अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह: Difference between revisions
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रैखिक बीजगणित में, एक अर्ध- | रैखिक बीजगणित में, एक अर्ध-ऑर्थोगोनलआव्यूह[[वास्तविक संख्या]] प्रविष्टियों के साथ एक गैर-[[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग]] [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] है जहां: यदि स्तंभों की संख्या पंक्तियों की संख्या से अधिक है, तो पंक्तियां [[ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर]] हैं; लेकिन यदि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से अधिक है, तो स्तंभ ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर हैं। | ||
समान रूप से, एक गैर-वर्ग | समान रूप से, एक गैर-वर्ग आव्यूह ''A'' अर्ध-ऑर्थोगोनल है यदि दोनों में से एक है | ||
:<math>A^{\operatorname{T}} A = I \text{ or } A A^{\operatorname{T}} = I. \,</math><ref>Abadir, K.M., Magnus, J.R. (2005). Matrix Algebra. Cambridge University Press.</ref><ref>Zhang, Xian-Da. (2017). Matrix analysis and applications. Cambridge University Press.</ref><ref>Povey, Daniel, et al. (2018). [http://dx.doi.org/10.21437/Interspeech.2018-1417 "Semi-Orthogonal Low-Rank Matrix Factorization for Deep Neural Networks."] Interspeech.</ref> | :<math>A^{\operatorname{T}} A = I \text{ or } A A^{\operatorname{T}} = I. \,</math><ref>Abadir, K.M., Magnus, J.R. (2005). Matrix Algebra. Cambridge University Press.</ref><ref>Zhang, Xian-Da. (2017). Matrix analysis and applications. Cambridge University Press.</ref><ref>Povey, Daniel, et al. (2018). [http://dx.doi.org/10.21437/Interspeech.2018-1417 "Semi-Orthogonal Low-Rank Matrix Factorization for Deep Neural Networks."] Interspeech.</ref> | ||
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उदाहरण के लिए, <math>\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}</math> एक अर्ध- | उदाहरण के लिए, <math>\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}</math> एक अर्ध-ऑर्थोगोनलआव्यूहहै। | ||
एक अर्ध-ऑर्थोगोनल | एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह A [[अर्ध-एकात्मक]] है (या तो A<sup>†</sup>A = I या AA<sup>†</sup> = I) और या तो बाएँ-उलटा या दाएँ-उलटा (बाएँ-उलटा यदि इसमें स्तंभों की तुलना में अधिक पंक्तियाँ हैं, अन्यथा दाएँ-उलटा)। बाईं ओर से प्रयुक्त एक [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में, स्तंभों की तुलना में अधिक पंक्तियों वाला एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह वैक्टर के [[डॉट उत्पाद|बिंदु उत्पाद]] को संरक्षित करता है, और इसलिए यूक्लिडियन अंतरिक्ष की एक आइसोमेट्री के रूप में कार्य करता है, जैसे कि रोटेशन (गणित) या [[प्रतिबिंब (गणित)]]। | ||
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रैखिक बीजगणित में, एक अर्ध-ऑर्थोगोनलआव्यूहवास्तविक संख्या प्रविष्टियों के साथ एक गैर-वर्ग आव्यूह (गणित) है जहां: यदि स्तंभों की संख्या पंक्तियों की संख्या से अधिक है, तो पंक्तियां ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर हैं; लेकिन यदि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से अधिक है, तो स्तंभ ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर हैं।
समान रूप से, एक गैर-वर्ग आव्यूह A अर्ध-ऑर्थोगोनल है यदि दोनों में से एक है
निम्नलिखित में, उस घटना पर विचार करें जहां A, m > n के लिए एक m × n आव्यूह है, तो
यह तथ्य कि आइसोमेट्री गुण का तात्पर्य है
- 'Rn' में सभी x के लिए.
उदाहरण के लिए, एक अर्ध-ऑर्थोगोनलआव्यूहहै।
एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह A अर्ध-एकात्मक है (या तो A†A = I या AA† = I) और या तो बाएँ-उलटा या दाएँ-उलटा (बाएँ-उलटा यदि इसमें स्तंभों की तुलना में अधिक पंक्तियाँ हैं, अन्यथा दाएँ-उलटा)। बाईं ओर से प्रयुक्त एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, स्तंभों की तुलना में अधिक पंक्तियों वाला एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह वैक्टर के बिंदु उत्पाद को संरक्षित करता है, और इसलिए यूक्लिडियन अंतरिक्ष की एक आइसोमेट्री के रूप में कार्य करता है, जैसे कि रोटेशन (गणित) या प्रतिबिंब (गणित)।
संदर्भ
- ↑ Abadir, K.M., Magnus, J.R. (2005). Matrix Algebra. Cambridge University Press.
- ↑ Zhang, Xian-Da. (2017). Matrix analysis and applications. Cambridge University Press.
- ↑ Povey, Daniel, et al. (2018). "Semi-Orthogonal Low-Rank Matrix Factorization for Deep Neural Networks." Interspeech.
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