युग्मित मानचित्र जाली

युग्मित मानचित्र निस्पंदन (सीएमएल) एक गतिशील प्रणाली होती है जो गैर-रेखीय प्रणालियों (विशेष रूप से आंशिक विभेदक समीकरण) के व्यवहार को मॉडल करती है। इनका उपयोग मुख्य रूप से स्थानिक रूप से विस्तारित प्रणालियों के कैओस सिद्धांत का गुणात्मक अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इसमें विक्षनरी: स्पेटियोटेम्पोरल कैओस सिद्धांत की गतिशीलता सम्मिलित होती है जहां प्रणाली का आकार बढ़ने पर स्वतंत्रता की प्रभावी डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की संख्या अलग हो जाती है।

सीएमएल की विशेषताएं असतत-समय गतिशील प्रणाली, असतत अंतर्निहित स्थान (निस्पंदन या नेटवर्क), और वास्तविक (संख्या या सदिश), स्थानीय, निरंतर स्थिति चर होती हैं। अध्ययन की गई प्रणालियों में जनसंख्या गतिशीलता, रासायनिक प्रतिक्रियाएं, संवहन, द्रव प्रवाह और जैविक नेटवर्क सम्मिलित होते हैं। वर्तमान में, सीएमएल को कम्प्यूटेशनल नेटवर्क पर प्रयुक्त किया गया है जो हानिकारक हमले की विधियों और व्यापक विफलताओं की पहचान करता है।

सीएमएल अपनी विशिष्ट विशेषताओं के संदर्भ में सेल्यूलर आटोमेटा मॉडल से तुलनीय हैं। यद्यपि, सेल्युलर ऑटोमेटा नेटवर्क में प्रत्येक साइट का मूल्य पिछले समय चरण से उसके समीपस्थ पर पूरी तरह निर्भर होता है। सीएमएल की प्रत्येक साइट पुनरावृत्ति समीकरण में युग्मन अवधि के सापेक्ष मात्र अपने समीपस्थ पर निर्भर होती है। यद्यपि, बहु-घटक गतिशील प्रणालियों पर विचार करते समय समानताएँ बढ़ाई जा सकती हैं।

परिचय

एक सीएमएल सामान्यतः समीकरणों की एक प्रणाली (युग्मित या अयुग्मित), चर की एक सीमित संख्या, एक वैश्विक या स्थानीय युग्मन योजना और संबंधित युग्मन उद्देशों को सम्मिलित करता है। अंतर्निहित निस्पंदन अनंत आयामों में उपस्थित हो सकती है। सीएमएल में रुचि का मानचित्रण सामान्यतः अव्यवस्थित व्यवहार को प्रदर्शित करती है। ऐसे मानचित्र यहाँ अव्यवस्थित मानचित्रों की सूची में पाए जा सकते हैं।

एक लॉजिस्टिक मानचित्र अव्यवस्थित व्यवहार को प्रदर्शित करती है, जिसे पैरामीटर r > 3.57 के लिए एक आयाम में सरलता से पहचाना जा सकता है:

$\qquad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$

चित्र 1 में, $x_{0}$ एक छोटी निस्पंदन में यादृच्छिक मानों के लिए आरंभ किया गया है; समीपस्थ साइटों के संबंध में मूल्यों को अलग कर दिया गया है। प्रत्येक निस्पंदन बिंदु पर समान पुनरावृत्ति संबंध प्रयुक्त किया जाता है, यद्यपि प्रत्येक समय चरण के साथ पैरामीटर r थोड़ा बढ़ जाता है। परिणाम मानचित्र निस्पंदन में अव्यवस्थित व्यवहार का एक कच्चा रूप है। यद्यपि, अव्यवस्थित व्यवहार के लिए कोई महत्वपूर्ण स्थानिक सहसंबंध या प्रासंगिक सम्मुख नहीं होता हैं। कोई स्पष्ट क्रम स्पष्ट नहीं होता है।

मूलभूत युग्मन के लिए, हम 'एकल समीपस्थ' युग्मन पर विचार करते हैं जहां किसी भी साइट $s$ पर मान होता है दोनों $s$ पर स्वयं और समीपस्थ स्थल पर $s-1$पुनरावर्ती मानचित्रों से गणना की जाती है। युग्मन पैरामीटर $\epsilon =0.5$ समान रूप से भारित है। फिर से, $r$ का मूल्य निस्पंदन के पार स्थिर होता है, परन्तु हर बार कदम के साथ थोड़ा बढ़ जाता है।

$\qquad x_{n+1}=(\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s}+(1-\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s-1}$

यद्यपि पुनरावृत्ति अव्यवस्थित है, फिर भी विकास में एक अधिक ठोस रूप विकसित होता है। लम्बे संवहन स्थान पूरे निस्पंदन में बने रहते हैं (चित्र 2 देखें)।

File:Cml2e.gif	File:Cml3a.gif
Figure 1: An uncoupled logistic map lattice with random seeding over forty iterations.	Figure 2: A CML with a single-neighbor coupling scheme taken over forty iterations.

इतिहास

सीएमएल को सर्वप्रथम 1980 के समय के मध्य में विस्तार से प्रकाशित प्रकाशनों की एक श्रृंखला के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था। कापराल ने रासायनिक स्थानिक घटनाओं के मॉडलिंग के लिए सीएमएल का उपयोग किया था। कुज़नेत्सोव ने एक पुनर्सामान्यीकरण समूह दृष्टिकोण विकसित करके सीएमएल को विद्युत परिपथ में प्रयुक्त करने की मांग की (स्थानिक रूप से विस्तारित प्रणाली के लिए फीगेनबाम की सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) के समान) थी। कानेको का फोकस अधिक व्यापक था और वह अभी भी इस क्षेत्र में सबसे सक्रिय शोधकर्ता के रूप में जाने जाते हैं। सबसे अधिक जांचा गया सीएमएल मॉडल 1983 में कानेको द्वारा प्रस्तुत किया गया था जहां पुनरावृत्ति समीकरण इस प्रकार है:

$u_{s}^{t+1}=(1-\varepsilon )f(u_{s}^{t})+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(f(u_{s+1}^{t})+f(u_{s-1}^{t})\right)\ \ \ t\in \mathbb {N} ,\ \varepsilon \in [0,1]$

जहाँ $u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,$ और $f$ एक वास्तविक मानचित्रण होता है।

प्रयुक्त सीएमएल रणनीति इस प्रकार थी:

• स्थूल स्तर पर निस्पंदन पर क्षेत्र चर का एक समुच्चय का चयन करे। शोध किए जा रहे भौतिक स्थान के अनुरूप आयाम (सीएमएल प्रणाली द्वारा सीमित नहीं) को चयन किया जाना चाहिए।
• प्रक्रिया (घटना में अंतर्निहित) को स्वतंत्र घटकों में विघटित करें।
• प्रत्येक घटक को प्रत्येक निस्पंदन बिंदु पर क्षेत्र चर के गैर-रेखीय परिवर्तन और उपयुक्त, चुने हुए समीपस्थ पर युग्मन शब्द द्वारा परिवर्तित करे।
• प्रत्येक इकाई की गतिशीलता (प्रक्रिया) को क्रमिक रूप से पूर्ण करें।

वर्गीकरण

सीएमएल प्रणाली सदिश अनुक्रमों पर मानचित्रण द्वारा भिन्न-भिन्न समय के माध्यम से विकसित होती है। ये मानचित्रण दो प्रतिस्पर्धी शब्दों का एक पुनरावर्ती कार्य है: एक व्यक्तिगत गैर-रेखीय प्रतिक्रिया, और परिवर्तनीय तीव्रता का एक स्थानिक अन्तःक्रिया (युग्मन)। सीएमएल को इस युग्मन पैरामीटर की ताकत के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

सीएमएल में वर्तमान में प्रकाशित अधिकांश कार्य अशक्त युग्मित प्रणालियों पर आधारित हैं जहाँ पहचान के समीप स्थिति स्थान की भिन्नताओं का अध्ययन किया जाता है। मोनोटोनिक(अस्थिरता) गतिशील व्यवस्था के साथ अशक्त युग्मन स्थानिक अव्यवस्थितता घटना को प्रदर्शित करता है और तंत्रिका मॉडल में लोकप्रिय होता है। अशक्त युग्मन यूनिमॉडल मानचित्रों को उनके स्थिर आवधिक बिंदुओं की विशेषता होती है और जीन नियामक नेटवर्क मॉडल द्वारा उपयोग किया जाता है। स्पेस-समय की अव्यवस्थित घटनाओं को अशक्त युग्मन गुणांक के अधीन अव्यवस्थित मानचित्रण से प्रदर्शित किया जा सकता है और चरण संक्रमण घटना मॉडल में लोकप्रिय हैं।

मध्यवर्ती और सशक्त युग्मन अंतःक्रियाएं अध्ययन के कम प्रचलित क्षेत्र हैं। मध्यवर्ती अंतःक्रियाओं का अध्ययन फ्रंट और यात्रा तरंग, रिडल घाटियों, रिडल द्विभाजन, समूहों और गैर-अद्वितीय चरणों के संबंध में किया जाता है। कुरामोटो मोड एल जैसे गतिशील स्थानिक प्रणालियों के मॉडल सिंक्रनाइज़ेशन प्रभावों के लिए सशक्त युग्मन अन्तःक्रिया सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है।

ये वर्गीकरण स्थानीय या वैश्विक (जीएमएल) को प्रतिबिंबित नहीं करते हैं )। न ही वे युग्मन की आवृत्ति पर विचार करते हैं जो प्रणाली में स्वतंत्रता की डिग्री के रूप में उपस्थित हो सकती है। अंत में, वे अंतर्निहित स्थान के आकार या सीमा मूल्य समस्याओं के मध्य अंतर नहीं करते हैं।

आश्चर्यजनक रूप से सीएमएल की गतिशीलता का उन स्थानीय मानचित्रों से बहुत कम लेना-देना है जो उनके प्राथमिक घटकों का निर्माण करते हैं। प्रत्येक मॉडल के साथ एक अव्यवस्थित स्थिति (दृश्य व्याख्या से परे) की पहचान करने के लिए एक कठोर गणितीय जांच की आवश्यकता होती है। इस आशय के कठोर प्रमाण प्रस्तुत किये गये हैं। उदाहरण के के लिए: सशक्त सांख्यिकीय गुणों वाले एक-आयामी मानचित्रों के अशक्त स्पेस अन्तःक्रिया में स्पेस-समय अव्यवस्थितता का अस्तित्व 1988 में बनीमोविच और सिनाई द्वारा सिद्ध किया गया था। समान परिस्थितियों में अशक्त युग्मित अतिपरवलयिक मानचित्रों के लिए समान प्रमाण उपस्थित हैं।

अद्वितीय सीएमएल गुणात्मक वर्ग

सीएमएल ने (सीएमएल) घटना विज्ञान में नवीन गुणात्मक सार्वभौमिकता वर्गों का अनावरण किया है। ऐसी कक्षाओं में सम्मिलित हैं:

• स्थानिक विभाजन और जमी हुई अव्यवस्थितता
• प्रारूप का चयन
• ज़िग-ज़ैग प्रारूप का चयन और दोषों का अव्यवस्थित प्रसार
• स्थानिक-अस्थायी रुक-रुक कर
• सॉलिटन अशांति
• स्थानीय चरण स्लिप द्वारा उत्पन्न वैश्विक यात्रा तरंगें
• अवृत प्रवाह प्रणालियों में निम्न-प्रवाह के लिए स्थानिक विभाजन।

दृश्य घटनाएँ

ऊपर सूचीबद्ध अद्वितीय गुणात्मक वर्गों की कल्पना की जा सकती है। कानेको 1983 मॉडल को लॉजिस्टिक में प्रयुक्त करके ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ मानचित्र में, सीएमएल के कई गुणात्मक वर्ग देखे जा सकते हैं। इन्हें नीचे प्रदर्शित किया गया है, अद्वितीय मापदंडों पर ध्यान दें:

Frozen Chaos	Pattern Selection	Chaotic Brownian Motion of Defect
File:Frozenchaos logmap.JPG	File:PatternSelection logmap.JPG	File:BrownMotionDefect logmap.JPG
Figure 1: Sites are divided into non-uniform clusters, where the divided patterns are regarded as attractors. Sensitivity to initial conditions exist relative to a < 1.5.	Figure 2: Near uniform sized clusters (a = 1.71, ε = 0.4).	Figure 3: Defects exist in the system and fluctuate chaotically akin to Brownian motion (a = 1.85, ε = 0.1).
Defect Turbulence	Spatiotemporal Intermittency I	Spatiotemporal Intermittency II
File:DefectTurbulence logmap.JPG	File:Spatiotemporal Intermittency logmap.JPG	File:Spatiotemporal Intermittency logmap2.JPG
Figure 4: Many defects are generated and turbulently collide (a = 1.895, ε = 0.1).	Figure 5: Each site transits between a coherent state and chaotic state intermittently (a = 1.75, ε = 0.6), Phase I.	Figure 6: The coherent state, Phase II.
Fully Developed Spatiotemporal Chaos	Traveling Wave
File:SpatiotemporalChaos fullydevd logmap.JPG	File:TravelingWave logmap.JPG
Figure 7: Most sites independently oscillate chaotically (a = 2.00, ε = 0.3).	Figure 8: The wave of clusters travels at 'low' speeds (a = 1.47, ε = 0.5).

मात्रात्मक विश्लेषण परिमाणक

युग्मित मानचित्र निस्पंदन स्थानिक रूप से विस्तारित प्रणालियों का एक प्रारूप होता है जिसका अनुकरण करना सरल होता है, या एक मानदंड का प्रतिनिधित्व करता है स्थानिक-लौकिक अव्यवस्थितता के कई संकेतकों की परिभाषा और परिचय के लिए, सबसे अधिक प्रासंगिक होता हैं

• स्पेस और समय में शक्ति स्पेक्ट्रम
• ल्यपुनोव स्पेक्ट्रा
• आयाम घनत्व
• कोलमोगोरोव-सिनाई एन्ट्रापी घनत्व
• प्रतिरूप का वितरण
• प्रतिरूप एन्ट्रापी
• परिमित और अतिसूक्ष्म विक्षोभ की प्रसार गति
• स्पेस-समय में पारस्परिक सूचना और सहसंबंध
• ल्यपुनोव प्रतिपादक, ल्यपुनोव सदिश का स्थानीयकरण
• कोमोविंग और उप-स्पेस समय ल्यपुनोव प्रतिपादक।
• स्थानिक और लौकिक ल्यपुनोव प्रतिपादक

यह भी देखें

• सेल्यूलर आटोमेटा
• लायपुनोव प्रतिपादक
• स्टोकेस्टिक सेलुलर ऑटोमेटा
• रुलकोव मानचित्र
• चियाल्वो मानचित्र

अग्रिम पठन

• Google Library (2005). Dynamics of Coupled Map Lattices. Springer. ISBN 978-3-540-24289-5. Archived from the original on 2008-03-29. {{cite book}}: |author= has generic name (help)
• Shawn D. Pethel; Ned J. Corron; Erik Bollt (2006). "Symbolic Dynamics of Coupled Map Lattices". Physical Review Letters. 96 (3): 034105. Bibcode:2006PhRvL..96c4105P. doi:10.1103/PhysRevLett.96.034105. PMID 16486708. Alt URL
• E. Atlee Jackson (1989), Perspectives of Nonlinear Dynamics: Volume 2, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42633-2
• H.G, Schuster; W. Just (2005), Deterministic Chaos, John Wiley and Sons Ltd, 2005, ISBN 3-527-40415-5
• Introduction to Chaos and Nonlinear Dynamics

बाहरी संबंध

• Kaneko Laboratory
• Institut Henri Poincaré, Paris, June 21 – July 2, 2004
• Istituto dei Sistemi Complessi, Florence, Italy
• Java CML/GML web-app
• AnT 4.669 – A simulation and Analysis Tool for Dynamical Systems