प्रक्षेपीय अवकल ज्यामिति

गणित में, प्रक्षेपीय अवकल ज्यामिति, अवकल ज्यामिति का अध्ययन है, गणितीय वस्तुओं के गुणों जैसे कि फलन, डिफ़ियोमोर्फिज्म और सबमैनिफोल्ड्स के दृष्टिकोण से, जो प्रक्षेपीय समूह के परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय हैं। यह अपरिवर्तनशीलता का अध्ययन करने के लिए रीमैनियन ज्यामितिके दृष्टिकोण और उनके समूह समरूपता के अनुसार ज्यामिति को चिह्नित करने के एर्लांगेन कार्यक्रम का मिश्रण है।

इस क्षेत्र का गणितज्ञों द्वारा 1890 के आसपास एक पीढ़ी तक (जे.जी. डार्बौक्स, जॉर्ज हेनरी हैल्फेन, अर्नेस्ट जूलियस विल्ज़िंस्की, ई. बोम्पियानी, जी. फ़ुबिनी, एडुआर्ड सेच, अन्य लोगों द्वारा) बहुत अध्ययन किया गया था, बिना अवकल अपरिवर्तनीयता के एक व्यापक सिद्धांत के आने के है। एली कार्टन ने फ्रेम को हिलाने की अपनी पद्धति के हिस्से के रूप में एक सामान्य प्रक्षेपीय कनेक्शन का विचार प्रस्तुत किया; संक्षेप में कहें तो, यह व्यापकता का वह स्तर है जिस पर एर्लांगेन कार्यक्रम को अवकल ज्यामिति के साथ समेटा जा सकता है, जबकि यह सिद्धांत का सबसे पुराना हिस्सा (प्रक्षेपीय रेखा के लिए) भी विकसित करता है, अर्थात् श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न, सबसे सरल प्रक्षेपीय अवकल अपरिवर्तनीय है।

1930 के दशक के बाद से आगे का काम जे. कनिटानी, शिंग-शेन चेर्न, ए. पी. नॉर्डेन, जी. बोल, एस. पी. फिनिकोव और जी. एफ. लापतेव द्वारा किया गया। यहां तक कि वक्रों के दोलन पर बुनियादी परिणामों, एक स्पष्ट रूप से प्रक्षेपीय-अपरिवर्तनीय विषय, में भी किसी व्यापक सिद्धांत का अभाव है। प्रोजेक्टिव डिफरेंशियल ज्योमेट्री के विचार गणित और उसके अनुप्रयोगों में दोहराए जाते हैं, लेकिन दिए गए सूत्रीकरण अभी भी बीसवीं सदी की शुरुआत की भाषा में निहित हैं।

यह भी देखें

• वक्रों की ज्यामिति को ठीक करें

संदर्भ

• Ernest Julius Wilczynski Projective differential geometry of curves and ruled surfaces (Leipzig: B.G. Teubner,1906)

अग्रिम पठन

• Notes on Projective Differential Geometry by Michael Eastwood