युग्मित मानचित्र जाली

युग्मित मानचित्र जाली (सीएमएल) एक गतिशील प्रणाली है जो गैर-रेखीय प्रणालियों (विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरण) के व्यवहार को मॉडल करती है। इनका उपयोग मुख्य रूप से स्थानिक रूप से विस्तारित प्रणालियों के कैओस सिद्धांत का गुणात्मक अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इसमें विक्षनरी: स्पेटियोटेम्पोरल कैओस सिद्धांत की गतिशीलता शामिल है जहां सिस्टम का आकार बढ़ने पर स्वतंत्रता की प्रभावी डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की संख्या अलग हो जाती है। सीएमएल की विशेषताएं असतत-समय गतिशील प्रणाली, असतत अंतर्निहित स्थान (जाली या नेटवर्क), और वास्तविक (संख्या या वेक्टर), स्थानीय, निरंतर स्थिति चर हैं। अध्ययन की गई प्रणालियों में जनसंख्या गतिशीलता, रासायनिक प्रतिक्रियाएं, संवहन, द्रव प्रवाह और जैविक नेटवर्क शामिल हैं। हाल ही में, सीएमएल को कम्प्यूटेशनल नेटवर्क पर लागू किया गया है हानिकारक हमले के तरीकों और व्यापक विफलताओं की पहचान करना।

सीएमएल अपनी विशिष्ट विशेषताओं के संदर्भ में सेल्यूलर आटोमेटा मॉडल से तुलनीय हैं। हालाँकि, सेल्युलर ऑटोमेटा नेटवर्क में प्रत्येक साइट का मूल्य पिछले समय चरण से उसके पड़ोसी पर पूरी तरह निर्भर है। सीएमएल की प्रत्येक साइट पुनरावृत्ति समीकरण में युग्मन अवधि के सापेक्ष केवल अपने पड़ोसियों पर निर्भर है। हालाँकि, बहु-घटक गतिशील प्रणालियों पर विचार करते समय समानताएँ बढ़ाई जा सकती हैं।

परिचय

एक सीएमएल आम तौर पर समीकरणों की एक प्रणाली (युग्मित या अयुग्मित), चर की एक सीमित संख्या, एक वैश्विक या स्थानीय युग्मन योजना और संबंधित युग्मन शर्तों को शामिल करता है। अंतर्निहित जाली अनंत आयामों में मौजूद हो सकती है। सीएमएल में रुचि की मैपिंग आम तौर पर अराजक व्यवहार को प्रदर्शित करती है। ऐसे मानचित्र यहां पाए जा सकते हैं: अराजक मानचित्रों की सूची।

एक लॉजिस्टिक मानचित्र िंग अराजक व्यवहार को प्रदर्शित करती है, जिसे पैरामीटर r > 3.57 के लिए एक आयाम में आसानी से पहचाना जा सकता है:

$\qquad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$

चित्र 1 में, $x_{0}$ एक छोटी जाली में यादृच्छिक मानों के लिए आरंभ किया गया है; पड़ोसी साइटों के संबंध में मूल्यों को अलग कर दिया गया है। प्रत्येक जाली बिंदु पर समान पुनरावृत्ति संबंध लागू किया जाता है, हालांकि प्रत्येक समय चरण के साथ पैरामीटर r थोड़ा बढ़ जाता है। परिणाम मानचित्र जाली में अराजक व्यवहार का एक कच्चा रूप है। हालाँकि, अराजक व्यवहार के लिए कोई महत्वपूर्ण स्थानिक सहसंबंध या प्रासंगिक मोर्चे नहीं हैं। कोई स्पष्ट आदेश स्पष्ट नहीं है.

बुनियादी युग्मन के लिए, हम 'एकल पड़ोसी' युग्मन पर विचार करते हैं जहां किसी भी साइट पर मान होता है $s$ दोनों पर पुनरावर्ती मानचित्रों से गणना की जाती है $s$ स्वयं और पड़ोसी स्थल पर $s-1$. युग्मन पैरामीटर $\epsilon =0.5$ समान रूप से भारित है। फिर से, का मूल्य $r$ जाली के पार स्थिर है, लेकिन हर बार कदम के साथ थोड़ा बढ़ जाता है।

$\qquad x_{n+1}=(\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s}+(1-\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s-1}$

यद्यपि पुनरावृत्ति अव्यवस्थित है, फिर भी विकास में एक अधिक ठोस रूप विकसित होता है। लम्बे संवहन स्थान पूरे जाली में बने रहते हैं (चित्र 2 देखें)।

File:Cml2e.gif	File:Cml3a.gif
Figure 1: An uncoupled logistic map lattice with random seeding over forty iterations.	Figure 2: A CML with a single-neighbor coupling scheme taken over forty iterations.

इतिहास

सीएमएल को पहली बार 1980 के दशक के मध्य में बारीकी से जारी प्रकाशनों की एक श्रृंखला के माध्यम से पेश किया गया था। कापराल ने रासायनिक स्थानिक घटनाओं के मॉडलिंग के लिए सीएमएल का उपयोग किया। कुज़नेत्सोव ने एक पुनर्सामान्यीकरण समूह दृष्टिकोण विकसित करके सीएमएल को विद्युत सर्किटरी में लागू करने की मांग की (स्थानिक रूप से विस्तारित सिस्टम के लिए फीगेनबाम की सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) के समान)। कानेको का फोकस अधिक व्यापक था और वह अभी भी इस क्षेत्र में सबसे सक्रिय शोधकर्ता के रूप में जाने जाते हैं। सबसे अधिक जांचा गया सीएमएल मॉडल 1983 में कानेको द्वारा पेश किया गया था जहां पुनरावृत्ति समीकरण इस प्रकार है:

$u_{s}^{t+1}=(1-\varepsilon )f(u_{s}^{t})+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(f(u_{s+1}^{t})+f(u_{s-1}^{t})\right)\ \ \ t\in \mathbb {N} ,\ \varepsilon \in [0,1]$

कहाँ $u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,$ और $f$ एक वास्तविक मानचित्रण है.

लागू सीएमएल रणनीति इस प्रकार थी:

• मैक्रोस्कोपिक स्तर पर जाली पर फ़ील्ड चर का एक सेट चुनें। शोध किए जा रहे भौतिक स्थान के अनुरूप आयाम (सीएमएल प्रणाली द्वारा सीमित नहीं) को चुना जाना चाहिए।
• प्रक्रिया (घटना में अंतर्निहित) को स्वतंत्र घटकों में विघटित करें।
• प्रत्येक घटक को प्रत्येक जाली बिंदु पर फ़ील्ड चर के गैर-रेखीय परिवर्तन और उपयुक्त, चुने हुए पड़ोसियों पर युग्मन शब्द द्वारा बदलें।
• प्रत्येक इकाई की गतिशीलता (प्रक्रिया) को क्रमिक रूप से पूरा करें।

वर्गीकरण

सीएमएल प्रणाली वेक्टर अनुक्रमों पर मैपिंग द्वारा अलग-अलग समय के माध्यम से विकसित होती है। ये मैपिंग दो प्रतिस्पर्धी शब्दों का एक पुनरावर्ती कार्य है: एक व्यक्तिगत गैर-रेखीय प्रतिक्रिया, और परिवर्तनीय तीव्रता का एक स्थानिक इंटरैक्शन (युग्मन)। सीएमएल को इस युग्मन पैरामीटर की ताकत के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

सीएमएल में वर्तमान में प्रकाशित अधिकांश कार्य कमजोर युग्मित प्रणालियों पर आधारित हैं जहां पहचान के करीब राज्य स्थान की भिन्नताओं का अध्ययन किया जाता है। एकरस (अस्थिरता ) गतिशील शासन के साथ कमजोर युग्मन स्थानिक अराजकता घटना को प्रदर्शित करता है और तंत्रिका मॉडल में लोकप्रिय है। कमजोर युग्मन यूनिमॉडल मानचित्रों को उनके स्थिर आवधिक बिंदुओं की विशेषता होती है और जीन नियामक नेटवर्क मॉडल द्वारा उपयोग किया जाता है। अंतरिक्ष-समय की अराजक घटनाओं को कमजोर युग्मन गुणांक के अधीन अराजक मानचित्रण से प्रदर्शित किया जा सकता है और चरण संक्रमण घटना मॉडल में लोकप्रिय हैं।

मध्यवर्ती और मजबूत युग्मन अंतःक्रियाएं अध्ययन के कम प्रचलित क्षेत्र हैं। मध्यवर्ती अंतःक्रियाओं का अध्ययन मोर्चों और यात्रा तरंगों, पहेलीदार घाटियों, पहेलीदार द्विभाजन, समूहों और गैर-अद्वितीय चरणों के संबंध में किया जाता है। कुरामोटो मोड एल जैसे गतिशील स्थानिक प्रणालियों के मॉडल सिंक्रनाइज़ेशन प्रभावों के लिए मजबूत युग्मन इंटरैक्शन सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है।

ये वर्गीकरण स्थानीय या वैश्विक (जीएमएल) को प्रतिबिंबित नहीं करते हैं ) अंतःक्रिया की युग्मन प्रकृति। न ही वे युग्मन की आवृत्ति पर विचार करते हैं जो सिस्टम में स्वतंत्रता की डिग्री के रूप में मौजूद हो सकती है। अंत में, वे अंतर्निहित स्थान के आकार या सीमा मूल्य समस्याओं के बीच अंतर नहीं करते हैं।

आश्चर्यजनक रूप से सीएमएल की गतिशीलता का उन स्थानीय मानचित्रों से बहुत कम लेना-देना है जो उनके प्राथमिक घटकों का निर्माण करते हैं। प्रत्येक मॉडल के साथ एक अराजक स्थिति (दृश्य व्याख्या से परे) की पहचान करने के लिए एक कठोर गणितीय जांच की आवश्यकता होती है। इस आशय के कठोर प्रमाण प्रस्तुत किये गये हैं। उदाहरण के तौर पर: मजबूत सांख्यिकीय गुणों वाले एक-आयामी मानचित्रों के कमजोर अंतरिक्ष इंटरैक्शन में अंतरिक्ष-समय अराजकता का अस्तित्व 1988 में बनीमोविच और सिनाई द्वारा सिद्ध किया गया था। समान परिस्थितियों में कमजोर युग्मित अतिपरवलयिक मानचित्रों के लिए समान प्रमाण मौजूद हैं।

अद्वितीय सीएमएल गुणात्मक वर्ग

सीएमएल ने (सीएमएल) घटना विज्ञान में नवीन गुणात्मक सार्वभौमिकता वर्गों का खुलासा किया है। ऐसी कक्षाओं में शामिल हैं:

• स्थानिक विभाजन और जमी हुई अराजकता
• पैटर्न चयन
• ज़िग-ज़ैग पैटर्न का चयन और दोषों का अराजक प्रसार
• स्थानिक-अस्थायी रुक-रुक कर
• सॉलिटन अशांति
• स्थानीय चरण पर्चियों द्वारा उत्पन्न वैश्विक यात्रा तरंगें
• खुले प्रवाह प्रणालियों में डाउन-फ्लो के लिए स्थानिक विभाजन।

दृश्य घटनाएँ

ऊपर सूचीबद्ध अद्वितीय गुणात्मक वर्गों की कल्पना की जा सकती है। कानेको 1983 मॉडल को लॉजिस्टिक में लागू करके ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ मानचित्र में, सीएमएल के कई गुणात्मक वर्ग देखे जा सकते हैं। इन्हें नीचे प्रदर्शित किया गया है, अद्वितीय मापदंडों पर ध्यान दें:

Frozen Chaos	Pattern Selection	Chaotic Brownian Motion of Defect
File:Frozenchaos logmap.JPG	File:PatternSelection logmap.JPG	File:BrownMotionDefect logmap.JPG
Figure 1: Sites are divided into non-uniform clusters, where the divided patterns are regarded as attractors. Sensitivity to initial conditions exist relative to a < 1.5.	Figure 2: Near uniform sized clusters (a = 1.71, ε = 0.4).	Figure 3: Defects exist in the system and fluctuate chaotically akin to Brownian motion (a = 1.85, ε = 0.1).
Defect Turbulence	Spatiotemporal Intermittency I	Spatiotemporal Intermittency II
File:DefectTurbulence logmap.JPG	File:Spatiotemporal Intermittency logmap.JPG	File:Spatiotemporal Intermittency logmap2.JPG
Figure 4: Many defects are generated and turbulently collide (a = 1.895, ε = 0.1).	Figure 5: Each site transits between a coherent state and chaotic state intermittently (a = 1.75, ε = 0.6), Phase I.	Figure 6: The coherent state, Phase II.
Fully Developed Spatiotemporal Chaos	Traveling Wave
File:SpatiotemporalChaos fullydevd logmap.JPG	File:TravelingWave logmap.JPG
Figure 7: Most sites independently oscillate chaotically (a = 2.00, ε = 0.3).	Figure 8: The wave of clusters travels at 'low' speeds (a = 1.47, ε = 0.5).

मात्रात्मक विश्लेषण परिमाणक

युग्मित मानचित्र जाली स्थानिक रूप से विस्तारित प्रणालियों का एक प्रोटोटाइप है जिसका अनुकरण करना आसान है, एक बेंचमार्क का प्रतिनिधित्व करता है स्थानिक-लौकिक अराजकता के कई संकेतकों की परिभाषा और परिचय के लिए, सबसे अधिक प्रासंगिक हैं

• अंतरिक्ष और समय में शक्ति स्पेक्ट्रम
• ल्यपुनोव प्रतिपादक # पावर स्पेक्ट्रम की परिभाषा
• आयाम घनत्व
• कोलमोगोरोव-सिनाई एन्ट्रापी घनत्व
• पैटर्न का वितरण
• पैटर्न एन्ट्रापी
• परिमित और अतिसूक्ष्म विक्षोभ की प्रसार गति
• अंतरिक्ष-समय में पारस्परिक जानकारी और सहसंबंध
• ल्यपुनोव प्रतिपादक, ल्यपुनोव वेक्टर का स्थानीयकरण
• कोमोविंग और उप-अंतरिक्ष समय ल्यपुनोव प्रतिपादक।
• स्थानिक और लौकिक ल्यपुनोव प्रतिपादक

यह भी देखें

• सेल्यूलर आटोमेटा
• लायपुनोव प्रतिपादक
• स्टोकेस्टिक सेलुलर ऑटोमेटा
• रुलकोव मानचित्र
• चियाल्वो मानचित्र

अग्रिम पठन

• Google Library (2005). Dynamics of Coupled Map Lattices. Springer. ISBN 978-3-540-24289-5. Archived from the original on 2008-03-29. {{cite book}}: |author= has generic name (help)
• Shawn D. Pethel; Ned J. Corron; Erik Bollt (2006). "Symbolic Dynamics of Coupled Map Lattices". Physical Review Letters. 96 (3): 034105. Bibcode:2006PhRvL..96c4105P. doi:10.1103/PhysRevLett.96.034105. PMID 16486708. Alt URL
• E. Atlee Jackson (1989), Perspectives of Nonlinear Dynamics: Volume 2, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42633-2
• H.G, Schuster; W. Just (2005), Deterministic Chaos, John Wiley and Sons Ltd, 2005, ISBN 3-527-40415-5
• Introduction to Chaos and Nonlinear Dynamics

बाहरी संबंध

• Kaneko Laboratory
• Institut Henri Poincaré, Paris, June 21 – July 2, 2004
• Istituto dei Sistemi Complessi, Florence, Italy
• Java CML/GML web-app
• AnT 4.669 – A simulation and Analysis Tool for Dynamical Systems