सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता

गणित में, विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति और जटिल ज्यामिति में, जटिल विश्लेषणात्मक विविधता या जटिल विश्लेषणात्मक स्थान जटिल कई गुना का सामान्यीकरण है जो विलक्षणता सिद्धांत की उपस्थिति की अनुमति देता है। जटिल विश्लेषणात्मक किस्में स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान हैं जो स्थानीय मॉडल स्थानों के लिए स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं, जहां स्थानीय मॉडल स्थान होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के परिमित सेट के लुप्त होने वाले स्थान का एक खुला उपसमुच्चय है।

परिभाषा

मूल्य के साथ स्थलीय स्थान पर निरंतर शीफ (गणित) को निरूपित करें $\mathbb {C}$ द्वारा ${\underline {\mathbb {C} }}$. $\mathbb {C}$-अंतरिक्ष स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ है , जिसकी संरचना शीफ ​​फील्ड ${\underline {\mathbb {C} }}$ओवर पर एक बीजगणित है .

एक खुला उपसमुच्चय चुनें $U$ कुछ जटिल एफ़िन स्पेस की $\mathbb {C} ^{n}$, और सूक्ष्म रूप से कई होलोमोर्फिक कार्यों को ठीक करें $f_{1},\dots ,f_{k}$ में $U$. होने देना $X=V(f_{1},\dots ,f_{k})$ इन होलोमॉर्फिक कार्यों का सामान्य लुप्त हो जाना, अर्थात $X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}$. अंगूठियों के एक शीफ को परिभाषित करें $X$ जैसे भी हो ${\mathcal {O}}_{X}$ पर प्रतिबंध हो $X$ का ${\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})$, जहां ${\mathcal {O}}_{U}$ होलोमॉर्फिक कार्यों का शीफ ​​है $U$. फिर स्थानीय बज उठा $\mathbb {C}$-अंतरिक्ष $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ एक स्थानीय मॉडल स्थान है।

एक जटिल विश्लेषणात्मक विविधता स्थानीय रूप से चक्राकार है $\mathbb {C}$-अंतरिक्ष $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ जो स्थानीय मॉडल स्थान के लिए स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक है।

जटिल विश्लेषणात्मक किस्मों के मॉर्फिज़म्स को अंतर्निहित स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों के मॉर्फिज़म्स के रूप में परिभाषित किया गया है, उन्हें होलोमोर्फिक मानचित्र भी कहा जाता है। एक संरचना शीफ ​​में नीलपोटेंट तत्व हो सकता है, और यह भी, जब जटिल विश्लेषणात्मक स्थान जिसका संरचना शीफ ​​कम हो जाता है, तो जटिल विश्लेषणात्मक स्थान कम हो जाता है, अर्थात जटिल विश्लेषणात्मक स्थान कम नहीं हो सकता है।

एक संबद्ध जटिल विश्लेषणात्मक स्थान (विविधता) $X_{h}$ इस प्रकार कि;

यदि X परिमित प्रकार की योजना (गणित) है जो $\mathbb {C}$, पर सीमित है, और X को खुले अफीन उपसमूह $Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}$ से ढंका गया है, जहां ($X=\cup Y_{i}$) (एक अंगूठी का स्पेक्ट्रम)। तब प्रत्येक $A_{i}$ परिमित प्रकार का एक बीजगणित है जो $\mathbb {C}$, पर सीमित है, और $A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})$. है, जहां $f_{1},\dots ,f_{m}$ में बहुपद हैं जो कि $z_{1},\dots ,z_{n}$, जिसे एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है $\mathbb {C}$. पर एक वैश्विक एनालिटिक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, इनके सामान्य शून्य स्थान $(Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb {C}$. है, जहां X के लिए एक संबंधित बीजगणितीय उपग्रह $Y_{i}$, का नाम दिया जा सकता है। वही डेटा X को ग्लू करने से प्राप्त किया गया है, और फिर उसी डेटा का उपयोग करके बीजगणितीय उपग्रह $(Y_{i})_{h}$ को ग्लू किया जा सकता है जो एक बीजगणितीय उपग्रह $X_{h}$ को मिलता है, इसलिए हम $X_{h}$ के संबद्ध बीजगणितीय उपग्रह कहते हैं सम्पर्कित ज्यामितिक गणितीय स्थान X घटित है यदि और केवल यदि संबंधित ज्यामितिक गणितीय स्थान $X_{h}$ घटित है।

यह भी देखें

• बीजगणितीय विविधता - एक (जटिल) विश्लेषणात्मक विविधता एक (जटिल) विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के सेट का एक शून्य स्थान है, जबकि एक बीजगणितीय विविधता एक बहुपद समारोह के एक सेट का शून्य स्थान है और एकवचन बिंदु की अनुमति देता है।
• विश्लेषणात्मक स्थान
• जटिल बीजगणितीय किस्म
• बेहूदा
• कठोर विश्लेषणात्मक स्थान

संदर्भ

• Aroca, José Manuel; Hironaka, Heisuke; Vicente, José Luis (3 November 2018). Complex Analytic Desingularization. doi:10.1007/978-4-431-49822-3. ISBN 978-4-431-49822-3.
• Bloom, Thomas; Herrera, Miguel (1969). "De Rham cohomology of an analytic space". Inventiones Mathematicae. 7 (4): 275–296. Bibcode:1969InMat...7..275B. doi:10.1007/BF01425536. S2CID 122113902.
• Cartan, H.; Bruhat, F.; Cerf, Jean.; Dolbeault, P.; Frenkel, Jean.; Hervé, Michel; Malatian.; Serre, J-P. "Séminaire Henri Cartan, Tome 4 (1951-1952)". (no.10-13)
• Fischer, G. (14 November 2006). Complex Analytic Geometry. ISBN 978-3-540-38121-1.
• Gunning, Robert Clifford; Rossi, Hugo (2009). "Chapter III. Variety (Sec. B. Anlytic cover)". Analytic Functions of Several Complex Variables. ISBN 9780821821657.
• Gunning, Robert Clifford; Rossi, Hugo (2009). "Chapter V. Anlytic space". Analytic Functions of Several Complex Variables. ISBN 9780821821657.
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1958). "Komplexe Räume". Mathematische Annalen. 136 (3): 245–318. doi:10.1007/BF01362011. S2CID 121348794.
• Grauert, H.; Remmert, R. (6 December 2012). Coherent Analytic Sheaves. ISBN 978-3-642-69582-7.
• Grauert, H.; Peternell, Thomas; Remmert, R. (9 March 2013). Several Complex Variables VII: Sheaf-Theoretical Methods in Complex Analysis. ISBN 978-3-662-09873-8.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michele (2002). "Revêtements étales et groupe fondamental§XII. Géométrie algébrique et géométrie analytique". Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (in français). arXiv:math/0206203. doi:10.1007/BFb0058656. ISBN 978-2-85629-141-2.
• Hartshorne, Robin (1970). Ample Subvarieties of Algebraic Varieties. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 156. doi:10.1007/BFb0067839. ISBN 978-3-540-05184-8.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. S2CID 197660097. Zbl 0367.14001.
• Huckleberry, Alan (2013). "Hans Grauert (1930–2011)". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 115: 21–45. arXiv:1303.6933. doi:10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID 119685542.
• Remmert, Reinhold (1998). "From Riemann Surfaces to Complex Spaces". Séminaires et Congrès. Zbl 1044.01520.
• Serre, Jean-Pierre (1956). "Géométrie algébrique et géométrie analytique". Annales de l'Institut Fourier. 6: 1–42. doi:10.5802/aif.59. ISSN 0373-0956. MR 0082175.
• Tognoli, A. (2 June 2011). Tognoli, A (ed.). Singularities of Analytic Spaces: Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Bressanone (Bolzano), Italy, June 16-25, 1974. doi:10.1007/978-3-642-10944-7. ISBN 978-3-642-10944-7.
• "Chapter II. Preliminaries". Zariski-decomposition and Abundance. Mathematical Society of Japan Memoirs. 2004. pp. 13–78. doi:10.2969/msjmemoirs/01401C020. ISBN 978-4-931469-31-0.

बाहरी संबंध

• Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 GAGA)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.
• Tasty Bits of Several Complex Variables(p.137) open source book by Jiří Lebl BY-NC-SA.
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Analytic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• El'kin, A.G. (2001) [1994], "Analytic set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press