त्रिविकल्पी नियम: Difference between revisions

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== संख्या पर ट्राइकोटॉमी ==
== संख्या पर ट्राइकोटॉमी ==
संख्याओं के कुछ समुच्चय x  पर त्रिगुणात्मक का एक नियम सामान्यतः व्यक्त करता है कि x पर कुछ निश्चित रूप से दिए गए क्रम संबंध एक त्रिगुणात्मक है।एक वास्तविक संख्या x और y के लिए नियम है,पूर्णतया x<y, y <x, या x ; y लागू होता है;कुछ लेखक भी y को शून्य होने के लिए ठीक करते हैं,<ref name="mathworld"/>वास्तविक संख्या के एडिटिव रैखिक रूप से ऑर्डर किए गए समूह संरचना पर भरोसा करना।उत्तरार्द्ध एक [[समूह (गणित)]] है जो एक ट्राइकोटोमस ऑर्डर से लैस है।
संख्याओं के कुछ समुच्चय x  पर त्रिगुणात्मक नियम सामान्यतः व्यक्त करता है कि x पर कुछ निश्चित रूप से दिए गए क्रम संबंध त्रिगुणात्मक है। किसी वास्तविक संख्या x और y के लिए यह नियम,पूर्णतया x<y, y <x, या x ; y पर लागू होता है;कुछ लेखक भी y को शून्य करने का प्रयास करते हैं,<ref name="mathworld"/>वास्तविक संख्या के धनात्मक रैखिक रूप से श्रेणीबद्ध किए गए समूह संरचना पर भरोसा करना उत्तरार्द्ध में [[समूह (गणित)|गणितीय समूह को संदर्भित]]   करता है।
 
शास्त्रीय तर्क में, त्रिगुनात्मकता का यह स्वयंसिद्ध, वास्तविक संख्याओं के बीच सामान्य तुलना के लिए होता है और इसलिए [[पूर्णांक]] और [[तर्कसंगत संख्या]]ओं के बीच तुलना के लिए भी इसका प्रयोग किया जाता है। त्रिगुणात्मक नियम सामान्य रूप से [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] में नहीं है।{{cn|reason=Also give an example where the law doesn't hold.|date=May 2018}}
 
ज़ेर्मेलो फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत और वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत में, त्रिगुनात्मकता का नियम स्वयंसिद्ध के बिना भी अच्छी तरह से श्रेणीबद्ध करने योग्य समुच्चयो की संख्या के बीच रहता है।यदि [[पसंद का स्वयंसिद्ध|स्वयंसिद्ध]]  इसको धारण करता है, तो त्रिगुनात्मकता  [[बुनियादी संख्या|बुनियादी संख्यायो]] के बीच रखती है क्योंकि वे प्रमेय को अच्छी तरह से श्रेणीबद्ध कर रहे हैं। उस सन्दर्भ में सभी सुव्यवस्थित करने योग्य होते है।<ref>{{cite book | author=Bernays, Paul | title=Axiomatic Set Theory | publisher=Dover Publications | year=1991 | isbn=0-486-66637-9}}</ref>


शास्त्रीय तर्क में, ट्राइकोटॉमी का यह स्वयंसिद्ध वास्तविक संख्याओं के बीच सामान्य तुलना के लिए होता है और इसलिए [[पूर्णांक]] के बीच और [[तर्कसंगत संख्या]]ओं के बीच तुलना के लिए भी।{{clarify|reason=In which axiomatization? Usually, the natural numbers N are introduced based on the Peano axioms, 'is less than' is defined recursively on N, and its trichotomy is proven by induction; integers, rationals, and reals are constructed step by step; again, trichotomy is proven for every of these domains.|date=May 2018}} कानून सामान्य रूप से [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] में नहीं है।{{cn|reason=Also give an example where the law doesn't hold.|date=May 2018}}
Zermelo-Fraenkel सेट थ्योरी और वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी में, ट्राइकोटॉमी का नियम पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना भी अच्छी तरह से ऑर्डर करने योग्य सेटों के कार्डिनल संख्या के बीच रहता है।यदि [[पसंद का स्वयंसिद्ध]] धारण करता है, तो ट्राइकोटॉमी मनमानी [[बुनियादी संख्या]]ों के बीच रखती है (क्योंकि वे थ्योरम को अच्छी तरह से ऑर्डर कर रहे हैं। उस मामले में सभी सुव्यवस्थित करने योग्य)।<ref>{{cite book | author=Bernays, Paul | title=Axiomatic Set Theory | publisher=Dover Publications | year=1991 | isbn=0-486-66637-9}}</ref>




Revision as of 10:45, 16 February 2023

गणित में, ट्राइकोटॉमी का नियम बताता है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य होती है।[1] सामान्यत, एक समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध आर 'त्रिभाजनीय' है अगर सभी x औरy के लिए x में,पूर्णतया एक xry, yrx और x =y में से कोई एक धारण करता है R को <के रूप में लिखने पर, इसे औपचारिक तर्क में इस रूप में व्यक्त किया जाता है


गुण

  • एक संबंध त्रिविभाजित है यदि, केवल , यह असममित संबंध से जुड़ा हुआ है।
  • यदि एक त्रिगुणात्मक संबंध भी सकर्मक है, तो यह एक निश्चित कुल क्रम है, यह एक निश्चित कमजोर क्रम का सम्बन्ध है।[2][3]

उदाहरण एक ही सेट पर, चक्रीय संबंध r = {(a, b), (b, c), (c, a)} ट्राइकोटोमस है, लेकिन सकर्मक नहीं है;यह अविश्वास भी है।

  • समुच्चय x = {a, b, c},पर संबंध r = {(a, b), (a, c), (b, c)} सकर्मक और त्रिगुणात्मक है, और इसलिए एक निश्चित क्रम है।
  • एक समुच्चय पर, चक्रीय संबंध r = {(a, b), (b, c), (c, a)} त्रिगुणात्मक है, लेकिन सकर्मक नहीं है;यह अकर्मक भी है।

संख्या पर ट्राइकोटॉमी

संख्याओं के कुछ समुच्चय x पर त्रिगुणात्मक नियम सामान्यतः व्यक्त करता है कि x पर कुछ निश्चित रूप से दिए गए क्रम संबंध त्रिगुणात्मक है। किसी वास्तविक संख्या x और y के लिए यह नियम,पूर्णतया x<y, y <x, या x ; y पर लागू होता है;कुछ लेखक भी y को शून्य करने का प्रयास करते हैं,[1]वास्तविक संख्या के धनात्मक रैखिक रूप से श्रेणीबद्ध किए गए समूह संरचना पर भरोसा करना उत्तरार्द्ध में गणितीय समूह को संदर्भित करता है।

शास्त्रीय तर्क में, त्रिगुनात्मकता का यह स्वयंसिद्ध, वास्तविक संख्याओं के बीच सामान्य तुलना के लिए होता है और इसलिए पूर्णांक और तर्कसंगत संख्याओं के बीच तुलना के लिए भी इसका प्रयोग किया जाता है। त्रिगुणात्मक नियम सामान्य रूप से अंतर्ज्ञानवादी तर्क में नहीं है।[citation needed]

ज़ेर्मेलो फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत और वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत में, त्रिगुनात्मकता का नियम स्वयंसिद्ध के बिना भी अच्छी तरह से श्रेणीबद्ध करने योग्य समुच्चयो की संख्या के बीच रहता है।यदि स्वयंसिद्ध इसको धारण करता है, तो त्रिगुनात्मकता बुनियादी संख्यायो के बीच रखती है क्योंकि वे प्रमेय को अच्छी तरह से श्रेणीबद्ध कर रहे हैं। उस सन्दर्भ में सभी सुव्यवस्थित करने योग्य होते है।[4]


यह भी देखें

  • Begriffsschrift में ट्राइकोटॉमी के कानून का एक प्रारंभिक सूत्रीकरण होता है
  • द्विभाजन
  • नॉनकंट्रैडिक्शन का नियम
  • बाहर के बीच का कानून
  • तीन-तरफ़ा तुलना

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Trichotomy Law at MathWorld
  2. ↑ Jerrold E. Marsden & Michael J. Hoffman (1993) Elementary Classical Analysis, page 27, W. H. Freeman and Company ISBN 0-7167-2105-8
  3. ↑ H.S. Bear (1997) An Introduction to Mathematical Analysis, page 11, Academic Press ISBN 0-12-083940-7
  4. ↑ Bernays, Paul (1991). Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-66637-9.
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