हैन एम्बेडिंग प्रमेय: Difference between revisions
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गणित में, विशेष रूप से [[एबेलियन समूह]]ों पर क्रमबद्ध संरचनाओं से निपटने वाले अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में, हैन एम्बेडिंग प्रमेय सभी [[रैखिक रूप से आदेशित समूह]]ों का सरल विवरण देता है। इसका नाम [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{Cite web|title=lo.logic - हैन की एम्बेडिंग प्रमेय और सेट सिद्धांत में सबसे पुराना खुला प्रश्न|url=https://mathoverflow.net/questions/128935/hahns-embedding-theorem-and-the-oldest-open-question-in-set-theory|access-date=2021-01-28|website=MathOverflow}}</ref> | |||
गणित में, विशेष रूप से [[एबेलियन समूह]]ों पर क्रमबद्ध संरचनाओं से निपटने वाले अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में, हैन एम्बेडिंग प्रमेय सभी [[रैखिक रूप से आदेशित समूह]]ों का | |||
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प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह जी को योगात्मक समूह ℝ के | प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह जी को योगात्मक समूह ℝ के आदेशित [[उपसमूह]] के रूप में [[एम्बेडिंग]] किया जा सकता है<sup>Ω</sup> शब्दकोष क्रम के साथ संपन्न है, जहां ℝ [[वास्तविक संख्या]]ओं का योगात्मक समूह है (इसके मानक क्रम के साथ), Ω जी के आर्किमिडीयन [[तुल्यता वर्ग]]ों का सेट है, और ℝ<sup>Ω</sup> Ω से ℝ तक सभी फ़ंक्शन (गणित) का सेट है जो [[सुव्यवस्थित सेट]] के बाहर गायब हो जाता है। | ||
मान लीजिए 0, G के तत्समक अवयव को निरूपित करता है। G के किसी भी शून्येतर अवयव g के लिए, अवयवों g या -g में से कोई | मान लीजिए 0, G के तत्समक अवयव को निरूपित करता है। G के किसी भी शून्येतर अवयव g के लिए, अवयवों g या -g में से कोई तत्व 0 से बड़ा है; इस तत्व को |g| से निरूपित करें। G के दो शून्येतर तत्व g और h आर्किमिडीयन समतुल्य हैं यदि [[प्राकृतिक संख्या]] N और M मौजूद हैं जैसे कि N|g| >>|एच| और एम|एच| > |जी|. सहज रूप से, इसका अर्थ है कि न तो g और न ही h दूसरे के संबंध में अतिसूक्ष्म है। समूह G आर्किमिडीयन समूह है यदि सभी अशून्य तत्व आर्किमिडीयन-समतुल्य हैं। इस मामले में, Ω [[सिंगलटन (गणित)]] है, इसलिए ℝ<sup>Ω</sup> केवल वास्तविक संख्याओं का समूह है। फिर हैन की एंबेडिंग प्रमेय ओटो होल्डर | होल्डर की प्रमेय (जो बताती है कि रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह आर्किमिडीयन समूह है [[अगर और केवल अगर]] यह वास्तविक संख्याओं के क्रमित योजक समूह का उपसमूह है) को कम कर देता है। | ||
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Revision as of 17:34, 16 June 2023
गणित में, विशेष रूप से एबेलियन समूहों पर क्रमबद्ध संरचनाओं से निपटने वाले अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में, हैन एम्बेडिंग प्रमेय सभी रैखिक रूप से आदेशित समूहों का सरल विवरण देता है। इसका नाम हंस हैन (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है।[1]
सिंहावलोकन
प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह जी को योगात्मक समूह ℝ के आदेशित उपसमूह के रूप में एम्बेडिंग किया जा सकता हैΩ शब्दकोष क्रम के साथ संपन्न है, जहां ℝ वास्तविक संख्याओं का योगात्मक समूह है (इसके मानक क्रम के साथ), Ω जी के आर्किमिडीयन तुल्यता वर्गों का सेट है, और ℝΩ Ω से ℝ तक सभी फ़ंक्शन (गणित) का सेट है जो सुव्यवस्थित सेट के बाहर गायब हो जाता है।
मान लीजिए 0, G के तत्समक अवयव को निरूपित करता है। G के किसी भी शून्येतर अवयव g के लिए, अवयवों g या -g में से कोई तत्व 0 से बड़ा है; इस तत्व को |g| से निरूपित करें। G के दो शून्येतर तत्व g और h आर्किमिडीयन समतुल्य हैं यदि प्राकृतिक संख्या N और M मौजूद हैं जैसे कि N|g| >>|एच| और एम|एच| > |जी|. सहज रूप से, इसका अर्थ है कि न तो g और न ही h दूसरे के संबंध में अतिसूक्ष्म है। समूह G आर्किमिडीयन समूह है यदि सभी अशून्य तत्व आर्किमिडीयन-समतुल्य हैं। इस मामले में, Ω सिंगलटन (गणित) है, इसलिए ℝΩ केवल वास्तविक संख्याओं का समूह है। फिर हैन की एंबेडिंग प्रमेय ओटो होल्डर | होल्डर की प्रमेय (जो बताती है कि रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह आर्किमिडीयन समूह है अगर और केवल अगर यह वास्तविक संख्याओं के क्रमित योजक समूह का उपसमूह है) को कम कर देता है।
Gravett (1956) प्रमेय का स्पष्ट कथन और गणितीय प्रमाण देता है। के कागजात Clifford (1954) और Hausner & Wendel (1952) साथ में एक और प्रमाण दें। यह सभी देखें Fuchs & Salce (2001, p. 62).
यह भी देखें
- आर्किमिडीज़ समूह
संदर्भ
- ↑ "lo.logic - हैन की एम्बेडिंग प्रमेय और सेट सिद्धांत में सबसे पुराना खुला प्रश्न". MathOverflow. Retrieved 2021-01-28.
- Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1963-0, MR 1794715
- Ehrlich, Philip (1995), "Hahn's "Über die nichtarchimedischen Grössensysteme" and the Origins of the Modern Theory of Magnitudes and Numbers to Measure Them", in Hintikka, Jaakko (ed.), From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of the Foundations of Mathematics (PDF), Kluwer Academic Publishers, pp. 165–213
- Hahn, H. (1907), "Über die nichtarchimedischen Größensysteme.", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) (in German), 116: 601–655
{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link) - Gravett, K. A. H. (1956), "Ordered Abelian Groups", The Quarterly Journal of Mathematics, Second Series, 7: 57–63, doi:10.1093/qmath/7.1.57
- Clifford, A.H. (1954), "Note on Hahn's Theorem on Ordered Abelian Groups", Proceedings of the American Mathematical Society, 5 (6): 860–863, doi:10.2307/2032549
- Hausner, M.; Wendel, J.G. (1952), "Ordered vector spaces", Proceedings of the American Mathematical Society, 3: 977–982, doi:10.1090/S0002-9939-1952-0052045-1
