सिग्नल पुनर्निर्माण: Difference between revisions

Revision as of 17:10, 28 July 2023

संकेत प्रोसेसिंग में, पुनर्निर्माण का कारण सामान्यतः समान दूरी वाले प्रतिरूपों के अनुक्रम से मूल निरंतर सिग्नल का निर्धारण होता है।

यह आलेख सिग्नल सैंपलिंग और पुनर्निर्माण के लिए सामान्यीकृत एब्स्ट्रेक्ट गणितीय दृष्टिकोण अपनाता है। बैंड-सीमित संकेतों पर आधारित अधिक व्यावहारिक दृष्टिकोण के लिए, व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन सूत्र देखें।

सामान्य सिद्धांत

मान लीजिए कि F कोई सैम्पलिंग विधि है, अर्थात वर्ग-अभिन्न फलनों के हिल्बर्ट समिष्ट $L^{2}$ से सम्मिश्र समिष्ट तक एक रेखीय मानचित्र $\mathbb {C} ^{n}$

हमारे उदाहरण में, सैंपलिंग संकेतों का सदिश समिष्ट $\mathbb {C} ^{n}$ n-आयामी सम्मिश्र समिष्ट है। F के किसी भी प्रस्तावित व्युत्क्रम R (पुनर्निर्माण सूत्र, भाषा में) को $\mathbb {C} ^{n}$ को $L^{2}$ के कुछ सबसेट में मैप करना होगा। हम इस उपसमुच्चय को अनैतिक रूप से से चुन सकते हैं, किन्तु यदि हम एक पुनर्निर्माण सूत्र आर चाहते हैं जो एक रैखिक मानचित्र भी है, तो हमें $L^{2}$ का एक n-आयामी रैखिक उपस्थान चुनना होगा

यह तथ्य कि आयामों को सहमत होना है, नाइक्विस्ट-शैनन सैम्पलिंग प्रमेय से संबंधित है।

प्राथमिक रैखिक बीजगणित दृष्टिकोण यहां काम करता है। मान लीजिए $d_{k}:=(0,...,0,1,0,...,0)$ (kth प्रविष्टि को छोड़कर, जो कि एक है, सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं) या $\mathbb {C} ^{n}$ कोई अन्य आधार F के लिए व्युत्क्रम परिभाषित करने के लिए, बस प्रत्येक k के लिए n $e_{k}\in L^{2}$ चुनें जिससे $F(e_{k})=d_{k}$ . यह विशिष्ट रूप से F के (छद्म-) व्युत्क्रम को परिभाषित करता है।

निस्संदेह, कोई पहले कुछ पुनर्निर्माण सूत्र चुन सकता है, फिर या तो पुनर्निर्माण सूत्र से कुछ सैंपलिंग एल्गोरिदम की गणना कर सकता है, या दिए गए सूत्र के संबंध में दिए गए सैंपलिंग एल्गोरिदम के व्यवहार का विश्लेषण कर सकता है।

सामान्यतः, पुनर्निर्माण सूत्र अपेक्षित त्रुटि विचरण को कम करके प्राप्त किया जाता है। इसके लिए आवश्यक है कि या तो सिग्नल आँकड़े ज्ञात हों या सिग्नल के लिए पूर्व संभावना निर्दिष्ट की जा सकती है। इस प्रकार सूचना क्षेत्र सिद्धांत इष्टतम पुनर्निर्माण सूत्र प्राप्त करने के लिए उपयुक्त गणितीय औपचारिकता है।^[1]

यह भी देखें

एलियासिंग
नाइक्विस्ट-शैनन सैम्पलिंग प्रमेय
व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन सूत्र

संदर्भ

↑ "सूचना क्षेत्र सिद्धांत". Max Planck Society. Retrieved 13 November 2014.

[1] "सूचना क्षेत्र सिद्धांत". Max Planck Society. Retrieved 13 November 2014.

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Important subject of signal processing and engineering}}
-[[ संकेत आगे बढ़ाना | संकेत आगे बढ़ाना]] में, पुनर्निर्माण का मतलब आमतौर पर समान दूरी वाले नमूनों के अनुक्रम से मूल निरंतर सिग्नल का निर्धारण होता है।
+[[ संकेत आगे बढ़ाना | संकेत प्रोसेसिंग]] में, '''पुनर्निर्माण''' का कारण सामान्यतः समान दूरी वाले प्रतिरूपों के अनुक्रम से मूल निरंतर सिग्नल का निर्धारण होता है।
-यह आलेख सिग्नल सैंपलिंग और पुनर्निर्माण के लिए सामान्यीकृत अमूर्त गणितीय दृष्टिकोण अपनाता है। बैंड-सीमित संकेतों पर आधारित अधिक व्यावहारिक दृष्टिकोण के लिए, व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला देखें।
+यह आलेख सिग्नल सैंपलिंग और पुनर्निर्माण के लिए सामान्यीकृत एब्स्ट्रेक्ट गणितीय दृष्टिकोण अपनाता है। बैंड-सीमित संकेतों पर आधारित अधिक व्यावहारिक दृष्टिकोण के लिए, व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन सूत्र देखें।
 == सामान्य सिद्धांत ==
-मान लीजिए कि F कोई नमूनाकरण विधि है, अर्थात वर्ग-अभिन्न कार्यों के [[हिल्बर्ट स्थान]] से रेखीय मानचित्र <math>L^2</math> [[जटिल संख्या]] स्थान के लिए <math>\mathbb C^n</math>.
+मान लीजिए कि F कोई सैम्पलिंग विधि है, अर्थात वर्ग-अभिन्न फलनों के [[हिल्बर्ट स्थान|हिल्बर्ट समिष्ट]] <math>L^2</math> से सम्मिश्र समिष्ट तक एक रेखीय मानचित्र <math>\mathbb C^n</math>
-हमारे उदाहरण में, नमूना संकेतों का वेक्टर स्थान <math>\mathbb C^n</math> एन-आयामी जटिल स्थान है। एफ के किसी भी प्रस्तावित व्युत्क्रम आर (पुनर्निर्माण सूत्र, भाषा में) को मैप करना होगा <math>\mathbb C^n</math> के कुछ उपसमुच्चय के लिए <math>L^2</math>. हम इस उपसमुच्चय को मनमाने ढंग से चुन सकते हैं, लेकिन यदि हम पुनर्निर्माण सूत्र आर चाहते हैं जो रैखिक मानचित्र भी है, तो हमें एन-आयामी रैखिक उप-स्थान चुनना होगा <math>L^2</math>.
+हमारे उदाहरण में, सैंपलिंग संकेतों का सदिश समिष्ट <math>\mathbb C^n</math> n-आयामी सम्मिश्र समिष्ट है। F के किसी भी प्रस्तावित व्युत्क्रम R (पुनर्निर्माण सूत्र, भाषा में) को <math>\mathbb C^n</math> को <math>L^2</math> के कुछ सबसेट में मैप करना होगा। हम इस उपसमुच्चय को अनैतिक रूप से से चुन सकते हैं, किन्तु यदि हम एक पुनर्निर्माण सूत्र आर चाहते हैं जो एक रैखिक मानचित्र भी है, तो हमें <math>L^2</math> का एक n-आयामी रैखिक उपस्थान चुनना होगा
-यह तथ्य कि आयामों को सहमत होना है, नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय से संबंधित है।
+यह तथ्य कि आयामों को सहमत होना है, नाइक्विस्ट-शैनन सैम्पलिंग प्रमेय से संबंधित है।
-प्राथमिक रैखिक बीजगणित दृष्टिकोण यहां काम करता है। होने देना <math>d_k:=(0,...,0,1,0,...,0)</math> (सभी प्रविष्टियाँ शून्य, kth प्रविष्टि को छोड़कर, जो है) या कोई अन्य आधार <math>\mathbb C^n</math>. F के लिए व्युत्क्रम परिभाषित करने के लिए, बस प्रत्येक k के लिए an चुनें <math>e_k \in L^2</math> ताकि <math>F(e_k)=d_k</math>. यह विशिष्ट रूप से F के (छद्म-)व्युत्क्रम को परिभाषित करता है।
+प्राथमिक रैखिक बीजगणित दृष्टिकोण यहां काम करता है। मान लीजिए <math>d_k:=(0,...,0,1,0,...,0)</math> (kth प्रविष्टि को छोड़कर, जो कि एक है, सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं) या <math>\mathbb C^n</math> कोई अन्य आधार F के लिए व्युत्क्रम परिभाषित करने के लिए, बस प्रत्येक k के लिए n <math>e_k \in L^2</math> चुनें  जिससे <math>F(e_k)=d_k</math>. यह विशिष्ट रूप से F के (छद्म-) व्युत्क्रम को परिभाषित करता है।
-बेशक, कोई पहले कुछ पुनर्निर्माण सूत्र चुन सकता है, फिर या तो पुनर्निर्माण सूत्र से कुछ नमूना एल्गोरिदम की गणना कर सकता है, या दिए गए सूत्र के संबंध में दिए गए नमूना एल्गोरिदम के व्यवहार का विश्लेषण कर सकता है।
-आदर्श रूप से, पुनर्निर्माण सूत्र अपेक्षित त्रुटि विचरण को कम करके प्राप्त किया जाता है। इसके लिए आवश्यक है कि या तो सिग्नल आँकड़े ज्ञात हों या सिग्नल के लिए पूर्व संभावना निर्दिष्ट की जा सके। [[सूचना क्षेत्र सिद्धांत]] इष्टतम पुनर्निर्माण सूत्र प्राप्त करने के लिए उपयुक्त गणितीय औपचारिकता है।<ref>{{cite web |url=http://www.mpa-garching.mpg.de/ift/ |title=सूचना क्षेत्र सिद्धांत|last1= |first1= |last2= |first2= |date= |website= |publisher= Max Planck Society|accessdate=13 November 2014 }}</ref>
+निस्संदेह, कोई पहले कुछ पुनर्निर्माण सूत्र चुन सकता है, फिर या तो पुनर्निर्माण सूत्र से कुछ सैंपलिंग एल्गोरिदम की गणना कर सकता है, या दिए गए सूत्र के संबंध में दिए गए सैंपलिंग एल्गोरिदम के व्यवहार का विश्लेषण कर सकता है।
+सामान्यतः, पुनर्निर्माण सूत्र अपेक्षित त्रुटि विचरण को कम करके प्राप्त किया जाता है। इसके लिए आवश्यक है कि या तो सिग्नल आँकड़े ज्ञात हों या सिग्नल के लिए पूर्व संभावना निर्दिष्ट की जा सकती है। इस प्रकार [[सूचना क्षेत्र सिद्धांत]] इष्टतम पुनर्निर्माण सूत्र प्राप्त करने के लिए उपयुक्त गणितीय औपचारिकता है।<ref>{{cite web |url=http://www.mpa-garching.mpg.de/ift/ |title=सूचना क्षेत्र सिद्धांत|last1= |first1= |last2= |first2= |date= |website= |publisher= Max Planck Society|accessdate=13 November 2014 }}</ref>
 == लोकप्रिय पुनर्निर्माण सूत्र ==
-शायद सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला पुनर्निर्माण सूत्र इस प्रकार है। होने देना <math>\{ e_k \}</math> का आधार बनें <math>L^2</math> हिल्बर्ट अंतरिक्ष अर्थ में; उदाहरण के लिए, कोई ईकोनल का उपयोग कर सकता है
+संभवतः सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला पुनर्निर्माण सूत्र इस प्रकार है। मान लीजिए कि हिल्बर्ट समिष्ट अर्थ में <math>\{ e_k \}</math> <math>L^2</math> का आधार है; उदाहरण के लिए, कोई ईकोनल का उपयोग कर सकता है
 :<math>e_k(t):=e^{2\pi i k t}\,</math>,
-हालाँकि अन्य विकल्प निश्चित रूप से संभव हैं। ध्यान दें कि यहाँ सूचकांक k कोई भी पूर्णांक हो सकता है, यहाँ तक कि ऋणात्मक भी।
+चूँकि अन्य विकल्प निश्चित रूप से संभव हैं। ध्यान दें कि यहाँ सूचकांक k कोई भी पूर्णांक हो सकता है, यहाँ तक कि ऋणात्मक भी होता है।
 तब हम रेखीय मानचित्र R को परिभाषित कर सकते हैं
 :<math>R(d_k)=e_k\,</math>
-प्रत्येक के लिए <math>k=\lfloor -n/2 \rfloor,...,\lfloor (n-1)/2 \rfloor</math>, कहाँ <math>(d_k)</math> का आधार है <math>\mathbb C^n</math> द्वारा दिए गए
+प्रत्येक के लिए <math>k=\lfloor -n/2 \rfloor,...,\lfloor (n-1)/2 \rfloor</math>, जहाँ <math>(d_k)</math> <math>\mathbb C^n</math> का आधार है
 :<math>d_k(j)=e^{2 \pi i j k \over n}</math>
 (यह सामान्य असतत फूरियर आधार है।)
-रेंज का चुनाव <math>k=\lfloor -n/2 \rfloor,...,\lfloor (n-1)/2 \rfloor</math> कुछ हद तक मनमाना है, हालांकि यह आयामीता की आवश्यकता को पूरा करता है और सामान्य धारणा को दर्शाता है कि सबसे महत्वपूर्ण जानकारी कम आवृत्तियों में निहित है। कुछ मामलों में, यह गलत है, इसलिए अलग पुनर्निर्माण फॉर्मूला चुनने की जरूरत है।
+रेंज <math>k=\lfloor -n/2 \rfloor,...,\lfloor (n-1)/2 \rfloor</math> का चुनाव कुछ सीमा तक अनैतिक है, चूँकि यह आयामीता की आवश्यकता को पूरा करता है और सामान्य धारणा को दर्शाता है कि सबसे महत्वपूर्ण जानकारी कम आवृत्तियों में निहित है। कुछ स्थितियों में, यह गलत है, इसलिए अलग पुनर्निर्माण सूत्र चुनने की आवश्यक है।
-हिल्बर्ट आधारों के बजाय तरंगिकाओं का उपयोग करके समान दृष्टिकोण प्राप्त किया जा सकता है। कई अनुप्रयोगों के लिए, सर्वोत्तम दृष्टिकोण आज भी स्पष्ट नहीं है।{{or?|date=December 2020}}
+हिल्बर्ट आधारों के अतिरिक्त तरंगिकाओं का उपयोग करके समान दृष्टिकोण प्राप्त किया जा सकता है। कई अनुप्रयोगों के लिए, सर्वोत्तम दृष्टिकोण आज भी स्पष्ट नहीं है।{{or?|date=December 2020}}
 == यह भी देखें ==
 * [[ एलियासिंग ]]
-* नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय
+* नाइक्विस्ट-शैनन सैम्पलिंग प्रमेय
-* व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला
+* व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन सूत्र
-==संदर्भ==
+==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                          ==
 {{Reflist}}
 [[Category: सिग्नल प्रोसेसिंग|पुनर्निर्माण]]

Anonymous

Search

सिग्नल पुनर्निर्माण: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 17:10, 28 July 2023

Contents

सामान्य सिद्धांत

लोकप्रिय पुनर्निर्माण सूत्र

यह भी देखें

संदर्भ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

सिग्नल पुनर्निर्माण: Difference between revisions

Revision as of 17:10, 28 July 2023

सामान्य सिद्धांत

लोकप्रिय पुनर्निर्माण सूत्र

यह भी देखें

संदर्भ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories