संदृढ़ता आव्युह: Difference between revisions

Revision as of 21:35, 4 August 2023

अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए परिमित तत्व विधि में, कठोरता आव्युह आव्युह (गणित) है जो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है जिसे अंतर समीकरण के अनुमानित समाधान का पता लगाने के लिए हल किया जाना चाहिए।

पॉइसन समस्या के लिए कठोरता आव्युह

सरलता के लिए, हम पहले पॉइसन समस्या पर विचार करेंगे

-\nabla ^{2}u=f

कुछ डोमेन पर $Ω$ , सीमा शर्त के अधीन $u = 0$ की सीमा पर $Ω$ . परिमित तत्व विधि द्वारा इस समीकरण को भिन्न करने के लिए, कोई आधार कार्य का समूह चुनता है ${φ 1, \dots, φ n}$ पर परिभाषित किया गया $Ω$ जो सीमा पर लुप्त भी हो जाते हैं। फिर अनुमान लगाता है

u\approx u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.

गुणांक $u 1, u 2, \dots, u n$ निर्धारित किया जाता है जिससे कि सन्निकटन में त्रुटि प्रत्येक आधार फलन के लिए ऑर्थोगोनल हो $φ i$ :

\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\cdot f\,dx=-\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}u^{h}\,dx=-\sum _{j}\left(\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}\varphi _{j}\,dx\right)\,u_{j}=\sum _{j}\left(\int _{x\in \Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx\right)u_{j}.

कठोरता आव्युह है $n$ -तत्व वर्ग आव्युह $A$ द्वारा परिभाषित

\mathbf {A} _{ij}=\int _{x\in \Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.

सदिश को परिभाषित करके $F$ घटकों के साथ ${\textstyle \mathbf {F} _{i}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx,}$ गुणांक $u i$ रेखीय प्रणाली द्वारा निर्धारित होते हैं $Au = F$ . कठोरता आव्युह सममित आव्युह है, अर्थात। $A ij = A ji$ , इसलिए इसके सभी आइगेनवैल्यू वास्तविक हैं। इसके अतिरिक्त, यह सख्ती से धनात्मक-निश्चित आव्युह है, जिससे कि प्रणाली $Au = F$ के पास सदैव अनोखा समाधान होता है। (अन्य समस्याओं के लिए, यह अच्छी संपत्तियाँ खो जाएँगी।)

ध्यान दें कि कठोरता आव्युह डोमेन के लिए उपयोग किए गए कम्प्यूटेशनल ग्रिड और किस प्रकार के परिमित तत्व का उपयोग किया जाता है, इसके आधार पर भिन्न होगा। उदाहरण के लिए, जब टुकड़ेवार द्विघात परिमित तत्वों का उपयोग किया जाता है तब कठोरता आव्युह में टुकड़ेवार रैखिक तत्वों की तुलना में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होगी।

अन्य समस्याओं के लिए कठोरता आव्युह

अन्य पीडीई के लिए कठोरता आव्युह का निर्धारण अनिवार्य रूप से ही प्रक्रिया का पालन करता है, किन्तु यह सीमा स्थितियों की पसंद से समष्टि हो सकता है। अधिक समष्टि उदाहरण के रूप में, अण्डाकार वक्र पर विचार करें

-\sum _{k,l}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}\right)=f

कहाँ $\mathbf {A} (x)=a^{kl}(x)$ प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित धनात्मक-निश्चित आव्युह है $x$ डोमेन में. हम रॉबिन सीमा शर्त क्रियान्वित करते हैं

-\sum _{k,l}\nu _{k}a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}=c(u-g),

कहाँ $ν k$ इकाई जावक सामान्य सदिश का घटक है $ν$ में $k$ -वीं दिशा. हल करने की प्रणाली है

\sum _{j}\left(\sum _{k,l}\int _{\Omega }a^{kl}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{l}}}dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}\varphi _{j}\,ds\right)u_{j}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}g\,ds,

जैसा कि ग्रीन की पहचान के एनालॉग का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। गुणांक $u i$ अभी भी रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करके पाए जाते हैं, किन्तु प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने वाला आव्युह सामान्य पॉइसन समस्या से स्पष्ट रूप से भिन्न है।

सामान्यतः, प्रत्येक अदिश अण्डाकार ऑपरेटर के लिए $L$ आदेश की $2 k$ , द्विरेखीय रूप संबद्ध है $B$ सोबोलेव क्षेत्र पर $H k$ , जिससे कि समीकरण का अशक्त सूत्रीकरण हो सके $Lu = f$ है

B[u,v]=(f,v)

सभी कार्यों के लिए $v$ में $H k$ . फिर इस समस्या के लिए कठोरता आव्युह है

\mathbf {A} _{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}].

कठोरता आव्युह की व्यावहारिक असेंबली

कंप्यूटर पर परिमित तत्व विधि को क्रियान्वित करने के लिए, किसी को पहले आधार कार्यों का समूह चुनना होगा और फिर कठोरता आव्युह को परिभाषित करने वाले इंटीग्रल्स की गणना करनी होगी। सामान्यतः, डोमेन $Ω$ को जाल निर्माण के कुछ रूपों द्वारा विभेदित किया जाता है, जिसमें इसे गैर-अतिव्यापी त्रिभुज जाल या जाल के प्रकारों में विभाजित किया जाता है, जिन्हें सामान्यतः तत्वों के रूप में जाना जाता है। फिर आधार कार्यों को प्रत्येक तत्व के अंदर कुछ क्रम के बहुपद और तत्व सीमाओं के पार निरंतर चुना जाता है। सबसे सरल विकल्प त्रिकोणीय तत्वों के लिए टुकड़ावार रैखिक फलन और आयताकार तत्वों के लिए टुकड़ावार द्विरेखीय हैं।

तत्व कठोरता आव्युह $A [k]$ तत्व के लिए $T k$ आव्युह है

\mathbf {A} _{ij}^{[k]}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.

अधिकांश मानों के लिए तत्व कठोरता आव्युह शून्य है $i$ और $j$ , जिसके लिए संबंधित आधार फलन शून्य हैं $T k$ . पूर्ण कठोरता आव्युह $A$ तत्व कठोरता आव्युह का योग है। विशेष रूप से, उन आधार कार्यों के लिए जो केवल स्थानीय रूप से समर्थित हैं, कठोरता आव्युह विरल आव्युह है।

आधार कार्यों के अनेक मानक विकल्पों के लिए, अर्थात त्रिकोणों पर टुकड़े-टुकड़े रैखिक आधार कार्यों के लिए, तत्व कठोरता आव्युह के लिए सरल सूत्र हैं। उदाहरण के लिए, टुकड़ों में रैखिक तत्वों के लिए, शीर्षों वाले त्रिभुज पर विचार करें $(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2)$ , $(x 3, y 3)$ , और 2×3 आव्युह को परिभाषित करें

\mathbf {D} =\left[{\begin{matrix}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{1}\\y_{3}-y_{2}&y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{1}\end{matrix}}\right].

फिर तत्व कठोरता आव्युह है

\mathbf {A} ^{[k]}={\frac {\mathbf {D} ^{\mathsf {T}}\mathbf {D} }{4\operatorname {area} (T)}}.

जब अंतर समीकरण अधिक समष्टि होता है, मान लीजिए कि अमानवीय प्रसार गुणांक होता है, तब तत्व कठोरता आव्युह को परिभाषित करने वाले अभिन्न अंग का मूल्यांकन गॉसियन चतुर्भुज द्वारा किया जा सकता है।

कठोरता आव्युह की स्थिति संख्या संख्यात्मक ग्रिड की गुणवत्ता पर दृढ़ता से निर्भर करती है। विशेष रूप से, परिमित तत्व जाल में छोटे कोण वाले त्रिकोण कठोरता आव्युह के बड़े आइगेनवैल्यू को प्रेरित करते हैं, जिससे समाधान की गुणवत्ता खराब हो जाती है।

संदर्भ

Ern, ए.; गुरमोंड, जे.-एल. (2004), परिमित तत्वों का सिद्धांत और अभ्यास, न्यूयॉर्क, एनवाई: स्प्रिंगर-वेरलाग, ISBN 0387205748
गोकेनबैक, एम.एस. (2006), परिमित तत्व विधि को समझना और लागू करना, फिलाडेल्फिया, पीए: एस.आई.ए.एम, ISBN 0898716144
ग्रॉसमैन, सी.; रूस, एच.-जी.; स्टाइन्स, एम. (2007), आंशिक विभेदक समीकरणों का संख्यात्मक उपचार, बर्लिन, जर्मनी: स्प्रिंगर-वेरलाग, ISBN 978-3-540-71584-9
जॉनसन, सी. (2009), परिमित तत्व विधि द्वारा आंशिक विभेदक समीकरणों का संख्यात्मक समाधान, डोवर, ISBN 978-0486469003
ज़िएनकिविज़, ओ.सी.; टेलर, आर.एल.; Zhu, जे.जेड. (2005), परिमित तत्व विधि: इसका आधार और बुनियादी बातें (6th ed.), ऑक्सफोर्ड, यूके: एल्सेवियर बटरवर्थ-हेनमैन, ISBN 978-0750663205

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 {{For|ठोस यांत्रिकी में कठोरता टेंसर|हुक का नियम मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व (कठोरता टेंसर)}}
-अण्डाकार [[आंशिक अंतर समीकरण|आंशिक अंतर समीकरणों]] के संख्यात्मक समाधान के लिए परिमित तत्व विधि में, '''कठोरता मैट्रिक्स''' [[मैट्रिक्स (गणित)]] है जो [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] का प्रतिनिधित्व करता है जिसे अंतर समीकरण के अनुमानित समाधान का पता लगाने के लिए हल किया जाना चाहिए।
+अण्डाकार [[आंशिक अंतर समीकरण|आंशिक अंतर समीकरणों]] के संख्यात्मक समाधान के लिए परिमित तत्व विधि में, '''कठोरता आव्युह''' [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्युह (गणित)]] है जो [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] का प्रतिनिधित्व करता है जिसे अंतर समीकरण के अनुमानित समाधान का पता लगाने के लिए हल किया जाना चाहिए।
-=='''[[पॉइसन समस्या]] के लिए कठोरता मैट्रिक्स'''==
+=='''[[पॉइसन समस्या]] के लिए कठोरता आव्युह'''==
 सरलता के लिए, हम पहले पॉइसन समस्या पर विचार करेंगे
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 :<math> u \approx u^h = u_1\varphi_1+\cdots+u_n\varphi_n.</math>
-गुणांक {{math|''u''{{sub|1}}, ''u''{{sub|2}}, …, ''u{{sub|n}}''}} निर्धारित किया जाता है ताकि सन्निकटन में त्रुटि प्रत्येक आधार फलन के लिए ऑर्थोगोनल हो {{mvar|φ{{sub|i}}}}:
+गुणांक {{math|''u''{{sub|1}}, ''u''{{sub|2}}, …, ''u{{sub|n}}''}} निर्धारित किया जाता है जिससे कि सन्निकटन में त्रुटि प्रत्येक आधार फलन के लिए ऑर्थोगोनल हो {{mvar|φ{{sub|i}}}}:
 :<math> \int_{x \in \Omega} \varphi_i\cdot f \, dx = -\int_{x \in \Omega} \varphi_i\nabla^2u^h \, dx = -\sum_j\left(\int_{x \in \Omega} \varphi_i\nabla^2\varphi_j\,dx\right)\, u_j = \sum_j\left(\int_{x \in \Omega} \nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx\right)u_j.</math>
-कठोरता मैट्रिक्स है {{mvar|n}}-तत्व [[वर्ग मैट्रिक्स]] {{math|'''A'''}} द्वारा परिभाषित
+कठोरता आव्युह है {{mvar|n}}-तत्व [[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग आव्युह]] {{math|'''A'''}} द्वारा परिभाषित
 :<math> \mathbf A_{ij} = \int_{x \in \Omega} \nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math>
-सदिश को परिभाषित करके {{math|'''F'''}}घटकों के साथ <math display="inline">\mathbf F_i = \int_\Omega\varphi_i f\,dx,</math> गुणांक {{mvar|u{{sub|i}}}}रेखीय प्रणाली द्वारा निर्धारित होते हैं {{math|1='''Au''' = '''F'''}}. कठोरता मैट्रिक्स [[सममित मैट्रिक्स]] है, अर्थात। {{math|1='''A'''{{sub|''ij''}} = '''A'''{{sub|''ji''}}}}, इसलिए इसके सभी आइगेनवैल्यू वास्तविक हैं। इसके अलावा, यह सख्ती से [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] है, ताकि प्रणाली {{math|1='''Au''' = '''F'''}} के पास सदैव अनोखा समाधान होता है। (अन्य समस्याओं के लिए, यह अच्छी संपत्तियाँ खो जाएँगी।)
+सदिश को परिभाषित करके {{math|'''F'''}}घटकों के साथ <math display="inline">\mathbf F_i = \int_\Omega\varphi_i f\,dx,</math> गुणांक {{mvar|u{{sub|i}}}}रेखीय प्रणाली द्वारा निर्धारित होते हैं {{math|1='''Au''' = '''F'''}}. कठोरता आव्युह [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्युह]] है, अर्थात। {{math|1='''A'''{{sub|''ij''}} = '''A'''{{sub|''ji''}}}}, इसलिए इसके सभी आइगेनवैल्यू वास्तविक हैं। इसके अतिरिक्त, यह सख्ती से [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक-निश्चित आव्युह]] है, जिससे कि प्रणाली {{math|1='''Au''' = '''F'''}} के पास सदैव अनोखा समाधान होता है। (अन्य समस्याओं के लिए, यह अच्छी संपत्तियाँ खो जाएँगी।)
-ध्यान दें कि कठोरता मैट्रिक्स डोमेन के लिए उपयोग किए गए कम्प्यूटेशनल ग्रिड और किस प्रकार के परिमित तत्व का उपयोग किया जाता है, इसके आधार पर भिन्न होगा। उदाहरण के लिए, जब टुकड़ेवार द्विघात परिमित तत्वों का उपयोग किया जाता है तब कठोरता मैट्रिक्स में टुकड़ेवार रैखिक तत्वों की तुलना में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होगी।
+ध्यान दें कि कठोरता आव्युह डोमेन के लिए उपयोग किए गए कम्प्यूटेशनल ग्रिड और किस प्रकार के परिमित तत्व का उपयोग किया जाता है, इसके आधार पर भिन्न होगा। उदाहरण के लिए, जब टुकड़ेवार द्विघात परिमित तत्वों का उपयोग किया जाता है तब कठोरता आव्युह में टुकड़ेवार रैखिक तत्वों की तुलना में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होगी।
-=='''अन्य समस्याओं के लिए कठोरता मैट्रिक्स'''==
+=='''अन्य समस्याओं के लिए कठोरता आव्युह'''==
-अन्य पीडीई के लिए कठोरता मैट्रिक्स का निर्धारण अनिवार्य रूप से ही प्रक्रिया का पालन करता है, लेकिन यह सीमा स्थितियों की पसंद से जटिल हो सकता है। अधिक जटिल उदाहरण के रूप में, [[अण्डाकार वक्र]] पर विचार करें
+अन्य पीडीई के लिए कठोरता आव्युह का निर्धारण अनिवार्य रूप से ही प्रक्रिया का पालन करता है, किन्तु यह सीमा स्थितियों की पसंद से समष्टि हो सकता है। अधिक समष्टि उदाहरण के रूप में, [[अण्डाकार वक्र]] पर विचार करें
 :<math> -\sum_{k,l}\frac{\partial}{\partial x_k}\left(a^{kl}\frac{\partial u}{\partial x_l}\right)= f</math>
-कहाँ <math displaystyle="inline">\mathbf A(x) = a^{kl}(x)</math> प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित धनात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है {{mvar|x}} डोमेन में. हम रॉबिन सीमा शर्त क्रियान्वित करते हैं
+कहाँ <math displaystyle="inline">\mathbf A(x) = a^{kl}(x)</math> प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित धनात्मक-निश्चित आव्युह है {{mvar|x}} डोमेन में. हम रॉबिन सीमा शर्त क्रियान्वित करते हैं
 :<math> -\sum_{k,l}\nu_k a^{kl}\frac{\partial u}{\partial x_l} = c(u-g),</math>
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 :<math> \sum_j\left(\sum_{k,l}\int_\Omega a^{kl}\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_k}\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_l}dx+\int_{\partial\Omega}c\varphi_i\varphi_j\, ds\right)u_j = \int_\Omega\varphi_i f\, dx+\int_{\partial\Omega}c\varphi_i g\, ds,</math>
-जैसा कि ग्रीन की पहचान के एनालॉग का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। गुणांक {{mvar|u{{sub|i}}}} अभी भी रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करके पाए जाते हैं, लेकिन प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने वाला मैट्रिक्स सामान्य पॉइसन समस्या से स्पष्ट रूप से भिन्न है।
+जैसा कि ग्रीन की पहचान के एनालॉग का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। गुणांक {{mvar|u{{sub|i}}}} अभी भी रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करके पाए जाते हैं, किन्तु प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने वाला आव्युह सामान्य पॉइसन समस्या से स्पष्ट रूप से भिन्न है।
-सामान्य तौर पर, प्रत्येक अदिश अण्डाकार ऑपरेटर के लिए {{mvar|L}} आदेश की {{math|2''k''}}, [[द्विरेखीय रूप]] संबद्ध है {{mvar|B}} सोबोलेव क्षेत्र पर {{mvar|H{{sup|k}}}}, ताकि समीकरण का [[कमजोर सूत्रीकरण|अशक्त सूत्रीकरण]] हो सके {{math|1=''Lu'' = ''f''}} है
+सामान्यतः, प्रत्येक अदिश अण्डाकार ऑपरेटर के लिए {{mvar|L}} आदेश की {{math|2''k''}}, [[द्विरेखीय रूप]] संबद्ध है {{mvar|B}} सोबोलेव क्षेत्र पर {{mvar|H{{sup|k}}}}, जिससे कि समीकरण का [[कमजोर सूत्रीकरण|अशक्त सूत्रीकरण]] हो सके {{math|1=''Lu'' = ''f''}} है
 :<math> B[u,v] = (f,v)</math>
-सभी कार्यों के लिए {{mvar|v}} में {{mvar|H{{sup|k}}}}. फिर इस समस्या के लिए कठोरता मैट्रिक्स है
+सभी कार्यों के लिए {{mvar|v}} में {{mvar|H{{sup|k}}}}. फिर इस समस्या के लिए कठोरता आव्युह है
 :<math> \mathbf A_{ij} = B[\varphi_j,\varphi_i].</math>
-=='''कठोरता मैट्रिक्स की व्यावहारिक असेंबली'''==
+=='''कठोरता आव्युह की व्यावहारिक असेंबली'''==
-कंप्यूटर पर परिमित तत्व विधि को क्रियान्वित करने के लिए, किसी को पहले आधार कार्यों का समूह चुनना होगा और फिर कठोरता मैट्रिक्स को परिभाषित करने वाले इंटीग्रल्स की गणना करनी होगी। आमतौर पर, डोमेन {{math|Ω}} को जाल निर्माण के कुछ रूपों द्वारा विभेदित किया जाता है, जिसमें इसे गैर-अतिव्यापी त्रिभुज जाल या [[जाल के प्रकार]]ों में विभाजित किया जाता है, जिन्हें आम तौर पर तत्वों के रूप में जाना जाता है। फिर आधार कार्यों को प्रत्येक तत्व के अंदर कुछ क्रम के [[बहुपद]] और तत्व सीमाओं के पार निरंतर चुना जाता है। सबसे सरल विकल्प त्रिकोणीय तत्वों के लिए टुकड़ावार रैखिक फलन और आयताकार तत्वों के लिए टुकड़ावार द्विरेखीय हैं।
+कंप्यूटर पर परिमित तत्व विधि को क्रियान्वित करने के लिए, किसी को पहले आधार कार्यों का समूह चुनना होगा और फिर कठोरता आव्युह को परिभाषित करने वाले इंटीग्रल्स की गणना करनी होगी। सामान्यतः, डोमेन {{math|Ω}} को जाल निर्माण के कुछ रूपों द्वारा विभेदित किया जाता है, जिसमें इसे गैर-अतिव्यापी त्रिभुज जाल या [[जाल के प्रकार]]ों में विभाजित किया जाता है, जिन्हें सामान्यतः तत्वों के रूप में जाना जाता है। फिर आधार कार्यों को प्रत्येक तत्व के अंदर कुछ क्रम के [[बहुपद]] और तत्व सीमाओं के पार निरंतर चुना जाता है। सबसे सरल विकल्प त्रिकोणीय तत्वों के लिए टुकड़ावार रैखिक फलन और आयताकार तत्वों के लिए टुकड़ावार द्विरेखीय हैं।
-तत्व कठोरता मैट्रिक्स {{math|'''A'''<sup>[''k'']</sup>}}तत्व के लिए {{mvar|T{{sub|k}}}} मैट्रिक्स है
+तत्व कठोरता आव्युह {{math|'''A'''<sup>[''k'']</sup>}}तत्व के लिए {{mvar|T{{sub|k}}}} आव्युह है
 :<math> \mathbf A^{[k]}_{ij} = \int_{T_k}\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math>
-अधिकांश मानों के लिए तत्व कठोरता मैट्रिक्स शून्य है {{mvar|i}} और {{mvar|j}}, जिसके लिए संबंधित आधार फलन शून्य हैं {{mvar|T{{sub|k}}}}. पूर्ण कठोरता मैट्रिक्स {{math|'''A'''}} तत्व कठोरता मैट्रिक्स का योग है। विशेष रूप से, उन आधार कार्यों के लिए जो केवल स्थानीय रूप से समर्थित हैं, कठोरता मैट्रिक्स [[विरल मैट्रिक्स]] है।
+अधिकांश मानों के लिए तत्व कठोरता आव्युह शून्य है {{mvar|i}} और {{mvar|j}}, जिसके लिए संबंधित आधार फलन शून्य हैं {{mvar|T{{sub|k}}}}. पूर्ण कठोरता आव्युह {{math|'''A'''}} तत्व कठोरता आव्युह का योग है। विशेष रूप से, उन आधार कार्यों के लिए जो केवल स्थानीय रूप से समर्थित हैं, कठोरता आव्युह [[विरल मैट्रिक्स|विरल आव्युह]] है।
-आधार कार्यों के अनेक मानक विकल्पों के लिए, यानी त्रिकोणों पर टुकड़े-टुकड़े रैखिक आधार कार्यों के लिए, तत्व कठोरता मैट्रिक्स के लिए सरल सूत्र हैं। उदाहरण के लिए, टुकड़ों में रैखिक तत्वों के लिए, शीर्षों वाले त्रिभुज पर विचार करें {{math|(''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}}, {{math|(''x''{{sub|2}}, ''y''{{sub|2}})}}, {{math|(''x''{{sub|3}}, ''y''{{sub|3}})}}, और 2×3 मैट्रिक्स को परिभाषित करें
+आधार कार्यों के अनेक मानक विकल्पों के लिए, अर्थात त्रिकोणों पर टुकड़े-टुकड़े रैखिक आधार कार्यों के लिए, तत्व कठोरता आव्युह के लिए सरल सूत्र हैं। उदाहरण के लिए, टुकड़ों में रैखिक तत्वों के लिए, शीर्षों वाले त्रिभुज पर विचार करें {{math|(''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}}, {{math|(''x''{{sub|2}}, ''y''{{sub|2}})}}, {{math|(''x''{{sub|3}}, ''y''{{sub|3}})}}, और 2×3 आव्युह को परिभाषित करें
 :<math> \mathbf D = \left[\begin{matrix}x_3 - x_2 & x_1 - x_3 & x_2 - x_1 \\ y_3 - y_2 & y_1 - y_3 & y_2 - y_1\end{matrix}\right].</math>
-फिर तत्व कठोरता मैट्रिक्स है
+फिर तत्व कठोरता आव्युह है
 :<math> \mathbf A^{[k]} = \frac{\mathbf D^\mathsf{T} \mathbf D}{4\operatorname{area}(T)}.</math>
-जब अंतर समीकरण अधिक जटिल होता है, मान लीजिए कि अमानवीय प्रसार गुणांक होता है, तब तत्व कठोरता मैट्रिक्स को परिभाषित करने वाले अभिन्न अंग का मूल्यांकन गॉसियन चतुर्भुज द्वारा किया जा सकता है।
+जब अंतर समीकरण अधिक समष्टि होता है, मान लीजिए कि अमानवीय प्रसार गुणांक होता है, तब तत्व कठोरता आव्युह को परिभाषित करने वाले अभिन्न अंग का मूल्यांकन गॉसियन चतुर्भुज द्वारा किया जा सकता है।
-कठोरता मैट्रिक्स की स्थिति संख्या संख्यात्मक ग्रिड की गुणवत्ता पर दृढ़ता से निर्भर करती है। विशेष रूप से, परिमित तत्व जाल में छोटे कोण वाले त्रिकोण कठोरता मैट्रिक्स के बड़े आइगेनवैल्यू को प्रेरित करते हैं, जिससे समाधान की गुणवत्ता खराब हो जाती है।
+कठोरता आव्युह की स्थिति संख्या संख्यात्मक ग्रिड की गुणवत्ता पर दृढ़ता से निर्भर करती है। विशेष रूप से, परिमित तत्व जाल में छोटे कोण वाले त्रिकोण कठोरता आव्युह के बड़े आइगेनवैल्यू को प्रेरित करते हैं, जिससे समाधान की गुणवत्ता खराब हो जाती है।
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