बोरेल उपसमूह: Difference between revisions

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[[[[बीजगणितीय समूह]]]]ों के सिद्धांत में, बीजगणितीय समूह ''जी'' का एक बोरेल उपसमूह एक अधिकतम [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] [[हल करने योग्य समूह]] [[बीजगणितीय उपसमूह]] है। उदाहरण के लिए, [[सामान्य रैखिक समूह]] ''जीएल'' में<sub>n</sub>(n x n व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स), व्युत्क्रमणीय [[ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] का उपसमूह एक बोरेल उपसमूह है।
बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत में, बीजगणितीय समूह G का एक बोरेल उपसमूह एक अधिकतम ज़ारिस्की बंद और संयोजन हल करने योग्य बीजगणितीय उपसमूह है। उदाहरण के लिए, सामान्य रैखिक समूह GLn (n x n उलटा ) में, उलटा ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह एक बोरेल उपसमूह है।


बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में महसूस किए गए समूहों के लिए, बोरेल उपसमूहों का एक एकल [[संयुग्मन वर्ग]] है।
बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में समूहों के लिए, बोरेल उपसमूहों का एक एकल संयुग्मन वर्ग है।


[[जैक्स टिट्स]] के (बी,एन) जोड़ी वाले समूहों के सिद्धांत में, बोरेल उपसमूह सरल (अधिक सामान्यतः, [[रिडक्टिव समूह]]) बीजगणितीय समूहों की संरचना को समझने में दो प्रमुख सामग्रियों में से एक हैं। यहां समूह बी एक बोरेल उपसमूह है और एन बी में निहित [[अधिकतम टोरस]] का सामान्यीकरणकर्ता है।
जैक्स टिट्स के (B,N) जोड़ी वाले समूहों के सिद्धांत में, बोरेल उपसमूह सरल (अधिक सामान्यतः,अपचायक) बीजगणितीय समूहों की संरचना को समझने में दो प्रमुख सामग्रियों में से एक हैं। यहां समूह B एक बोरेल उपसमूह है और N B में निहित अधिकतम टोरस का सामान्यीकरणकर्ता है।


यह धारणा [[आर्मंड बोरेल]] द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जिन्होंने बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत के विकास में अग्रणी भूमिका निभाई थी।
यह धारणा आर्मंड बोरेल द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जिन्होंने बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत के विकास में अग्रणी भूमिका निभाई थी


==परवलयिक उपसमूह==
===परवलयिक उपसमूह===
बोरेल उपसमूह बी और परिवेश समूह जी के बीच के उपसमूहों को 'परवलयिक उपसमूह' कहा जाता है।
बोरेल उपसमूह B और परिवेश समूह G के बीच के उपसमूहों को परवलयिक उपसमूह कहा जाता है। बीजगणितीय उपसमूहों के बीच, परवलयिक उपसमूहों P की भी विशेषता इस शर्त से होती है कि G/P एक पूर्ण विविधता है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर काम करते हुए, बोरेल उपसमूह इस अर्थ में न्यूनतम परवलयिक उपसमूह बन जाते हैं। इस प्रकार B एक बोरेल उपसमूह है जब सजातीय स्थान G/B एक पूर्ण विविधता है जो "जितना संभव हो उतना बड़ा" है।
बीजगणितीय उपसमूहों के बीच, परवलयिक उपसमूहों P की भी विशेषता इस शर्त से होती है कि G/P एक पूर्ण विविधता है।
बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर काम करते हुए, बोरेल उपसमूह इस अर्थ में 'न्यूनतम परवलयिक उपसमूह' बन जाते हैं। इस प्रकार बी एक बोरेल उपसमूह है जब सजातीय स्थान जी/बी एक पूर्ण विविधता है जो जितना संभव हो उतना बड़ा है।


एक साधारण बीजगणितीय समूह जी के लिए, परवलयिक उपसमूहों के संयुग्मी वर्गों का सेट संबंधित डायनकिन आरेख के नोड्स के सभी सबसेट के सेट के साथ आक्षेप में है; बोरेल उपसमूह खाली सेट से मेल खाता है और जी स्वयं सभी नोड्स के सेट से मेल खाता है। (सामान्य तौर पर डायनकिन आरेख का प्रत्येक नोड एक सरल नकारात्मक रूट निर्धारित करता है और इस प्रकार जी का एक आयामी 'रूट समूह' होता है - नोड्स का एक उपसमूह इस प्रकार एक परवलयिक उपसमूह उत्पन्न करता है, जो बी और संबंधित नकारात्मक रूट समूहों द्वारा उत्पन्न होता है। इसके अलावा, कोई भी परवलयिक उपसमूह ऐसे परवलयिक उपसमूह से संयुग्मित होता है।)
एक साधारण बीजगणितीय समूह G के लिए, परवलयिक उपसमूहों के संयुग्मी वर्गों का सेट संबंधित डायनकिन आरेख के नोड् के सभी उपसमुच्चय के सेट के साथ आक्षेप में है; बोरेल उपसमूह खाली सेट से मेल खाता है और G स्वयं सभी नोड् के सेट से मेल खाता है। (प्रायः डायनकिन आरेख का प्रत्येक नोड एक सरल नकारात्मक मार्ग निर्धारित करता है और इस प्रकार G का एक आयामी 'मार्ग समूह' होता है - नोड् का एक उपसमूह इस प्रकार एक परवलयिक उपसमूह उत्पन्न करता है, जो B और संबंधित नकारात्मक R द्वारा उत्पन्न होता है।इसके अतिरिक्त, कोई भी परवलयिक उपसमूह ऐसे परवलयिक उपसमूह से संयुग्मित होता है।)


== उदाहरण ==
=== उदाहरण ===
होने देना <math>G = GL_4(\mathbb{C})</math>. एक बोरेल उपसमूह <math>B</math> का <math>G</math> ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय<ब्लॉककोट> है<math>\left\{
<math>G = GL_4(\mathbb{C})</math>. एक बोरेल उपसमूह <math>B</math> का <math>G</math> ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय है<math>\left\{
A = \begin{bmatrix}
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
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0 & 0 &  a_{33} & a_{34} \\
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0 & 0 & 0 & a_{44}
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\end{bmatrix} : \det(A) \neq 0 \right\}</math></blockquote>और अधिकतम उचित परवलयिक उपसमूह <math>G</math> युक्त <math>B</math> <ब्लॉककोट> हैं<math>\left\{
\end{bmatrix} : \det(A) \neq 0 \right\}</math>और अधिकतम उचित परवलयिक उपसमूह <math>G</math> युक्त <math>B</math> हैं<math>\left\{
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\begin{bmatrix}
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a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
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a_{31} & a_{32} &  a_{33} & a_{34} \\
a_{31} & a_{32} &  a_{33} & a_{34} \\
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0 & 0 & 0 & a_{44}
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\end{bmatrix}\right\}</math>इसके अलावा, एक अधिकतम टोरस <math>B</math> है<math>\left\{
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\end{bmatrix}: a_{11}\cdot a_{22} \cdot a_{33}\cdot a_{44} \neq 0\right\}</math>यह बीजगणितीय टोरस के समरूपी है <math>(\mathbb{C}^*)^4 = \text{Spec}(\mathbb{C}[x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])</math>.<ref>{{Cite web|url=https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~mbrion/lecturesrev.pdf|title=ध्वज किस्मों की ज्यामिति पर व्याख्यान|last=Brion|first=Michel}}</ref>
===असत्य बीजगणित===
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लाई बीजगणित के विशेष मामले के लिए <math>\mathfrak{g}</math> कार्टन उपबीजगणित के साथ <math>\mathfrak{h}</math>,और [[भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)]] का एक [[आदेश सिद्धांत]] दिया गया [[बोरेल उपबीजगणित]] का प्रत्यक्ष योग है। <math>\mathfrak{g}</math> सकारात्मक वजन के साथ.एक असत्य उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> बोरेल उपबीजगणित को [[परवलयिक झूठ बीजगणित|परवलयिक असत्य बीजगणित]] कहा जाता है।


==झूठ बीजगणित==
===यह भी देखें===
{{main|Borel subalgebra}}
लाई बीजगणित के विशेष मामले के लिए <math>\mathfrak{g}</math> कार्टन उपबीजगणित के साथ <math>\mathfrak{h}</math>, का एक [[आदेश सिद्धांत]] दिया गया <math>\mathfrak{h}</math>, [[बोरेल उपबीजगणित]] का प्रत्यक्ष योग है <math>\mathfrak{h}</math> और [[भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)]]। <math>\mathfrak{g}</math> सकारात्मक वजन के साथ. का एक झूठ उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> बोरेल उपबीजगणित युक्त को [[परवलयिक झूठ बीजगणित]] कहा जाता है।
 
==यह भी देखें==
* अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
* अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
* [[कार्टन उपसमूह]]
* [[कार्टन उपसमूह]]
* [[मिराबोलिक उपसमूह]]
* [[मिराबोलिक उपसमूह]]


==संदर्भ==
===संदर्भ===
*{{cite book | author=A. Borel | title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups |  location=Providence RI | publisher=AMS  | year=2001 | isbn=0-8218-0288-7}}
*{{cite book | author=A. Borel | title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups |  location=Providence RI | publisher=AMS  | year=2001 | isbn=0-8218-0288-7}}
*{{cite book | author=J. Humphreys | title=Linear Algebraic Groups |  location=New York | publisher=Springer | year=1972 | isbn=0-387-90108-6}}
*{{cite book | author=J. Humphreys | title=Linear Algebraic Groups |  location=New York | publisher=Springer | year=1972 | isbn=0-387-90108-6}}
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==बाहरी संबंध==
===बाहरी संबंध===
*{{SpringerEOM| title=Parabolic subgroup | id=Parabolic_subgroup | oldid=16195 | first=V.L. | last=Popov | authorlink = Vladimir L. Popov }}
*{{SpringerEOM| title=Parabolic subgroup | id=Parabolic_subgroup | oldid=16195 | first=V.L. | last=Popov | authorlink = Vladimir L. Popov }}
*{{SpringerEOM| title=Borel subgroup | id=Borel_subgroup | oldid=14476 | first=V.P. | last=Platonov }}
*{{SpringerEOM| title=Borel subgroup | id=Borel_subgroup | oldid=14476 | first=V.P. | last=Platonov }}

Revision as of 14:47, 27 July 2023

बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत में, बीजगणितीय समूह G का एक बोरेल उपसमूह एक अधिकतम ज़ारिस्की बंद और संयोजन हल करने योग्य बीजगणितीय उपसमूह है। उदाहरण के लिए, सामान्य रैखिक समूह GLn (n x n उलटा ) में, उलटा ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह एक बोरेल उपसमूह है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में समूहों के लिए, बोरेल उपसमूहों का एक एकल संयुग्मन वर्ग है।

जैक्स टिट्स के (B,N) जोड़ी वाले समूहों के सिद्धांत में, बोरेल उपसमूह सरल (अधिक सामान्यतः,अपचायक) बीजगणितीय समूहों की संरचना को समझने में दो प्रमुख सामग्रियों में से एक हैं। यहां समूह B एक बोरेल उपसमूह है और N B में निहित अधिकतम टोरस का सामान्यीकरणकर्ता है।

यह धारणा आर्मंड बोरेल द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जिन्होंने बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत के विकास में अग्रणी भूमिका निभाई थी

परवलयिक उपसमूह

बोरेल उपसमूह B और परिवेश समूह G के बीच के उपसमूहों को परवलयिक उपसमूह कहा जाता है। बीजगणितीय उपसमूहों के बीच, परवलयिक उपसमूहों P की भी विशेषता इस शर्त से होती है कि G/P एक पूर्ण विविधता है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर काम करते हुए, बोरेल उपसमूह इस अर्थ में न्यूनतम परवलयिक उपसमूह बन जाते हैं। इस प्रकार B एक बोरेल उपसमूह है जब सजातीय स्थान G/B एक पूर्ण विविधता है जो "जितना संभव हो उतना बड़ा" है।

एक साधारण बीजगणितीय समूह G के लिए, परवलयिक उपसमूहों के संयुग्मी वर्गों का सेट संबंधित डायनकिन आरेख के नोड् के सभी उपसमुच्चय के सेट के साथ आक्षेप में है; बोरेल उपसमूह खाली सेट से मेल खाता है और G स्वयं सभी नोड् के सेट से मेल खाता है। (प्रायः डायनकिन आरेख का प्रत्येक नोड एक सरल नकारात्मक मार्ग निर्धारित करता है और इस प्रकार G का एक आयामी 'मार्ग समूह' होता है - नोड् का एक उपसमूह इस प्रकार एक परवलयिक उपसमूह उत्पन्न करता है, जो B और संबंधित नकारात्मक R द्वारा उत्पन्न होता है।इसके अतिरिक्त, कोई भी परवलयिक उपसमूह ऐसे परवलयिक उपसमूह से संयुग्मित होता है।)

उदाहरण

. एक बोरेल उपसमूह का ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय हैऔर अधिकतम उचित परवलयिक उपसमूह युक्त हैंइसके अलावा, एक अधिकतम टोरस हैयह बीजगणितीय टोरस के समरूपी है .[1]

असत्य बीजगणित

लाई बीजगणित के विशेष मामले के लिए कार्टन उपबीजगणित के साथ ,और भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) का एक आदेश सिद्धांत दिया गया बोरेल उपबीजगणित का प्रत्यक्ष योग है। सकारात्मक वजन के साथ.एक असत्य उपबीजगणित बोरेल उपबीजगणित को परवलयिक असत्य बीजगणित कहा जाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  • A. Borel (2001). Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. Providence RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.
  • J. Humphreys (1972). Linear Algebraic Groups. New York: Springer. ISBN 0-387-90108-6.
  • Milne, J. S. (2017), Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field, Cambridge University Press, doi:10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, MR 3729270
  • Gary Seitz (1991). "Algebraic Groups". In B. Hartley; et al. (eds.). Finite and Locally Finite Groups. pp. 45–70.
Specific


बाहरी संबंध