स्थिति का चौथा, पाँचवाँ और छठा व्युत्पन्न: Difference between revisions

Revision as of 09:26, 21 September 2023

स्थिति का समय-व्युत्पन्न

भौतिकी में, स्थिति के चौथे, पांचवें और छठे व्युत्पन्न को समय के संबंध में स्थिति सदिश के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है - पहला, दूसरा और तीसरा व्युत्पन्न क्रमशः वेग, त्वरण और जर्क (भौतिकी) है। पहले तीन यौगिक के विपरीत, उच्च-क्रम व्युत्पन्न कम सामान्य हैं,^[1]^[2] इस प्रकार उनके नाम उतने मानकीकृत नहीं हैं, चूँकि प्रक्षेपवक्र अनुकूलन की अवधारणा का उपयोग रोबोटिक में किया गया है और इसे मैटलैब में प्रयुक्त किया गया है।^[3]

चौथे व्युत्पन्न को अधिकांशतः स्नैप या जॉन्स के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार चौथे व्युत्पन्न के लिए नाम स्नैप ने क्रमशः पांचवें और छठे व्युत्पन्न के लिए क्रैकल और पॉप का नेतृत्व किया था,^[4] राइस क्रिस्पिज़ स्नैप, क्रैकल और पॉप से प्रेरित है।^[5] इन शब्दों का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, चूंकि कभी-कभी कुछ सीमा तक फेसटिअसली भी है।^[5]

चौथा व्युत्पन्न (स्नैप/जौंस)

स्नैप,^[6] या जॉन्स,^[2] समय के संबंध में स्थिति सदिश का चौथा व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में जर्क (भौतिकी) का व्युत्पन्न है।^[5] इस प्रकार समान रूप से, यह त्वरण का दूसरा व्युत्पन्न या वेग का तीसरा व्युत्पन्न है और इसे निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

{\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.

असैनिक अभियंत्रण में, रेलवे ट्रैक और सड़कों के डिज़ाइन में स्नैप को न्यूनतम करना सम्मिलित है, विशेष रूप से विभिन्न वक्रता त्रिज्या वाले घूर्णन के निकट उपयोग किया जाता है। जब स्नैप स्थिर होता है, जिससे जर्क रैखिक रूप से परिवर्तित होता है, जिससे रेडियल त्वरण में सहज वृद्धि होती है, और जब जैसा कि प्राथमिकता दी जाती है, स्नैप शून्य होता है, रेडियल त्वरण में परिवर्तन रैखिक होता है। इस प्रकार स्नैप का न्यूनतमकरण या उन्मूलन सामान्यतः गणितीय क्लोथायड कार्य का उपयोग करके किया जाता है। इस प्रकार] स्नैप को छोटा करने से मशीन टूल्स और रोलर कोस्टर के प्रदर्शन में सुधार होता है।^[1]

निरंतर स्नैप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

{\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}

जहाँ

${\vec {s}}$ निरंतर स्नैप है,
${\vec {\jmath }}_{0}$ प्रारंभिक जर्क है,
${\vec {\jmath }}$ अंतिम जर्क है,
${\vec {a}}_{0}$ प्रारंभिक त्वरण है,
${\vec {a}}$ अंतिम त्वरण है,
${\vec {v}}_{0}$ प्रारंभिक वेग है,
${\vec {v}}$ अंतिम वेग है,
${\vec {r}}_{0}$ प्रारंभिक स्थिति है,
${\vec {r}}$ अंतिम स्थिति है,
$t$ प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के मध्य का समय है।

संकेतन ${\vec {s}}$ विज़सर द्वारा प्रयुक्त ^[5] सामान्यतः समान रूप से दर्शाए जाने वाले विस्थापन सदिश के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

स्नैप के आयाम समय की प्रति चौथाई शक्ति की दूरी हैं। इस प्रकार एसआई इकाइयों में, यह m/s⁴, m⋅s⁻⁴, या सीजीएस इकाइयों में प्रति सेकंड 100 गैलन (इकाई) से चौथे तक है, ।

पाँचवाँ व्युत्पन्न

इस प्रकार समय के संबंध में स्थिति सदिश के पांचवें व्युत्पन्न को कभी-कभी क्रैकल कहा जाता है।^[4] यह समय के सापेक्ष स्नैप के परिवर्तन की दर है।^[4]^[5] क्रैकल को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

{\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}

निरंतर क्रेकल के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

{\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}

जहाँ

${\vec {c}}$ : निरंतर स्नेप है,
${\vec {s}}_{0}$ : प्रारंभिक स्नैप है,
${\vec {s}}$ : अंतिम स्नैप है,
${\vec {\jmath }}_{0}$ : प्रारंभिक जर्क है,
${\vec {\jmath }}$ : अंतिम जर्क है,
${\vec {a}}_{0}$ : प्रारंभिक त्वरण है,
${\vec {a}}$ : अंतिम त्वरण है,
${\vec {v}}_{0}$ : प्रारंभिक वेग है,
${\vec {v}}$ : अंतिम वेग है,
${\vec {r}}_{0}$ : प्रारंभिक स्थिति है,
${\vec {r}}$ :अंतिम स्थिति है,
$t$ : प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के मध्य का समय है.

क्रैकल के आयाम LT⁻⁵ हैं। इस प्रकार संगत SI इकाई m/s⁵ है।

छठा व्युत्पन्न

समय के संबंध में स्थिति (सदिश) के छठे व्युत्पन्न को कभी-कभी पॉप कहा जाता है।^[4] यह समय के सापेक्ष क्रैक के परिवर्तन की दर है।^[4]^[5] पॉप को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:

{\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}

निरंतर पॉप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:

{\vec {p}}

[epr-1] 1.0 ^1.1 Eager, David; Pendrill, Ann-Marie; Reistad, Nina (2016-10-13). "Beyond velocity and acceleration: jerk, snap and higher derivatives". European Journal of Physics (in English). 37 (6): 065008. Bibcode:2016EJPh...37f5008E. doi:10.1088/0143-0807/37/6/065008. ISSN 0143-0807. S2CID 19486813.

[PhysicsFAQ-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (November 1998). "What is the term used for the third derivative of position?". Usenet Physics and Relativity FAQ. Math Dept., University of California, Riverside. Retrieved 2015-10-24.

[3] "MATLAB Documentation: minsnappolytraj".

[Thompson-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 ^4.5 Thompson, Peter M. (5 May 2011). "Snap, Crackle, and Pop" (PDF). AIAA Info. Hawthorne, California: Systems Technology. p. 1. Archived from the original on 26 June 2018. Retrieved 3 March 2017. The common names for the first three derivatives are velocity, acceleration, and jerk. The not so common names for the next three derivatives are snap, crackle, and pop.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)

[Visser2004-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 Visser, Matt (31 March 2004). "Jerk, snap and the cosmological equation of state". Classical and Quantum Gravity. 21 (11): 2603–2616. arXiv:gr-qc/0309109. Bibcode:2004CQGra..21.2603V. doi:10.1088/0264-9381/21/11/006. ISSN 0264-9381. S2CID 250859930. Snap [the fourth time derivative] is also sometimes called jounce. The fifth and sixth time derivatives are sometimes somewhat facetiously referred to as crackle and pop.

[6] Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (2011). "Minimum snap trajectory generation and control for quadrotors". 2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation. pp. 2520–2525. doi:10.1109/ICRA.2011.5980409. ISBN 978-1-61284-386-5. S2CID 18169351.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 2: / Line 2: @@
 [[File:time derivatives of position.svg|thumb|स्थिति का समय-व्युत्पन्न]]भौतिकी में, '''स्थिति के चौथे, पांचवें और छठे व्युत्पन्न''' को [[समय]] के संबंध में स्थिति सदिश के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है - पहला, दूसरा और तीसरा व्युत्पन्न क्रमशः [[वेग]], [[त्वरण]] और [[झटका (भौतिकी)|जर्क (भौतिकी)]] है। पहले तीन [[ यौगिक |यौगिक]] के विपरीत, उच्च-क्रम व्युत्पन्न कम सामान्य हैं,<ref name="epr">{{Cite journal |last1=Eager |first1=David |last2=Pendrill |first2=Ann-Marie |last3=Reistad |first3=Nina |date=2016-10-13 |title=Beyond velocity and acceleration: jerk, snap and higher derivatives |url=https://doi.org/10.1088/0143-0807/37/6/065008 |journal=European Journal of Physics |language=en |volume=37 |issue=6 |pages=065008 |doi=10.1088/0143-0807/37/6/065008 |bibcode=2016EJPh...37f5008E |s2cid=19486813 |issn=0143-0807|doi-access=free }}</ref><ref name="PhysicsFAQ"/> इस प्रकार उनके नाम उतने मानकीकृत नहीं हैं, चूँकि [[प्रक्षेपवक्र अनुकूलन]] की अवधारणा का उपयोग [[रोबोटिक]] में किया गया है और इसे [[MATLAB|मैटलैब]] में प्रयुक्त किया गया है।<ref>{{cite web |title=MATLAB Documentation: minsnappolytraj |url=https://www.mathworks.com/help/robotics/ref/minsnappolytraj.html}}</ref>
-चौथे व्युत्पन्न को अधिकांशतः स्नैप या जॉन्स के रूप में जाना जाता है। चौथे व्युत्पन्न के लिए नाम स्नैप ने क्रमशः पांचवें और छठे व्युत्पन्न के लिए क्रैकल और पॉप का नेतृत्व किया था,<ref name="Thompson"/>[[ राइस क्रिस्पिज़ ]] स्नैप, क्रैकल और पॉप से प्रेरित है।<ref name="Visser2004" /> इन शब्दों का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, चूंकि कभी-कभी कुछ सीमा तक हास्यास्पद भी है।<ref name="Visser2004" />
+चौथे व्युत्पन्न को अधिकांशतः स्नैप या जॉन्स के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार चौथे व्युत्पन्न के लिए नाम स्नैप ने क्रमशः पांचवें और छठे व्युत्पन्न के लिए क्रैकल और पॉप का नेतृत्व किया था,<ref name="Thompson"/>[[ राइस क्रिस्पिज़ | राइस क्रिस्पिज़]] स्नैप, क्रैकल और पॉप से प्रेरित है।<ref name="Visser2004" /> इन शब्दों का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, चूंकि कभी-कभी कुछ सीमा तक फेसटिअसली भी है।<ref name="Visser2004" />
 =={{vanchor|चौथा व्युत्पन्न}} (स्नैप/जौंस)==
 स्नैप,<ref>{{Cite book | doi=10.1109/ICRA.2011.5980409| chapter=Minimum snap trajectory generation and control for quadrotors| title=2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation| year=2011| last1=Mellinger| first1=Daniel| last2=Kumar| first2=Vijay| pages=2520–2525| isbn=978-1-61284-386-5| s2cid=18169351}}</ref> या जॉन्स,<ref name="PhysicsFAQ"/> समय के संबंध में स्थिति सदिश का चौथा व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में जर्क (भौतिकी) का व्युत्पन्न है।<ref name="Visser2004"/> इस प्रकार समान रूप से, यह त्वरण का दूसरा व्युत्पन्न या वेग का तीसरा व्युत्पन्न है और इसे निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी द्वारा परिभाषित किया गया है:
-<math display="block">\vec s = \frac{d \,\vec \jmath}{dt} = \frac{d^2 \vec a}{dt^2} = \frac{d^3 \vec v}{dt^3} = \frac{d^4 \vec r}{dt^4}.</math>[[ असैनिक अभियंत्रण |असैनिक अभियंत्रण]] में, [[रेलवे ट्रैक]] और सड़कों के डिज़ाइन में स्नैप को न्यूनतम करना सम्मिलित है, विशेष रूप से विभिन्न [[वक्रता त्रिज्या]] वाले घूर्णन के निकट उपयोग किया जाता है। जब स्नैप स्थिर होता है, जिससे जर्क रैखिक रूप से परिवर्तित होता है, जिससे [[रेडियल त्वरण]] में सहज वृद्धि होती है, और जब जैसा कि प्राथमिकता दी जाती है, स्नैप शून्य होता है, रेडियल त्वरण में परिवर्तन रैखिक होता है। इस प्रकार स्नैप का न्यूनतमकरण या उन्मूलन सामान्यतः गणितीय  [[कपड़ानुमा|क्लोथायड]] कार्य का उपयोग करके किया जाता है। इस प्रकार] स्नैप को छोटा करने से मशीन टूल्स और रोलर कोस्टर के प्रदर्शन में सुधार होता है।<ref name="epr"/>
+<math display="block">\vec s = \frac{d \,\vec \jmath}{dt} = \frac{d^2 \vec a}{dt^2} = \frac{d^3 \vec v}{dt^3} = \frac{d^4 \vec r}{dt^4}.</math>[[ असैनिक अभियंत्रण |असैनिक अभियंत्रण]] में, [[रेलवे ट्रैक]] और सड़कों के डिज़ाइन में स्नैप को न्यूनतम करना सम्मिलित है, विशेष रूप से विभिन्न [[वक्रता त्रिज्या]] वाले घूर्णन के निकट उपयोग किया जाता है। जब स्नैप स्थिर होता है, जिससे जर्क रैखिक रूप से परिवर्तित होता है, जिससे [[रेडियल त्वरण]] में सहज वृद्धि होती है, और जब जैसा कि प्राथमिकता दी जाती है, स्नैप शून्य होता है, रेडियल त्वरण में परिवर्तन रैखिक होता है। इस प्रकार स्नैप का न्यूनतमकरण या उन्मूलन सामान्यतः गणितीय [[कपड़ानुमा|क्लोथायड]] कार्य का उपयोग करके किया जाता है। इस प्रकार] स्नैप को छोटा करने से मशीन टूल्स और रोलर कोस्टर के प्रदर्शन में सुधार होता है।<ref name="epr"/>
 निरंतर स्नैप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है:
@@ Line 57: / Line 55: @@
 *<math>\vec r</math> :अंतिम स्थिति है,
 *<math>t</math> : प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के मध्य का समय है.
 क्रैकल के आयाम LT<sup>−5</sup> हैं। इस प्रकार संगत SI इकाई m/s<sup>5</sup> है।
@@ Line 112: / Line 109: @@
 <ref name="Thompson">{{cite web | url = https://info.aiaa.org/Regions/Western/Orange_County/Newsletters/Presentations%20Posted%20by%20Enrique%20P.%20Castro/AIAAOC_SnapCracklePop_docx.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20180626030437/https://info.aiaa.org/Regions/Western/Orange_County/Newsletters/Presentations%20Posted%20by%20Enrique%20P.%20Castro/AIAAOC_SnapCracklePop_docx.pdf |archive-date=26 June 2018 |url-status=unfit | title = Snap, Crackle, and Pop | last = Thompson | first = Peter M. | date = 5 May 2011 | website = AIAA Info | publisher = Systems Technology | location = Hawthorne, California | page = 1 | access-date = 3 March 2017 | quote = The common names for the first three derivatives are velocity, acceleration, and jerk. The not so common names for the next three derivatives are snap, crackle, and pop.}}</ref>
 }}
 ==बाहरी संबंध==
 *{{Wiktionaryinline|snap|jounce|crackle|flounce|pop|pounce}}

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