स्थिति का चौथा, पाँचवाँ और छठा व्युत्पन्न: Difference between revisions

Revision as of 08:55, 21 September 2023

स्थिति का समय-व्युत्पन्न

भौतिकी में, स्थिति के चौथे, पांचवें और छठे व्युत्पन्न को समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है - पहला, दूसरा और तीसरा व्युत्पन्न क्रमशः वेग, त्वरण और झटका (भौतिकी) है। पहले तीन यौगिक के विपरीत, उच्च-क्रम डेरिवेटिव कम आम हैं,^[1]^[2]इस प्रकार उनके नाम उतने मानकीकृत नहीं हैं, हालाँकि प्रक्षेपवक्र अनुकूलन की अवधारणा का उपयोग रोबोटिक्स में किया गया है और इसे MATLAB में लागू किया गया है।^[3]

चौथे व्युत्पन्न को अक्सर स्नैप या जंज़ के रूप में जाना जाता है। चौथे व्युत्पन्न के लिए नाम स्नैप ने क्रमशः पांचवें और छठे व्युत्पन्न के लिए क्रैकल और पॉप का नेतृत्व किया,^[4]राइस क्रिस्पिज़ ़ शुभंकर स्नैप, क्रैकल और पॉप से प्रेरित।^[5]इन शब्दों का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, हालांकि कभी-कभी कुछ हद तक हास्यास्पद भी।^[5]

Fourth derivative (स्नैप/जौंस)

स्नैप,^[6] या उछाल,^[2]समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) का चौथा व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में झटका (भौतिकी) का व्युत्पन्न है।^[5]समान रूप से, यह त्वरण का दूसरा व्युत्पन्न या वेग का तीसरा व्युत्पन्न है, और इसे निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

{\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.

असैनिक अभियंत्रण में, रेलवे ट्रैक और सड़कों के डिज़ाइन में स्नैप को न्यूनतम करना शामिल है, विशेष रूप से विभिन्न वक्रता त्रिज्या वाले मोड़ों के आसपास। जब स्नैप स्थिर होता है, तो झटका रैखिक रूप से बदलता है, जिससे रेडियल त्वरण में सहज वृद्धि होती है, और जब, जैसा कि प्राथमिकता दी जाती है, स्नैप शून्य होता है, रेडियल त्वरण में परिवर्तन रैखिक होता है। स्नैप का न्यूनतमकरण या उन्मूलन आमतौर पर गणितीय कपड़ानुमा फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है। स्नैप को छोटा करने से मशीन टूल्स और रोलर कोस्टर के प्रदर्शन में सुधार होता है।^[1]

निरंतर स्नैप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

{\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}

कहाँ

${\vec {s}}$ निरंतर स्नैप है,
${\vec {\jmath }}_{0}$ प्रारंभिक झटका है,
${\vec {\jmath }}$ अंतिम झटका है,
${\vec {a}}_{0}$ प्रारंभिक त्वरण है,
${\vec {a}}$ अंतिम त्वरण है,
${\vec {v}}_{0}$ प्रारंभिक वेग है,
${\vec {v}}$ अंतिम वेग है,
${\vec {r}}_{0}$ प्रारंभिक स्थिति है,
${\vec {r}}$ अंतिम स्थिति है,
$t$ प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच का समय है।

संकेतन ${\vec {s}}$ (विज़सर द्वारा प्रयुक्त^[5] आमतौर पर समान रूप से दर्शाए जाने वाले विस्थापन वेक्टर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

स्नैप के आयाम समय की प्रति चौथाई शक्ति की दूरी हैं। एसआई इकाइयों में, यह मीटर प्रति सेकंड से चौथे तक है, एमएस⁴, m⋅s⁻⁴, या सीजीएस इकाइयों में प्रति सेकंड 100 गैलन (इकाई)।

Fifth derivative

समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के पांचवें व्युत्पन्न को कभी-कभी क्रैकल कहा जाता है।^[4]यह समय के सापेक्ष स्नैप के परिवर्तन की दर है।^[4]^[5]क्रैकल को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

{\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}

निरंतर चटकने के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

{\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}

कहाँ

${\vec {c}}$ : निरंतर कर्कशता,
${\vec {s}}_{0}$ : प्रारंभिक स्नैप,
${\vec {s}}$ : अंतिम स्नैप,
${\vec {\jmath }}_{0}$ : प्रारंभिक झटका,
${\vec {\jmath }}$ : अंतिम झटका,
${\vec {a}}_{0}$ : प्रारंभिक त्वरण,
${\vec {a}}$ : अंतिम त्वरण,
${\vec {v}}_{0}$ : प्रारंभिक वेग,
${\vec {v}}$ : अंतिम वेग,
${\vec {r}}_{0}$ : प्रारंभिक स्थिति,
${\vec {r}}$ :अंतिम स्थिति,
$t$ : प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच का समय.

क्रैकल के आयाम एलटी हैं⁻⁵. एसआई इकाइयों में, यह एम/एस है⁵, और सीजीएस इकाइयों में, 100 गैलन (इकाई) प्रति घन सेकंड।

Sixth derivative

समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के छठे व्युत्पन्न को कभी-कभी पॉप कहा जाता है।^[4]यह समय के सापेक्ष क्रैक के परिवर्तन की दर है।^[4]^[5] पॉप को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

{\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}

निरंतर पॉप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

{\vec {p}}

[epr-1] 1.0 ^1.1 Eager, David; Pendrill, Ann-Marie; Reistad, Nina (2016-10-13). "Beyond velocity and acceleration: jerk, snap and higher derivatives". European Journal of Physics (in English). 37 (6): 065008. Bibcode:2016EJPh...37f5008E. doi:10.1088/0143-0807/37/6/065008. ISSN 0143-0807. S2CID 19486813.

[PhysicsFAQ-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (November 1998). "What is the term used for the third derivative of position?". Usenet Physics and Relativity FAQ. Math Dept., University of California, Riverside. Retrieved 2015-10-24.

[3] "MATLAB Documentation: minsnappolytraj".

[Thompson-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 ^4.5 Thompson, Peter M. (5 May 2011). "Snap, Crackle, and Pop" (PDF). AIAA Info. Hawthorne, California: Systems Technology. p. 1. Archived from the original on 26 June 2018. Retrieved 3 March 2017. The common names for the first three derivatives are velocity, acceleration, and jerk. The not so common names for the next three derivatives are snap, crackle, and pop.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)

[Visser2004-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 Visser, Matt (31 March 2004). "Jerk, snap and the cosmological equation of state". Classical and Quantum Gravity. 21 (11): 2603–2616. arXiv:gr-qc/0309109. Bibcode:2004CQGra..21.2603V. doi:10.1088/0264-9381/21/11/006. ISSN 0264-9381. S2CID 250859930. Snap [the fourth time derivative] is also sometimes called jounce. The fifth and sixth time derivatives are sometimes somewhat facetiously referred to as crackle and pop.

[6] Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (2011). "Minimum snap trajectory generation and control for quadrotors". 2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation. pp. 2520–2525. doi:10.1109/ICRA.2011.5980409. ISBN 978-1-61284-386-5. S2CID 18169351.

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 {{Short description|Higher derivatives of the position vector with respect to time}}
-<!-- Please do not move this page without first reaching a consensus through a relevant discussion. -->
-[[File:time derivatives of position.svg|thumb|स्थिति का समय-व्युत्पन्न]]भौतिकी में, स्थिति के चौथे, पांचवें और छठे व्युत्पन्न को [[समय]] के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है - पहला, दूसरा और तीसरा व्युत्पन्न क्रमशः [[वेग]], [[त्वरण]] और [[झटका (भौतिकी)]] है। पहले तीन [[ यौगिक ]] के विपरीत, उच्च-क्रम डेरिवेटिव कम आम हैं,<ref name="epr">{{Cite journal |last1=Eager |first1=David |last2=Pendrill |first2=Ann-Marie |last3=Reistad |first3=Nina |date=2016-10-13 |title=Beyond velocity and acceleration: jerk, snap and higher derivatives |url=https://doi.org/10.1088/0143-0807/37/6/065008 |journal=European Journal of Physics |language=en |volume=37 |issue=6 |pages=065008 |doi=10.1088/0143-0807/37/6/065008 |bibcode=2016EJPh...37f5008E |s2cid=19486813 |issn=0143-0807|doi-access=free }}</ref><ref name="PhysicsFAQ"/>इस प्रकार उनके नाम उतने मानकीकृत नहीं हैं, हालाँकि [[प्रक्षेपवक्र अनुकूलन]] की अवधारणा का उपयोग [[रोबोटिक]]्स में किया गया है और इसे [[MATLAB]] में लागू किया गया है।<ref>{{cite web |title=MATLAB Documentation: minsnappolytraj |url=https://www.mathworks.com/help/robotics/ref/minsnappolytraj.html}}</ref>
+[[File:time derivatives of position.svg|thumb|स्थिति का समय-व्युत्पन्न]]भौतिकी में, स्थिति के चौथे, पांचवें और छठे व्युत्पन्न को [[समय]] के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है - पहला, दूसरा और तीसरा व्युत्पन्न क्रमशः [[वेग]], [[त्वरण]] और [[झटका (भौतिकी)]] है। पहले तीन [[ यौगिक |यौगिक]] के विपरीत, उच्च-क्रम डेरिवेटिव कम आम हैं,<ref name="epr">{{Cite journal |last1=Eager |first1=David |last2=Pendrill |first2=Ann-Marie |last3=Reistad |first3=Nina |date=2016-10-13 |title=Beyond velocity and acceleration: jerk, snap and higher derivatives |url=https://doi.org/10.1088/0143-0807/37/6/065008 |journal=European Journal of Physics |language=en |volume=37 |issue=6 |pages=065008 |doi=10.1088/0143-0807/37/6/065008 |bibcode=2016EJPh...37f5008E |s2cid=19486813 |issn=0143-0807|doi-access=free }}</ref><ref name="PhysicsFAQ"/>इस प्रकार उनके नाम उतने मानकीकृत नहीं हैं, हालाँकि [[प्रक्षेपवक्र अनुकूलन]] की अवधारणा का उपयोग [[रोबोटिक]]्स में किया गया है और इसे [[MATLAB]] में लागू किया गया है।<ref>{{cite web |title=MATLAB Documentation: minsnappolytraj |url=https://www.mathworks.com/help/robotics/ref/minsnappolytraj.html}}</ref>
 चौथे व्युत्पन्न को अक्सर स्नैप या जंज़ के रूप में जाना जाता है। चौथे व्युत्पन्न के लिए नाम स्नैप ने क्रमशः पांचवें और छठे व्युत्पन्न के लिए क्रैकल और पॉप का नेतृत्व किया,<ref name="Thompson"/>[[ राइस क्रिस्पिज़ ]]़ शुभंकर स्नैप, क्रैकल और पॉप से प्रेरित।<ref name="Visser2004" />इन शब्दों का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, हालांकि कभी-कभी कुछ हद तक हास्यास्पद भी।<ref name="Visser2004" />
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 =={{vanchor|Fourth derivative}} (स्नैप/जौंस)==
 स्नैप,<ref>{{Cite book | doi=10.1109/ICRA.2011.5980409| chapter=Minimum snap trajectory generation and control for quadrotors| title=2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation| year=2011| last1=Mellinger| first1=Daniel| last2=Kumar| first2=Vijay| pages=2520–2525| isbn=978-1-61284-386-5| s2cid=18169351}}</ref> या उछाल,<ref name="PhysicsFAQ"/>समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) का चौथा व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में झटका (भौतिकी) का व्युत्पन्न है।<ref name="Visser2004"/>समान रूप से, यह त्वरण का दूसरा व्युत्पन्न या वेग का तीसरा व्युत्पन्न है,
-और इसे निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी एक द्वारा परिभाषित किया गया है:
+और इसे निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:
-<math display="block">\vec s = \frac{d \,\vec \jmath}{dt} = \frac{d^2 \vec a}{dt^2} = \frac{d^3 \vec v}{dt^3} = \frac{d^4 \vec r}{dt^4}.</math>[[ असैनिक अभियंत्रण ]] में, [[रेलवे ट्रैक]] और सड़कों के डिज़ाइन में स्नैप को न्यूनतम करना शामिल है, विशेष रूप से विभिन्न [[वक्रता त्रिज्या]] वाले मोड़ों के आसपास। जब स्नैप स्थिर होता है, तो झटका रैखिक रूप से बदलता है, जिससे [[रेडियल त्वरण]] में सहज वृद्धि होती है, और जब, जैसा कि प्राथमिकता दी जाती है, स्नैप शून्य होता है, रेडियल त्वरण में परिवर्तन रैखिक होता है। स्नैप का न्यूनतमकरण या उन्मूलन आमतौर पर गणितीय [[कपड़ानुमा]] फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है। स्नैप को छोटा करने से मशीन टूल्स और रोलर कोस्टर के प्रदर्शन में सुधार होता है।<ref name="epr"/>
+<math display="block">\vec s = \frac{d \,\vec \jmath}{dt} = \frac{d^2 \vec a}{dt^2} = \frac{d^3 \vec v}{dt^3} = \frac{d^4 \vec r}{dt^4}.</math>[[ असैनिक अभियंत्रण | असैनिक अभियंत्रण]] में, [[रेलवे ट्रैक]] और सड़कों के डिज़ाइन में स्नैप को न्यूनतम करना शामिल है, विशेष रूप से विभिन्न [[वक्रता त्रिज्या]] वाले मोड़ों के आसपास। जब स्नैप स्थिर होता है, तो झटका रैखिक रूप से बदलता है, जिससे [[रेडियल त्वरण]] में सहज वृद्धि होती है, और जब, जैसा कि प्राथमिकता दी जाती है, स्नैप शून्य होता है, रेडियल त्वरण में परिवर्तन रैखिक होता है। स्नैप का न्यूनतमकरण या उन्मूलन आमतौर पर गणितीय [[कपड़ानुमा]] फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है। स्नैप को छोटा करने से मशीन टूल्स और रोलर कोस्टर के प्रदर्शन में सुधार होता है।<ref name="epr"/>
 निरंतर स्नैप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:
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 संकेतन <math>\vec s</math> (विज़सर द्वारा प्रयुक्त<ref name="Visser2004"/> आमतौर पर समान रूप से दर्शाए जाने वाले [[विस्थापन वेक्टर]] के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
-स्नैप के आयाम समय की प्रति चौथाई शक्ति की दूरी हैं। एसआई इकाइयों में, यह मीटर प्रति सेकंड से चौथे तक है, <!-- "metres per second per second per second per second", — multiple divisions are not allowed by SI --> एमएस<sup>4</sup>, m⋅s<sup>−4</sup>, या [[सीजीएस]] इकाइयों में प्रति सेकंड 100 गैलन (इकाई)।
+स्नैप के आयाम समय की प्रति चौथाई शक्ति की दूरी हैं। एसआई इकाइयों में, यह मीटर प्रति सेकंड से चौथे तक है, एमएस<sup>4</sup>, m⋅s<sup>−4</sup>, या [[सीजीएस]] इकाइयों में प्रति सेकंड 100 गैलन (इकाई)।
 =={{vanchor|Fifth derivative}}==
-समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के पांचवें व्युत्पन्न को कभी-कभी क्रैकल कहा जाता है।<ref name="Thompson"/>यह समय के सापेक्ष स्नैप के परिवर्तन की दर है।<ref name="Thompson"/><ref name="Visser2004"/>क्रैकल को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी एक द्वारा परिभाषित किया गया है:
+समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के पांचवें व्युत्पन्न को कभी-कभी क्रैकल कहा जाता है।<ref name="Thompson"/>यह समय के सापेक्ष स्नैप के परिवर्तन की दर है।<ref name="Thompson"/><ref name="Visser2004"/>क्रैकल को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:
 <math display="block">\vec c =\frac {d \vec s} {dt} = \frac {d^2 \vec \jmath} {dt^2} = \frac {d^3 \vec a} {dt^3} = \frac {d^4 \vec v} {dt^4}= \frac {d^5 \vec r} {dt^5}</math>
 निरंतर चटकने के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:
@@ Line 62: / Line 62: @@
 =={{vanchor|Sixth derivative}}==
-समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के छठे व्युत्पन्न को कभी-कभी पॉप कहा जाता है।<ref name="Thompson"/>यह समय के सापेक्ष क्रैक के परिवर्तन की दर है।<ref name="Thompson"/><ref name="Visser2004"/>  पॉप को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी एक द्वारा परिभाषित किया गया है:
+समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के छठे व्युत्पन्न को कभी-कभी पॉप कहा जाता है।<ref name="Thompson"/>यह समय के सापेक्ष क्रैक के परिवर्तन की दर है।<ref name="Thompson"/><ref name="Visser2004"/> पॉप को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:
 <math display="block">\vec p =\frac {d \vec c} {dt} = \frac {d^2 \vec s} {dt^2} = \frac {d^3 \vec \jmath} {dt^3} = \frac {d^4 \vec a} {dt^4} = \frac {d^5 \vec v} {dt^5} = \frac {d^6 \vec r} {dt^6}</math>
@@ Line 116: / Line 116: @@
 ==बाहरी संबंध==
 *{{Wiktionaryinline|snap|jounce|crackle|flounce|pop|pounce}}
-{{Kinematics}}
 [[Category: त्वरण]] [[Category: गतिज गुण]] [[Category: भौतिकी में समय]] [[Category: वेक्टर भौतिक मात्राएँ]]

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