प्रसंभाव्यता अस्थिरता: Difference between revisions

Revision as of 17:52, 6 August 2023

सांख्यिकी में, प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल वे होते हैं जिनमें प्रसंभाव्यता प्रक्रिया की भिन्नता स्वयं यादृच्छिक रूप से वितरित होती है।^[1] इनका उपयोग गणितीय वित्त के क्षेत्र में व्युत्पन्न प्रतिभूतियों, जैसे कि विकल्प, का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। यह नाम अवस्था चर द्वारा शासित एक यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में अंतर्निहित प्रतिभूति की अस्थिरता के मॉडल के निरूपण से लिया गया है। जैसे कि अंतर्निहित प्रतिभूति का मूल्य स्तर, अस्थिरता की कुछ दीर्घकालिक माध्य मान पर पूर्वस्थिति की प्रवृत्ति, और अस्थिरता प्रक्रिया में भिन्नता, अन्य।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल के दोष को हल करने के लिए स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल एक दृष्टिकोण है। विशेष रूप से, ब्लैक-स्कोल्स पर आधारित मॉडल मानते हैं कि अंतर्निहित अस्थिरता व्युत्पन्न के जीवन भर स्थिर रहती है, और अंतर्निहित प्रतिभूति के मूल्य स्तर में बदलाव से अप्रभावित रहती है। हालाँकि, ये मॉडल अंतर्निहित अस्थिरता सतह की लंबे समय से देखी गई विशेषताओं जैसे कि अस्थिरता अनुकूल और विषमतलीय की व्याख्या नहीं कर सकते हैं, जो इंगित करता है कि अंतर्निहित अस्थिरता स्ट्राइक मूल्य और समाप्ति के संबंध में भिन्न होती है। यह मानकर कि अंतर्निहित कीमत की अस्थिरता स्थिरांक के स्थान पर प्रसंभाव्यता प्रक्रिया है, व्युत्पन्नों को अधिक सटीक रूप से मॉडल करना संभव हो जाता है।

मात्र ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल के बीच मध्य क्षेत्र स्थानीय अस्थिरता मॉडल द्वारा आवृत किया गया है। इन मॉडलों में अंतर्निहित अस्थिरता में कोई नई यादृच्छिकता नहीं है लेकिन यह एक स्थिरांक भी नहीं है। स्थानीय अस्थिरता मॉडल में अस्थिरता बिना किसी अतिरिक्त यादृच्छिकता के, अंतर्निहित परिसंपत्ति का असतहीय फलन है। इस परिभाषा के अनुसार, भिन्नता की स्थिर प्रत्यास्थता जैसे मॉडल स्थानीय अस्थिरता मॉडल होंगे, हालांकि उन्हें कभी-कभी प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। कुछ स्थितियों में वर्गीकरण थोड़ा अस्पष्ट हो सकता है।

प्रसंभाव्यता अस्थिरता के प्रारंभिक इतिहास की कई रूट (अर्थात प्रसंभाव्यता प्रक्रिया, विकल्प मूल्य निर्धारण और अर्थमिति) हैं, इसकी समीक्षा नील शेफर्ड (2005) "प्रसंभाव्यता अस्थिरता," ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस के अध्याय 1 में की गई है।

मूल मॉडल

सतत अस्थिरता दृष्टिकोण से प्रारम्भ करते हुए, मान लें कि व्युत्पन्न की अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए मानक मॉडल का पालन करती है-

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,

जहां $\mu \,$ , प्रतिभूति मूल्य का सतत प्रक्षेप (अर्थात अपेक्षित लाभ) है $S_{t}\,$ , $\sigma \,$ , सतत अस्थिरता है, और $dW_{t}\,$ , शून्य माध्य और भिन्नता की इकाई दर के साथ मानक वीनर प्रक्रिया है। इस प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण का स्पष्ट हल है

S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.

अलग-अलग समय $t_{i}\,$ पर दिए गए स्टॉक मूल्यों $S_{t}\,$ के लिए सतत अस्थिरता $\sigma \,$ का अनुमान लगाने के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक है

{\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}

इसका अपेक्षित मान $\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}$ है।

सतत अस्थिरता $\sigma \,$ वाला यह मूल मॉडल, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और कॉक्स-रॉस-रुबिनस्टीन मॉडल जैसे गैर-प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल के लिए प्रारम्भिक बिंदु है।

प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल के लिए, सतत स्थिरता $\sigma$ को फलन $\nu _{t}$ से बदलें जो $S_{t}$ की भिन्नता को मॉडल करता है। इस भिन्नता फलन को ब्राउनियन गति के रूप में भी मॉडल किया गया है, और $\nu _{t}$ का रूप अध्ययन के तहत विशेष SV मॉडल पर निर्भर करता है।

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,

d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,

जहां $\alpha _{\nu ,t}$ और $\beta _{\nu ,t}$ , $\nu$ के कुछ फलन हैं, और $dB_{t}$ एक अन्य मानक गाऊशियन है जो सतत सहसंबंध कारक $\rho$ के साथ $dW_{t}$ के साथ सहसंबद्ध है।

हेस्टन मॉडल

प्रचलित हेस्टन मॉडल प्रायः उपयोग किये जाने वाले SV मॉडल है, जिसमें भिन्नता प्रक्रिया की यादृच्छिकता भिन्नता के वर्गमूल के रूप में भिन्न होती है। इस स्थिति में, भिन्नता के लिए अवकल समीकरण रूप लेता है-

d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,

जहां $\omega$ माध्य दीर्घकालिक भिन्नता है, $\theta$ वह दर है जिस पर भिन्नता अपने दीर्घकालिक माध्य की ओर लौटता है, $\xi$ विचरण प्रक्रिया की अस्थिरता है, और $dB_{t}$ , $dW_{t}$ की तरह, शून्य माध्य और $dt$ भिन्नता वाली एक गॉसियन है। हालाँकि, $dW_{t}$ और $dB_{t}$ सतत सहसंबंध मान $\rho$ के साथ सहसंबद्ध हैं।

दूसरे शब्दों में, हेस्टन SV मॉडल मानता है कि भिन्नता एक यादृच्छिक प्रक्रिया है

$\theta$ दर पर दीर्घावधि माध्य $\omega$ की ओर लौटने की प्रवृत्ति प्रदर्शित करता है,
अपने स्तर के वर्गमूल के अनुपात में अस्थिरता प्रदर्शित करता है
और जिसकी यादृच्छिकता का स्रोत अंतर्निहित मूल्य प्रक्रियाओं की यादृच्छिकता के साथ सहसंबद्ध (सहसंबंध $\rho$ के साथ) है।

अस्थिरता सतह के कुछ पैरामीट्रिज़ेशन, जैसे 'एसवीआई (SVI)',^[2] हेस्टन मॉडल पर आधारित हैं।

सीईवी (CEV) मॉडल

सीईवी मॉडल प्रसंभाव्यता अस्थिरता का परिचय देते हुए अस्थिरता और मूल्य के बीच संबंध का वर्णन करता है-

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}

वैचारिक रूप से, कुछ बाजारों में मूल्यों के बढ़ने पर अस्थिरता बढ़ (उदाहरण के लिए वस्तुएं) जाती है, इसलिए $\gamma >1$ । अन्य बाज़ारों में, मूल्यों के गिरने के साथ-साथ अस्थिरता बढ़ जाती है, जिसे $\gamma <1$ के अनुरूप बनाया गया है।

कुछ लोगों का तर्क है कि क्योंकि सीईवी मॉडल अस्थिरता के लिए अपनी स्वयं की प्रसंभाव्यता प्रक्रिया को सम्मिलित नहीं करता है, यह वास्तव में एक प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल नहीं है। इसके स्थान पर, वे इसे स्थानीय अस्थिरता मॉडल कहते हैं।

एसएबीआर (SABR) अस्थिरता मॉडल

एसएबीआर मॉडल (स्टोकेस्टिक अल्फा, बीटा, आरएचओ), हेगन एट अल द्वारा प्रस्तुत किया गया है।^[3] प्रसंभाव्यता अस्थिरता $\sigma$ के तहत एकल अग्रसर $F$ (किसी भी परिसंपत्ति जैसे सूचकांक, ब्याज दर, बांड, मुद्रा या इक्विटी से संबंधित) का वर्णन करता है-

dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},

d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},

प्रारंभिक मान $F_{0}$ और $\sigma _{0}$ वर्तमान अग्रेषित मूल्य और अस्थिरता हैं, जबकि $W_{t}$ और $Z_{t}$ सहसंबंध गुणांक $-1<\rho <1$ के साथ दो सहसंबद्ध वीनर प्रक्रियाएं (अर्थात ब्राउनियन गति) हैं। स्थिर पैरामीटर $\beta ,\;\alpha$ ऐसे हैं कि $0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0$ ।

एसएबीआर मॉडल की मुख्य विशेषता अस्थिरता अनुकूल के अनुकूल प्रभाव को पुन: उत्पन्न करने में सक्षम होना है।

जीएआरसीएच (GARCH) मॉडल

जेनरेलाइजिड ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (GARCH) मॉडल प्रसंभाव्यता अस्थिरता का अनुमान लगाने के लिए एक और लोकप्रिय मॉडल है। यह मानते है कि भिन्नता प्रक्रिया की यादृच्छिकता भिन्नता के साथ भिन्न होती है, जैसा कि हेस्टन मॉडल में भिन्नता के वर्गमूल के विपरीत होता है। मानक जीएआरसीएच(1,1) मॉडल में सतत भिन्नता अवकल के लिए निम्नलिखित रूप हैं-^[4]

d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,

जीएआरसीएच मॉडल को कई प्रकारों के माध्यम से विस्तारित किया गया है, जिनमें एनजीएआरसीएच (NGARCH), टीजीएआरसीएच (TGARCH), आईजीएआरसीएच (IGARCH),एलजीएआरसीएच (LGARCH), ईजीएआरसीएच (EGARCH), जीजेआर-जीएआरसीएच (GJR-GARCH), आदि सम्मिलित हैं।

हालाँकि, दृढ़ता से, जीएआरसीएच मॉडल से सशर्त अस्थिरताएं प्रसंभाव्यता नहीं हैं क्योंकि समय-समय पर पिछले मानों को देखते हुए अस्थिरता पूरी तरह से पूर्व-निर्धारित (नियतात्मक) होती है।^[5]

3/2 मॉडल

3/2 मॉडल हेस्टन मॉडल के समान है, लेकिन यह मानता है कि भिन्नता प्रक्रिया की यादृच्छिकता $\nu _{t}^{3/2}$ के साथ बदलती रहती है। भिन्नता अवकलन का रूप है-

d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,

हालाँकि मापदंडों का अर्थ हेस्टन मॉडल से भिन्न है। इस मॉडल में, भिन्नता मापदंडों की माध्य प्रत्यावर्तन और अस्थिरता दोनों क्रमशः $\theta \nu _{t}$ और $\xi \nu _{t}$ द्वारा दी गई प्रसंभाव्यता मात्राएँ हैं।

कठिन अस्थिरता मॉडल

उच्च आवृत्ति डेटा से अस्थिरता के अनुमान का उपयोग करके, अस्थिरता प्रक्रिया की सहजता पर सवाल उठाया गया है।^[6] यह पाया गया है कि लॉग-अस्थिरता क्रम के हर्स्ट प्रतिपादक के साथ एक भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के रूप में व्यवहार करती है $H=0.1$ , किसी भी उचित समयसीमा पर। इसके कारण फ्रैक्शनल स्टोकेस्टिक अस्थिरता (एफएसवी) मॉडल को अपनाया गया,^[7] एक समग्र रफ एफएसवी (आरएफएसवी) की ओर ले जाना, जहां रफ को उजागर करना है $H<1/2$ . आरएफएसवी मॉडल समय श्रृंखला डेटा के अनुरूप है, जो वास्तविक अस्थिरता के बेहतर पूर्वानुमान की अनुमति देता है।^[6]

अंशांकन और अनुमान

एक बार एक विशेष एसवी मॉडल चुने जाने के बाद, इसे मौजूदा बाजार डेटा के अनुसार कैलिब्रेट किया जाना चाहिए। कैलिब्रेशन मॉडल मापदंडों के सेट की पहचान करने की प्रक्रिया है जो देखे गए डेटा को दिए जाने की सबसे अधिक संभावना है। एक लोकप्रिय तकनीक अधिकतम संभावना (एमएलई) का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, हेस्टन मॉडल में, मॉडल मापदंडों का सेट $\Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,$ ऐतिहासिक अंतर्निहित सुरक्षा कीमतों के अवलोकन के लिए पॉवेल निर्देशित सेट विधि [1] जैसे एमएलई एल्गोरिदम को लागू करने का अनुमान लगाया जा सकता है।

इस मामले में, आप एक अनुमान के साथ शुरुआत करते हैं $\Psi _{0}\,$ , परिणामी मॉडल पर ऐतिहासिक मूल्य डेटा लागू करते समय अवशिष्ट त्रुटियों की गणना करें, और फिर समायोजित करें $\Psi \,$ इन त्रुटियों को कम करने का प्रयास करना। एक बार अंशांकन निष्पादित हो जाने के बाद, मॉडल को समय-समय पर पुन: अंशांकित करना मानक अभ्यास है।

अंशांकन का एक विकल्प सांख्यिकीय अनुमान है, जिससे पैरामीटर अनिश्चितता का हिसाब लगाया जाता है। कई बारंबारतावादी और बायेसियन तरीकों को प्रस्तावित और कार्यान्वित किया गया है, विशेष रूप से उपर्युक्त मॉडलों के सबसेट के लिए। निम्नलिखित सूची में ओपन सोर्स सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर आर (प्रोग्रामिंग भाषा) के लिए एक्सटेंशन पैकेज शामिल हैं जिन्हें विशेष रूप से हेटेरोस्केडैस्टिसिटी अनुमान के लिए डिज़ाइन किया गया है। पहले तीन नियतात्मक अस्थिरता वाले GARCH-प्रकार के मॉडल को पूरा करते हैं; चौथा स्टोकेस्टिक अस्थिरता अनुमान से संबंधित है।

rugarch: ARFIMA, इन-मीन, बाहरी रजिस्ट्रार और विभिन्न GARCH फ्लेवर, फिट, पूर्वानुमान, सिमुलेशन, अनुमान और प्लॉटिंग के तरीकों के साथ।^[8]
fGarch: वित्तीय इंजीनियरिंग और कम्प्यूटेशनल वित्त पढ़ाने के लिए Rmetrics वातावरण का हिस्सा।
BayesGARCH: स्टूडेंट के इनोवेशन के साथ GARCH(1,1) मॉडल का बायेसियन अनुमान।^[9]
Stochvol: मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो (एमसीएमसी) विधियों के माध्यम से स्टोकेस्टिक अस्थिरता (एसवी) मॉडल के पूरी तरह से बायेसियन अनुमान के लिए कुशल एल्गोरिदम।^[10]^[11]

समय के साथ कई संख्यात्मक तरीके विकसित किए गए हैं और वित्तीय परिसंपत्तियों के मूल्य निर्धारण को हल किया है जैसे कि स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल वाले विकल्प। हाल ही में विकसित एक एप्लिकेशन स्थानीय स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल है।^[12] यह स्थानीय स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल विदेशी मुद्रा विकल्प जैसी नई वित्तीय परिसंपत्तियों के मूल्य निर्धारण में बेहतर परिणाम देता है।

पायथन जैसी अन्य भाषाओं में भी वैकल्पिक सांख्यिकीय अनुमान पुस्तकालय हैं:

PyFlux इसमें GARCH और बीटा-t-EGARCH मॉडल के लिए बायेसियन और शास्त्रीय अनुमान समर्थन शामिल है।

यह भी देखें

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल
हेस्टन मॉडल
स्थानीय अस्थिरता
मार्कोव स्विचिंग मल्टीफ्रैक्टल
जोखिम-तटस्थ उपाय
एसएबीआर अस्थिरता मॉडल
स्टोकेस्टिक अस्थिरता कूद
अधीनस्थ (गणित)
अस्थिरता (वित्त)
अस्थिरता क्लस्टरिंग
अस्थिरता, अनिश्चितता, जटिलता और अस्पष्टता

संदर्भ

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↑ J Gatheral, A Jacquier (2014). "मध्यस्थता मुक्त एसवीआई अस्थिरता सतहें". Quantitative Finance. 14: 59–71. arXiv:1204.0646. doi:10.1080/14697688.2013.819986. S2CID 41434372.
↑ PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Managing smile risk, Wilmott, 84-108.
↑ Kluppelberg, Claudia; Lindner, Alexander; Maller, Ross (September 2004). "A Continuous Time GARCH Process Driven by a Lévy Process: Stationarity and Second Order Behaviour". J. Appl. Probab. 41. doi:10.1239/jap/1091543413.
↑ Brooks, Chris (2014). वित्त के लिए परिचयात्मक अर्थमिति (3rd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 461. ISBN 9781107661455.
↑ ^6.0 ^6.1 Jim Gatheral, Thibault Jaisson and Mathieu Rosenbaum (2018). Volatility is rough. Quantitative Finance 18(6), Pages 933-949
↑ Fabienne Comte and Eric Renault (1998). Long memory in continuous-time stochastic volatility models. Math. Finance, 8(4), 291–323
↑ Ghalanos, Alexios. "rugarch: Univariate GARCH models".
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↑ van der Weijst, Roel (2017). "स्टोकेस्टिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल के लिए संख्यात्मक समाधान" (in English). {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

स्रोत

स्टोकेस्टिक अस्थिरता और माध्य-विचरण विश्लेषण^{[permanent dead link]}, ह्युंगसोक आह्न, पॉल विल्मोट, (2006)।
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स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के अंशांकन को तेज करना, किलिन, फियोडर (2006)।

श्रेणी:गणितीय वित्त श्रेणी:विकल्प (वित्त) श्रेणी:डेरिवेटिव (वित्त)

[1] Jim Gatheral (18 September 2006). The Volatility Surface: A Practitioner's Guide. Wiley. ISBN 978-0-470-06825-0.

[SVI-2] J Gatheral, A Jacquier (2014). "मध्यस्थता मुक्त एसवीआई अस्थिरता सतहें". Quantitative Finance. 14: 59–71. arXiv:1204.0646. doi:10.1080/14697688.2013.819986. S2CID 41434372.

[3] PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Managing smile risk, Wilmott, 84-108.

[4] Kluppelberg, Claudia; Lindner, Alexander; Maller, Ross (September 2004). "A Continuous Time GARCH Process Driven by a Lévy Process: Stationarity and Second Order Behaviour". J. Appl. Probab. 41. doi:10.1239/jap/1091543413.

[5] Brooks, Chris (2014). वित्त के लिए परिचयात्मक अर्थमिति (3rd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 461. ISBN 9781107661455.

[GJR-6] 6.0 ^6.1 Jim Gatheral, Thibault Jaisson and Mathieu Rosenbaum (2018). Volatility is rough. Quantitative Finance 18(6), Pages 933-949

[7] Fabienne Comte and Eric Renault (1998). Long memory in continuous-time stochastic volatility models. Math. Finance, 8(4), 291–323

[8] Ghalanos, Alexios. "rugarch: Univariate GARCH models".

[9] Ardia, David; Hoogerheide, Lennart F. (2010). "स्टूडेंट-टी इनोवेशन के साथ GARCH(1,1) मॉडल का बायेसियन अनुमान" (PDF). The R Journal. 2 (2): 41–47. doi:10.32614/RJ-2010-014. S2CID 17324384.

[10] Kastner, Gregor (2016). "आर पैकेज स्टोचवोल का उपयोग करके समय श्रृंखला में स्टोचैस्टिक अस्थिरता से निपटना" (PDF). Journal of Statistical Software. 69 (5): 1–30. arXiv:1906.12134. doi:10.18637/jss.v069.i05.

[11] Kastner, Gregor; Frühwirth-Schnatter, Sylvia (2014). "स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के एमसीएमसी अनुमान को बढ़ावा देने के लिए सहायक-पर्याप्तता इंटरविविंग रणनीति (एएसआईएस)" (PDF). Computational Statistics and Data Analysis. 79: 408–423. arXiv:1706.05280. doi:10.1016/j.csda.2013.01.002. S2CID 17019876.

[12] van der Weijst, Roel (2017). "स्टोकेस्टिक स्थानीय अस्थिरता मॉडल के लिए संख्यात्मक समाधान" (in English). {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

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 ==मूल मॉडल==
-निरंतर अस्थिरता दृष्टिकोण से शुरू करते हुए, मान लें कि व्युत्पन्न की अंतर्निहित परिसंपत्ति कीमत [[ज्यामितीय ब्राउनियन गति]] के लिए एक मानक मॉडल का पालन करती है:
+सतत अस्थिरता दृष्टिकोण से प्रारम्भ करते हुए, मान लें कि व्युत्पन्न की अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य [[ज्यामितीय ब्राउनियन गति]] के लिए मानक मॉडल का पालन करती है-
 :<math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \, </math>
-कहाँ <math>\mu \,</math> सुरक्षा मूल्य का निरंतर बहाव (यानी अपेक्षित रिटर्न) है <math>S_t \,</math>, <math>\sigma \,</math> निरंतर अस्थिरता है, और <math>dW_t \,</math> शून्य माध्य और विचरण की इकाई दर वाली एक मानक [[वीनर प्रक्रिया]] है। इस [[स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण]] का स्पष्ट समाधान है
+जहां <math>\mu \,</math>, प्रतिभूति मूल्य का सतत प्रक्षेप (अर्थात अपेक्षित लाभ) है <math>S_t \,</math>, <math>\sigma \,</math>, सतत अस्थिरता है, और <math>dW_t \,</math>, शून्य माध्य और भिन्नता की इकाई दर के साथ मानक [[वीनर प्रक्रिया]] है। इस [[स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण|प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण]] का स्पष्ट हल है
 :<math>S_t= S_0 e^{(\mu- \frac{1}{2} \sigma^2) t+ \sigma W_t}. </math>
-निरंतर अस्थिरता का अनुमान लगाने की अधिकतम संभावना <math>\sigma \,</math> दिए गए स्टॉक मूल्यों के लिए <math>S_t \,</math> अलग अलग समय पर <math>t_i \,</math> है
+अलग-अलग समय <math>t_i \,</math>पर दिए गए स्टॉक मूल्यों <math>S_t \,</math> के लिए सतत अस्थिरता <math>\sigma \,</math> का अनुमान लगाने के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक है
 : <math>
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 \end{align}
 </math>
-इसका [[अपेक्षित मूल्य]] है <math>\operatorname E \left[ \widehat{\sigma}^2\right]= \frac{n-1}{n} \sigma^2.</math>
+इसका [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षित मान]] <math>\operatorname E \left[ \widehat{\sigma}^2\right]= \frac{n-1}{n} \sigma^2</math> है।
-निरंतर अस्थिरता वाला यह बुनियादी मॉडल <math>\sigma \,</math> ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और कॉक्स-रॉस-रुबिनस्टीन मॉडल जैसे गैर-स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के लिए शुरुआती बिंदु है।
-स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के लिए, निरंतर अस्थिरता को बदलें <math>\sigma</math> एक समारोह के साथ <math>\nu_t</math> जो कि भिन्नता का मॉडल प्रस्तुत करता है <math>S_t</math>. इस विचरण फ़ंक्शन को ब्राउनियन गति और के रूप में भी तैयार किया गया है <math>\nu_t</math> अध्ययन के तहत विशेष एसवी मॉडल पर निर्भर करता है।
+सतत अस्थिरता <math>\sigma \,</math> वाला यह मूल मॉडल, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और कॉक्स-रॉस-रुबिनस्टीन मॉडल जैसे गैर-प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल के लिए प्रारम्भिक बिंदु है।
+प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल के लिए, सतत स्थिरता <math>\sigma</math> को फलन <math>\nu_t</math> से बदलें जो <math>S_t</math> की भिन्नता को मॉडल करता है। इस भिन्नता फलन को ब्राउनियन गति के रूप में भी मॉडल किया गया है, और <math>\nu_t</math> का रूप अध्ययन के तहत विशेष SV मॉडल पर निर्भर करता है।
 :<math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{\nu_t} S_t\,dW_t \,</math>
 :<math> d\nu_t = \alpha_{\nu,t}\,dt + \beta_{\nu,t}\,dB_t \,</math>
-कहाँ <math>\alpha_{\nu,t} </math> और <math>\beta_{\nu,t} </math> के कुछ कार्य हैं <math>\nu </math>, और <math>dB_t </math> एक अन्य मानक गाऊशियन है जो सहसंबद्ध है <math>dW_t </math> निरंतर सहसंबंध कारक के साथ <math>\rho </math>.
+जहां <math>\alpha_{\nu,t} </math> और <math>\beta_{\nu,t} </math>, <math>\nu </math> के कुछ फलन हैं, और <math>dB_t </math> एक अन्य मानक गाऊशियन है जो सतत सहसंबंध कारक <math>\rho </math> के साथ <math>dW_t </math> के साथ सहसंबद्ध है।
 ===हेस्टन मॉडल===
-{{Main|Heston model}}
+{{Main|हेस्टन मॉडल}}
-लोकप्रिय हेस्टन मॉडल आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला एसवी मॉडल है, जिसमें विचरण प्रक्रिया की यादृच्छिकता विचरण के वर्गमूल के रूप में भिन्न होती है। इस मामले में, विचरण के लिए विभेदक समीकरण रूप लेता है:
+प्रचलित हेस्टन मॉडल प्रायः उपयोग किये जाने वाले SV मॉडल है, जिसमें भिन्नता प्रक्रिया की यादृच्छिकता भिन्नता के वर्गमूल के रूप में भिन्न होती है। इस स्थिति में, भिन्नता के लिए अवकल समीकरण रूप लेता है-
 :<math> d\nu_t = \theta(\omega - \nu_t)\,dt + \xi \sqrt{\nu_t}\,dB_t \,</math>
-कहाँ <math>\omega</math> औसत दीर्घकालिक विचरण है, <math>\theta</math> वह दर है जिस पर विचरण अपने दीर्घकालिक माध्य की ओर लौटता है, <math>\xi</math> विचरण प्रक्रिया की अस्थिरता है, और <math>dB_t</math> की तरह है कि <math>dW_t</math>, शून्य माध्य वाला एक गाऊसी और <math>dt</math> विचरण. हालाँकि, <math>dW_t</math> और <math>dB_t</math> निरंतर सहसंबंध मूल्य के साथ सहसंबद्ध हैं <math>\rho</math>.
+जहां <math>\omega</math> माध्य दीर्घकालिक भिन्नता है, <math>\theta</math> वह दर है जिस पर भिन्नता अपने दीर्घकालिक माध्य की ओर लौटता है, <math>\xi</math> विचरण प्रक्रिया की अस्थिरता है, और <math>dB_t</math>, <math>dW_t</math> की तरह, शून्य माध्य और <math>dt</math> भिन्नता वाली एक गॉसियन है। हालाँकि, <math>dW_t</math> और <math>dB_t</math> सतत सहसंबंध मान <math>\rho</math> के साथ सहसंबद्ध हैं।
-दूसरे शब्दों में, हेस्टन एसवी मॉडल मानता है कि विचरण एक यादृच्छिक प्रक्रिया है
+दूसरे शब्दों में, हेस्टन SV मॉडल मानता है कि भिन्नता एक यादृच्छिक प्रक्रिया है
-#दीर्घकालिक माध्य की ओर लौटने की प्रवृत्ति प्रदर्शित करता है <math>\omega</math> एक दर पर <math>\theta</math>,
+#<math>\theta</math> दर पर दीर्घावधि माध्य <math>\omega</math> की ओर लौटने की प्रवृत्ति प्रदर्शित करता है,
 #अपने स्तर के वर्गमूल के अनुपात में अस्थिरता प्रदर्शित करता है
-#और जिसकी यादृच्छिकता का स्रोत सहसंबद्ध है (सहसंबंध के साथ)। <math>\rho</math>) अंतर्निहित मूल्य प्रक्रियाओं की यादृच्छिकता के साथ।
+#और जिसकी यादृच्छिकता का स्रोत अंतर्निहित मूल्य प्रक्रियाओं की यादृच्छिकता के साथ सहसंबद्ध (सहसंबंध <math>\rho</math> के साथ) है।
-अस्थिरता सतह के कुछ पैरामीट्रिज़ेशन, जैसे 'एसवीआई',<ref name=SVI>{{cite journal | author=J Gatheral, A Jacquier | title=मध्यस्थता मुक्त एसवीआई अस्थिरता सतहें|  journal=Quantitative Finance | year = 2014|doi = 10.1080/14697688.2013.819986 | volume=14| pages=59–71 |arxiv=1204.0646| s2cid=41434372 }}</ref> हेस्टन मॉडल पर आधारित हैं।
+अस्थिरता सतह के कुछ पैरामीट्रिज़ेशन, जैसे 'एसवीआई (SVI)',<ref name="SVI">{{cite journal | author=J Gatheral, A Jacquier | title=मध्यस्थता मुक्त एसवीआई अस्थिरता सतहें|  journal=Quantitative Finance | year = 2014|doi = 10.1080/14697688.2013.819986 | volume=14| pages=59–71 |arxiv=1204.0646| s2cid=41434372 }}</ref> हेस्टन मॉडल पर आधारित हैं।
-===सीईवी मॉडल ===
+===सीईवी (CEV) मॉडल ===
-{{Main|Constant elasticity of variance model}}
+{{Main|भिन्नता मॉडल की सतत प्रत्यास्थता}}
-सीईवी मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता का परिचय देते हुए अस्थिरता और कीमत के बीच संबंध का वर्णन करता है:
+'''सीईवी''' मॉडल प्रसंभाव्यता अस्थिरता का परिचय देते हुए अस्थिरता और मूल्य के बीच संबंध का वर्णन करता है-
 :<math>dS_t=\mu S_t \, dt + \sigma S_t^{\, \gamma} \, dW_t</math>
-वैचारिक रूप से, कुछ बाजारों में कीमतें बढ़ने पर अस्थिरता बढ़ जाती है (उदाहरण के लिए वस्तुएं)। <math>\gamma > 1</math>. अन्य बाज़ारों में, कीमतें गिरने के साथ-साथ अस्थिरता बढ़ने लगती है <math>\gamma < 1</math>.
+वैचारिक रूप से, कुछ बाजारों में मूल्यों के बढ़ने पर अस्थिरता बढ़ (उदाहरण के लिए वस्तुएं) जाती है, इसलिए <math>\gamma > 1</math>। अन्य बाज़ारों में, मूल्यों के गिरने के साथ-साथ अस्थिरता बढ़ जाती है, जिसे <math>\gamma < 1</math> के अनुरूप बनाया गया है।
-कुछ लोगों का तर्क है कि क्योंकि सीईवी मॉडल अस्थिरता के लिए अपनी स्वयं की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को शामिल नहीं करता है, यह वास्तव में एक स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल नहीं है। इसके बजाय, वे इसे स्थानीय अस्थिरता मॉडल कहते हैं।
+कुछ लोगों का तर्क है कि क्योंकि सीईवी मॉडल अस्थिरता के लिए अपनी स्वयं की प्रसंभाव्यता प्रक्रिया को सम्मिलित नहीं करता है, यह वास्तव में एक प्रसंभाव्यता अस्थिरता मॉडल नहीं है। इसके स्थान पर, वे इसे स्थानीय अस्थिरता मॉडल कहते हैं।
-===एसएबीआर अस्थिरता मॉडल===
+===एसएबीआर (SABR) अस्थिरता मॉडल===
-{{Main|SABR volatility model}}
+{{Main|एसएबीआर अस्थिरता मॉडल}}
-एसएबीआर मॉडल (स्टोकेस्टिक अल्फा, बीटा, आरएचओ), हेगन एट अल द्वारा पेश किया गया।<ref>PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) [http://lesniewski.us/papers/published/ManagingSmileRisk.pdf Managing smile risk], Wilmott, 84-108.</ref> एक एकल फॉरवर्ड का वर्णन करता है <math>F</math> (किसी परिसंपत्ति से संबंधित जैसे सूचकांक, ब्याज दर, बांड, मुद्रा या इक्विटी) स्टोकेस्टिक अस्थिरता के तहत <math>\sigma</math>:
+'''एसएबीआर''' मॉडल (स्टोकेस्टिक अल्फा, बीटा, आरएचओ), हेगन एट अल द्वारा प्रस्तुत किया गया है।<ref>PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) [http://lesniewski.us/papers/published/ManagingSmileRisk.pdf Managing smile risk], Wilmott, 84-108.</ref> प्रसंभाव्यता अस्थिरता <math>\sigma</math> के तहत एकल अग्रसर <math>F</math> (किसी भी परिसंपत्ति जैसे सूचकांक, ब्याज दर, बांड, मुद्रा या इक्विटी से संबंधित) का वर्णन करता है-
 :<math>dF_t=\sigma_t F^\beta_t\, dW_t,</math>
 :<math>d\sigma_t=\alpha\sigma_t\, dZ_t,</math>
-प्रारंभिक मान <math>F_0</math> और <math>\sigma_0</math> जबकि वर्तमान अग्रिम मूल्य और अस्थिरता हैं <math>W_t</math> और <math>Z_t</math> सहसंबंध गुणांक के साथ दो सहसंबंधित वीनर प्रक्रियाएं (यानी ब्राउनियन गति) हैं <math>-1<\rho<1</math>. स्थिर पैरामीटर <math>\beta,\;\alpha</math> ऐसे हैं <math>0\leq\beta\leq 1,\;\alpha\geq 0</math>.
+प्रारंभिक मान <math>F_0</math> और <math>\sigma_0</math> वर्तमान अग्रेषित मूल्य और अस्थिरता हैं, जबकि <math>W_t</math> और <math>Z_t</math> सहसंबंध गुणांक <math>-1<\rho<1</math> के साथ दो सहसंबद्ध वीनर प्रक्रियाएं (अर्थात ब्राउनियन गति) हैं। स्थिर पैरामीटर <math>\beta,\;\alpha</math> ऐसे हैं कि <math>0\leq\beta\leq 1,\;\alpha\geq 0</math>।
-SABR मॉडल की मुख्य विशेषता अस्थिरता वाली मुस्कान के मुस्कान प्रभाव को पुन: उत्पन्न करने में सक्षम होना है।
+एसएबीआर मॉडल की मुख्य विशेषता अस्थिरता अनुकूल के अनुकूल प्रभाव को पुन: उत्पन्न करने में सक्षम होना है।
-===[[गार्च]] मॉडल===
+===[[गार्च|जीएआरसीएच (GARCH)]] मॉडल===
-सामान्यीकृत ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (GARCH) मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता का अनुमान लगाने के लिए एक और लोकप्रिय मॉडल है। यह मानता है कि विचरण प्रक्रिया की यादृच्छिकता विचरण के साथ बदलती रहती है, हेस्टन मॉडल की तरह विचरण के वर्गमूल के विपरीत। मानक GARCH(1,1) मॉडल में निरंतर विचरण अंतर के लिए निम्नलिखित रूप हैं:<ref>{{cite journal |last1=Kluppelberg |first1=Claudia |last2=Lindner |first2=Alexander |last3=Maller |first3=Ross |title=A Continuous Time GARCH Process Driven by a Lévy Process: Stationarity and Second Order Behaviour |journal=J. Appl. Probab. |date=September 2004 |volume=41 |doi=10.1239/jap/1091543413}}</ref>
+जेनरेलाइजिड ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (GARCH) मॉडल प्रसंभाव्यता अस्थिरता का अनुमान लगाने के लिए एक और लोकप्रिय मॉडल है। यह मानते है कि भिन्नता प्रक्रिया की यादृच्छिकता भिन्नता के साथ भिन्न होती है, जैसा कि हेस्टन मॉडल में भिन्नता के वर्गमूल के विपरीत होता है। मानक जीएआरसीएच(1,1) मॉडल में सतत भिन्नता अवकल के लिए निम्नलिखित रूप हैं-<ref>{{cite journal |last1=Kluppelberg |first1=Claudia |last2=Lindner |first2=Alexander |last3=Maller |first3=Ross |title=A Continuous Time GARCH Process Driven by a Lévy Process: Stationarity and Second Order Behaviour |journal=J. Appl. Probab. |date=September 2004 |volume=41 |doi=10.1239/jap/1091543413}}</ref>
 :<math> d\nu_t = \theta(\omega - \nu_t)\,dt + \xi \nu_t\,dB_t \,</math>
-GARCH मॉडल को कई प्रकारों के माध्यम से विस्तारित किया गया है, जिनमें NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, आदि शामिल हैं। हालाँकि, GARCH मॉडल से सशर्त अस्थिरताएं स्टोकेस्टिक नहीं हैं क्योंकि समय-समय पर पिछले मूल्यों को देखते हुए अस्थिरता पूरी तरह से पूर्व-निर्धारित (नियतात्मक) होती है।<ref>{{cite book |last=Brooks |first=Chris |authorlink=Chris Brooks (academic) |date=2014 |title=वित्त के लिए परिचयात्मक अर्थमिति|edition=3rd |location=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |page=461 |isbn=9781107661455}}</ref>
+जीएआरसीएच मॉडल को कई प्रकारों के माध्यम से विस्तारित किया गया है, जिनमें एनजीएआरसीएच (NGARCH), टीजीएआरसीएच (TGARCH), आईजीएआरसीएच (IGARCH),एलजीएआरसीएच (LGARCH), ईजीएआरसीएच (EGARCH), जीजेआर-जीएआरसीएच (GJR-GARCH), आदि सम्मिलित हैं।
+हालाँकि, दृढ़ता से, जीएआरसीएच मॉडल से सशर्त अस्थिरताएं प्रसंभाव्यता नहीं हैं क्योंकि समय-समय पर पिछले मानों को देखते हुए अस्थिरता पूरी तरह से पूर्व-निर्धारित (नियतात्मक) होती है।<ref>{{cite book |last=Brooks |first=Chris |authorlink=Chris Brooks (academic) |date=2014 |title=वित्त के लिए परिचयात्मक अर्थमिति|edition=3rd |location=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |page=461 |isbn=9781107661455}}</ref>
 ===3/2 मॉडल===
-/2 मॉडल हेस्टन मॉडल के समान है, लेकिन यह मानता है कि विचरण प्रक्रिया की यादृच्छिकता भिन्न होती है <math>\nu_t^{3/2}</math>. विचरण विभेदक का रूप है:
+/2 मॉडल हेस्टन मॉडल के समान है, लेकिन यह मानता है कि भिन्नता प्रक्रिया की यादृच्छिकता <math>\nu_t^{3/2}</math> के साथ बदलती रहती है। भिन्नता अवकलन का रूप है-
 :<math> d\nu_t = \nu_t(\omega - \theta\nu_t)\,dt + \xi \nu_t^{3/2} \,dB_t. \,</math>
-हालाँकि मापदंडों का अर्थ हेस्टन मॉडल से भिन्न है। इस मॉडल में, विचरण मापदंडों का माध्य प्रत्यावर्तन और अस्थिरता दोनों स्टोकेस्टिक मात्राएँ हैं <math> \theta\nu_t</math> और <math> \xi\nu_t</math> क्रमश।
+हालाँकि मापदंडों का अर्थ हेस्टन मॉडल से भिन्न है। इस मॉडल में, भिन्नता मापदंडों की माध्य प्रत्यावर्तन और अस्थिरता दोनों क्रमशः <math> \theta\nu_t</math> और <math> \xi\nu_t</math> द्वारा दी गई प्रसंभाव्यता मात्राएँ हैं।
 === कठिन अस्थिरता मॉडल ===
@@ Line 85: / Line 86: @@
 Pages 933-949 </ref>
 यह पाया गया है कि लॉग-अस्थिरता क्रम के हर्स्ट प्रतिपादक के साथ एक भिन्नात्मक ब्राउनियन गति के रूप में व्यवहार करती है <math>H = 0.1</math>, किसी भी उचित समयसीमा पर। इसके कारण फ्रैक्शनल स्टोकेस्टिक अस्थिरता (एफएसवी) मॉडल को अपनाया गया,<ref>Fabienne Comte and Eric Renault (1998). Long memory in continuous-time stochastic volatility models. Math. Finance, 8(4), 291–323</ref> एक समग्र रफ एफएसवी (आरएफएसवी) की ओर ले जाना, जहां रफ को उजागर करना है <math>H < 1/2</math>. आरएफएसवी मॉडल समय श्रृंखला डेटा के अनुरूप है, जो वास्तविक अस्थिरता के बेहतर पूर्वानुमान की अनुमति देता है।<ref name=GJR></ref>
 ==अंशांकन और अनुमान==
 एक बार एक विशेष एसवी मॉडल चुने जाने के बाद, इसे मौजूदा बाजार डेटा के अनुसार कैलिब्रेट किया जाना चाहिए। कैलिब्रेशन मॉडल मापदंडों के सेट की पहचान करने की प्रक्रिया है जो देखे गए डेटा को दिए जाने की सबसे अधिक संभावना है। एक लोकप्रिय तकनीक अधिकतम संभावना (एमएलई) का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, हेस्टन मॉडल में, मॉडल मापदंडों का सेट <math>\Psi_0 = \{\omega, \theta, \xi, \rho\} \,</math> ऐतिहासिक अंतर्निहित सुरक्षा कीमतों के अवलोकन के लिए पॉवेल [[ निर्देशित सेट ]] विधि [http://www.library.cornell.edu/nr/bookcpdf.html] जैसे एमएलई एल्गोरिदम को लागू करने का अनुमान लगाया जा सकता है।

v t e Volatility
Modelling volatility	Implied volatility Volatility smile Volatility clustering Local volatility Stochastic volatility Jump-diffusion models ARCH and GARCH
Trading volatility	Volatility arbitrage Straddle Volatility swap IVX VIX

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प्रसंभाव्यता अस्थिरता: Difference between revisions

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