परिमित-रैंक संक्रियक

फंक्शनल विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, एक परिमित-रैंक ऑपरेटर बनच रिक्त स्थान के बीच एक सीमित रैखिक ऑपरेटर है जिसकी सीमा परिमित-आयामी है।

हिल्बर्ट स्थान पर परिमित-रैंक ऑपरेटर

एक विहित रूप

सीमित-श्रेणी ऑपरेटर अनंत-आयामी परिस्थितियों में परिवर्तित किए गए संख्यात्मक मैट्रिक्स होते हैं (सीमित आकार के)। इस तरह, इन ऑपरेटरों को रैखिक बीजगणित तकनीकों के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है।

रैखिक बीजगणित से, हम जानते हैं कि एक आयताकार मैट्रिक्स, जटिल प्रविष्टियों के साथ, $M\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ की रैंक $1$ होती है यदि और केवल यदि $M$ निम्न के रूप में हो

$M=\alpha \cdot uv^{*},\quad {\mbox{where}}\quad \|u\|=\|v\|=1\quad {\mbox{and}}\quad \alpha \geq 0.$

यदि एक हिलबर्ट अंतर्वाल $H$ पर एक ऑपरेटर $T$ की श्रेणी $1$ है, तो समान्य तरीके से यह साबित करता है कि:

$Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,$

जहां $\alpha ,u,v$ पर स्थितियाँ परिमित आयामी मामले के समान हैं।

इसलिए, प्रेरण द्वारा, परिमित रैंक $n$ का एक ऑपरेटर $T$ फॉर्म लेता है

$Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,$

जहां $\{u_{i}\}$ और $\{v_{i}\}$ अर्थोनॉर्मल आधार हैं। ध्यान दें कि यह मूलतः एक सिंगुलर मूल्य विघटन का पुनर्वक्तव्य है। इसे सीमित-श्रेणी ऑपरेटरों के कैनोनिक रूप के रूप में कहा जा सकता है।

स्वयं एक सामान्यीकरण करते हुए, यदि ऑपरेटर $n$ अब गणनीय अनंत अंतराली है और सकारात्मक संख्याओं की श्रेणी $\{\alpha _{i}\}$ केवल $0$ पर समग्र होती है, तो ऑपरेटर $T$ एक संक्षेपित ऑपरेटर बन जाता है, और इस मामले में, संक्षेपित ऑपरेटरों के लिए कैनोनिक रूप होता है।

यदि श्रेणी $\sum _{i}\alpha _{i}$ कनवर्जेंट है, तो $T$ एक ट्रेस क्लास ऑपरेटर है।

बीजगणितीय गुण

हिलबर्ट स्पेस $H$ पर सीमित-श्रेणी ऑपरेटर $F(H)$ का परिवार $L(H)$ में दो-तरफी *-आदेश बनाता है, जो $H$ पर बाउंडेड ऑपरेटरों का एल्जेब्रा है। वास्तव में यह ऐसे आदर्शों के बीच न्यूनतम तत्व है, यानी, $L(H)$ में से किसी भी दो-तरफा *-आदर्श $I$ में परिमित-रैंक ऑपरेटर शामिल होना चाहिए। इसे साबित करना मुश्किल नहीं है। किसी भी गैर-शून्य ऑपरेटर $T\in I$ को लें, तब $f,g\neq 0$ के लिए कुछ $Tf=g$ होगा। यह पर्याप्त है कि किसी भी $h,k\in H$ के लिए, श्रेणी-1 ऑपरेटर $S_{h,k}$ जो $h$ को $k$ में अभिविन्यस्त करता है, $I$ में स्थित होता है। $S_{h,f}$ को उस श्रेणी-1 ऑपरेटर के रूप में परिभाषित करें जो $h$ को $f$ में अभिविन्यस्त करता है, और $S_{g,k}$ को भी तदनुसार।

$S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,$

जिसका अर्थ है कि $I$ में $S_{h,k}$ है और यह दावे की पुष्टि करता है।

$L(H)$ में दो-तरफा *-आइडियल्स के कुछ उदाहरण ट्रेस-क्लास, हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर्स और कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हैं। $F(H)$ इन तीनों आदर्शों में, उनके संबंधित मानदंडों में सघन है।

चूंकि $L(H)$ में किसी भी दो-तरफा आदर्श में $F(H)$ होना चाहिए, बीजगणित $L(H)$ सरल है और केवल तभी जब यह परिमित आयामी है।

बनैच स्पेस पर परिमित-रैंक ऑपरेटर

एक बैनाख अंतर्वालों के बीच एक सीमित-श्रेणी ऑपरेटर $T:U\to V$ एक बाउंडेड ऑपरेटर है, जिसकी चेतना (रेंज) सीमित आयामी है। हिलबर्ट अंतर्वालों के मामले की तरह, इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad {\mbox{for all}}\quad h\in U,$

जहां अब $v_{i}\in V$, और $u_{i}\in U'$ अंतरिक्ष $U$ पर बंधे हुए रैखिक कार्यात्मक हैं।

एक बाउंडेड रैखिक संवाहक एक सीमित-श्रेणी ऑपरेटर का एक विशेष प्रकार है, जो एक श्रेणी-एक है।