जैकोबी रोटेशन

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में, जैकोबी रोटेशन n-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के 2-आयामी रैखिक(गणित) उप-स्थान का रोटेशन Q_kℓ है, A तब समान आव्युह के रूप में प्रयुक्त किया जाता है: जब n × n वास्तविक संख्या सममित आव्युह, की ऑफ-मेन विकर्ण प्रविष्टियों की सममित जोड़ी को शून्य करने के लिए चुना जाता है,

$A\mapsto Q_{k\ell }^{T}AQ_{k\ell }=A'.\,\!$

${\begin{bmatrix}{*}&&&\cdots &&&*\\&\ddots &&&&&\\&&a_{kk}&\cdots &a_{k\ell }&&\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\&&a_{\ell k}&\cdots &a_{\ell \ell }&&\\&&&&&\ddots &\\{*}&&&\cdots &&&*\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}{*}&&&\cdots &&&*\\&\ddots &&&&&\\&&a'_{kk}&\cdots &0&&\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\&&0&\cdots &a'_{\ell \ell }&&\\&&&&&\ddots &\\{*}&&&\cdots &&&*\end{bmatrix}}.$

यह जैकोबी आइजेनवैल्यू एल्गोरिथम में मुख्य ऑपरेशन है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर है और समानांतर प्रोसेसर पर कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त है। .

केवल A की पंक्तियाँ k और ℓ और कॉलम k और ℓ प्रभावित होंगे, और वह A′ सममित रहेगा. इसके अतिरिक्त , Q_kℓ के लिए स्पष्ट आव्युह इसकी गणना शायद ही कभी की जाती है; इसके अतिरिक्त , सहायक मानों की गणना की जाती है और A को कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर विधियों से अद्यतन किया जाता है। चूँकि , संदर्भ के लिए, हम आव्युह को इस प्रकार लिख सकते हैं

$Q_{k\ell }={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&0&\\&&c&\cdots &s&&\\&&\vdots &\ddots &\vdots &&\\&&-s&\cdots &c&&\\&0&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}.$

अर्थात् Q_kℓ की चार प्रविष्टियों को छोड़कर इसकी पहचान आव्युह है, तथा दोनों विकर्ण पर q_kk और q_ℓℓ, दोनों c के समान हैं) और दो सममित रूप से विकर्ण से दूर रखे गए (q_kℓ और q_ℓk, क्रमशः s और −s के समान ) होते हैं। यहां कुछ कोण θ के लिए c=cosθ और s=sinθ लेकिन रोटेशन प्रयुक्त करने के लिए कोण की ही आवश्यकता नहीं होती है। क्रोनकर डेल्टा नोटेशन का उपयोग करके, आव्युह प्रविष्टियाँ लिखी जा सकती हैं

$q_{ij}=\delta _{ij}+(\delta _{ik}\delta _{jk}+\delta _{i\ell }\delta _{j\ell })(c-1)+(\delta _{ik}\delta _{j\ell }-\delta _{i\ell }\delta _{jk})s.\,\!$

मान लीजिए h, k या ℓ के अतिरिक्त सूचकांक है (जो स्वयं भिन्न होना चाहिए)। फिर समानता अद्यतन, बीजगणितीय रूप से, उत्पन्न करता है

$a'_{hk}=a'_{kh}=ca_{hk}-sa_{h\ell }\,\!$

$a'_{h\ell }=a'_{\ell h}=ca_{h\ell }+sa_{hk}\,\!$

$a'_{k\ell }=a'_{\ell k}=(c^{2}-s^{2})a_{k\ell }+sc(a_{kk}-a_{\ell \ell })=0\,\!$

$a'_{kk}=c^{2}a_{kk}+s^{2}a_{\ell \ell }-2sca_{k\ell }\,\!$

$a'_{\ell \ell }=s^{2}a_{kk}+c^{2}a_{\ell \ell }+2sca_{k\ell }.\,\!$

संख्यात्मक रूप से स्थिर गणना

अद्यतन के लिए आवश्यक मात्राएँ निर्धारित करने के लिए, हमें शून्य के लिए ऑफ-विकर्ण समीकरण को हल करना होगा (गोलुब & वैन लोन 1996, §8.4). इसका अर्थ यह है कि

${\frac {c^{2}-s^{2}}{sc}}={\frac {a_{\ell \ell }-a_{kk}}{a_{k\ell }}}.$

इस मात्रा के आधे पर β निर्धारित करें,

$\beta ={\frac {a_{\ell \ell }-a_{kk}}{2a_{k\ell }}}.$

यदि a_kℓ शून्य है तो हम अद्यतन किए बिना रुक सकते हैं, इस प्रकार हम कभी भी शून्य से विभाजित नहीं होते हैं। मान लीजिए t tan θ है। फिर कुछ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ हम समीकरण को कम करते हैं

$t^{2}+2\beta t-1=0.\,\!$

स्थिरता के लिए हम समाधान चुनते हैं

$t={\frac {\operatorname {sgn}(\beta )}{|\beta |+{\sqrt {\beta ^{2}+1}}}}.$

इससे हम c और s प्राप्त कर सकते हैं

$c={\frac {1}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,\!$

$s=ct\,\!$

चूँकि अब हम पहले दिए गए बीजगणितीय अद्यतन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं, उन्हें फिर से लिखना बेहतर हो सकता है। मान लीजिये

$\rho ={\frac {1-c}{s}},$

जिससे ρ = tan(θ/2). फिर संशोधित अद्यतन समीकरण हैं

$a'_{hk}=a'_{kh}=a_{hk}-s(a_{h\ell }+\rho a_{hk})\,\!$

$a'_{h\ell }=a'_{\ell h}=a_{h\ell }+s(a_{hk}-\rho a_{h\ell })\,\!$

$a'_{k\ell }=a'_{\ell k}=0\,\!$

$a'_{kk}=a_{kk}-ta_{k\ell }\,\!$

$a'_{\ell \ell }=a_{\ell \ell }+ta_{k\ell }\,\!$

जैसा कि पहले कहा गया है, हमें कभी भी रोटेशन कोण θ की स्पष्ट रूप से गणना करने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, हम Q_kℓ द्वारा निर्धारित सममित अद्यतन को पुन: उत्पन्न कर सकते हैं केवल तीन मान k, ℓ, और t को निरंतर रखते हुए, शून्य रोटेशन के लिए t को शून्य पर निर्धारित किया गया है।

यह भी देखें

• गिवेंस रोटेशन
• गृहस्थ परिवर्तन

संदर्भ

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9