निम्न आयामी टोपोलॉजी: Difference between revisions

Revision as of 00:12, 29 April 2023

एक गाढ़े ट्रेफिल टोपोलाजी के का त्रि-आयामी चित्रण, सबसे सरल गैर-तुच्छ टोपोलाजी के। टोपोलाजी के सिद्धांत निम्न-आयामी टोपोलॉजी का महत्वपूर्ण भाग है।

गणित में, निम्न-आयामी टोपोलॉजी ऐसी शाखा है जो चार या उससे कम आयामों के कई गुना, या अधिक सामान्यतः टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अध्ययन करती है। इसका प्रतिनिधित्व किसी विषय 3-कई गुना और 4-कई गुना, टोपोलाजिकल सिद्धांतों और चोटी समूहों की संरचना सिद्धांत के समान रहता हैं। इसे ज्यामितीय टोपोलॉजी का भाग माना जा सकता है। इसका उपयोग आयाम 1 के टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के अध्ययन को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है, चूंकि यह अधिक सामान्य रूप से सातत्य सिद्धांत का भाग माना जाता है।

इतिहास

1960 के दशक में प्रारंभ हुई कई प्रगतियों में टोपोलॉजी में कम आयामों पर जोर देने का प्रभाव था। 1961 में स्टीफन स्मेल द्वारा पांच या अधिक आयामों में पॉइंकेयर अनुमान का समाधान तीन और चार आयामों को सबसे कठिन लगता है; और वास्तव में उन्हें नए तरीकों की आवश्यकता थी, जबकि उच्च आयामों की स्वतंत्रता का अर्थ था कि प्रश्नों को सर्जरी सिद्धांत में उपलब्ध कम्प्यूटरीकृत तरीकों तक कम किया जा सकता है। 1970 के दशक के उत्तरार्ध में तैयार किए गए विलियम थर्स्टन | थर्स्टन के ज्यामितिकरण अनुमान ने रूपरेखा की प्रस्तुति की, जिसमें सुझाव दिया गया कि ज्यामिति और टोपोलॉजी कम आयामों में बारीकी से जुड़े हुए थे, और हुक कई गुना के लिए थर्स्टन के ज्यामितिकरण के प्रमाणों ने गणित के पहले केवल कमजोर रूप से जुड़े क्षेत्रों से विभिन्न उपकरणों का उपयोग किया था। 1980 के दशक के प्रारंभ में जोन्स बहुपद की वौघन जोंस की खोज ने न केवल नई दिशाओं में टोपोलाजी के सिद्धांत का नेतृत्व किया था. इसके अतिरिक्त निम्न-आयामी टोपोलॉजी और गणितीय भौतिकी के बीच अभी भी रहस्यमय संबंधों को जन्म दिया था। इस प्रकार 2002 में, त्वरित पेरेलमैन ने रिचर्ड एस. हैमिल्टन के रिक्की प्रवाह का उपयोग करते हुए, ज्यामितीय विश्लेषण के क्षेत्र से संबंधित विचार, त्रि-आयामी पोंकारे अनुमान के प्रमाण की घोषणा की।

कुल मिलाकर, इस प्रगति ने गणित के बाकी हिस्सों में क्षेत्र का बेहतर एकीकरण किया है।

दो आयाम

किसी सतह (टोपोलॉजी) द्वि-आयामी, टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है। सबसे परिचित उदाहरण वे हैं जो सामान्य त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष आर में ठोस वस्तुओं की सीमाओं के रूप में उत्पन्न होते हैं³—उदाहरण के लिए, गेंद की सतह (गणित)। दूसरी ओर, क्लेन बोतल जैसी सतहें हैं, जो विलक्षणता सिद्धांत को प्रस्तुत किए बिना त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडिंग नहीं की जा सकतीं।

सतहों का वर्गीकरण

बंद सतहों के वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि इन तीन परिवारों में से किसी के सदस्य के लिए कोई जुड़ा हुआ (टोपोलॉजी) बंद कई गुना सतह होमोमोर्फिक है:

गोला;
जी टोरस्र्स का जुड़ा हुआ योग, के लिए $g\geq 1$ ;
k वास्तविक प्रक्षेपी विमानों का जुड़ा हुआ योग, के लिए $k\geq 1$ .

पहले दो परिवारों में सतहें उन्मुखता हैं। गोले को 0 तोरी के संयुक्त योग के रूप में मानते हुए दोनों परिवारों को संयोजित तथा सुविधाजनक करता है। सम्मिलित तोरी की संख्या जी को सतह का जीनस कहा जाता है। गोले और टोरस में क्रमशः यूलर विशेषताएँ 2 और 0 हैं, और सामान्य रूप से जी तोरी के जुड़े योग की यूलर विशेषता 2 − 2g के समान है।

तीसरे परिवार में सतहें गैर-उन्मुख हैं। वास्तविक प्रक्षेपी तल की यूलर विशेषता 1 है, और सामान्य तौर पर उनमें से k के जुड़े योग की यूलर विशेषता है 2 − k.

टीचमूलर स्पेस

गणित में, टेकमुलर स्पेस टी_Xएक (वास्तविक) टोपोलॉजिकल सतह एक्स, ऐसा स्थान है जो होमियोमोर्फिज्म की क्रिया तक एक्स पर जटिल कई गुना पैरामीटर करता है जो पहचान समारोह के लिए होमोटोपी # आइसोटोपी हैं। टी में प्रत्येक बिंदु_X'चिह्नित' रीमैन सतहों के समरूपता वर्ग के रूप में माना जा सकता है जहां 'अंकन' एक्स से एक्स तक होमोमोर्फिज्म का समस्थानिक वर्ग है। टेकमुलर स्पेस (रीमैन) मोडुली स्पेस का ओरबीफोल्ड है।

टेचमुलर अंतरिक्ष में विहित जटिल संख्या कई गुना संरचना और प्राकृतिक आव्यूह का खजाना है। टेकमुलर स्पेस के अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस का अध्ययन फ्रिक द्वारा किया गया था, और उस पर टीचमुलर मेट्रिक ओसवाल्ड टेकमुलर (1940) द्वारा प्रस्तुत किया गया था।^[1]

एकरूपता प्रमेय

गणित में, एकरूपीकरण प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सरलता से जुड़ी रीमैन सतह तीन डोमेन में से के अनुरूप है: ओपन यूनिट डिस्क, जटिल विमान, या रीमैन क्षेत्र। विशेष रूप से यह निरंतर वक्रता के रिमेंनियन मीट्रिक को स्वीकार करता है। यह Riemannian सतहों को उनके सार्वभौमिक आवरण के अनुसार अण्डाकार (धनात्मक रूप से घुमावदार- इसके अतिरिक्त निरंतर धनात्मक रूप से घुमावदार मीट्रिक को स्वीकार करते हुए), परवलयिक (सपाट) और अतिशयोक्तिपूर्ण (ऋणात्मक रूप से घुमावदार) के रूप में वर्गीकृत करता है।

एकरूपीकरण प्रमेय विमान के उचित रूप से जुड़े खुले सबसेट उपसमुच्चय से मनमाने ढंग से जुड़े हुए रीमैन सतहों के लिए रीमैन मैपिंग प्रमेय का सामान्यीकरण है।

तीन आयाम

एक टोपोलॉजिकल स्पेस X 3-कई गुना है यदि X में हर बिंदु का पड़ोस (गणित) है जो यूक्लिडियन 3-स्पेस के लिए होमियोमॉर्फिक है।

टोपोलॉजिकल, टुकड़ा-टुकड़ा रैखिक कई गुना या पीसवाइज-लीनियर, और स्मूथ कैटेगरी सभी तीन आयामों में समान हैं, इसलिए इसमें बहुत कम अंतर किया जाता है कि क्या हम टोपोलॉजिकल 3-मैनिफोल्ड या स्मूथ 3-मैनिफोल्ड के साथ कार्य कर रहे हैं।

तीन आयामों में घटनाएं अन्य आयामों में घटनाओं से आश्चर्यजनक रूप से भिन्न हो सकती हैं, और इसलिए बहुत विशिष्ट तकनीकों का प्रचलन है जो तीन से अधिक आयामों को सामान्यीकृत नहीं करते हैं। इस विशेष भूमिका ने अन्य क्षेत्रों की विविधता के लिए घनिष्ठ संबंधों की खोज की है, जैसे टोपोलाजी के सिद्धांत, ज्यामितीय समूह सिद्धांत, अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, टीचमुलर स्पेस या टीचमुलर सिद्धांतटोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सिद्धांत, गेज सिद्धांत, फ्लोर होमोलॉजी, और आंशिक अंतर समीकरण। 3-कई गुना सिद्धांत को निम्न-आयामी टोपोलॉजी या ज्यामितीय टोपोलॉजी का भाग माना जाता है।

टोपोलाजी के और चोटी सिद्धांत

टोपोलाजी के सिद्धांत टोपोलाजी के (गणित) का अध्ययन है। जूतों के फीतों और रस्सी में दैनिक जीवन में दिखाई देने वाली क्नाटों से प्रेरित होकर, गणितज्ञ की टोपोलाजी के इस बात में भिन्न होती है कि सिरों को साथ जोड़ा जाता है जिससे कि इसे पूर्ववत न किया जा सके। गणितीय भाषा में, टोपोलाजी के 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, आर³ में वृत्त का एम्बेडिंग है (चूंकि हम टोपोलॉजी का उपयोग कर रहे हैं, वृत्त शास्त्रीय ज्यामितीय अवधारणा के लिए बाध्य नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म के लिए है)। दो गणितीय गांठें समतुल्य हैं यदि को R की विकृति के माध्यम से दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है³ स्वयं पर (एक परिवेश समस्थानिक के रूप में जाना जाता है); ये परिवर्तन गांठदार स्ट्रिंग के जोड़-तोड़ के अनुरूप होते हैं जिसमें स्ट्रिंग को काटना या स्ट्रिंग को स्वयं से गुजरना सम्मिलित नहीं होता है।

टोपोलाजी के पूरक का अधिकांशतः 3-कई गुना अध्ययन किया जाता है। वश में टोपोलाजी के K का टोपोलाजी के पूरक टोपोलाजी के के चारों ओर त्रि-आयामी स्थान है। इसे सटीक बनाने के लिए, मान लीजिए कि K तीन गुना M में टोपोलाजी के है (अधिकांशतः, M 3-गोला है)। N को K का ट्यूबलर पड़ोस होने दें; तो एन ठोस टोरस है। टोपोलाजी के पूरक तो N का पूरक (सेट सिद्धांत) है,

X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).

एक संबंधित विषय चोटी का सिद्धांत है। चोटी सिद्धांत एब्स्ट्रैक्ट ज्यामिति लिखित है जो रोज़मर्रा की ब्रैड कॉन्सेप्ट और कुछ सामान्यीकरणों का अध्ययन करती है। विचार यह है कि चोटियों को समूह (गणित) में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसमें समूह संचालन 'तारों के सेट पर पहली चोटी करना है, और उसके बाद मुड़ी हुई तारों पर दूसरी चोटी बनाना' है। ऐसे समूहों को समूहों की स्पष्ट प्रस्तुति द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जैसा कि एमिल आर्टिन (1947) के द्वारा दिखाया गया था।^[2] इन पंक्तियों के साथ प्राथमिक उपचार के लिए, ब्रेड समूहों पर आलेख देखें। ब्रैड समूहों को गहन गणितीय व्याख्या भी दी जा सकती है: कुछ विन्यास स्थान (गणित)गणित) के मूलभूत समूह के रूप में उपलब्ध हैं।

अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना

एक अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना 3-कई गुना है जो निरंतर अनुभागीय वक्रता -1 के पूर्ण अंतरिक्ष रिमेंनियन मीट्रिक से सुसज्जित है। दूसरे शब्दों में, यह हाइपरबोलिक आइसोमेट्री के उपसमूह द्वारा स्वतंत्र रूप से और उचित रूप से बंद कार्रवाई के द्वारा त्रि-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान का भागफल है। क्लेनियन मॉडल भी देखें।

इसके मोटे-पतले अपघटन में पतला भाग होता है जिसमें बंद जियोडेसिक्स के ट्यूबलर पड़ोस और/या सिरे होते हैं जो यूक्लिडियन सतह और बंद अर्ध-किरण के उत्पाद होते हैं। कई गुना सीमित मात्रा का होता है, यदि और केवल तभी इसका मोटा भाग कॉम्पैक्ट होता है। इस स्थिति में, छोर फॉर्म के होते हैं टोरस बंद अर्ध-किरण को पार करते हैं और क्यूप्स कहलाते हैं। टोपोलाजी के पूरक सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले पुच्छल मैनिफोल्ड हैं।

पोंकारे अनुमान और ज्यामितिकरण

थर्स्टन के ज्यामितीय अनुमान में कहा गया है कि कुछ त्रि-आयामी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान प्रत्येक में अद्वितीय ज्यामितीय संरचना होती है जो उनके साथ जुड़ी हो सकती है। यह द्वि-आयामी सतह (टोपोलॉजी) के लिए एकरूपता प्रमेय का एनालॉग है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक आसानी से जुड़ा हुआ है। बस-जुड़ा हुआ रिमेंन सतह को तीन ज्यामिति (यूक्लिडियन ज्यामिति, गोलाकार ज्यामिति, या अतिपरवलयिक ज्यामिति) में से दिया जा सकता है। तीन आयामों में, एकल ज्यामिति को पूरे टोपोलॉजिकल स्पेस में असाइन करना सदैव संभव नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, ज्यामितीय अनुमान बताता है कि प्रत्येक बंद 3-कई गुना को विहित तरीके से टुकड़ों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में आठ प्रकार की ज्यामितीय संरचना होती है। अनुमान द्वारा प्रस्तावित किया गया था , और कई अन्य अनुमानों को दर्शाता है, जैसे कि पोंकारे अनुमान और थर्स्टन का दीर्घवृत्त अनुमान लगाने के लिए उपयोग की जाती हैं।^[3]

चार आयाम

एक 4-मैनिफ़ोल्ड 4-आयामी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है। समतल 4-कई गुना समतल संरचना के साथ 4-कई गुना है। आयाम चार में, निचले आयामों के साथ स्पष्ट विपरीतता में, टोपोलॉजिकल और समतल मैनिफोल्ड काफी अलग हैं। कुछ टोपोलॉजिकल 4-मैनिफोल्ड सम्मिलित हैं जो कोई समतल संरचना स्वीकार नहीं करते हैं और यहां तक कि यदि समतल संरचना सम्मिलित है, तो यह अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है (अर्ताथ समतल 4-कई गुना हैं जो होमोमोर्फिक हैं लेकिन भिन्न नहीं हैं)।

भौतिकी में 4-कई गुना महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि सामान्य सापेक्षता में, अंतरिक्ष-समय को छद्म-रीमैनियन 4-कई गुना के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।

विदेशी आर⁴

एक विदेशी आर⁴ अलग करने योग्य कई गुना है जो होमोमोर्फिक है लेकिन यूक्लिडियन स्पेस आर^{4 के लिए भिन्नता नहीं है। इसका पहला उदाहरण 1980 के दशक की शुरुआत में माइकल फ्रीडमैन द्वारा टोपोलॉजिकल 4-मैनिफोल्ड्स के बारे में फ्रीडमैन के प्रमेयों और समतल 4-मैनिफोल्ड्स के बारे में साइमन डोनाल्डसन के प्रमेयों के बीच अंतर का उपयोग करके पाया गया था।^[4] आर के गैर-विभेदक भिन्नात्मक संरचनाओं की निरंतरता की प्रमुखता है^{4, जैसा कि क्लिफोर्ड टैब्स ने सबसे पहले दिखाया था।^[5]
इस निर्माण से पहले, गोले पर गैर-विदेशी समतल संरचनाएं - विदेशी क्षेत्र - पहले से ही सम्मिलित थे, चूंकि 4-क्षेत्र के विशेष स्थिति के लिए ऐसी संरचनाओं के अस्तित्व का सवाल खुला रहा (और अभी भी 2018 तक खुला रहता है) )। इसके अतिरिक्त किसी भी धनात्मक पूर्णांक एन के लिए, 'आर'^{एन पर कोई विदेशी समतल संरचना नहीं है I; दूसरे शब्दों में, यदि n ≠ 4 तो 'R' के लिए कोई भी स्मूथ मैनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक^{n 'R'^{एन के लिए डिफियोमॉर्फिक है।^[6]}}}}}

चार आयामों में अन्य विशेष घटनाएं

मैनिफोल्ड्स के बारे में कई मौलिक प्रमेय हैं जो कम से कम 3 आयामों में कम-आयामी तरीकों से और कम से कम 5 आयामों में पूरी तरह से अलग उच्च-आयामी तरीकों से साबित हो सकते हैं, लेकिन जो चार आयामों में गलत हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में पीएल संरचना होती है यदि और केवल यदि एच में किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट⁴(M,'Z'/2'Z') गायब हो जाता है। आयाम 3 और निचले में, प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से अद्वितीय पीएल संरचना को स्वीकार करता है। आयाम 4 में गायब होने वाले किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट के कई उदाहरण हैं लेकिन कोई पीएल संरचना नहीं है।
4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से विशिष्ट पीएल या समतल संरचनाओं की केवल सीमित संख्या होती है। आयाम 4 में, कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स में गैर-डिफियोमॉर्फिक समतल संरचनाओं की गणनीय अनंत संख्या हो सकती है।
चार ही एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'ⁿ में आकर्षक समतल संरचना हो सकती है। 'आर'⁴ में विदेशी समतल संरचनाओं की बेशुमार संख्या है; विदेशी R4 देखें या विदेशी R⁴
समतल पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है (यह सामान्यतः कम से कम 7 आयामों में झूठा होता है; विदेशी क्षेत्र देखें)। पीएल कई गुना होने के लिए पोंकारे अनुमान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों के लिए सिद्ध किया गया है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि यह 4 आयामों में सच है या नहीं (यह 4 आयामों में समतल पोंकारे अनुमान के बराबर है)।
सहज एच-कोबोर्डिज्म प्रमेय कोबोर्डवाद के लिए मान्य है, बशर्ते कि न तो सह-बोर्डवाद और न ही इसकी सीमा का आयाम 4 हो। यह विफल हो सकता है यदि सह-बोर्डवाद की सीमा का आयाम 4 हो (जैसा कि डोनाल्डसन द्वारा दिखाया गया है)। यदि सह-बोर्डवाद का आयाम 4 है, तो यह अज्ञात है कि एच-सह-बोर्डवाद प्रमेय धारण करता है या नहीं।
4 के बराबर नहीं आयाम के टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में हैंडलबॉडी अपघटन होता है। डायमेंशन 4 के मैनिफोल्ड्स में हैंडलबॉडी अपघटन होता है यदि और केवल यदि वे समतल हों।
कॉम्पैक्ट 4-आयामी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड हैं जो किसी भी साधारण जटिल के लिए होमोमॉर्फिक नहीं हैं। आयाम में कम से कम 5 टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स का अस्तित्व साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं खुली समस्या थी। 2013 में, सिप्रियन मनोलेस्कु ने ArXiv पर प्रीप्रिंट पोस्ट किया था जिसमें दिखाया गया था कि 5 से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम में कई गुना हैं, जो कि साधारण जटिल के लिए होमोमॉर्फिक नहीं हैं।

कुछ विशिष्ट प्रमेय जो निम्न-आयामी टोपोलॉजी को अलग करते हैं

ऐसे कई प्रमेय हैं जो प्रभाव में बताते हैं कि उच्च-आयामी मैनिफोल्ड का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे बुनियादी उपकरण कम-आयामी मैनिफोल्ड पर लागू नहीं होते हैं, जैसे:

स्टीनरोड के प्रमेय में कहा गया है कि उन्मुख 3-कई गुना में तुच्छ स्पर्शरेखा बंडल है। दूसरे तरीके से कहा गया है, 3-कई गुना का एकमात्र विशिष्ट वर्ग उन्मुखता में बाधा है।

कोई भी बंद 3-कई गुना 4-कई गुना की सीमा है। यह प्रमेय स्वतंत्र रूप से कई लोगों के कारण है: यह मैक्स देह्न-डब्ल्यू से आता है। बीआर लिकोरिश प्रमेय वाया ए हीगार्ड विभाजन ऑफ़ द 3-मैनिफ़ोल्ड या यह रेने थॉम की बंद मैनिफोल्ड्स के कोबोर्डरिस्म रिंग की गणना से भी अनुसरण करता है।

विदेशी R4 का अस्तित्व R^{4 पर विदेशी समतल संरचनाएँ यह मूल रूप से साइमन डोनाल्डसन और एंड्रयू कैसन के कार्य के आधार पर माइकल फ्रीडमैन द्वारा देखा गया था। इसके बाद से फ्रीडमैन, रॉबर्ट गोम्फ, क्लिफोर्ड टैब्स और लारेंस टेलर द्वारा विस्तृत किया गया है जिससे कि यह दिखाया जा सके कि आर पर गैर-डिफियोमोर्फिक समतल संरचनाओं की निरंतरता सम्मिलित है। इस बीच, आर^{n को निश्चित रूप से समतल संरचना के रूप में जाना जाता है, बशर्ते कि n ≠ 4 प्रदान किया गया हो।}}

यह भी देखें

ज्यामितीय टोपोलॉजी विषयों की सूची

संदर्भ

↑ Teichmüller, Oswald (1940), "Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale", Abh. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl., 1939 (22): 197, MR 0003242.
↑ Artin, E. (1947), "Theory of braids", Annals of Mathematics, Second Series, 48: 101–126, doi:10.2307/1969218, MR 0019087.
↑ Thurston, William P. (1982), "Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 6 (3): 357–381, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15003-0, MR 0648524.
↑ Gompf, Robert E. (1983), "Three exotic R⁴'s and other anomalies", Journal of Differential Geometry, 18 (2): 317–328, MR 0710057.
↑ Theorem 1.1 of Taubes, Clifford Henry (1987), "Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds", Journal of Differential Geometry, 25 (3): 363–430, MR 0882829
↑ Corollary 5.2 of Stallings, John (1962), "The piecewise-linear structure of Euclidean space", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 58: 481–488, doi:10.1017/S0305004100036756, MR 0149457.

बाहरी संबंध

Rob Kirby's Problems in Low-Dimensional Topology – gzipped postscript file (1.4 MB)
Mark Brittenham's links to low dimensional topology – lists of homepages, conferences, etc.

[1] Teichmüller, Oswald (1940), "Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale", Abh. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl., 1939 (22): 197, MR 0003242.

[2] Artin, E. (1947), "Theory of braids", Annals of Mathematics, Second Series, 48: 101–126, doi:10.2307/1969218, MR 0019087.

[3] Thurston, William P. (1982), "Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 6 (3): 357–381, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15003-0, MR 0648524.

[4] Gompf, Robert E. (1983), "Three exotic R⁴'s and other anomalies", Journal of Differential Geometry, 18 (2): 317–328, MR 0710057.

[5] Theorem 1.1 of Taubes, Clifford Henry (1987), "Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds", Journal of Differential Geometry, 25 (3): 363–430, MR 0882829

[6] Corollary 5.2 of Stallings, John (1962), "The piecewise-linear structure of Euclidean space", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 58: 481–488, doi:10.1017/S0305004100036756, MR 0149457.

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-[[Image:Trefoil knot arb.png|thumb|एक गाढ़े ट्रेफिल गाँठ का त्रि-आयामी चित्रण, सबसे सरल गैर-[[तुच्छ गाँठ]]। [[गाँठ सिद्धांत]] निम्न-आयामी टोपोलॉजी का महत्वपूर्ण हिस्सा है।]]गणित में, निम्न-[[आयाम]]ी [[टोपोलॉजी]] टोपोलॉजी की शाखा है जो चार या उससे कम आयामों के [[कई गुना]], या अधिक सामान्यतः टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अध्ययन करती है। प्रतिनिधि विषय [[3-कई गुना]] और [[4-कई गुना]], गाँठ सिद्धांत और [[चोटी समूह]]ों की संरचना सिद्धांत हैं। इसे [[ज्यामितीय टोपोलॉजी]] का भाग माना जा सकता है। इसका उपयोग आयाम 1 के टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के अध्ययन को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि यह अधिक सामान्य रूप से [[सातत्य सिद्धांत]] का हिस्सा माना जाता है।
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 == इतिहास ==
-के दशक में शुरू हुई कई प्रगतियों में टोपोलॉजी में कम आयामों पर जोर देने का प्रभाव था। 1961 में [[स्टीफन स्मेल]] द्वारा पांच या अधिक आयामों में पॉइंकेयर अनुमान का समाधान तीन और चार आयामों को सबसे कठिन लगता है; और वास्तव में उन्हें नए तरीकों की आवश्यकता थी, जबकि उच्च आयामों की स्वतंत्रता का मतलब था कि प्रश्नों को सर्जरी सिद्धांत में उपलब्ध कम्प्यूटेशनल तरीकों तक कम किया जा सकता है। 1970 के दशक के उत्तरार्ध में तैयार किए गए विलियम थर्स्टन | थर्स्टन के ज्यामितिकरण अनुमान ने रूपरेखा की पेशकश की, जिसमें सुझाव दिया गया कि ज्यामिति और टोपोलॉजी कम आयामों में बारीकी से जुड़े हुए थे, और [[हुक कई गुना]] के लिए थर्स्टन के ज्यामितिकरण के सबूत ने गणित के पहले केवल कमजोर रूप से जुड़े क्षेत्रों से विभिन्न उपकरणों का उपयोग किया। 1980 के दशक की शुरुआत में [[जोन्स बहुपद]] की [[वौघन जोंस]] की खोज ने न केवल नई दिशाओं में गाँठ सिद्धांत का नेतृत्व किया बल्कि निम्न-आयामी टोपोलॉजी और [[गणितीय भौतिकी]] के बीच अभी भी रहस्यमय संबंधों को जन्म दिया। 2002 में, [[ त्वरित पेरेलमैन |त्वरित पेरेलमैन]] ने रिचर्ड एस. हैमिल्टन के [[रिक्की प्रवाह]] का उपयोग करते हुए, [[ज्यामितीय विश्लेषण]] के क्षेत्र से संबंधित विचार, त्रि-आयामी पोंकारे अनुमान के प्रमाण की घोषणा की।
+के दशक में प्रारंभ हुई कई प्रगतियों में टोपोलॉजी में कम आयामों पर जोर देने का प्रभाव था। 1961 में [[स्टीफन स्मेल]] द्वारा पांच या अधिक आयामों में पॉइंकेयर अनुमान का समाधान तीन और चार आयामों को सबसे कठिन लगता है; और वास्तव में उन्हें नए तरीकों की आवश्यकता थी, जबकि उच्च आयामों की स्वतंत्रता का अर्थ था कि प्रश्नों को सर्जरी सिद्धांत में उपलब्ध कम्प्यूटरीकृत तरीकों तक कम किया जा सकता है। 1970 के दशक के उत्तरार्ध में तैयार किए गए विलियम थर्स्टन | थर्स्टन के ज्यामितिकरण अनुमान ने रूपरेखा की प्रस्तुति की, जिसमें सुझाव दिया गया कि ज्यामिति और टोपोलॉजी कम आयामों में बारीकी से जुड़े हुए थे, और [[हुक कई गुना]] के लिए थर्स्टन के ज्यामितिकरण के प्रमाणों ने गणित के पहले केवल कमजोर रूप से जुड़े क्षेत्रों से विभिन्न उपकरणों का उपयोग किया था। 1980 के दशक के प्रारंभ में [[जोन्स बहुपद]] की [[वौघन जोंस]] की खोज ने न केवल नई दिशाओं में टोपोलाजी के सिद्धांत का नेतृत्व किया था. इसके अतिरिक्त निम्न-आयामी टोपोलॉजी और [[गणितीय भौतिकी]] के बीच अभी भी रहस्यमय संबंधों को जन्म दिया था। इस प्रकार 2002 में, [[ त्वरित पेरेलमैन |त्वरित पेरेलमैन]] ने रिचर्ड एस. हैमिल्टन के [[रिक्की प्रवाह]] का उपयोग करते हुए, [[ज्यामितीय विश्लेषण]] के क्षेत्र से संबंधित विचार, त्रि-आयामी पोंकारे अनुमान के प्रमाण की घोषणा की।
 कुल मिलाकर, इस प्रगति ने गणित के बाकी हिस्सों में क्षेत्र का बेहतर एकीकरण किया है।
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-{{Main|surface (topology)}}
+{{Main|सतह (टोपोलॉजी)}}
-एक [[ सतह (टोपोलॉजी) |सतह (टोपोलॉजी)]] द्वि-आयामी, [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड]] है। सबसे परिचित उदाहरण वे हैं जो सामान्य त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] आर में ठोस वस्तुओं की सीमाओं के रूप में उत्पन्न होते हैं<sup>3</sup>—उदाहरण के लिए, गेंद की सतह (गणित)। दूसरी ओर, क्लेन बोतल जैसी सतहें हैं, जो [[विलक्षणता सिद्धांत]] या आत्म-चौराहों को पेश किए बिना त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में [[एम्बेडिंग]] नहीं की जा सकतीं।
+किसी [[ सतह (टोपोलॉजी) |सतह (टोपोलॉजी)]] द्वि-आयामी, [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड]] है। सबसे परिचित उदाहरण वे हैं जो सामान्य त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] आर में ठोस वस्तुओं की सीमाओं के रूप में उत्पन्न होते हैं<sup>3</sup>—उदाहरण के लिए, गेंद की सतह (गणित)। दूसरी ओर, क्लेन बोतल जैसी सतहें हैं, जो [[विलक्षणता सिद्धांत]] को प्रस्तुत किए बिना त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में [[एम्बेडिंग]] नहीं की जा सकतीं।
 === सतहों का वर्गीकरण ===
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 # k [[वास्तविक प्रक्षेपी विमान]]ों का जुड़ा हुआ योग, के लिए <math>k \geq 1</math>.
-पहले दो परिवारों में सतहें [[उन्मुखता]] हैं। गोले को 0 तोरी के संयुक्त योग के रूप में मानते हुए दोनों परिवारों को जोड़ना सुविधाजनक है। सम्मिलित तोरी की संख्या जी को सतह का जीनस कहा जाता है। गोले और टोरस में क्रमशः [[यूलर विशेषता]]एँ 2 और 0 हैं, और सामान्य रूप से जी तोरी के जुड़े योग की यूलर विशेषता है {{nowrap|2 &minus; 2''g''}}.
+पहले दो परिवारों में सतहें [[उन्मुखता]] हैं। गोले को 0 तोरी के संयुक्त योग के रूप में मानते हुए दोनों परिवारों को संयोजित तथा सुविधाजनक करता है। सम्मिलित तोरी की संख्या जी को सतह का जीनस कहा जाता है। गोले और टोरस में क्रमशः [[यूलर विशेषता]]एँ 2 और 0 हैं, और सामान्य रूप से जी तोरी के जुड़े योग की यूलर विशेषता {{nowrap|2 &minus; 2''g''}} के समान है।
 तीसरे परिवार में सतहें गैर-उन्मुख हैं। वास्तविक प्रक्षेपी तल की यूलर विशेषता 1 है, और सामान्य तौर पर उनमें से k के जुड़े योग की यूलर विशेषता है {{nowrap|2 &minus; ''k''}}.
 === टीचमूलर स्पेस ===
-{{Main|Teichmüller space}}
+{{Main|टेकमुलर स्पेस}}
-गणित में, टेकमुलर स्पेस ''टी<sub>X</sub>एक (वास्तविक) टोपोलॉजिकल सतह एक्स, ऐसा स्थान है जो [[होमियोमोर्फिज्म]] की क्रिया तक एक्स पर [[जटिल कई गुना]] पैरामीटर करता है जो [[पहचान समारोह]] के लिए होमोटोपी # आइसोटोपी हैं। टी में प्रत्येक बिंदु<sub>X</sub>'चिह्नित' [[रीमैन सतह]]ों के समरूपता वर्ग के रूप में माना जा सकता है जहां 'अंकन' एक्स से एक्स तक होमोमोर्फिज्म का समस्थानिक वर्ग है।''
+गणित में, टेकमुलर स्पेस ''टी<sub>X</sub>एक (वास्तविक) टोपोलॉजिकल सतह एक्स, ऐसा स्थान है जो [[होमियोमोर्फिज्म]] की क्रिया तक एक्स पर [[जटिल कई गुना]] पैरामीटर करता है जो [[पहचान समारोह]] के लिए होमोटोपी # आइसोटोपी हैं। टी में प्रत्येक बिंदु<sub>X</sub>'चिह्नित' [[रीमैन सतह]]ों के समरूपता वर्ग के रूप में माना जा सकता है जहां 'अंकन' एक्स से एक्स तक होमोमोर्फिज्म का समस्थानिक वर्ग है।'' टेकमुलर स्पेस (रीमैन) मोडुली स्पेस का [[ orbifold |ओरबीफोल्ड]] है।
-टेकमुलर स्पेस (रीमैन) मोडुली स्पेस का [[ orbifold |orbifold]] है।
-Teichmüller अंतरिक्ष में विहित [[जटिल संख्या]] कई गुना संरचना और प्राकृतिक मैट्रिक्स का खजाना है। टेकमुलर स्पेस के अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस का अध्ययन फ्रिक द्वारा किया गया था, और उस पर टीचमुलर मेट्रिक द्वारा पेश किया गया था {{harvs|txt|authorlink=Oswald Teichmüller|first=Oswald |last=Teichmüller|year=1940}}.<ref>{{citation
+टेचमुलर अंतरिक्ष में विहित [[जटिल संख्या]] कई गुना संरचना और प्राकृतिक आव्यूह का खजाना है। टेकमुलर स्पेस के अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस का अध्ययन फ्रिक द्वारा किया गया था, और उस पर टीचमुलर मेट्रिक {{harvs|txt|authorlink=ओसवाल्ड टेकमुलर|first=ओसवाल्ड |last=टेकमुलर|year=1940}} द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{citation
   | last = Teichmüller | first = Oswald | authorlink = Oswald Teichmüller
   | issue = 22
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   | volume = 1939
   | year = 1940}}.</ref>
 === एकरूपता प्रमेय ===
-{{Main|Uniformization theorem}}
+{{Main|एकरूपता प्रमेय}}
-गणित में, एकरूपीकरण प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सरलता से जुड़ी रीमैन सतह तीन डोमेन में से के अनुरूप है: ओपन [[यूनिट डिस्क]], [[जटिल विमान]], या [[रीमैन क्षेत्र]]। विशेष रूप से यह [[निरंतर वक्रता]] के [[रिमेंनियन मीट्रिक]] को स्वीकार करता है। यह Riemannian सतहों को उनके [[सार्वभौमिक आवरण]] के अनुसार अण्डाकार (सकारात्मक रूप से घुमावदार - बल्कि, निरंतर सकारात्मक रूप से घुमावदार मीट्रिक को स्वीकार करते हुए), परवलयिक (सपाट) और अतिशयोक्तिपूर्ण (नकारात्मक रूप से घुमावदार) के रूप में वर्गीकृत करता है।
+गणित में, एकरूपीकरण प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सरलता से जुड़ी रीमैन सतह तीन डोमेन में से के अनुरूप है: ओपन [[यूनिट डिस्क]], [[जटिल विमान]], या [[रीमैन क्षेत्र]]। विशेष रूप से यह [[निरंतर वक्रता]] के [[रिमेंनियन मीट्रिक]] को स्वीकार करता है। यह Riemannian सतहों को उनके [[सार्वभौमिक आवरण]] के अनुसार अण्डाकार (धनात्मक रूप से घुमावदार- इसके अतिरिक्त निरंतर धनात्मक रूप से घुमावदार मीट्रिक को स्वीकार करते हुए), परवलयिक (सपाट) और अतिशयोक्तिपूर्ण (ऋणात्मक रूप से घुमावदार) के रूप में वर्गीकृत करता है।
 एकरूपीकरण प्रमेय विमान के उचित रूप से जुड़े खुले [[सबसेट]] उपसमुच्चय से मनमाने ढंग से जुड़े हुए रीमैन सतहों के लिए [[रीमैन मैपिंग प्रमेय]] का सामान्यीकरण है।
 == तीन आयाम ==
-{{Main|3-manifold}}
+{{Main|3-मैनिफोल्ड}}
 एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] X 3-कई गुना है यदि X में हर बिंदु का [[पड़ोस (गणित)]] है जो [[यूक्लिडियन 3-स्पेस]] के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] है।
-टोपोलॉजिकल, [[ टुकड़ा-टुकड़ा रैखिक कई गुना |टुकड़ा-टुकड़ा रैखिक कई गुना]] | पीसवाइज-लीनियर, और स्मूथ कैटेगरी सभी तीन आयामों में समान हैं, इसलिए इसमें बहुत कम अंतर किया जाता है कि क्या हम टोपोलॉजिकल 3-मैनिफोल्ड या स्मूथ 3-मैनिफोल्ड के साथ काम कर रहे हैं।
+टोपोलॉजिकल, [[ टुकड़ा-टुकड़ा रैखिक कई गुना |टुकड़ा-टुकड़ा रैखिक कई गुना]] या पीसवाइज-लीनियर, और स्मूथ कैटेगरी सभी तीन आयामों में समान हैं, इसलिए इसमें बहुत कम अंतर किया जाता है कि क्या हम टोपोलॉजिकल 3-मैनिफोल्ड या स्मूथ 3-मैनिफोल्ड के साथ कार्य कर रहे हैं।
-तीन आयामों में घटनाएं अन्य आयामों में घटनाओं से आश्चर्यजनक रूप से भिन्न हो सकती हैं, और इसलिए बहुत विशिष्ट तकनीकों का प्रचलन है जो तीन से अधिक आयामों को सामान्यीकृत नहीं करते हैं। इस विशेष भूमिका ने अन्य क्षेत्रों की विविधता के लिए घनिष्ठ संबंधों की खोज की है, जैसे गाँठ सिद्धांत, [[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]], [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]], [[संख्या सिद्धांत]], टीचमुलर स्पेस | टीचमुलर सिद्धांत[[टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] सिद्धांत, [[गेज सिद्धांत]], [[फ्लोर होमोलॉजी]], और [[आंशिक अंतर समीकरण]]। 3-कई गुना सिद्धांत को निम्न-आयामी टोपोलॉजी या ज्यामितीय टोपोलॉजी का हिस्सा माना जाता है।
+तीन आयामों में घटनाएं अन्य आयामों में घटनाओं से आश्चर्यजनक रूप से भिन्न हो सकती हैं, और इसलिए बहुत विशिष्ट तकनीकों का प्रचलन है जो तीन से अधिक आयामों को सामान्यीकृत नहीं करते हैं। इस विशेष भूमिका ने अन्य क्षेत्रों की विविधता के लिए घनिष्ठ संबंधों की खोज की है, जैसे टोपोलाजी के सिद्धांत, [[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]], [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]], [[संख्या सिद्धांत]], टीचमुलर स्पेस या टीचमुलर सिद्धांत[[टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] सिद्धांत, [[गेज सिद्धांत]], [[फ्लोर होमोलॉजी]], और [[आंशिक अंतर समीकरण]]। 3-कई गुना सिद्धांत को निम्न-आयामी टोपोलॉजी या ज्यामितीय टोपोलॉजी का भाग माना जाता है।
-===गाँठ और चोटी सिद्धांत===
+===टोपोलाजी के और चोटी सिद्धांत===
-{{Main|Knot theory|Braid theory}}
+{{Main|क्नाट सिद्धांत|ब्रैड सिद्धांत}}
-गाँठ सिद्धांत [[गाँठ (गणित)]] का अध्ययन है। जूतों के फीतों और रस्सी में दैनिक जीवन में दिखाई देने वाली गांठों से प्रेरित होकर, गणितज्ञ की गाँठ इस बात में भिन्न होती है कि सिरों को साथ जोड़ा जाता है जिससे कि इसे पूर्ववत न किया जा सके। गणितीय भाषा में, गाँठ 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, आर में वृत्त का एम्बेडिंग है<sup>3</sup> (चूंकि हम टोपोलॉजी का उपयोग कर रहे हैं, वृत्त शास्त्रीय ज्यामितीय अवधारणा के लिए बाध्य नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म के लिए है)। दो गणितीय गांठें समतुल्य हैं यदि को R की विकृति के माध्यम से दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है<sup>3</sup> स्वयं पर (एक [[परिवेश समस्थानिक]] के रूप में जाना जाता है); ये परिवर्तन गांठदार स्ट्रिंग के जोड़-तोड़ के अनुरूप होते हैं जिसमें स्ट्रिंग को काटना या स्ट्रिंग को स्वयं से गुजरना सम्मिलित नहीं होता है।
+टोपोलाजी के सिद्धांत [[गाँठ (गणित)|टोपोलाजी के (गणित)]] का अध्ययन है। जूतों के फीतों और रस्सी में दैनिक जीवन में दिखाई देने वाली क्नाटों से प्रेरित होकर, गणितज्ञ की टोपोलाजी के इस बात में भिन्न होती है कि सिरों को साथ जोड़ा जाता है जिससे कि इसे पूर्ववत न किया जा सके। गणितीय भाषा में, टोपोलाजी के 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, आर<sup>3</sup> में वृत्त का एम्बेडिंग है (चूंकि हम टोपोलॉजी का उपयोग कर रहे हैं, वृत्त शास्त्रीय ज्यामितीय अवधारणा के लिए बाध्य नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म के लिए है)। दो गणितीय गांठें समतुल्य हैं यदि को R की विकृति के माध्यम से दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है<sup>3</sup> स्वयं पर (एक [[परिवेश समस्थानिक]] के रूप में जाना जाता है); ये परिवर्तन गांठदार स्ट्रिंग के जोड़-तोड़ के अनुरूप होते हैं जिसमें स्ट्रिंग को काटना या स्ट्रिंग को स्वयं से गुजरना सम्मिलित नहीं होता है।
-[[गाँठ पूरक]] का अधिकांशतः 3-कई गुना अध्ययन किया जाता है। [[वश में गाँठ]] K का गाँठ पूरक गाँठ के चारों ओर त्रि-आयामी स्थान है। इसे सटीक बनाने के लिए, मान लीजिए कि K तीन गुना M में गाँठ है (अधिकांशतः, M 3-गोला है)। N को K का [[ट्यूबलर पड़ोस]] होने दें; तो एन [[ठोस टोरस]] है। गाँठ पूरक तो N का [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] है,
+[[गाँठ पूरक|टोपोलाजी के पूरक]] का अधिकांशतः 3-कई गुना अध्ययन किया जाता है। [[वश में गाँठ|वश में टोपोलाजी के]] K का टोपोलाजी के पूरक टोपोलाजी के के चारों ओर त्रि-आयामी स्थान है। इसे सटीक बनाने के लिए, मान लीजिए कि K तीन गुना M में टोपोलाजी के है (अधिकांशतः, M 3-गोला है)। N को K का [[ट्यूबलर पड़ोस]] होने दें; तो एन [[ठोस टोरस]] है। टोपोलाजी के पूरक तो N का [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] है,
 :<math>X_K = M - \mbox{interior}(N).</math>
-एक संबंधित विषय [[चोटी]] का सिद्धांत है। [[चोटी सिद्धांत]] एब्स्ट्रैक्ट [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] [[ लिखित | लिखित]] है जो रोज़मर्रा की ब्रैड कॉन्सेप्ट और कुछ सामान्यीकरणों का अध्ययन करती है। विचार यह है कि चोटियों को [[समूह (गणित)]] में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसमें समूह संचालन 'तारों के सेट पर पहली चोटी करना है, और उसके बाद मुड़ी हुई तारों पर दूसरी चोटी बनाना' है। ऐसे समूहों को समूहों की स्पष्ट प्रस्तुति द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जैसा कि द्वारा दिखाया गया था {{harvs|first=Emil|last=Artin|authorlink=Emil Artin|year=1947|txt}}.<ref>{{citation
+एक संबंधित विषय [[चोटी]] का सिद्धांत है। [[चोटी सिद्धांत]] एब्स्ट्रैक्ट [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] [[ लिखित | लिखित]] है जो रोज़मर्रा की ब्रैड कॉन्सेप्ट और कुछ सामान्यीकरणों का अध्ययन करती है। विचार यह है कि चोटियों को [[समूह (गणित)]] में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसमें समूह संचालन 'तारों के सेट पर पहली चोटी करना है, और उसके बाद मुड़ी हुई तारों पर दूसरी चोटी बनाना' है। ऐसे समूहों को समूहों की स्पष्ट प्रस्तुति द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जैसा कि {{harvs|first=एमिल|last=आर्टिन|authorlink=एमिल आर्टिन|year=1947|txt}} के द्वारा दिखाया गया था।<ref>{{citation
   | last = Artin | first = E. | authorlink = Emil Artin
   | doi = 10.2307/1969218
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   | title = Theory of braids
   | volume = 48
-  | year = 1947}}.</ref> इन पंक्तियों के साथ प्राथमिक उपचार के लिए, ब्रेड समूहों पर आलेख देखें। ब्रैड समूहों को गहन गणितीय व्याख्या भी दी जा सकती है: कुछ [[विन्यास स्थान (गणित)]]गणित) के मूलभूत समूह के रूप में।
+  | year = 1947}}.</ref> इन पंक्तियों के साथ प्राथमिक उपचार के लिए, ब्रेड समूहों पर आलेख देखें। ब्रैड समूहों को गहन गणितीय व्याख्या भी दी जा सकती है: कुछ [[विन्यास स्थान (गणित)]]गणित) के मूलभूत समूह के रूप में उपलब्ध हैं।
 === अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना ===
-{{Main|Hyperbolic 3-manifold}}
+{{Main|अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना}}
 एक [[अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना]] 3-कई गुना है जो निरंतर [[अनुभागीय वक्रता]] -1 के पूर्ण अंतरिक्ष रिमेंनियन मीट्रिक से सुसज्जित है। दूसरे शब्दों में, यह हाइपरबोलिक आइसोमेट्री के उपसमूह द्वारा स्वतंत्र रूप से और उचित रूप से बंद कार्रवाई के द्वारा त्रि-आयामी [[ अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान |अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान]] का भागफल है। [[क्लेनियन मॉडल]] भी देखें।
-इसके मोटे-पतले अपघटन में पतला हिस्सा होता है जिसमें बंद जियोडेसिक्स के ट्यूबलर पड़ोस और/या सिरे होते हैं जो यूक्लिडियन सतह और बंद अर्ध-किरण के उत्पाद होते हैं। कई गुना सीमित मात्रा का होता है अगर और केवल तभी इसका मोटा हिस्सा कॉम्पैक्ट होता है। इस स्थिति में, छोर फॉर्म के होते हैं टोरस बंद अर्ध-किरण को पार करते हैं और क्यूप्स कहलाते हैं। गाँठ पूरक सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले पुच्छल मैनिफोल्ड हैं।
+इसके मोटे-पतले अपघटन में पतला भाग होता है जिसमें बंद जियोडेसिक्स के ट्यूबलर पड़ोस और/या सिरे होते हैं जो यूक्लिडियन सतह और बंद अर्ध-किरण के उत्पाद होते हैं। कई गुना सीमित मात्रा का होता है, यदि और केवल तभी इसका मोटा भाग कॉम्पैक्ट होता है। इस स्थिति में, छोर फॉर्म के होते हैं टोरस बंद अर्ध-किरण को पार करते हैं और क्यूप्स कहलाते हैं। टोपोलाजी के पूरक सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले पुच्छल मैनिफोल्ड हैं।
 === पोंकारे अनुमान और ज्यामितिकरण ===
-{{Main|Geometrization conjecture}}
+{{Main|ज्यामितीय अनुमान}}
 थर्स्टन के ज्यामितीय अनुमान में कहा गया है कि कुछ त्रि-आयामी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान प्रत्येक में अद्वितीय ज्यामितीय संरचना होती है जो उनके साथ जुड़ी हो सकती है। यह द्वि-आयामी सतह (टोपोलॉजी) के लिए [[एकरूपता प्रमेय]] का एनालॉग है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक आसानी से जुड़ा हुआ है। बस-जुड़ा हुआ रिमेंन सतह को तीन ज्यामिति ([[यूक्लिडियन ज्यामिति]], [[गोलाकार ज्यामिति]], या अतिपरवलयिक ज्यामिति) में से दिया जा सकता है।
-तीन आयामों में, एकल ज्यामिति को पूरे टोपोलॉजिकल स्पेस में असाइन करना हमेशा संभव नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, ज्यामितीय अनुमान बताता है कि प्रत्येक बंद 3-कई गुना को विहित तरीके से टुकड़ों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में आठ प्रकार की ज्यामितीय संरचना होती है। अनुमान द्वारा प्रस्तावित किया गया था {{harvs|txt|authorlink=William Thurston|first=William|last= Thurston|year= 1982}}, और कई अन्य अनुमानों को दर्शाता है, जैसे कि पोंकारे अनुमान और थर्स्टन का दीर्घवृत्त अनुमान।<ref>{{citation
+तीन आयामों में, एकल ज्यामिति को पूरे टोपोलॉजिकल स्पेस में असाइन करना सदैव संभव नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, ज्यामितीय अनुमान बताता है कि प्रत्येक बंद 3-कई गुना को विहित तरीके से टुकड़ों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में आठ प्रकार की ज्यामितीय संरचना होती है। अनुमान द्वारा प्रस्तावित किया गया था , और कई अन्य अनुमानों को दर्शाता है, जैसे कि पोंकारे अनुमान और थर्स्टन का दीर्घवृत्त अनुमान लगाने के लिए उपयोग की जाती हैं।<ref>{{citation
   | last = Thurston | first = William P. | authorlink = William Thurston
   | doi = 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0
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 == चार आयाम ==
-{{Main|4-manifold}}
+{{Main|4-कई गुना}}
-एक 4-मैनिफ़ोल्ड 4-आयामी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है। चिकनी 4-कई गुना [[चिकनी संरचना]] के साथ 4-कई गुना है। आयाम चार में, निचले आयामों के साथ स्पष्ट विपरीतता में, टोपोलॉजिकल और चिकनी मैनिफोल्ड काफी अलग हैं। कुछ टोपोलॉजिकल 4-मैनिफोल्ड सम्मिलित हैं जो कोई चिकनी संरचना स्वीकार नहीं करते हैं और यहां तक कि अगर चिकनी संरचना सम्मिलित है, तो यह अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है (अर्ताथ चिकनी 4-कई गुना हैं जो होमोमोर्फिक हैं लेकिन भिन्न नहीं हैं)।
+एक 4-मैनिफ़ोल्ड 4-आयामी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है। समतल 4-कई गुना [[चिकनी संरचना|समतल संरचना]] के साथ 4-कई गुना है। आयाम चार में, निचले आयामों के साथ स्पष्ट विपरीतता में, टोपोलॉजिकल और समतल मैनिफोल्ड काफी अलग हैं। कुछ टोपोलॉजिकल 4-मैनिफोल्ड सम्मिलित हैं जो कोई समतल संरचना स्वीकार नहीं करते हैं और यहां तक कि यदि समतल संरचना सम्मिलित है, तो यह अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है (अर्ताथ समतल 4-कई गुना हैं जो होमोमोर्फिक हैं लेकिन भिन्न नहीं हैं)।
 भौतिकी में 4-कई गुना महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि [[सामान्य सापेक्षता]] में, अंतरिक्ष-समय को [[छद्म-रीमैनियन]] 4-कई गुना के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।
 === विदेशी आर<sup>4</sup>===
-{{main|Exotic R4|l1=Exotic '''R'''<sup>4</sup>}}
+{{main|विदेशी R4|l1=विदेशी '''R'''<sup>4</sup>}}
-एक विदेशी आर<sup>4</sup> [[अलग करने योग्य कई गुना]] है जो होमोमोर्फिक है लेकिन यूक्लिडियन स्पेस आर के लिए भिन्नता नहीं है<sup>4</उप>। पहला उदाहरण 1980 के दशक की शुरुआत में [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा टोपोलॉजिकल 4-मैनिफोल्ड्स के बारे में फ्रीडमैन के प्रमेयों और चिकनी 4-मैनिफोल्ड्स के बारे में [[साइमन डोनाल्डसन]] के प्रमेयों के बीच अंतर का उपयोग करके पाया गया था।<ref>{{citation
+एक विदेशी आर<sup>4</sup> [[अलग करने योग्य कई गुना]] है जो होमोमोर्फिक है लेकिन यूक्लिडियन स्पेस आर<sup>4 के लिए भिन्नता नहीं है। इसका पहला उदाहरण 1980 के दशक की शुरुआत में [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा टोपोलॉजिकल 4-मैनिफोल्ड्स के बारे में फ्रीडमैन के प्रमेयों और समतल 4-मैनिफोल्ड्स के बारे में [[साइमन डोनाल्डसन]] के प्रमेयों के बीच अंतर का उपयोग करके पाया गया था।<ref>{{citation
   | last = Gompf | first = Robert E. | authorlink = Robert Gompf
   | issue = 2
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   | url = http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437666
   | volume = 18
-  | year = 1983}}.</ref> आर के गैर-विभेदक भिन्नात्मक संरचनाओं की निरंतरता की प्रमुखता है<sup>4</sup>, जैसा कि [[क्लिफोर्ड टैब्स]] ने सबसे पहले दिखाया था।<ref>Theorem 1.1 of {{citation
+  | year = 1983}}.</ref> आर के गैर-विभेदक भिन्नात्मक संरचनाओं की निरंतरता की प्रमुखता है<sup>4, जैसा कि [[क्लिफोर्ड टैब्स]] ने सबसे पहले दिखाया था।<ref>Theorem 1.1 of {{citation
   | last = Taubes | first = Clifford Henry | authorlink = Clifford Taubes
   | issue = 3
@@ Line 128: / Line 125: @@
   | volume = 25
   | year = 1987}}</ref>
-इस निर्माण से पहले, गोले पर गैर-विदेशी चिकनी संरचनाएं - [[विदेशी क्षेत्र]] - पहले से ही सम्मिलित थे, हालांकि 4-क्षेत्र के विशेष स्थिति के लिए ऐसी संरचनाओं के अस्तित्व का सवाल खुला रहा (और अभी भी 2018 तक खुला रहता है) ). 4 के अतिरिक्त किसी भी सकारात्मक पूर्णांक एन के लिए, 'आर' पर कोई विदेशी चिकनी संरचना नहीं है I<sup>एन</sup>; दूसरे शब्दों में, यदि n ≠ 4 तो 'R' के लिए कोई भी स्मूथ मैनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक<sup>n</sup> 'R' के लिए डिफियोमॉर्फिक है<sup>एन</sup>.<ref>Corollary 5.2 of {{citation
+इस निर्माण से पहले, गोले पर गैर-विदेशी समतल संरचनाएं - [[विदेशी क्षेत्र]] - पहले से ही सम्मिलित थे, चूंकि 4-क्षेत्र के विशेष स्थिति के लिए ऐसी संरचनाओं के अस्तित्व का सवाल खुला रहा (और अभी भी 2018 तक खुला रहता है) )। इसके अतिरिक्त किसी भी धनात्मक पूर्णांक एन के लिए, 'आर'<sup>एन पर कोई विदेशी समतल संरचना नहीं है I; दूसरे शब्दों में, यदि n ≠ 4 तो 'R' के लिए कोई भी स्मूथ मैनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक<sup>n 'R'<sup>एन के लिए डिफियोमॉर्फिक है।<ref>Corollary 5.2 of {{citation
   | last = Stallings | first = John | authorlink = John R. Stallings
   | doi = 10.1017/S0305004100036756
@@ Line 137: / Line 134: @@
   | volume = 58
   | year = 1962}}.</ref>
 === चार आयामों में अन्य विशेष घटनाएं ===
 मैनिफोल्ड्स के बारे में कई मौलिक प्रमेय हैं जो कम से कम 3 आयामों में कम-आयामी तरीकों से और कम से कम 5 आयामों में पूरी तरह से अलग उच्च-आयामी तरीकों से साबित हो सकते हैं, लेकिन जो चार आयामों में गलत हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
-* 4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में पीएल संरचना होती है यदि और केवल अगर एच में किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट<sup>4</sup>(M,'Z'/2'Z') गायब हो जाता है। आयाम 3 और निचले में, प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से अद्वितीय पीएल संरचना को स्वीकार करता है। आयाम 4 में गायब होने वाले किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट के कई उदाहरण हैं लेकिन कोई पीएल संरचना नहीं है।
+* 4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में पीएल संरचना होती है यदि और केवल यदि एच में किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट<sup>4</sup>(M,'Z'/2'Z') गायब हो जाता है। आयाम 3 और निचले में, प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से अद्वितीय पीएल संरचना को स्वीकार करता है। आयाम 4 में गायब होने वाले किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट के कई उदाहरण हैं लेकिन कोई पीएल संरचना नहीं है।
-* 4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से विशिष्ट पीएल या चिकनी संरचनाओं की केवल सीमित संख्या होती है। आयाम 4 में, कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स में गैर-डिफियोमॉर्फिक चिकनी संरचनाओं की गणनीय अनंत संख्या हो सकती है।
+* 4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से विशिष्ट पीएल या समतल संरचनाओं की केवल सीमित संख्या होती है। आयाम 4 में, कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स में गैर-डिफियोमॉर्फिक समतल संरचनाओं की गणनीय अनंत संख्या हो सकती है।
-* चार ही एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'<sup>n</sup> में आकर्षक चिकनी संरचना हो सकती है। 'आर'<sup>4</sup> में विदेशी चिकनी संरचनाओं की बेशुमार संख्या है; विदेशी R4 देखें|विदेशी R<sup>4</उप>।
+* चार ही एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'<sup>n</sup> में आकर्षक समतल संरचना हो सकती है। 'आर'<sup>4</sup> में विदेशी समतल संरचनाओं की बेशुमार संख्या है; विदेशी R4 देखें या विदेशी R<sup>4
-* चिकने पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है (यह सामान्यतः कम से कम 7 आयामों में झूठा होता है; विदेशी क्षेत्र देखें)। [[ पीएल कई गुना |पीएल कई गुना]] ्स के लिए पोंकारे अनुमान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों के लिए सिद्ध किया गया है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि यह 4 आयामों में सच है या नहीं (यह 4 आयामों में चिकनी पोंकारे अनुमान के बराबर है)।
+* समतल पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है (यह सामान्यतः कम से कम 7 आयामों में झूठा होता है; विदेशी क्षेत्र देखें)। [[ पीएल कई गुना |पीएल कई गुना]] होने के लिए पोंकारे अनुमान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों के लिए सिद्ध किया गया है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि यह 4 आयामों में सच है या नहीं (यह 4 आयामों में समतल पोंकारे अनुमान के बराबर है)।
 * सहज एच-कोबोर्डिज्म प्रमेय कोबोर्डवाद के लिए मान्य है, बशर्ते कि न तो सह-बोर्डवाद और न ही इसकी सीमा का आयाम 4 हो। यह विफल हो सकता है यदि सह-बोर्डवाद की सीमा का आयाम 4 हो (जैसा कि डोनाल्डसन द्वारा दिखाया गया है)। यदि सह-बोर्डवाद का आयाम 4 है, तो यह अज्ञात है कि एच-सह-बोर्डवाद प्रमेय धारण करता है या नहीं।
-* 4 के बराबर नहीं आयाम के टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में हैंडलबॉडी अपघटन होता है। डायमेंशन 4 के मैनिफोल्ड्स में हैंडलबॉडी अपघटन होता है अगर और केवल अगर वे चिकने हों।
+* 4 के बराबर नहीं आयाम के टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में हैंडलबॉडी अपघटन होता है। डायमेंशन 4 के मैनिफोल्ड्स में हैंडलबॉडी अपघटन होता है यदि और केवल यदि वे समतल हों।
-* कॉम्पैक्ट 4-आयामी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड हैं जो किसी भी साधारण जटिल के लिए होमोमॉर्फिक नहीं हैं। आयाम में कम से कम 5 टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स का अस्तित्व साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं खुली समस्या थी। 2013 में, Ciprian Manolescu ने ArXiv पर प्रीप्रिंट पोस्ट किया था जिसमें दिखाया गया था कि 5 से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम में कई गुना हैं, जो कि साधारण जटिल के लिए होमोमॉर्फिक नहीं हैं।
+* कॉम्पैक्ट 4-आयामी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड हैं जो किसी भी साधारण जटिल के लिए होमोमॉर्फिक नहीं हैं। आयाम में कम से कम 5 टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स का अस्तित्व साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं खुली समस्या थी। 2013 में, सिप्रियन मनोलेस्कु ने ArXiv पर प्रीप्रिंट पोस्ट किया था जिसमें दिखाया गया था कि 5 से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम में कई गुना हैं, जो कि साधारण जटिल के लिए होमोमॉर्फिक नहीं हैं।
-== कुछ विशिष्ट प्रमेय जो निम्न-आयामी टोपोलॉजी == को अलग करते हैं
+==== कुछ विशिष्ट प्रमेय जो निम्न-आयामी टोपोलॉजी को अलग करते हैं ====
 ऐसे कई प्रमेय हैं जो प्रभाव में बताते हैं कि उच्च-आयामी मैनिफोल्ड का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे बुनियादी उपकरण कम-आयामी मैनिफोल्ड पर लागू नहीं होते हैं, जैसे:
 स्टीनरोड के प्रमेय में कहा गया है कि उन्मुख 3-कई गुना में तुच्छ [[स्पर्शरेखा बंडल]] है। दूसरे तरीके से कहा गया है, 3-कई गुना का एकमात्र विशिष्ट वर्ग उन्मुखता में बाधा है।
-कोई भी बंद 3-कई गुना 4-कई गुना की सीमा है। यह प्रमेय स्वतंत्र रूप से कई लोगों के कारण है: यह मैक्स देह्न-डब्ल्यू से आता है। बीआर लिकोरिश प्रमेय वाया ए [[हीगार्ड विभाजन]] ऑफ़ द 3-मैनिफ़ोल्ड। यह रेने थॉम की बंद मैनिफोल्ड्स के [[coboardism]] रिंग की गणना से भी अनुसरण करता है।
+कोई भी बंद 3-कई गुना 4-कई गुना की सीमा है। यह प्रमेय स्वतंत्र रूप से कई लोगों के कारण है: यह मैक्स देह्न-डब्ल्यू से आता है। बीआर लिकोरिश प्रमेय वाया ए [[हीगार्ड विभाजन]] ऑफ़ द 3-मैनिफ़ोल्ड या यह रेने थॉम की बंद मैनिफोल्ड्स के [[coboardism|कोबोर्डरिस्म]] रिंग की गणना से भी अनुसरण करता है।
-विदेशी R4 का अस्तित्व | R पर विदेशी चिकनी संरचनाएँ<sup>4</उप>। यह मूल रूप से साइमन डोनाल्डसन और [[एंड्रयू कैसन]] के काम के आधार पर माइकल फ्रीडमैन द्वारा देखा गया था। इसके बाद से फ्रीडमैन, [[रॉबर्ट गोम्फ]], क्लिफोर्ड टैब्स और [[ लारेंस टेलर |लारेंस टेलर]] द्वारा विस्तृत किया गया है जिससे कि यह दिखाया जा सके कि आर पर गैर-डिफियोमोर्फिक चिकनी संरचनाओं की निरंतरता सम्मिलित है।<sup>4</उप>। इस बीच, आर<sup>n</sup> को निश्चित रूप से चिकनी संरचना के रूप में जाना जाता है, बशर्ते कि n ≠ 4 प्रदान किया गया हो।
+विदेशी R4 का अस्तित्व R<sup>4 पर विदेशी समतल संरचनाएँ यह मूल रूप से साइमन डोनाल्डसन और [[एंड्रयू कैसन]] के कार्य के आधार पर माइकल फ्रीडमैन द्वारा देखा गया था। इसके बाद से फ्रीडमैन, [[रॉबर्ट गोम्फ]], क्लिफोर्ड टैब्स और [[ लारेंस टेलर |लारेंस टेलर]] द्वारा विस्तृत किया गया है जिससे कि यह दिखाया जा सके कि आर पर गैर-डिफियोमोर्फिक समतल संरचनाओं की निरंतरता सम्मिलित है। इस बीच, आर<sup>n को निश्चित रूप से समतल संरचना के रूप में जाना जाता है, बशर्ते कि n ≠ 4 प्रदान किया गया हो।
 == यह भी देखें ==

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