वर्णक्रमीय विधि

स्पेक्ट्रल विधि, ऐसे तकनीकों का एक वर्ग है जिसका उपयोग व्यावहारिक गणित और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कुछ अभिविभाज्य समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए किया जाता है। मुख्य विचार यह है कि अभिविभाज्य समीकरणों के समाधान को कुछ आधार फलनों के योग के रूप में लिखा जाए और फिर इन्हे यथासंभव हल करने के लिए योग में गुणांक का चयन किया जाए।

स्पेक्ट्रल विधि और परिमित तत्व विधि परस्पर गहरे रूप से संबंधित हैं और समान विचारों पर निर्मित हैं; उनके बीच मुख्य अंतर यह है कि स्पेक्ट्रल विधियां आधार फलनों का उपयोग करती हैं जो सामान्यतः सम्पूर्ण क्षेत्र पर गैर-शून्य होती हैं, जबकि परिमित तत्व विधियां ऐसे आधार फलनों का उपयोग करती हैं जो केवल छोटे उप-क्षेत्र पर गैर-शून्य होती हैं। नतीजतन, स्पेक्ट्रल विधियाँ चर को विश्व स्तर पर परिभाषित करतें हैं जबकि परिमित तत्व ऐसा स्थानीय रूप से करते हैं। आंशिक रूप से इसी कारण से, स्पेक्ट्रल विधियों में उत्कृष्ट त्रुटि गुण होते हैं, तथाकथित घातीय अभिसरण तीव्रता से संभव होता है, जब समाधान सुचारू होता है। यद्यपि, कोई ज्ञात त्रि-आयामी एकल क्षेत्र स्पेक्ट्रल शॉक कैप्चरिंग परिणाम नहीं हैं। परिमित तत्व वर्ग में, एक विधि जहां तत्वों का क्रम बहुत अधिक होता है या ग्रिड पैरामीटर एच बढ़ने पर बढ़ जाता है, तो उसे कभी-कभी स्पेक्ट्रल तत्व विधि कहा जाता है।

स्पेक्ट्रल विधियों का उपयोग अभिविभाज्य समीकरणों (पीडीई, ओडीई, आइजेनवैल्यू, आदि) और अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। समय-निर्भर पीडीई के लिए स्पेक्ट्रल विधियों को लागू करते समय, समाधान सामान्यतः समय-निर्भर गुणांक के साथ आधार फलनों के योग के रूप में लिखा जाता है; इसे पीडीई में प्रतिस्थापित करने से गुणांकों में ओडीई की एक प्रणाली प्राप्त होती है जिसे साधारण अभिविभाज्य समीकरणों के लिए किसी भी संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ओडीई के लिए आइजेनवैल्यू समस्याओं को इसी तरह आव्यूह आइजेनवैल्यू समस्याओं में परिवर्तित किया जाता है।

1969 में स्टीवन ओर्सज़ैग द्वारा पत्रों की एक लंबी श्रृंखला में स्पेक्ट्रल विधियां विकसित की गईं, जिनमें आवधिक ज्यामिति समस्याओं के लिए फूरियर श्रृंखला विधियां, परिमित और असीमित ज्यामिति समस्याओं के लिए बहुपद स्पेक्ट्रल विधियां, अत्यधिक गैर-रेखीय समस्याओं के लिए छद्मस्पेक्ट्रल विधियां, और स्थिर-अवस्था समस्याओं के तेज़ समाधान के लिए स्पेक्ट्रल पुनरावृत्ति विधियां शामिल हैं, लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं हैं। स्पेक्ट्रल विधि का कार्यान्वयन सामान्यतः या तो सहसंयोजन विधि या गैलेरकिन विधि या ताऊ विधि दृष्टिकोण के साथ पूरा किया जाता है। बहुत छोटी समस्याओं के लिए, स्पेक्ट्रल विधि इस मायने में अद्वितीय है कि समाधानों को प्रतीकात्मक रूप से लिखा जा सकता है, जिससे अभिविभाज्य समीकरणों के लिए श्रृंखला समाधानों का व्यावहारिक विकल्प मिलता है।

परिमित तत्व विधियों की तुलना में स्पेक्ट्रल विधियाँ कम्प्यूटेशनल रूप से कम महंगी और लागू करने में सरल हो सकती हैं; जब सहज समाधानों के साथ सरल क्षेत्र में उच्च सटीकता की मांग की जाती है तो वे सबसे अच्छे विकल्प के रूप में उभरते हैं। यद्यपि, उनकी वैश्विक प्रकृति के कारण, चरण गणना से जुड़े आव्यूह सघन हैं और स्वतंत्रता की कई डिग्री होने पर संगणनीय दक्षता शीघ्रता से प्रभावित होगी। बड़ी समस्याओं और गैर-सुचारू समाधानों के लिए, विरल आव्यूह और असंतुलन और तीव्र घूर्णन के बेहतर प्रारूपण के कारण परिमित तत्व सामान्यतः बेहतर कार्य करते है।

स्पेक्ट्रल विधियों के उदाहरण

एक ठोस, रैखिक उदाहरण

यहां हम बुनियादी बहुभिन्नरूपी गणना और फूरियर श्रृंखला की समझ का अनुमान लगाते हैं। अगर $g(x,y)$ दो वास्तविक चरों का एक ज्ञात, जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है, और g, x और y में आवधिक है (अर्थात्, $g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )$) तो हम एक फ़ंक्शन f(x,y) खोजने में रुचि रखते हैं ताकि

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y$

जहां बाईं ओर की अभिव्यक्ति क्रमशः x और y में f के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाती है। यह पॉइसन समीकरण है, और इसे भौतिक रूप से किसी प्रकार की ऊष्मा चालन समस्या, या अन्य संभावनाओं के बीच संभावित सिद्धांत में एक समस्या के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

यदि हम फूरियर श्रृंखला में f और g लिखते हैं:

$f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)}$

$g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}$

और अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह समीकरण प्राप्त होता है:

$\sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}$

हमने एक अनंत योग के साथ आंशिक विभेदन का आदान-प्रदान किया है, जो वैध है यदि हम उदाहरण के लिए मान लें कि f में निरंतर दूसरा व्युत्पन्न है। फूरियर विस्तार के लिए विशिष्टता प्रमेय के अनुसार, हमें फूरियर गुणांक को पद दर पद बराबर करना चाहिए, जिससे

$a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}$

(*)

जो फूरियर गुणांक के लिए एक स्पष्ट सूत्र है_j,k.

आवधिक सीमा स्थितियों के साथ, पॉइसन समीकरण का कोई समाधान केवल तभी होता है जब बी_0,0 = 0. इसलिए, हम स्वतंत्र रूप से a चुन सकते हैं_0,0 जो संकल्प के माध्य के बराबर होगा। यह एकीकरण स्थिरांक को चुनने के अनुरूप है।

इसे एक एल्गोरिदम में बदलने के लिए, केवल सीमित आवृत्तियों को हल किया जाता है। यह एक त्रुटि प्रस्तुत करता है जिसे आनुपातिक दिखाया जा सकता है $h^{n}$, कहाँ $h:=1/n$ और $n$ उपचारित उच्चतम आवृत्ति है।

एल्गोरिथम

1. फूरियर रूपांतरण की गणना करें (बी_j,k) जी का.
2. फूरियर रूपांतरण की गणना करें (a_j,k) का f सूत्र के माध्यम से (*).
3. (ए) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण लेकर एफ की गणना करें_j,k).

चूँकि हम केवल आवृत्तियों की एक सीमित विंडो (जैसे आकार n,) में रुचि रखते हैं, यह एक फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म एल्गोरिदम का उपयोग करके किया जा सकता है। इसलिए, विश्व स्तर पर एल्गोरिथ्म चलता है time O(n log n).

अरेखीय उदाहरण

हम स्पेक्ट्रल दृष्टिकोण का उपयोग करके मजबूर, क्षणिक, अरेखीय बर्गर समीकरण को हल करना चाहते हैं।

दिया गया $u(x,0)$ आवधिक डोमेन पर $x\in \left[0,2\pi \right)$, पाना $u\in {\mathcal {U}}$ ऐसा है कि

$\partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0$

जहाँ ρ श्यानता गुणांक है। कमजोर रूढ़िवादी रूप में यह बन जाता है

$\left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \partial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0$

जहां आंतरिक उत्पाद स्थान संकेतन निम्नलिखित है। भागों द्वारा एकीकरण और आवधिकता अनुदान का उपयोग करना

$\langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.$

फूरियर-गैलेरकिन विधि लागू करने के लिए, दोनों को चुनें

${\mathcal {U}}^{N}:=\left\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}\right\}$

और

${\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -N/2,\dots ,N/2-1\right\}$

कहाँ ${\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle$. इससे खोजने में समस्या कम हो जाती है $u\in {\mathcal {U}}^{N}$ ऐसा है कि

$\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.$

ओर्थोगोनालिटी संबंध का उपयोग करना $\langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}$ कहाँ $\delta _{lk}$ क्रोनकर डेल्टा है, हम प्रत्येक के लिए उपरोक्त तीन शब्दों को सरल बनाते हैं $k$ देखने के लिए

प्रत्येक के लिए तीन पद एकत्रित करें $k$ प्राप्त करने के लिए

$2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.$

द्वारा विभाजित करना $2\pi$, हम अंततः पहुँच गए

$\partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.$

फूरियर के साथ प्रारंभिक स्थितियाँ बदल गईं ${\hat {u}}_{k}(0)$ और जबरदस्ती ${\hat {f}}_{k}(t)$, सामान्य अभिविभाज्य समीकरणों की इस युग्मित प्रणाली को समाधान खोजने के लिए समय में एकीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, रनगे कुट्टा तकनीक का उपयोग करके)। अरेखीय शब्द एक संलयन है, और इसे कुशलतापूर्वक मूल्यांकन करने के लिए कई परिवर्तन-आधारित तकनीकें हैं। बॉयड और कैनुटो एट अल के संदर्भ देखें। अधिक जानकारी के लिए।

स्पेक्ट्रल तत्व विधि के साथ एक संबंध

कोई ऐसा दिखा सकता है अगर $g$ असीम रूप से भिन्न है, तो फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करने वाला संख्यात्मक एल्गोरिदम ग्रिड आकार एच में किसी भी बहुपद की तुलना में तेजी से परिवर्तित हो जाएगा। अर्थात्, किसी भी n>0 के लिए, एक है $C_{n}<\infty$ जिससे त्रुटि कम हो $C_{n}h^{n}$ के सभी पर्याप्त छोटे मानों के लिए $h$. हम कहते हैं कि स्पेक्ट्रल विधि क्रमबद्ध है $n$, प्रत्येक n>0 के लिए।

क्योंकि स्पेक्ट्रल तत्व विधि बहुत उच्च क्रम की एक सीमित तत्व विधि है, अभिसरण गुणों में समानता होती है। यद्यपि, जबकि स्पेक्ट्रल विधि विशेष सीमा मूल्य समस्या के eigendecomposition पर आधारित है, परिमित तत्व विधि उस जानकारी का उपयोग नहीं करती है और मनमानी अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याओं के लिए काम करती है।

यह भी देखें

• सीमित तत्व विधि
• गाऊसी ग्रिड
• छद्म स्पेक्ट्रल विधि
• स्पेक्ट्रल तत्व विधि
• गैलेरकिन विधि
• संयोजन विधि

संदर्भ

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