प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो

प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो (डीएसएमसी) विधि परिमित नुडसेन संख्या द्रव प्रवाह के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य मोंटे कार्लो विधि अनुकरण का उपयोग करती है।

इस प्रकार डीएसएमसी विधि ग्रीम बर्ड द्वारा प्रस्तावित की गई थी, सिडनी विश्वविद्यालय में वैमानिकी के एमेरिटस प्रोफेसर डीएसएमसी विरल गैस प्रवाह के मॉडलिंग के लिए संख्यात्मक विधि है, जिसमें अणु का औसत मुक्त पथ प्रतिनिधि भौतिक लंबाई मापदंड की तुलना में समान क्रम (या अधिक) का होता है (अर्थात नुड्सन संख्या Kn 1 से अधिक है)। सुपरसोनिक और हाइपरसोनिक प्रवाह में रेयरफैक्शन को त्सिएन के मापदंड द्वारा दर्शाया जाता है, जो नुडसेन संख्या और मैक संख्या (KnM) या M$^{2}$/Re के उत्पाद के समान है, जहां Re रेनॉल्ड्स संख्या है। इन विरल प्रवाहों में, नेवियर-स्टोक्स समीकरण गलत हो सकते हैं। इस प्रकार डीएसएमसी पद्धति को मॉडल सातत्य प्रवाह (Kn <1) तक विस्तारित किया गया है और परिणामों की तुलना नेवियर स्टोक्स समाधानों से की जा सकती है।

इस प्रकार डीएसएमसी विधि बोल्ट्ज़मैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य अनुकरण अणुओं का उपयोग करके द्रव प्रवाह को मॉडल करती है। इस प्रकार अणुओं को भौतिक समष्टि के अनुकरण के माध्यम से यथार्थवादी विधि से स्थानांतरित किया जाता है जो प्रत्यक्ष भौतिक समय से जुड़ा होता है जिससे अस्थिर प्रवाह विशेषताओं को मॉडल किया जा सकता है। अंतर-आण्विक कोलिसन और अणु-सतह कोलिसन की गणना संभाव्य, फेनोमनोलॉजिकल मॉडल का उपयोग करके की जाती है। सामान्य आणविक मॉडल में हार्ड स्फेयर मॉडल, वेरिएबल हार्ड स्फेयर (वीएचएस) मॉडल और वेरिएबल सॉफ्ट स्फेयर (वीएसएस) मॉडल सम्मिलित हैं। विभिन्न कोलिसन मॉडल प्रस्तुत किए गए हैं। वर्तमान में, डीएसएमसी विधि को अंतरिक्ष यान री-एंट्री एयरोडायनामिक्स के अनुमान से लेकर माइक्रोइलेक्ट्रोमैकेनिकल प्रणाली (एमईएमएस) के मॉडलिंग तक प्रवाह के समाधान के लिए प्रयुक्त किया गया है।

डीएसएमसी एल्गोरिथम

इस प्रकार प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो एल्गोरिदम आणविक गतिशीलता की तरह है जिसमें प्रणाली की स्थिति $\{\mathbf {r} _{i},{\textbf {v}}_{i}\}$ के लिए कणों की स्थिति और वेग द्वारा दी जाती है। आणविक गतिशीलता के विपरीत, डीएसएमसी अनुकरण में प्रत्येक कण $i=1,\ldots ,N$ भौतिक प्रणाली में $i=1,\ldots ,N$ अणुओं का प्रतिनिधित्व करता है जिनकी स्थिति और गति लगभग समान होती है। यह डीएसएमसी को मैक्रोस्कोपिक प्रणाली (उदाहरण के लिए, वायुमंडलीय प्रवेश) के मॉडलिंग के लिए लंबाई और समय को पुनः मापने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, प्रणाली आयतन $V=(NF_{N})/n$ है, जहां $n$ संख्या घनत्व है और अनुकरण कणों के मध्य प्रत्येक कोलिसन भौतिक प्रणाली में अणुओं के मध्य $F_{N}$ कोलिसन का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार सामान्य नियम के अनुसार स्पष्ट परिणामों के लिए प्रति घन माध्य मुक्त पथ में 20 या अधिक कण होने चाहिए।

इस प्रकार प्रणाली का विकास समय चरणों $\tau$ में एकीकृत है जो सामान्यतः एक कण के लिए औसत कोलिसन समय के क्रम पर होता है। प्रत्येक समय चरण पर सभी कण हिलते हैं और पुनः युग्म का एक यादृच्छिक समूह कोलिडिंग है। बाहरी क्षेत्रों (जैसे, गुरुत्वाकर्षण) की अनुपस्थिति में कण बैलिस्टिक रूप से $\mathbf {r} _{i}(t+\tau )=\mathbf {r} _{i}(t)+\mathbf {v} _{i}(t)\tau$ के रूप में चलते हैं। कोई भी कण जो किसी सीमा या सतह तक पहुंचता है, उसकी स्थिति और वेग तदनुसार रीसेट हो जाते हैं (उदाहरण के लिए, आवधिक सीमा की स्थिति)। इस प्रकार सभी कणों के स्थानांतरित होने के पश्चात्, उन्हें सेल में क्रमबद्ध किया जाता है और कुछ को कोलिसन के लिए यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। गैसों के गतिज सिद्धांत से प्राप्त संभावनाओं और कोलिसन की दर के आधार पर सभी कोलिसन कणों के वेग को रीसेट करने के पश्चात्, सांख्यिकीय प्रारूपिकरण किया जाता है और पुनः प्रक्रिया को अगले समय चरण के लिए दोहराया जाता है।

कोलिसन

प्रत्येक टाइमस्टेप पर कणों को स्थानिक सेल में क्रमबद्ध किया जाता है और केवल उसी सेल के कणों को कोलिसन की अनुमति दी जाती है। सामान्यतः सेल का आयाम माध्य मुक्त पथ से बड़ा नहीं होता है। इस प्रकार एक सेल में कणों के सभी युग्म कैंडिडेट कोलिसन भागीदार होते हैं, तथापि उनके वास्तविक प्रक्षेप पथ कुछ भी होंता है।

इस प्रकार डीएसएमसी में कोलिसनों की गणना कैसे की जाती है इसका विवरण आणविक इंटरैक्शन मॉडल पर निर्भर करता है; यहां हम कठोर स्फीयर का मॉडल लेते हैं, जो सबसे सरल है। इस प्रकार कठोर स्फीयर मॉडल में, कणों की युग्म, $i$ और $j$ के लिए कोलिसन की संभावना, उनकी सापेक्ष गति के समानुपाती होती है,

$$P_{\mathrm {coll} }[i,j]={{|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|} \over {\sum _{m=1}^{N_{\mathrm {c} }}\sum _{n=1}^{m-1}|\mathbf {v} _{m}-\mathbf {v} _{n}|}}$$

जहाँ $N_{\mathrm {c} }$ सेल में कणों की संख्या है और योग सेल के अन्दर कणों पर है। प्रत्येक में दोगुने योग के कारण इस कोलिसन की संभावना का प्रत्यक्ष उपयोग करना कम्प्यूटेशनल रूप से मूल्यवान हो सकता है।

इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित अस्वीकृति प्रारूपिकरण योजना का उपयोग कोलिसन युग्म का चयन करने के लिए किया जा सकता है:

1. कैंडिडेट कणों, $i$ और $j$ की एक युग्म को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उनकी सापेक्ष गति $v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|$ की गणना की जाती है।
2. इस प्रकार युग्म को कोलिसन भागीदार के रूप में स्वीकार किया जाता है यदि $v_{\mathrm {r} }>v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }\Re$, जहाँ $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ सेल में अधिकतम सापेक्ष गति है और $\Re$ [0,1) में सतत समान वितरण है।
3. इस प्रकार यदि युग्म स्वीकार की जाती है, तो कोलिसन की प्रक्रिया की जाती है; कणों का वेग रीसेट हो जाता है किन्तु स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
4. कोलिसन संसाधित होने के पश्चात् या यदि युग्म अस्वीकार कर दी जाती है, जिससे चरण 1 पर पुनः आते है।

यह प्रक्रिया सही है, तथापि $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ का मान अधिक निश्चित किया गया हो, चूंकि यह इस अर्थ में कम कुशल है कि अधिक कैंडिडेट निरस्त कर दिए जाते हैं।

इस प्रकार कोलिसन युग्म चयन होने के पश्चात्, उनके कोलिसन के पश्चात् के वेग, $\mathbf {v} _{i}^{*}$ और $\mathbf {v} _{j}^{*}$ का मूल्यांकन किया जाता है। सापेक्ष वेग को गोलाकार कोण $\theta$ और $\phi$ के पदों में लिखना होता है।

$$\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}=v_{\mathrm {r} }[(\sin \theta \cos \phi ){\hat {\mathbf {x} }}+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }}]$$

इन कोणों का चयन मोंटे कार्लो प्रक्रिया द्वारा कोलिसन मॉडल द्वारा दिए गए वितरण के साथ किया जाता है। इस प्रकार कठोर स्फीयर मॉडल के लिए ये कोण इकाई स्फीयर पर समान रूप से वितरित होते हैं। अज़ीमुथल कोण को 0 और $2\pi$ के मध्य समान रूप से वितरित किया जाता है, इसलिए इसे $\phi =2\pi \Re _{1}$ के रूप में चुना जाता है, जहां $\Re _{1}$ [0,1) में एक समान विचलन है ध्रुवीय कोण को संभाव्यता घनत्व के अनुसार वितरित किया जाता है,

$$P_{\theta }(\theta )\,d\theta ={\textstyle {\frac {1}{2}}}\sin \theta \,d\theta$$

इस प्रकार वेरिएबल $q=\sin \theta$ के परिवर्तन का उपयोग करके हमारे निकट $P_{q}(q)\,dq=({\textstyle {\frac {1}{2}}})\,dq$ है

$$\cos \theta =q~\mathrm {and} ~\sin \theta ={\sqrt {1-q^{2}}}~\mathrm {where} ~q=2\Re _{2}-1$$

इस प्रकार कोलिसन के पश्चात् के वेग इस प्रकार निर्धारित किए गए हैं

$$\mathbf {v} _{i}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}+{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}\qquad \mathbf {v} _{j}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}-{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}$$

ध्यान दें कि रैखिक संवेग और ऊर्जा के संरक्षण से द्रव्यमान वेग का केंद्र और कोलिसन में सापेक्ष गति अपरिवर्तित रहती है। वह है,

$$\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j})={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}^{*}+\mathbf {v} _{j}^{*})=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}$$

और

$$v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|=|\mathbf {v} _{i}^{*}-\mathbf {v} _{j}^{*}|=v_{\mathrm {r} }^{*}$$

यह प्रक्रिया कोलिसन कणों के प्रत्येक युग्म के लिए दोहराई जाती है।

इस प्रकार गतिज सिद्धांत द्वारा दी गई कोलिसन की आवृत्ति $f_{\mathrm {coll} }$ से एक समय सेल में कठोर स्फीयर के कोलिसन की कुल संख्या $\tau$ है

$$M_{\mathrm {coll} }={1 \over 2}(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}f_{\mathrm {coll} }\tau ={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}\langle v_{\mathrm {r} }\rangle \tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}$$

जहाँ $d$ कण व्यास है और $V_{\mathrm {c} }$ सेल का आयतन है चूंकि कोलिसन के कैंडिडेट अस्वीकृति प्रारूपिकरण प्रक्रिया से निकलते हैं कठोर स्फीयर के कणों के लिए कुल स्वीकृत और कुल अभ्यर्थियों का अनुपात है

$${{M_{\mathrm {coll} }} \over {M_{\mathrm {cand} }}}={{\langle v_{\mathrm {r} }\rangle } \over {v_{\mathrm {r} }^{\max }}}$$

समय चरण में सेल में चयनित कोलिसन वाले कैंडिडेटों की संख्या $\tau$ है

$$M_{\mathrm {cand} }={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}v_{\mathrm {r} }^{\max }\tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}$$

इस प्रकार कोलिसनों की संख्या निर्धारित करने के इस दृष्टिकोण को नो-टाइम-काउंटर (एनटीसी) विधि के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार यदि $v_{\mathrm {r} }^{\max }$ बहुत अधिक ऊंचाई पर सेट किया गया है तो एल्गोरिदम समान संख्या में कोलिसन की प्रक्रिया करता है किन्तु अनुकरण अप्रभावी है क्योंकि विभिन्न कैंडिडेट अस्वीकार कर दिए जाते हैं।

बाहरी संबंध

• Direct Simulation Monte Carlo Method: Visual Simulation Programs created by GA Bird.
• डीएसएमसी Demo Applet by Greg Khanlarov
• Course material on डीएसएमसी (part of Computational Physics tutorial by Franz J. Vesely, University of Vienna)
• Course material on डीएसएमसी and recent developments (given at IPAM UCLA by Lorenzo Pareschi, University of Ferrara)