उचित लंबाई: Difference between revisions
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उचित लंबाई<ref name=fayngold>{{cite book |author=Moses Fayngold |title=विशेष सापेक्षता और यह कैसे काम करता है|location=John Wiley & Sons |year=2009 |isbn=978-3527406074}}</ref> या आराम की लंबाई<ref name=franklin>{{cite journal |author=Franklin, Jerrold |title=लोरेंत्ज़ संकुचन, बेल के अंतरिक्ष यान, और विशेष सापेक्षता में कठोर शरीर गति|journal=European Journal of Physics |volume=31 |year=2010 |pages=291–298 |doi=10.1088/0143-0807/31/2/006 |bibcode = 2010EJPh...31..291F |issue=2 |arxiv = 0906.1919 |s2cid=18059490 }}</ref> वस्तु के [[बाकी फ्रेम]] में किसी वस्तु की लंबाई है। | उचित लंबाई<ref name=fayngold>{{cite book |author=Moses Fayngold |title=विशेष सापेक्षता और यह कैसे काम करता है|location=John Wiley & Sons |year=2009 |isbn=978-3527406074}}</ref> या आराम की लंबाई<ref name=franklin>{{cite journal |author=Franklin, Jerrold |title=लोरेंत्ज़ संकुचन, बेल के अंतरिक्ष यान, और विशेष सापेक्षता में कठोर शरीर गति|journal=European Journal of Physics |volume=31 |year=2010 |pages=291–298 |doi=10.1088/0143-0807/31/2/006 |bibcode = 2010EJPh...31..291F |issue=2 |arxiv = 0906.1919 |s2cid=18059490 }}</ref> वस्तु के [[बाकी फ्रेम]] में किसी वस्तु की लंबाई है। | ||
[[शास्त्रीय यांत्रिकी]] की तुलना में [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में लंबाई की माप अधिक जटिल है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, लंबाई इस धारणा के आधार पर मापी जाती है कि इसमें शामिल सभी बिंदुओं के स्थानों को | [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] की तुलना में [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में लंबाई की माप अधिक जटिल है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, लंबाई इस धारणा के आधार पर मापी जाती है कि इसमें शामिल सभी बिंदुओं के स्थानों को साथ मापा जाता है। लेकिन सापेक्षता के सिद्धांत में, साथ सापेक्षता की धारणा पर्यवेक्षक पर निर्भर है। | ||
एक अलग शब्द, उचित दूरी, | एक अलग शब्द, उचित दूरी, अपरिवर्तनीय माप प्रदान करता है जिसका मूल्य सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान है। | ||
''उचित दूरी'' [[उचित समय]] के समान है। अंतर यह है कि उचित दूरी दो अंतरिक्ष-समान-पृथक घटनाओं (या | ''उचित दूरी'' [[उचित समय]] के समान है। अंतर यह है कि उचित दूरी दो अंतरिक्ष-समान-पृथक घटनाओं (या अंतरिक्ष-समान पथ के साथ) के बीच परिभाषित की जाती है, जबकि उचित समय दो समय-समान-पृथक घटनाओं (या समय-समान पथ के साथ) के बीच परिभाषित किया जाता है। | ||
== उचित लंबाई या बाकी लंबाई == | == उचित लंबाई या बाकी लंबाई == | ||
उचित लंबाई<ref name=fayngold />या आराम की लंबाई<ref name=franklin />किसी वस्तु की लंबाई | उचित लंबाई<ref name=fayngold />या आराम की लंबाई<ref name=franklin />किसी वस्तु की लंबाई पर्यवेक्षक द्वारा मापी गई वस्तु की लंबाई है जो वस्तु पर मानक मापने वाली छड़ें लगाकर उसके सापेक्ष आराम पर है। ऑब्जेक्ट के अंतिम बिंदुओं का माप साथ होना जरूरी नहीं है, क्योंकि ऑब्जेक्ट के रेस्ट फ्रेम में अंतिम बिंदु लगातार ही स्थिति में आराम कर रहे हैं, इसलिए यह Δt से स्वतंत्र है। यह लंबाई इस प्रकार दी गई है: | ||
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हालाँकि, अपेक्षाकृत गतिशील फ़्रेमों में ऑब्जेक्ट के अंतिम बिंदुओं को | हालाँकि, अपेक्षाकृत गतिशील फ़्रेमों में ऑब्जेक्ट के अंतिम बिंदुओं को साथ मापना पड़ता है, क्योंकि वे लगातार अपनी स्थिति बदल रहे हैं। परिणामी लंबाई शेष लंबाई से कम है, और [[लंबाई संकुचन]] के सूत्र द्वारा दी गई है (γ [[लोरेंत्ज़ कारक]] होने के साथ): | ||
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तो Δσ Δt पर निर्भर करता है, जबकि (जैसा कि ऊपर बताया गया है) वस्तु की बाकी लंबाई L है<sub>0</sub> Δt से स्वतंत्र रूप से मापा जा सकता है। यह इस प्रकार है कि Δσ और एल<sub>0</sub>, | तो Δσ Δt पर निर्भर करता है, जबकि (जैसा कि ऊपर बताया गया है) वस्तु की बाकी लंबाई L है<sub>0</sub> Δt से स्वतंत्र रूप से मापा जा सकता है। यह इस प्रकार है कि Δσ और एल<sub>0</sub>, ही वस्तु के अंतिम बिंदुओं पर मापा जाता है, केवल दूसरे से सहमत होते हैं जब माप की घटनाएं वस्तु के बाकी फ्रेम में साथ होती हैं ताकि Δt शून्य हो। जैसा कि फेनगोल्ड ने समझाया:<ref name=fayngold /> | ||
:पी। 407: ध्यान दें कि दो घटनाओं के बीच की उचित दूरी आम तौर पर उस वस्तु की उचित लंबाई के समान नहीं होती है जिसके अंत बिंदु क्रमशः इन घटनाओं के साथ मेल खाते हैं। स्थिर उचित लंबाई l की | :पी। 407: ध्यान दें कि दो घटनाओं के बीच की उचित दूरी आम तौर पर उस वस्तु की उचित लंबाई के समान नहीं होती है जिसके अंत बिंदु क्रमशः इन घटनाओं के साथ मेल खाते हैं। स्थिर उचित लंबाई l की ठोस छड़ पर विचार करें<sub>0</sub>. यदि आप विश्राम फ़्रेम K में हैं<sub>0</sub> छड़ की, और आप इसकी लंबाई मापना चाहते हैं, तो आप पहले इसके अंतिम बिंदुओं को चिह्नित करके ऐसा कर सकते हैं। और यह आवश्यक नहीं है कि आप इन्हें साथ K में अंकित करें<sub>0</sub>. आप अभी (एक पल में) छोर को चिह्नित कर सकते हैं<sub>1</sub>) और दूसरा छोर बाद में (एक क्षण में t<sub>2</sub>) के में<sub>0</sub>, और फिर चुपचाप निशानों के बीच की दूरी मापें। हम ऐसे माप को उचित लंबाई की संभावित परिचालन परिभाषा के रूप में भी मान सकते हैं। प्रयोगात्मक भौतिकी के दृष्टिकोण से, स्थिर आकृति और आकार वाली स्थिर वस्तु के लिए साथ निशान बनाने की आवश्यकता अनावश्यक है, और इस मामले में ऐसी परिभाषा से हटाया जा सकता है। चूँकि छड़ K में स्थिर है<sub>0</sub>, दोनों चिह्नों के बीच समय अंतराल की परवाह किए बिना, निशानों के बीच की दूरी छड़ी की उचित लंबाई है। दूसरी ओर, यदि K में साथ निशान नहीं बनाए जाते हैं तो अंकन घटनाओं के बीच उचित दूरी नहीं है<sub>0</sub>. | ||
== समतल स्थान में दो घटनाओं के बीच उचित दूरी == | == समतल स्थान में दो घटनाओं के बीच उचित दूरी == | ||
[[विशेष सापेक्षता]] में, दो अंतरिक्षीय-पृथक घटनाओं के बीच की उचित दूरी दो घटनाओं के बीच की दूरी है, जैसा कि संदर्भ के | [[विशेष सापेक्षता]] में, दो अंतरिक्षीय-पृथक घटनाओं के बीच की उचित दूरी दो घटनाओं के बीच की दूरी है, जैसा कि संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में मापा जाता है जिसमें घटनाएं साथ होती हैं।<ref>{{cite book |title=Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic |edition=illustrated |first1=Eric |last1=Poisson |first2=Clifford M. |last2=Will |publisher=Cambridge University Press |year=2014 |isbn=978-1-107-03286-6 |page=191 |url=https://books.google.com/books?id=PZ5cAwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=PZ5cAwAAQBAJ&pg=PA191 Extract of page 191]</ref><ref>{{cite book |title=सौर मंडल के सापेक्ष आकाशीय यांत्रिकी|first1=Sergei |last1=Kopeikin |first2=Michael |last2=Efroimsky |first3=George |last3=Kaplan |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |isbn=978-3-527-63457-6 |page=136 |url=https://books.google.com/books?id=uN5_DQWSR14C}} [https://books.google.com/books?id=uN5_DQWSR14C&pg=PA136 Extract of page 136]</ref> ऐसे विशिष्ट फ्रेम में, दूरी दी जाती है | ||
<math display="block">\Delta\sigma=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} ,</math> | <math display="block">\Delta\sigma=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} ,</math> | ||
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* Δx, Δy, और Δz दो घटनाओं के रैखिक, [[ ओर्थोगोनल ]], त्रि-आयामी अंतरिक्ष निर्देशांक में अंतर हैं। | * Δx, Δy, और Δz दो घटनाओं के रैखिक, [[ ओर्थोगोनल |ओर्थोगोनल]] , त्रि-आयामी अंतरिक्ष निर्देशांक में अंतर हैं। | ||
यह परिभाषा संदर्भ के किसी भी जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में समकक्ष रूप से दी जा सकती है (उस फ्रेम में घटनाओं के | यह परिभाषा संदर्भ के किसी भी जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में समकक्ष रूप से दी जा सकती है (उस फ्रेम में घटनाओं के साथ होने की आवश्यकता के बिना) | ||
<math display="block">\Delta\sigma = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - c^2 \Delta t^2},</math> | <math display="block">\Delta\sigma = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - c^2 \Delta t^2},</math> | ||
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दो घटनाओं को स्थानिक रूप से अलग किया जाता है यदि और केवल यदि उपरोक्त सूत्र Δσ के लिए वास्तविक, गैर-शून्य मान देता है। | दो घटनाओं को स्थानिक रूप से अलग किया जाता है यदि और केवल यदि उपरोक्त सूत्र Δσ के लिए वास्तविक, गैर-शून्य मान देता है। | ||
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== पथ के अनुदिश उचित दूरी == | == पथ के अनुदिश उचित दूरी == | ||
दो घटनाओं के बीच उचित दूरी के लिए उपरोक्त सूत्र मानता है कि वह स्पेसटाइम जिसमें दो घटनाएँ घटित होती हैं, समतल है। इसलिए, उपरोक्त सूत्र का उपयोग [[सामान्य सापेक्षता]] में नहीं किया जा सकता है, जिसमें घुमावदार स्पेसटाइम पर विचार किया जाता है। हालाँकि, किसी भी स्पेसटाइम, घुमावदार या सपाट में [[पथ (टोपोलॉजी)]] के साथ उचित दूरी को परिभाषित करना संभव है। | दो घटनाओं के बीच उचित दूरी के लिए उपरोक्त सूत्र मानता है कि वह स्पेसटाइम जिसमें दो घटनाएँ घटित होती हैं, समतल है। इसलिए, उपरोक्त सूत्र का उपयोग [[सामान्य सापेक्षता]] में नहीं किया जा सकता है, जिसमें घुमावदार स्पेसटाइम पर विचार किया जाता है। हालाँकि, किसी भी स्पेसटाइम, घुमावदार या सपाट में [[पथ (टोपोलॉजी)]] के साथ उचित दूरी को परिभाषित करना संभव है। समतल स्पेसटाइम में, दो घटनाओं के बीच की उचित दूरी दो घटनाओं के बीच सीधे रास्ते पर उचित दूरी होती है। घुमावदार स्पेसटाइम में, दो घटनाओं के बीच से अधिक सीधे पथ ([[जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता)]]) हो सकते हैं, इसलिए दो घटनाओं के बीच सीधे पथ के साथ उचित दूरी विशिष्ट रूप से दो घटनाओं के बीच उचित दूरी को परिभाषित नहीं करेगी। | ||
एक मनमाना स्पेसलाइक पथ पी के साथ, [[लाइन इंटीग्रल]] द्वारा [[ टेन्सर ]] सिंटैक्स में उचित दूरी दी गई है | एक मनमाना स्पेसलाइक पथ पी के साथ, [[लाइन इंटीग्रल]] द्वारा [[ टेन्सर |टेन्सर]] सिंटैक्स में उचित दूरी दी गई है | ||
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* जी<sub>μν</sub>वर्तमान [[ अंतरिक्ष समय ]] और समन्वय मानचित्रण के लिए [[मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता)]] है, और | * जी<sub>μν</sub>वर्तमान [[ अंतरिक्ष समय |अंतरिक्ष समय]] और समन्वय मानचित्रण के लिए [[मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता)]] है, और | ||
* डीएक्स<sup>μ</sup> पथ P के साथ पड़ोसी घटनाओं के बीच समन्वय पृथक्करण है। | * डीएक्स<sup>μ</sup> पथ P के साथ पड़ोसी घटनाओं के बीच समन्वय पृथक्करण है। | ||
उपरोक्त समीकरण में, मीट्रिक टेंसर को 'का उपयोग करने के लिए माना जाता है<code>+−−−</code>[[मीट्रिक हस्ताक्षर]], और इसे दूरी के बजाय समय लौटाने के लिए सामान्यीकृत माना जाता है। समीकरण में − चिह्न को | उपरोक्त समीकरण में, मीट्रिक टेंसर को 'का उपयोग करने के लिए माना जाता है<code>+−−−</code>[[मीट्रिक हस्ताक्षर]], और इसे दूरी के बजाय समय लौटाने के लिए सामान्यीकृत माना जाता है। समीकरण में − चिह्न को मीट्रिक टेंसर के साथ हटा दिया जाना चाहिए जो इसके बजाय का उपयोग करता है<code>−+++</code>मीट्रिक हस्ताक्षर. यह भी <math>c</math> मीट्रिक टेंसर के साथ छोड़ा जाना चाहिए जो दूरी का उपयोग करने के लिए सामान्यीकृत है, या जो [[ज्यामितीय इकाई प्रणाली]] का उपयोग करता है। | ||
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Revision as of 22:57, 1 August 2023
उचित लंबाई[1] या आराम की लंबाई[2] वस्तु के बाकी फ्रेम में किसी वस्तु की लंबाई है।
शास्त्रीय यांत्रिकी की तुलना में सापेक्षता के सिद्धांत में लंबाई की माप अधिक जटिल है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, लंबाई इस धारणा के आधार पर मापी जाती है कि इसमें शामिल सभी बिंदुओं के स्थानों को साथ मापा जाता है। लेकिन सापेक्षता के सिद्धांत में, साथ सापेक्षता की धारणा पर्यवेक्षक पर निर्भर है।
एक अलग शब्द, उचित दूरी, अपरिवर्तनीय माप प्रदान करता है जिसका मूल्य सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान है।
उचित दूरी उचित समय के समान है। अंतर यह है कि उचित दूरी दो अंतरिक्ष-समान-पृथक घटनाओं (या अंतरिक्ष-समान पथ के साथ) के बीच परिभाषित की जाती है, जबकि उचित समय दो समय-समान-पृथक घटनाओं (या समय-समान पथ के साथ) के बीच परिभाषित किया जाता है।
उचित लंबाई या बाकी लंबाई
उचित लंबाई[1]या आराम की लंबाई[2]किसी वस्तु की लंबाई पर्यवेक्षक द्वारा मापी गई वस्तु की लंबाई है जो वस्तु पर मानक मापने वाली छड़ें लगाकर उसके सापेक्ष आराम पर है। ऑब्जेक्ट के अंतिम बिंदुओं का माप साथ होना जरूरी नहीं है, क्योंकि ऑब्जेक्ट के रेस्ट फ्रेम में अंतिम बिंदु लगातार ही स्थिति में आराम कर रहे हैं, इसलिए यह Δt से स्वतंत्र है। यह लंबाई इस प्रकार दी गई है:
हालाँकि, अपेक्षाकृत गतिशील फ़्रेमों में ऑब्जेक्ट के अंतिम बिंदुओं को साथ मापना पड़ता है, क्योंकि वे लगातार अपनी स्थिति बदल रहे हैं। परिणामी लंबाई शेष लंबाई से कम है, और लंबाई संकुचन के सूत्र द्वारा दी गई है (γ लोरेंत्ज़ कारक होने के साथ):
इसकी तुलना में, ही वस्तु के अंतिम बिंदुओं पर होने वाली दो मनमानी घटनाओं के बीच अपरिवर्तनीय उचित दूरी इस प्रकार दी जाती है:
तो Δσ Δt पर निर्भर करता है, जबकि (जैसा कि ऊपर बताया गया है) वस्तु की बाकी लंबाई L है0 Δt से स्वतंत्र रूप से मापा जा सकता है। यह इस प्रकार है कि Δσ और एल0, ही वस्तु के अंतिम बिंदुओं पर मापा जाता है, केवल दूसरे से सहमत होते हैं जब माप की घटनाएं वस्तु के बाकी फ्रेम में साथ होती हैं ताकि Δt शून्य हो। जैसा कि फेनगोल्ड ने समझाया:[1]
- पी। 407: ध्यान दें कि दो घटनाओं के बीच की उचित दूरी आम तौर पर उस वस्तु की उचित लंबाई के समान नहीं होती है जिसके अंत बिंदु क्रमशः इन घटनाओं के साथ मेल खाते हैं। स्थिर उचित लंबाई l की ठोस छड़ पर विचार करें0. यदि आप विश्राम फ़्रेम K में हैं0 छड़ की, और आप इसकी लंबाई मापना चाहते हैं, तो आप पहले इसके अंतिम बिंदुओं को चिह्नित करके ऐसा कर सकते हैं। और यह आवश्यक नहीं है कि आप इन्हें साथ K में अंकित करें0. आप अभी (एक पल में) छोर को चिह्नित कर सकते हैं1) और दूसरा छोर बाद में (एक क्षण में t2) के में0, और फिर चुपचाप निशानों के बीच की दूरी मापें। हम ऐसे माप को उचित लंबाई की संभावित परिचालन परिभाषा के रूप में भी मान सकते हैं। प्रयोगात्मक भौतिकी के दृष्टिकोण से, स्थिर आकृति और आकार वाली स्थिर वस्तु के लिए साथ निशान बनाने की आवश्यकता अनावश्यक है, और इस मामले में ऐसी परिभाषा से हटाया जा सकता है। चूँकि छड़ K में स्थिर है0, दोनों चिह्नों के बीच समय अंतराल की परवाह किए बिना, निशानों के बीच की दूरी छड़ी की उचित लंबाई है। दूसरी ओर, यदि K में साथ निशान नहीं बनाए जाते हैं तो अंकन घटनाओं के बीच उचित दूरी नहीं है0.
समतल स्थान में दो घटनाओं के बीच उचित दूरी
विशेष सापेक्षता में, दो अंतरिक्षीय-पृथक घटनाओं के बीच की उचित दूरी दो घटनाओं के बीच की दूरी है, जैसा कि संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में मापा जाता है जिसमें घटनाएं साथ होती हैं।[3][4] ऐसे विशिष्ट फ्रेम में, दूरी दी जाती है
कहाँ
- Δx, Δy, और Δz दो घटनाओं के रैखिक, ओर्थोगोनल , त्रि-आयामी अंतरिक्ष निर्देशांक में अंतर हैं।
यह परिभाषा संदर्भ के किसी भी जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में समकक्ष रूप से दी जा सकती है (उस फ्रेम में घटनाओं के साथ होने की आवश्यकता के बिना)
कहाँ
- Δt दो घटनाओं के समय निर्देशांक में अंतर है, और
- सी प्रकाश की गति है.
स्पेसटाइम अंतराल के अपरिवर्तनीयता के कारण दो सूत्र समतुल्य हैं, और चूंकि Δt = 0 बिल्कुल तब होता है जब घटनाएं दिए गए फ्रेम में साथ होती हैं।
दो घटनाओं को स्थानिक रूप से अलग किया जाता है यदि और केवल यदि उपरोक्त सूत्र Δσ के लिए वास्तविक, गैर-शून्य मान देता है।
पथ के अनुदिश उचित दूरी
दो घटनाओं के बीच उचित दूरी के लिए उपरोक्त सूत्र मानता है कि वह स्पेसटाइम जिसमें दो घटनाएँ घटित होती हैं, समतल है। इसलिए, उपरोक्त सूत्र का उपयोग सामान्य सापेक्षता में नहीं किया जा सकता है, जिसमें घुमावदार स्पेसटाइम पर विचार किया जाता है। हालाँकि, किसी भी स्पेसटाइम, घुमावदार या सपाट में पथ (टोपोलॉजी) के साथ उचित दूरी को परिभाषित करना संभव है। समतल स्पेसटाइम में, दो घटनाओं के बीच की उचित दूरी दो घटनाओं के बीच सीधे रास्ते पर उचित दूरी होती है। घुमावदार स्पेसटाइम में, दो घटनाओं के बीच से अधिक सीधे पथ (जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता)) हो सकते हैं, इसलिए दो घटनाओं के बीच सीधे पथ के साथ उचित दूरी विशिष्ट रूप से दो घटनाओं के बीच उचित दूरी को परिभाषित नहीं करेगी।
एक मनमाना स्पेसलाइक पथ पी के साथ, लाइन इंटीग्रल द्वारा टेन्सर सिंटैक्स में उचित दूरी दी गई है
कहाँ
- जीμνवर्तमान अंतरिक्ष समय और समन्वय मानचित्रण के लिए मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) है, और
- डीएक्सμ पथ P के साथ पड़ोसी घटनाओं के बीच समन्वय पृथक्करण है।
उपरोक्त समीकरण में, मीट्रिक टेंसर को 'का उपयोग करने के लिए माना जाता है+−−−मीट्रिक हस्ताक्षर, और इसे दूरी के बजाय समय लौटाने के लिए सामान्यीकृत माना जाता है। समीकरण में − चिह्न को मीट्रिक टेंसर के साथ हटा दिया जाना चाहिए जो इसके बजाय का उपयोग करता है−+++मीट्रिक हस्ताक्षर. यह भी मीट्रिक टेंसर के साथ छोड़ा जाना चाहिए जो दूरी का उपयोग करने के लिए सामान्यीकृत है, या जो ज्यामितीय इकाई प्रणाली का उपयोग करता है।
यह भी देखें
- अपरिवर्तनीय अंतराल
- उचित समय
- आगमन दूरी
- एक साथ सापेक्षता
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Moses Fayngold (2009). विशेष सापेक्षता और यह कैसे काम करता है. John Wiley & Sons. ISBN 978-3527406074.
{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) - ↑ 2.0 2.1 Franklin, Jerrold (2010). "लोरेंत्ज़ संकुचन, बेल के अंतरिक्ष यान, और विशेष सापेक्षता में कठोर शरीर गति". European Journal of Physics. 31 (2): 291–298. arXiv:0906.1919. Bibcode:2010EJPh...31..291F. doi:10.1088/0143-0807/31/2/006. S2CID 18059490.
- ↑ Poisson, Eric; Will, Clifford M. (2014). Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic (illustrated ed.). Cambridge University Press. p. 191. ISBN 978-1-107-03286-6. Extract of page 191
- ↑ Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011). सौर मंडल के सापेक्ष आकाशीय यांत्रिकी. John Wiley & Sons. p. 136. ISBN 978-3-527-63457-6. Extract of page 136
