गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण

फलनात्मक विश्लेषण में, गणित के भीतर अनुशासन, जिसे सी*-बीजगणित ए दिया जाता है, 'गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण' ए के चक्रीय *-प्रतिनिधित्व और ए (जिसे राज्य कहा जाता है) पर कुछ रैखिक फलनात्मकताओं के बीच पत्राचार स्थापित करता है। पत्राचार को राज्य की ओर से *-प्रतिनिधित्व के स्पष्ट निर्माण द्वारा दिखाया गया है। इसका नाम इज़राइल गेलफैंड, मार्क नमारिक और इरविंग सेगल के नाम पर रखा गया है।

राज्य और प्रतिनिधित्व

ए *-हिल्बर्ट स्थान एच पर सी*-बीजगणित ए का प्रतिनिधित्व नक्शा (गणित)पिंग है π ए से एच पर परिबद्ध संचालकों के बीजगणित में इस प्रकार

• π वलय समरूपता है जो ए पर इनवोल्यूशन (गणित) को ऑपरेटरों पर इनवल्यूशन में ले जाता है
• π नॉनडीजेनरेट है, अर्थात सदिशों का स्थान π(x) ξ सघन है क्योंकि x की श्रेणी A से होती है और ξ की श्रेणी H से होती है। ध्यान दें कि यदि ए की पहचान है, तो नॉनडिजेनरेसी का मतलब है कि π इकाई-संरक्षण है, यानी π ए की पहचान को एच पर पहचान ऑपरेटर को मैप करता है।

सी*-बीजगणित ए पर स्थिति (फलनात्मक विश्लेषण) मानक 1 का सकारात्मक रैखिक फलनात्मक एफ है। यदि ए में गुणक इकाई तत्व है तो यह स्थिति एफ के बराबर है (1)=1.

हिल्बर्ट स्पेस एच पर सी*-बीजगणित ए के प्रतिनिधित्व π के लिए, तत्व ξ को चक्रीय वेक्टर कहा जाता है यदि वैक्टर का सेट

$\{\pi (x)\xi :x\in A\}$

H में मानक सघनता है, इस स्थिति में π को 'चक्रीय प्रतिनिधित्व' कहा जाता है। अघुलनशील प्रतिनिधित्व का कोई भी गैर-शून्य वेक्टर चक्रीय है। हालाँकि, सामान्य चक्रीय प्रतिनिधित्व में गैर-शून्य वैक्टर चक्रीय होने में विफल हो सकते हैं।

जीएनएस निर्माण

मान लीजिए π हिल्बर्ट स्पेस H पर C*-बीजगणित A का *-प्रतिनिधित्व है और π के लिए इकाई मानक चक्रीय वेक्टर है। तब

$$a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$$

A की अवस्था है.

इसके विपरीत, ए के प्रत्येक राज्य को राज्य (फलनात्मक विश्लेषण) के रूप में देखा जा सकता है #वेक्टर उपयुक्त विहित प्रतिनिधित्व के तहत ऊपर बताए अनुसार बताता है।

Theorem. — Given a state ρ of A, there is a *-representation π of A acting on a Hilbert space H with distinguished unit cyclic vector ξ such that $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$ for every a in A.

Proof

1. Construction of the Hilbert space H

   Define on A a semi-definite sesquilinear form

   $$\langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.$$
   By the Cauchy–Schwarz inequality, the degenerate elements, a in A satisfying ρ(a* a)= 0, form a vector subspace I of A. By a C*-algebraic argument, one can show that I is a left ideal of A (known as the left kernel of ρ). In fact, it is the largest left ideal in the null space of ρ. The quotient space of A by the vector subspace I is an inner product space with the inner product defined by$\langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A$. The Cauchy completion of A/I in the norm induced by this inner product is a Hilbert space, which we denote by H.
2. Construction of the representation π
   Define the action π of A on A/I by π(a)(b+I) = ab+I of A on A/I. The same argument showing I is a left ideal also implies that π(a) is a bounded operator on A/I and therefore can be extended uniquely to the completion. Unravelling the definition of the adjoint of an operator on a Hilbert space, π turns out to be *-preserving. This proves the existence of a *-representation π.
3. Identifying the unit norm cyclic vector ξ

   If A has a multiplicative identity 1, then it is immediate that the equivalence class ξ in the GNS Hilbert space H containing 1 is a cyclic vector for the above representation. If A is non-unital, take an approximate identity {e_λ} for A. Since positive linear functionals are bounded, the equivalence classes of the net {e_λ} converges to some vector ξ in H, which is a cyclic vector for π.

   It is clear from the definition of the inner product on the GNS Hilbert space H that the state ρ can be recovered as a vector state on H. This proves the theorem.

उपरोक्त प्रमेय के प्रमाण में ए की स्थिति से *-निरूपण उत्पन्न करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को 'जीएनएस निर्माण' कहा जाता है। सी*-बीजगणित ए की स्थिति के लिए, संबंधित जीएनएस प्रतिनिधित्व अनिवार्य रूप से स्थिति द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$ जैसा कि नीचे प्रमेय में देखा गया है।

Theorem. — Given a state ρ of A, let π, π' be *-representations of A on Hilbert spaces H, H' respectively each with unit norm cyclic vectors ξ ∈ H, ξ' ∈ H' such that $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle$ for all $a\in A$. Then π, π' are unitarily equivalent *-representations i.e. there is a unitary operator U from H to H' such that π'(a) = Uπ(a)U* for all a in A. The operator U that implements the unitary equivalence maps π(a)ξ to π'(a)ξ' for all a in A.

जीएनएस निर्माण का महत्व

जीएनएस निर्माण गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय के प्रमाण के केंद्र में है जो सी*-बीजगणित को ऑपरेटरों के बीजगणित के रूप में दर्शाता है। एसी*-बीजगणित में पर्याप्त रूप से कई शुद्ध अवस्थाएं हैं (नीचे देखें) ताकि संबंधित अपरिवर्तनीय जीएनएस अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग वफादार फनकार हो।

सभी राज्यों के संगत जीएनएस अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग को ए का सार्वभौमिक प्रतिनिधित्व (सी*-बीजगणित) कहा जाता है। ए के सार्वभौमिक प्रतिनिधित्व में प्रत्येक चक्रीय प्रतिनिधित्व शामिल है। जैसा कि प्रत्येक *-प्रतिनिधित्व चक्रीय अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है, यह इस प्रकार है कि ए का प्रत्येक *-प्रतिनिधित्व सार्वभौमिक प्रतिनिधित्व की प्रतियों के कुछ योग का प्रत्यक्ष योग है।

यदि Φ C*-बीजगणित ए का सार्वभौमिक प्रतिनिधित्व है, तो कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी में Φ(ए) को बंद करने को ए का आवरण वॉन न्यूमैन बीजगणित कहा जाता है। इसे डबल डुअल ए** से पहचाना जा सकता है।

इरेड्यूसिबिलिटी

अघुलनशील प्रतिनिधित्व *-प्रतिनिधित्व और राज्यों के उत्तल सेट के चरम बिंदुओं के बीच का संबंध भी महत्वपूर्ण है। H पर प्रतिनिधित्व π अपरिवर्तनीय है यदि और केवल तभी जब H का कोई बंद उप-स्थान न हो जो H और तुच्छ उप-स्थान {0} के अलावा सभी ऑपरेटरों π (x) के तहत अपरिवर्तनीय हो।

Theorem — The set of states of a C*-algebra A with a unit element is a compact convex set under the weak-* topology. In general, (regardless of whether or not A has a unit element) the set of positive functionals of norm ≤ 1 is a compact convex set.

ये दोनों परिणाम बानाच-अलाओग्लू प्रमेय का तुरंत अनुसरण करते हैं।

इकाई क्रमविनिमेय मामले में, कुछ सघन द्रव्यमान ≤ 1. क्रेइन-मिलमैन प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि चरम अवस्थाएं डायराक बिंदु-द्रव्यमान माप हैं।

दूसरी ओर, C(X) का प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि यह एक-आयामी है। इसलिए, माप μ के अनुरूप C(X) का GNS प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है यदि और केवल यदि μ चरम अवस्था है। यह वास्तव में सामान्यतः C*-बीजगणित के लिए सत्य है।

Theorem — Let A be a C*-algebra. If π is a *-representation of A on the Hilbert space H with unit norm cyclic vector ξ, then π is irreducible if and only if the corresponding state f is an extreme point of the convex set of positive linear functionals on A of norm ≤ 1.

इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले यह नोट करें कि प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि π(ए) के वे आदान-प्रदान करते हैं , जिसे π(ए)' द्वारा निरूपित किया जाता है, में पहचान के अदिश गुणक शामिल होते हैं।

ए पर एफ द्वारा प्रभुत्व वाले किसी भी सकारात्मक रैखिक फलनात्मक जी के रूप का है

$$g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle$$

कुछ सकारात्मक ऑपरेटर टी के लिए_gऑपरेटर क्रम में 0 ≤ T ≤ 1 के साथ π(A)' में। यह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का संस्करण है।

ऐसे g के लिए, कोई f को सकारात्मक रैखिक फलनात्मकताओं के योग के रूप में लिख सकता है: f = g + g' । तो π इकाई रूप से π के उप-प्रतिनिधित्व के बराबर है_g ⊕ पी_g' . इससे पता चलता है कि π अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि ऐसा कोई π है_g इकाई रूप से π के समतुल्य है, अर्थात g, f का अदिश गुणज है, जो प्रमेय को सिद्ध करता है।

चरम अवस्थाओं को आमतौर पर राज्य (फलनात्मक विश्लेषण)#शुद्ध अवस्थाएँ कहा जाता है। ध्यान दें कि राज्य शुद्ध राज्य है यदि और केवल यदि वह राज्यों के उत्तल सेट में चरम है।

C*-बीजगणित के लिए उपरोक्त प्रमेय अनुमानित पहचान के साथ B-स्टार बीजगणित|B*-बीजगणित के संदर्भ में अधिक सामान्यतः मान्य हैं।

सामान्यीकरण

पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों को दर्शाने वाला स्टाइनस्प्रिंग फैक्टराइजेशन प्रमेय जीएनएस निर्माण का महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है।

इतिहास

गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय पर गेलफैंड और नैमार्क का पेपर प्रकाशित हुआ था सेगल ने इस कार्य में निहित निर्माण को पहचाना और इसे धारदार रूप में प्रस्तुत किया। 1947 के अपने पेपर में सेगल ने दिखाया कि यह किसी भी भौतिक प्रणाली के लिए, जिसे हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों के बीजगणित द्वारा वर्णित किया जा सकता है, C*-बीजगणित के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। क्वांटम सिद्धांत में इसका अर्थ यह है कि C*-बीजगणित वेधशालाओं द्वारा उत्पन्न होता है। जैसा कि सेगल ने बताया, यह पहले जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा केवल गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर-हाइजेनबर्ग सिद्धांत के विशिष्ट मामले के लिए दिखाया गया था।

यह भी देखें

• चक्रीय और पृथक्कारी सदिश
• केएसजीएनएस निर्माण

संदर्भ

• William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
• Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
• Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.
  English translation: Dixmier, Jacques (1982). C*-algebras. North-Holland. ISBN 0-444-86391-5.
• Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
• Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8, p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily (2005). Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics. World Scientific. ISBN 981-256-129-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

इनलाइन संदर्भ

श्रेणी:फलनात्मक विश्लेषण श्रेणी:सी*-बीजगणित श्रेणी:स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

आरयू:बीजगणितीय क्वांटम सिद्धांत