अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक अर्ध-ऑर्थोगोनलआव्यूहवास्तविक संख्या प्रविष्टियों के साथ एक गैर-वर्ग आव्यूह (गणित) है जहां: यदि स्तंभों की संख्या पंक्तियों की संख्या से अधिक है, तो पंक्तियां ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर हैं; लेकिन यदि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से अधिक है, तो स्तंभ ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर हैं।

समान रूप से, एक गैर-वर्ग आव्यूह A अर्ध-ऑर्थोगोनल है यदि दोनों में से एक है

$A^{\operatorname {T} }A=I{\text{ or }}AA^{\operatorname {T} }=I.\,$

निम्नलिखित में, उस घटना पर विचार करें जहां A, m > n के लिए एक m × n आव्यूह है, तो

$A^{\operatorname {T} }A=I_{n},{\text{ and}}$

$AA^{\operatorname {T} }={\text{the matrix of the orthogonal projection onto the column space of }}A.$

यह तथ्य कि ${\textstyle A^{\operatorname {T} }A=I_{n}}$ आइसोमेट्री गुण का तात्पर्य है

$\|Ax\|_{2}=\|x\|_{2}\,$ 'Rⁿ' में सभी x के लिए.

उदाहरण के लिए, ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ एक अर्ध-ऑर्थोगोनलआव्यूहहै।

एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह A अर्ध-एकात्मक है (या तो A^†A = I या AA^† = I) और या तो बाएँ-उलटा या दाएँ-उलटा (बाएँ-उलटा यदि इसमें स्तंभों की तुलना में अधिक पंक्तियाँ हैं, अन्यथा दाएँ-उलटा)। बाईं ओर से प्रयुक्त एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, स्तंभों की तुलना में अधिक पंक्तियों वाला एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह वैक्टर के बिंदु उत्पाद को संरक्षित करता है, और इसलिए यूक्लिडियन अंतरिक्ष की एक आइसोमेट्री के रूप में कार्य करता है, जैसे कि रोटेशन (गणित) या प्रतिबिंब (गणित)।