गैर-रेखीय प्रतिगमन

विवरण के लिए माइकलिस-मेंटेन कैनेटीक्स देखें

आंकड़ों में, अरैखिक परावर्तन, परावर्तन विश्लेषण का एक रूप है जिसमें अवलोकन संबंधी डेटा को एक फलन द्वारा प्रारूपित किया जाता है जो प्रारूपित मापदंडों का एक अरैखिक संयोजन है और एक या अधिक स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है। डेटा को क्रमिक सन्निकटन की विधि द्वारा जोड़ा जाता है।

सामान्य

अरेखीय परावर्तन में, एक सांख्यिकीय प्रारूप होता है जिसका आकार है,

$\mathbf {y} \sim f(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})$

एक स्वतंत्र सदिश चर $\mathbf {y}$ को एक स्वतंत्रता संबंधी स्थायी चर सदिश $\mathbf {x}$ और इसके संबंधित अवलोकित स्वतंत्र चर सदिश y के साथ जोड़ता है। फलन $f$ पैरामीटर चर सदिश $\beta$ के घटकों में अरेखीय होता है, परंतु अन्यथा विशेष नहीं होता है। उदाहरण के रूप में, एंजाइम किनेटिक्स के लिए माइकेलिस-मेंटन प्रारूप में दो पैरामीटर और एक स्वतंत्र चर सदिश द्वारा संबंधित होता है। इसे $f$ द्वारा निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$f(x,{\boldsymbol {\beta }})={\frac {\beta _{1}x}{\beta _{2}+x}}$

यह फलन अरैखिक है क्योंकि यह दो $\beta$s या पैरामीटरों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

स्वतंत्र चर में व्यवस्थित त्रुटि उपस्थित हो सकती है परंतु इसका उपचार परावर्तन विश्लेषण के सीमा से बाहर होता है। यदि स्वतंत्र चर त्रुटि-मुक्त नहीं हैं, तो यह एक त्रुटि-में-चर प्रारूप है, जो इस सीमा से बाहर भी है।

अरैखिक फलनों के अन्य उदाहरणों में घातांकीय फलन, लघुगणकीय फलन, त्रिकोणमितीय फलन, गाउसियन फलन और लॉरेंट्स वितरण सम्मिलित हैं। कुछ फलन, जैसे कि घातांकी या लघुगणकीय फलन , को रूपांतरित किया जा सकता है जिससे वे रैखिक हों। इस प्रकार परिवर्तित होने पर, मानक रैखिक परावर्तन किया जा सकता है परंतु इसे सावधानी के साथ लागू किया जाना चाहिए। अधिक विवरण के लिए नीचे देखें।

सामान्यतः, अरैखिक परावर्तन में, सबसे उपयुक्त पैरामीटर्स के लिए कोई सरल सांकेतिक अभिव्यक्ति नहीं होती है, जैसा कि रैखिक परावर्तन में होता है। सामान्यतः संख्यात्मक अनुकूलन कलन-विधि सर्वोत्तम-फिटिंग पैरामीटर निर्धारित करने के लिए लागू किए जाते हैं। पुनः रैखिक परावर्तन के विपरीत, अनुकूलित किए जाने वाले फलन के कई स्थानिक न्यूनतम और यहां तक कि वैश्विक न्यूनतम भी हो सकते हैं, व्यवहार में, वर्गों के योग के वैश्विक न्यूनतम को खोजने का प्रयास करने के लिए, अनुकूलन कलन-विधि के साथ मिलकर, मापदंडों के अनुमानित मूल्य का उपयोग किया जाता है।

अरेखीय डेटा प्रतिरूपण से संबंधित विवरण के लिए न्यूनतम वर्ग और अरेखीय न्यूनतम वर्ग देखें।

परावर्तन आँकड़े

इस प्रक्रिया के मूल अवधारणा है कि प्रारूप को एक रैखिक फलन, अर्थात् प्रथम-क्रम टेलर श्रृंखला द्वारा अनुमानित किया जा सकता है:

$f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})\approx f(x_{i},0)+\sum _{j}J_{ij}\beta _{j}$

जहाँ $J_{ij}={\frac {\partial f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})}{\partial \beta _{j}}}$. से यह निष्कर्ष निकलता है कि न्यूनतम वर्ग अनुमानक द्वारा दिये गये हैं

${\hat {\boldsymbol {\beta }}}\approx \mathbf {(J^{T}J)^{-1}J^{T}y} ,$

इकाई आव्यूह के आनुपातिक सहप्रसरण आव्यूह के साथ सामान्यीकृत न्यूनतम वर्गों की तुलना करें। अरेखीय परावर्तन आँकड़ों की गणना और उपयोग, रैखिक परावर्तन आँकड़ों की तरह किया जाता है, परंतु सूत्रों में X के स्थान पर J का उपयोग किया जाता है।

जब फलन $f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})$ स्वयं विश्लेषणात्मक रूप से ज्ञात नहीं है, परंतु रेखीय परावर्तन की आवश्यकता है $n+1$, या अधिक, ज्ञात मान सबसे अच्छा अनुमानक सीधे रैखिक टेम्पलेट आवेश से प्राप्त किया जाता है

$${\hat {\boldsymbol {\beta }}}=((\mathbf {Y{\tilde {M}}} )^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}\mathbf {Y{\tilde {M}}} )^{-1}(\mathbf {Y{\tilde {M}}} )^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {d} -\mathbf {Y{\bar {m}})}$$

रैखिक न्यूनतम वर्ग वैकल्पिक सूत्रीकरण भी देखें।

रैखिक सन्निकटन आंकड़ों में पूर्वाग्रह का परिचय देता है। इसलिए, गैर-रेखीय प्रारूप से प्राप्त आँकड़ों की व्याख्या करने में सामान्य से अधिक सावधानी की आवश्यकता होती है।

साधारण और भारित न्यूनतम वर्ग

सबसे उपयुक्त वक्र अक्सर वह माना जाता है जो आँकड़ों में वर्ग त्रुटियों और अवशेषों के योग को कम करता है। यह सामान्य न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) दृष्टिकोण है। हालाँकि, ऐसे मामलों में जहां आश्रित चर में निरंतर भिन्नता नहीं होती है, भारित वर्ग अवशेषों का योग कम किया जा सकता है; भारित न्यूनतम वर्ग देखें. प्रत्येक भार आदर्श रूप से अवलोकन के विचरण के व्युत्क्रम के बराबर होना चाहिए, परंतु पुनरावृत्त रूप से भारित न्यूनतम वर्ग एल्गोरिथ्म में, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर भार की पुनर्गणना की जा सकती है।

रैखिकीकरण

परिवर्तन

Further information: Data transformation (statistics)

प्रारूप फॉर्मूलेशन के उपयुक्त परिवर्तन द्वारा कुछ गैर-रेखीय परावर्तन समस्याओं को एक रैखिक डोमेन में ले जाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, अरेखीय परावर्तन समस्या पर विचार करें

$y=ae^{bx}U\,\!$

पैरामीटर ए और बी के साथ और गुणक त्रुटि पद यू के साथ। यदि हम दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हैं, तो यह बन जाता है

$\ln {(y)}=\ln {(a)}+bx+u,\,\!$

जहां u = ln(U), x पर ln(y) के रैखिक परावर्तन द्वारा अज्ञात मापदंडों के अनुमान का सुझाव देता है, एक गणना जिसमें पुनरावृत्त अनुकूलन की आवश्यकता नहीं होती है। हालाँकि, अरेखीय परिवर्तन के उपयोग में सावधानी की आवश्यकता होती है। डेटा मानों का प्रभाव बदल जाएगा, साथ ही प्रारूप की त्रुटि संरचना और किसी भी अनुमानित परिणाम की व्याख्या भी बदल जाएगी। ये वांछित प्रभाव नहीं हो सकते हैं. दूसरी ओर, त्रुटि का सबसे बड़ा स्रोत क्या है, इस पर निर्भर करते हुए, एक गैर-रेखीय परिवर्तन गाऊसी फैशन में त्रुटियों को वितरित कर सकता है, इसलिए एक गैर-रेखीय परिवर्तन करने का विकल्प प्रारूप िंग विचारों द्वारा सूचित किया जाना चाहिए।

माइकलिस-मेंटेन कैनेटीक्स के लिए, रैखिक लाइनवीवर-बर्क प्लॉट

${\frac {1}{v}}={\frac {1}{V_{\max }}}+{\frac {K_{m}}{V_{\max }[S]}}$

1/[S] के विरुद्ध 1/v का बहुत अधिक उपयोग किया गया है। हालाँकि, चूंकि यह डेटा त्रुटि के प्रति बहुत संवेदनशील है और डेटा को स्वतंत्र चर, [एस] की एक विशेष श्रेणी में फिट करने के प्रति दृढ़ता से पक्षपाती है, इसलिए इसके उपयोग को दृढ़ता से हतोत्साहित किया जाता है।

घातीय परिवार से संबंधित त्रुटि वितरण के लिए, सामान्यीकृत रैखिक प्रारूप ढांचे के तहत मापदंडों को बदलने के लिए एक लिंक फलन का उपयोग किया जा सकता है।

विभाजन

सरसों की उपज और मिट्टी की लवणता

Main article: Segmented regression

स्वतंत्र चर (मान लीजिए X) को वर्गों या खंडों में विभाजित किया जा सकता है और प्रति खंड रैखिक परावर्तन किया जा सकता है। विश्वास अंतराल के साथ खंडित परावर्तन का परिणाम यह हो सकता है कि आश्रित चर (जैसे Y) विभिन्न खंडों में अलग-अलग व्यवहार करता है। आंकड़े से पता चलता है कि मिट्टी की लवणता (एक्स) शुरू में सरसों की फसल की उपज (वाई) पर कोई प्रभाव नहीं डालती है, जब तक कि एक महत्वपूर्ण या सीमा मूल्य (ब्रेकपॉइंट) नहीं हो जाता, जिसके बाद उपज नकारात्मक रूप से प्रभावित होती है।

यह भी देखें

• अरैखिक न्यूनतम वर्ग
• वक्र फिटिंग
• सामान्यीकृत रैखिक प्रारूप
• स्थानीय परावर्तन
• प्रतिक्रिया प्रारूप िंग पद्धति
• आनुवंशिक प्रोग्रामिंग
• मल्टी एक्सप्रेशन प्रोग्रामिंग
• रैखिक_न्यूनतम_वर्ग#वैकल्पिक_सूत्रीकरण

अग्रिम पठन

• Bethea, R. M.; Duran, B. S.; Boullion, T. L. (1985). Statistical Methods for Engineers and Scientists. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7227-X.
• Meade, N.; Islam, T. (1995). "Prediction Intervals for Growth Curve Forecasts". Journal of Forecasting. 14 (5): 413–430. doi:10.1002/for.3980140502.
• Schittkowski, K. (2002). Data Fitting in Dynamical Systems. Boston: Kluwer. ISBN 1402010796.
• Seber, G. A. F.; Wild, C. J. (1989). Nonlinear Regression. New York: John Wiley and Sons. ISBN 0471617601.