुक्रम के लिए अभिसरण का सबसे बुनियादी प्रकार (विशेष रूप से, यह कार्यों के क्षेत्र पर किसी भी टोपोलॉजिकल संरचना को नहीं मानता है) बिंदुवार अभिसरण है। इसे प्रत्येक बिंदु पर कार्यों के मूल्यों के अनुक्रम के अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि फलन अपने मानों को समान समिष्ट में लेते हैं, तो कोई बिंदुवार कॉची अभिसरण, समान अभिसरण एवं अनुक्रम के समान रूप से कॉची अनुक्रम को परिभाषित कर सकता है।
बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार कॉची-अभिसरण से है, एवं यदि वह समिष्ट जिसमें फलन अपना मान लेते हैं, पूर्ण हो जाता है, तो इसका विपरीत माना जाता है। समान अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण एवं समान कॉची अभिसरण से है। समान कॉची अभिसरण एवं अनुवर्ती का बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम का समान अभिसरण प्रदर्शित करता है, एवं यदि कोडोमेन पूर्ण हो गया है, तो समान कॉची अभिसरण समान अभिसरण प्रदर्शित करता है।
यदि कार्यों का डोमेन टोपोलॉजिकल समिष्ट है, तो समिष्टीय समान अभिसरण (यानी प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर समान अभिसरण) एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है। ध्यान दें कि कॉम्पैक्ट अभिसरण हमेशा "कॉम्पैक्ट यूनिफ़ॉर्म अभिसरण" का संक्षिप्त रूप है, क्योंकि कॉम्पैक्ट बिंदुवार अभिसरण का तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण के समान ही होगा (बिंदु हमेशा कॉम्पैक्ट होते हैं)।
समान अभिसरण का तात्पर्य समिष्टीय समान अभिसरण एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण दोनों से है, क्योंकि दोनों समिष्टीय धारणाएँ हैं जबकि समान अभिसरण वैश्विक है।, ऐसा इसलिए है क्योंकि समिष्टीय एवं कॉम्पैक्ट समान वस्तु को प्रदर्शित करते हैं।
टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह पर कार्यों की श्रृंखला
कार्यों की श्रृंखला के बिंदुवार एवं समान अभिसरण को आंशिक योगों के अनुक्रम के अभिसरण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
मानक रैखिक समिष्ट में मान लेने वाले कार्यों के लिए, पूर्ण अभिसरण सकारात्मक, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की श्रृंखला के अभिसरण को संदर्भित करता है . बिंदुवार निरपेक्ष अभिसरण तो बस बिंदुवार अभिसरण है .
सामान्य अभिसरण गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला का अभिसरण है जो श्रृंखला में प्रत्येक फलन के समान मानदंड (अर्थात् सुपर) मानदंड को लेकर प्राप्त किया जाता है (समान अभिसरण) ). बानाच समिष्टों में, बिंदुवार पूर्ण अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है, एवं सामान्य अभिसरण का अर्थ समान अभिसरण है।
टोपोलॉजिकल समिष्ट पर परिभाषित कार्यों के लिए, कोई (ऊपर के अनुसार) समिष्टीय समान अभिसरण एवं कॉम्पैक्ट अभिसरण | कॉम्पैक्ट (समान) अभिसरण को श्रृंखला के आंशिक योग के संदर्भ में परिभाषित कर सकता है। यदि, इसके अलावा, फलन मानक रैखिक समिष्ट में मान लेते हैं, तो सामान्य अभिसरण # समिष्टीय सामान्य अभिसरण (समिष्टीय, वर्दी, पूर्ण अभिसरण) एवं सामान्य अभिसरण # कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण (कॉम्पैक्ट सेट पर पूर्ण अभिसरण) को परिभाषित किया जा सकता है।
सामान्य अभिसरण का तात्पर्य समिष्टीय सामान्य अभिसरण एवं सघन सामान्य अभिसरण दोनों से है। एवं यदि डोमेन समिष्टीय रूप से कॉम्पैक्ट है (सबसे कमजोर अर्थ में भी), तो समिष्टीय सामान्य अभिसरण का तात्पर्य कॉम्पैक्ट सामान्य अभिसरण से है।
माप समिष्ट पर परिभाषित कार्य
यदि कोई मापने योग्य कार्यों के अनुक्रम पर विचार करता है, तो अभिसरण के कई तरीके उत्पन्न होते हैं जो केवल टोपोलॉजिकल गुणों के बजाय माप-सैद्धांतिक पर निर्भर करते हैं। इसमें लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण, पी-माध्य में अभिसरण एवं माप में अभिसरण शामिल है। ये संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रुचि रखते हैं।
यह भी देखें
- Convergence of random variables
- Filters in topology
- Limit of a sequence
- Modes of convergence (annotated index)
- Net (mathematics)
- Topologies on spaces of linear maps
श्रेणी:टोपोलॉजी
श्रेणी:अभिसरण (गणित)
