तरंग सदिश

भौतिकी में, तरंग सदिश (या तरंग सदिश) एक ऐसा सदिश (ज्यामितीय) है जिसका उपयोग तरंग का वर्णन करने में किया जाता है, जिसकी विशिष्ट इकाई एक चक्र प्रति मीटर होती है। इसमें यूक्लिडियन सदिश है। इसका परिमाण तरंग की तरंग संख्या (तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती) है, और इसकी दिशा तरंगाग्र के लंबवत है। समदैशिक मीडिया में, तरंग प्रसार की दिशा भी यही है।

एक निकट से संबंधित सदिश कोणीय तरंग सदिश (या कोणीय तरंग सदिश) है, जिसकी विशिष्ट इकाई रेडियन प्रति मीटर है। तरंग सदिश और कोणीय तरंग सदिश आनुपातिकता के एक निश्चित स्थिरांक, प्रति चक्र 2π रेडियन से संबंधित हैं।

भौतिकी के कई क्षेत्रों में कोणीय तरंग सदिश को मात्र तरंग सदिश के रूप में संदर्भित करना सामान्य बात है, उदाहरण के लिए, क्रिस्टलोग्राफी के विपरीत। जो भी उपयोग में है उसके लिए प्रतीक k का उपयोग करना भी सामान्य है।

विशेष सापेक्षता के संदर्भ में, तरंग सदिश चार-सदिश को संदर्भित कर सकता है, जिसमें (कोणीय) तरंग सदिश और (कोणीय) आवृत्ति संयुक्त होती है।

परिभाषा

See also: यात्रा तरंग

साइन तरंग की तरंग दैर्ध्य, λ, समान चरण (तरंगों) के साथ किन्हीं दो लगातार बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है, जैसे आसन्न शिखर, या गर्त, या पारगमन की समान दिशा के साथ आसन्न शून्य क्रॉसिंग के बीच, जैसा कि दिखाया गया है।

तरंग सदिश और कोणीय तरंग सदिश शब्दों के अलग-अलग अर्थ हैं। यहाँ, तरंग सदिश को ${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ द्वारा और तरंग संख्या को ${\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|$ द्वारा दर्शाया गया है। कोणीय तरंग सदिश को k द्वारा और कोणीय तरंग संख्या को k = |k| द्वारा दर्शाया जाता है। ये $\mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ द्वारा संबंधित हैं।

एक ज्यावक्रीय यात्रा तरंग समीकरण

$\psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi )$

का अनुसरण करती है, जहाँ:

• r स्थिति है,
• t समय है,
• ψ, r और t का एक फलन है जो तरंग का वर्णन करने वाले विक्षोभ का वर्णन करता है (उदाहरण के लिए, एक समुद्र की लहर के लिए, ψ पानी की अतिरिक्त ऊंचाई होगी, या एक ध्वनि तरंग के लिए, ψ अतिरिक्त वायु दाब होगा)।
• A तरंग का आयाम है (दोलन का चरम परिमाण),
• φ चरण प्रतिसंतुलन है,
• ω तरंग की (अस्थायी) कोणीय आवृत्ति है, जो यह बताती है कि यह समय की प्रति इकाई कितने रेडियन को पार करती है, और समीकरण $\omega ={\tfrac {2\pi }{T}}$ द्वारा, अवधि (भौतिकी) t से संबंधित है।
• k तरंग का कोणीय तरंग सदिश है, जो बताता है कि यह प्रति इकाई दूरी तक कितने रेडियन को पार करती है, और समीकरण $|\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}$ द्वारा तरंग दैर्ध्य से संबंधित है।

तरंग सदिश और आवृत्ति का उपयोग करते हुए समतुल्य समीकरण

$\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),$

है, जहाँ:

• $f$ आवृत्ति है
• ${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ तरंग सदिश है

तरंग सदिश की दिशा

Main article: समूह वेग

जिस दिशा में तरंग सदिश बिंदु होते हैं उसे तरंग प्रसार की दिशा से अलग किया जाना चाहिए। तरंग प्रसार की दिशा तरंग के ऊर्जा प्रवाह की दिशा है, और वह दिशा जिस पर छोटा तरंग पैकेट चलेगा, अर्थात समूह वेग की दिशा। निर्वात में प्रकाश तरंगों के लिए, यह पोयंटिंग सदिश की दिशा भी है। दूसरी ओर, तरंग सदिश चरण वेग की दिशा में इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, तरंग सदिश, तरंगाग्र के सामान्य सतह पर इंगित करता है, जिसे तरंगाग्र भी कहा जाता है।

वायु, किसी गैस, किसी तरल, अनाकार ठोस (जैसे कांच), और घन क्रिस्टल जैसे क्षीणन समदैशिक में, तरंगसदिश की दिशा तरंग प्रसार की दिशा के समान होती है। यदि माध्यम विषमदैशिक है, तो तरंग सदिश सामान्य रूप से तरंग प्रसार के अतिरिक्त अन्य दिशाओं को इंगित करता है। तरंग सदिश सदैव स्थिर चरण की सतहों के लंबवत होता है।

उदाहरण के लिए, जब तरंग असमदिग्वर्ती होने की दशा से होकर गुजरती है, जैसे कि क्रिस्टल प्रकाशिकी या तलछटी चट्टान के माध्यम से ध्वनि तरंगें, तो तरंग सदिश तरंग प्रसार की दिशा में यथार्थ रूप से इंगित नहीं कर सकता है।

ठोस अवस्था भौतिकी में

Main article: बलोच का प्रमेय

ठोस-अवस्था भौतिकी में, क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन या इलेक्ट्रॉन छिद्र का तरंगसदिश (जिसे के-सदिश भी कहा जाता है) इसके क्वांटम यांत्रिकी | क्वांटम-मैकेनिकल तरंग क्रिया का तरंगसदिश होता है। ये इलेक्ट्रॉन तरंगें सामान्य sinusoidal तरंगें नहीं हैं, लेकिन उनमें प्रकार का लिफाफा (तरंगें) होता है जो ज्यावक्रीय होता है, और तरंगसदिश को उस लिफाफा तरंग के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, सामान्यतः भौतिकी परिभाषा का उपयोग करके। अधिक जानकारी के लिए बलोच का प्रमेय देखें।

विशेष सापेक्षता में

विशेष सापेक्षता में गतिशील तरंग सतह को स्पेसटाइम में हाइपरसरफेस (एक 3डी उपस्थान) के रूप में माना जा सकता है, जो तरंग सतह से गुजरने वाली सभी घटनाओं से बनता है। तरंगट्रेन (कुछ चर द्वारा चिह्नित)। X) को स्पेसटाइम में ऐसे हाइपरसर्फेस के एक-पैरामीटर परिवार के रूप में माना जा सकता है। यह चर X स्पेसटाइम में स्थिति का अदिश फलन है। इस अदिश का व्युत्पन्न सदिश है जो तरंग, चार-तरंगसदिश की विशेषता बताता है। फोर-तरंगसदिश तरंग फोर-सदिश है जिसे मिन्कोवस्की स्थान में इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,$

जहां कोणीय आवृत्ति ${\tfrac {\omega }{c}}$ अस्थायी घटक और तरंगनंबर सदिश है ${\vec {k}}$ स्थानिक घटक है।

वैकल्पिक रूप से, तरंगनंबर k को कोणीय आवृत्ति के रूप में लिखा जा सकता है ω चरण वेग|चरण-वेग से विभाजित v_p, या व्युत्क्रम अवधि के संदर्भ में T और व्युत्क्रम तरंग दैर्ध्य λ।

जब स्पष्ट रूप से लिखा जाता है तो इसके सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण और सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण रूप इस प्रकार हैं:

${\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}$

सामान्य तौर पर, तरंग चार-सदिश का लोरेंत्ज़ अदिश परिमाण है:

$K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}$

चार-तरंगसदिश द्रव्यमान रहित कण (फोटोनिक) कणों के लिए कारण संरचना # स्पर्शरेखा वैक्टर है, जहां शेष द्रव्यमान होता है $m_{o}=0$ शून्य चार-तरंगसदिश का उदाहरण सुसंगत, एकरंगा प्रकाश की किरण होगी, जिसमें चरण-वेग होता है $v_{p}=c$

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,$ {प्रकाश-जैसा/शून्य के लिए}

जिसमें चार-तरंग सदिश के स्थानिक भाग की आवृत्ति और परिमाण के बीच निम्नलिखित संबंध होगा:

$K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0$ {प्रकाश-जैसा/शून्य के लिए}

चार-तरंगसदिश चार-संवेग से इस प्रकार संबंधित है:

$P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)$

चार-तरंगसदिश चार-आवृत्ति से इस प्रकार संबंधित है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)$

चार-तरंगसदिश चार-वेग से इस प्रकार संबंधित है:

$K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)$

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

चार-तरंगसदिश का लोरेंत्ज़ परिवर्तन लेना सापेक्षवादी डॉपलर प्रभाव प्राप्त करने का तरीका है। लोरेंत्ज़ मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

ऐसी स्थिति में जहां तेज गति से चलने वाले स्रोत द्वारा प्रकाश उत्सर्जित किया जा रहा है और कोई पृथ्वी (प्रयोगशाला) फ्रेम में पाए गए प्रकाश की आवृत्ति जानना चाहता है, हम लोरेंत्ज़ परिवर्तन को निम्नानुसार लागू करेंगे। ध्यान दें कि स्रोत फ़्रेम में है S^s और पृथ्वी अवलोकन फ्रेम में है, S^obs। लोरेंत्ज़ परिवर्तन को तरंग सदिश पर लागू करना

$k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }$

और मात्र देखने के लिए चयन करना $\mu =0$ घटक परिणाम देता है

${\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}$

जहाँ $\cos \theta$ की दिशा कोज्या है $k^{1}$ इसके संबंध में $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$ इसलिए

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}$

स्रोत दूर जा रहा है (रेडशिफ्ट)

उदाहरण के तौर पर, इसे ऐसी स्थिति में लागू करें जहां स्रोत सीधे पर्यवेक्षक से दूर जा रहा हो ($\theta =\pi$), यह बन जाता है:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}$

स्रोत (ब्लूशिफ्ट) की ओर बढ़ रहा है

इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहां स्रोत सीधे पर्यवेक्षक की ओर बढ़ रहा है (θ = 0), यह बन जाता है:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}$

स्रोत स्पर्शरेखीय रूप से घूम रहा है (अनुप्रस्थ डॉपलर प्रभाव)

इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहां स्रोत पर्यवेक्षक के संबंध में अनुप्रस्थ रूप से घूम रहा है (θ = π/2), यह बन जाता है:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}$

यह भी देखें

• विमान तरंग विस्तार
• घटना का तल

अग्रिम पठन

• Brau, Charles A. (2004). Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.