फ़फ़ियान: Difference between revisions

Revision as of 23:34, 4 December 2023

गणित में, m×m विकर्ण-सममित आव्यूह के निर्धारक को सदैव आव्यूह प्रविष्टियों में बहुपद के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है, इस प्रकार किसी पूर्णांक के लिए उसके गुणांक वाले बहुपद में जो केवल m पर निर्भर करता है। जब m विषम होता है, तो बहुपद शून्य होता है। जब m सम होता है, तो यह घात m/2 का शून्येतर बहुपद के समान होता है, और इस प्रकार ±1 से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में विकर्ण-सममित त्रिविकर्ण आव्यूह पर संयोजन पुनः विशिष्ट बहुपद निर्धारित करता है, जिसे 'फ़फ़ियान' बहुपद कहा जाता है। इस बहुपद का मान, जब विकर्ण-सममित आव्यूह की प्रविष्टियों पर लागू किया जाता है, तो उस आव्यूह का 'फ़फ़ियान' कहा जाता है। फ़फ़ियान शब्द का प्रारंभ किसके द्वारा की गई थी? कैयलेय (1852), जिन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उनका नाम जोहान फ्रेडरिक पफैफ़ के नाम पर रखा था।

स्पष्ट रूप से, विकर्ण-सममित आव्यूह के लिए $A$ का मान इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता हैं,

\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A),

जो सर्वप्रथम कैयलेय (1849) द्वारा प्रमाणित हुआ था, जो विभेदक समीकरणों की फ़फ़ियान प्रणाली पर कार्य करने वाले इन बहुपदों को प्रस्तुत करने के लिए कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी का संकेत देते हैं। केली केवल पहली पंक्ति और पहले कॉलम में विकर्ण समरूपता से विचलित होने वाले आव्यूह पर अधिक सामान्य परिणाम पर विशेष ध्यान देकर यह संबंध प्राप्त करता है। ऐसे आव्यूह का निर्धारक मूल आव्यूह में पहले ऊपरी बाएँ प्रविष्टि को शून्य पर स्थित करके प्राप्त किए गए दो आव्यूह के फ़फ़ियान का उत्पाद है और पुनः क्रमशः, पहली पंक्ति के ऋणात्मक स्थानान्तरण को पहले कॉलम में और ऋणात्मक को कॉपी करता है। पहले कॉलम को पहली पंक्ति में स्थानांतरित किया जाता हैं। यह अवयस्कों पर निर्धारक का विस्तार करके और नीचे दिए गए प्रत्यावर्तन सूत्र को नियोजित करके प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जाता है।

उदाहरण

A={\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf} (A)=a.

B={\begin{bmatrix}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf} (B)=0.

(3 विषम है, इसलिए B का फ़फ़ियान 0 है)

\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.

2n × 2n विकर्ण-सममित त्रिविकर्ण आव्यूह का फ़फ़ियान इस प्रकार दिया गया है।

\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.

(ध्यान दें कि किसी भी विकर्ण-सममित आव्यूह को इस रूप में कम किया जा सकता है, इसके आधार पर विकर्ण-सममित आव्यूह स्पेक्ट्रल सिद्धांत या विकर्ण-सममित आव्यूह का स्पेक्ट्रल सिद्धांत देखें।)

औपचारिक परिभाषा

माना A = (a_i,j) 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह हो। A के फ़फ़ियान को सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

\operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\,,

जहां s_2n (2n) क्रम का सममित समूह है! और sgn(σ) σ का [[हस्ताक्षर (क्रमपरिवर्तन)]] है।

सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों के योग से बचने के लिए A की विकर्ण-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। मान लीजिए Π किसी समुच्चय के सभी विभाजनों का समुच्चय {1, 2, ..., 2n} है, जिसके आदेश के बारे में सोचे बिना इसे जोड़े में प्रदर्शित कर सकते हैं। इसके लिए (2n)!/(2ⁿn!) = (2n − 1)!! ऐसे विभाजन तत्व हैं जिसे α ∈ Π के रूप में लिखा जा सकता है।

\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}

इस प्रकार i_k < j_k और $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$ के लिए

\pi _{\alpha }={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n-1&2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &i_{n}&j_{n}\end{bmatrix}}

संगत क्रमपरिवर्तन हो. ऊपर दिए गए विभाजन α को देखते हुए इसे इस प्रकार परिभाषित करते हैं।

A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\pi _{\alpha })a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.

A का फ़फ़ियान तब इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है।

\operatorname {pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.

n विषम के लिए n×n विकर्ण-सममित आव्यूह का फ़फ़ियान शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि विषम विकर्ण-सममित आव्यूह का निर्धारक शून्य है, क्योंकि विकर्ण-सममित आव्यूह के लिए,

\det \,A=\det \,A^{\text{T}}=\det \left(-A\right)=(-1)^{n}\det \,A,

और n विषम के लिए, इसका तात्पर्य

\det \,A=0

है।

पुनरावर्ती परिभाषा

इसके अनुसार 0×0 आव्यूह का फ़फ़ियान के समान है। जिसके लिए विकर्ण-सममित 2n×2n आव्यूह A का फ़फ़ियान n > 0 की गणना पुनरावर्ती रूप से की जा सकती है।

\operatorname {pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),

जहां सूचकांक I को इस प्रकार चुना जा सकता है, जहाँ $\theta (i-j)$ हेविसाइड स्टेप फलन है, और $A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}$ iवें और jवें दोनों पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर आव्यूह A को दर्शाता है।^[1] यहाँ ध्यान दें कि विशेष विकल्प के लिए कैसे $i=1$ यह सरल अभिव्यक्ति को कम करता है:

\operatorname {pf} (A)=\sum _{j=2}^{2n}(-1)^{j}a_{1j}\operatorname {pf} (A_{{\hat {1}}{\hat {\jmath }}}).

वैकल्पिक परिभाषाएँ

कोई भी किसी भी विकर्ण-सममित 2n×2n आव्यूह से जुड़ सकता है, इस प्रकार A = (a_ij) बाह्य बीजगणित के लिए

\omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j},

जहाँ {e₁, e₂, ..., e_2n} R²ⁿ का मानक आधार है। यहाँ पर फ़फ़ियान को पुनः समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है।

{\frac {1}{n!}}\omega ^{n}=\operatorname {pf} (A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n},

यहाँ ωⁿ ω की n प्रतियों के वेज उत्पाद को दर्शाता है।

समान रूप से हम बायवेक्टर पर विचार कर सकते हैं (जो तब अधिक सुविधाजनक होता है जब हम योग बाधा $i<j$ लागू नहीं करना चाहते हैं):

\omega '=2\omega =\sum _{i,j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j},

जो

\omega '^{n}=2^{n}n!\operatorname {pf} (A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{2n}.

मान प्रदान करता है। निर्धारकों से जुड़े कई इंटीग्रल पर डी ब्रुइज़न के कार्य में फ़फ़ियान से विषम-आयामी आव्यूह का गैर-शून्य सामान्यीकरण दिया गया है।^[2] इस प्रकार विशेष रूप से किसी के लिए

m\times m

-आव्यूह A, हम उपरोक्त औपचारिक परिभाषा का उपयोग करते हैं, किन्तु

n=\lfloor m/2\rfloor

स्थित करते हैं। यहाँ पर m विषम होने पर कोई यह दिखा सकता है कि यह एन के सामान्य फ़फ़ियान के समान है, इस प्रकार

(m+1)\times (m+1)

-आयामी विकर्ण सममित आव्यूह हैं जहाँ हमने

(m+1)

वें स्तंभ में m तत्व को जोड़ा है, इस प्रकार a में में 1 सम्मिलित है, तथा

(m+1)

वीं पंक्ति में m तत्व -1 सम्मिलित है, और कोने का तत्व शून्य है। इसके आधार पर फ़फ़ियान के सामान्य गुण, उदाहरण के लिए निर्धारक से संबंध, पुनः इस विस्तारित आव्यूह पर लागू होते हैं।

गुण और अभिन्न

पफैफियंस में निम्नलिखित गुण होते हैं, जो निर्धारकों के समान होते हैं।

एक पंक्ति और स्तंभ को स्थिरांक से गुणा करना फ़फ़ियान को उसी स्थिरांक से गुणा करने के समान होते हैं।
दो अलग-अलग पंक्तियों और संबंधित स्तंभों के साथ आदान-प्रदान से फ़फ़ियान का चिह्न परिवर्तित हो जाता है।
एक पंक्ति और संबंधित कॉलम का गुणज दूसरी पंक्ति और संबंधित कॉलम में जोड़ा जाने से फ़फ़ियान का मान परिवर्तित नहीं होता हैं।

इन गुणों का उपयोग करके, निर्धारकों की गणना के समान, फ़फ़ियान की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।

विविध

2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह A के लिए

\operatorname {pf} (A^{\text{T}})=(-1)^{n}\operatorname {pf} (A).

\operatorname {pf} (\lambda A)=\lambda ^{n}\operatorname {pf} (A).

\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A).

इसके आधार पर 2n × 2n आव्यूह B के लिए,

\operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A).

इस समीकरण में B = A^m प्रतिस्थापित करने पर, सभी पूर्णांकों के लिए m प्राप्त होता है

\operatorname {pf} (A^{2m+1})=(-1)^{nm}\operatorname {pf} (A)^{2m+1}.

Proof of $\operatorname {pf} (BAB^{\text{T}})=\det(B)\operatorname {pf} (A)$

जैसा कि पहले से कहा गया हैं कि $A\mapsto \sum _{ij}A_{ij}e_{i}\wedge e_{j}\mapsto ^{\wedge n}{2^{n}n!}Pf(A)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n}$ . इसी प्रकार B के लिए $BAB^{\mathrm {T} }$ :

BAB^{\mathrm {T} }\mapsto \sum _{ijkl}B_{ik}B_{jl}A_{kl}e_{i}\wedge e_{j}=\sum _{kl}A_{il}f_{k}\wedge f_{l}\mapsto ^{\wedge n}{2^{n}n!}Pf(A)f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{2n}={2^{n}n!}Pf(BAB^{\mathrm {T} })e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n},

जहाँ हमने यह माना था कि

f_{k}=\sum _{i}B_{ik}e_{i}

.

चूंकि $f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{2n}=\det(B)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{2n},$ के आधार पर हम प्रमाण प्राप्त कर सकते हैं।

Proof of $\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A)$ :

चूंकि $\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A)$ बहुपदों का एक समीकरण है, यह वास्तविक आव्यूहों के लिए इसे सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है, और यह स्वचालित रूप से जटिल आव्यूहों के लिए भी लागू होगा।

तिरछा-सममित वास्तविक मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय सिद्धांत द्वारा, $A=Q\Sigma Q^{\mathrm {T} }$ , जहाँ $Q$ ओर्थोगोनल है और

\Sigma ={\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}

वास्तविक संख्या के लिए

a_{k}

. अब पिछले प्रमेय को लागू करें, जिसके लिए

pf(A)^{2}=pf(\Sigma )^{2}\det(Q)^{4}=pf(\Sigma )^{2}=\left(\prod a_{i}\right)^{2}=\det(A)

के समान हैं।

व्युत्पन्न अभिन्न

यदि A किसी चर x पर निर्भर करता है_i, तो फ़फ़ियान की ग्रेडिएंट द्वारा दी गई है

{\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial \operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right),

और फ़फ़ियान का हेस्सियन आव्यूह द्वारा दिया गया है

{\frac {1}{\operatorname {pf} (A)}}{\frac {\partial ^{2}\operatorname {pf} (A)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right)+{\frac {1}{4}}\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}\right)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {\partial A}{\partial x_{j}}}\right).

अभिन्न का पता लगाना

विकर्ण-सममित आव्यूह A और B के फ़फ़ियान के उत्पाद को घातांक के रूप में दर्शाया जा सकता है

{\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)).

मान लीजिए कि A और B 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह हैं

\mathrm {pf} (A)\,\mathrm {pf} (B)={\tfrac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),\qquad \mathrm {where} \qquad s_{l}=-{\tfrac {1}{2}}(l-1)!\,\mathrm {tr} ((AB)^{l})

और B_n(s₁,s₂,...,s_n) बेल बहुपद हैं।

ब्लॉक आव्यूह

एक ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह के लिए

A_{1}\oplus A_{2}={\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}},

\operatorname {pf} (A_{1}\oplus A_{2})=\operatorname {pf} (A_{1})\operatorname {pf} (A_{2}).

इसी प्रकार n × n आव्यूह में M मान के लिए:

\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&M\\-M^{\text{T}}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.

विकर्ण-सममित आव्यूह के फ़फ़ियान की गणना करने के लिए अधिकांशतः $S$ ब्लॉक संरचना के साथ इसकी आवश्यकता होती है।

S={\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}\,

जहाँ $M$ और $N$ विकर्ण-सममित आव्यूह हैं और $Q$ सामान्य आयताकार आव्यूह है।

इस प्रकार जब $M$ व्युत्क्रम होता है, तब हमारे पास निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता हैं।

\operatorname {pf} (S)=\operatorname {pf} (M)\operatorname {pf} (N+Q^{\mathrm {T} }M^{-1}Q).

इसे ऐटकेन ब्लॉक-विकर्णीकरण सूत्र से देखा जा सकता है,^[3]^[4]^[5]

{\begin{pmatrix}M&0\\0&N+Q^{\mathrm {T} }M^{-1}Q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\Q^{\mathrm {T} }M^{-1}&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&-M^{-1}Q\\0&I\end{pmatrix}}.

इस अपघटन में सर्वांगसमता परिवर्तन सम्मिलित है, जो फ़फ़ियान मान $\operatorname {pf} (BAB^{\mathrm {T} })=\operatorname {det} (B)\operatorname {pf} (A)$ का उपयोग करने की अनुमति देता है।

इसी प्रकार, जब $N$ व्युत्क्रम होता है तब हमारे पास निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है।

\operatorname {pf} (S)=\operatorname {pf} (N)\operatorname {pf} (M+QN^{-1}Q^{\mathrm {T} }),

जैसा कि अपघटन को नियोजित करके देखा जा सकता है।

{\begin{pmatrix}M+QN^{-1}Q^{\mathrm {T} }&0\\0&N\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&-QN^{-1}\\0&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M&Q\\-Q^{\mathrm {T} }&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\N^{-1}Q^{\mathrm {T} }&I\end{pmatrix}}.

फ़फ़ियान की संख्यात्मक गणना करना

मान लीजिए A 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह है

{\textrm {pf}}(A)=i^{(n^{2})}\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log((\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A)\right),

जहाँ $\sigma _{y}$ दूसरा पॉल के आव्यूह है, इस प्रकार $I_{n}$ आयाम n का अभिन्न आव्यूह है, और हमने आव्यूह लघुगणक पर ट्रेस कर लिया जाता हैं।

यह समानता फ़फ़ियान ट्रेस करके अभिन्नता पर इसे आधारित किया जाता है।

{\textrm {pf}}(A)\,{\textrm {pf}}(B)=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathrm {tr} \log(A^{\text{T}}B)\right)

और उस अवलोकन ${\textrm {pf}}(\sigma _{y}\otimes I_{n})=(-i)^{n^{2}}$ पर यह मान प्राप्त होता हैं।

चूंकि आव्यूह के लघुगणक की गणना कम्प्यूटरीकृत रूप से प्राप्त किये जाने वाला एक फलन है, इसके अतिरिक्त कोई इसके सभी आईजन मान $((\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A)$ की गणना कर सकता है, इन सभी का लॉग लेकर उन्हें सारांशित किया जाता हैं। यह प्रक्रिया केवल आव्यूह गुणों के लघुगणक $\operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}$ का उपयोग करती है, इसे वोल्फ्राम मैथमैटिका में ही कथन के साथ लागू किया जाता है:

 Pf[x_] := Module[{n = Dimensions[x][[1]] / 2}, I^(n^2) Exp[ 1/2 Total[ Log[Eigenvalues[ Dot[Transpose[KroneckerProduct[PauliMatrix[2], IdentityMatrix[n]]], x] ]]]]]

चूंकि, फ़फ़ियान बड़ा होने पर यह एल्गोरिथ्म अस्थिर है। इसके लिए आइजन मान $(\sigma _{y}\otimes I_{n})^{\mathrm {T} }\cdot A$ आम तौर पर जटिल होगा, और इन जटिल आइजन मान के लघुगणक को सामान्यतः $[-\pi ,\pi ]$ पर प्राप्त कर लिया जाता है। इसे सारांशित करके वास्तविक मूल्यवान फ़फ़ियान के लिए, घातांक का तर्क फॉर्म $x+k\pi /2$ में दिया जाएगा। इस प्रकार कुछ पूर्णांकों के लिए $k$ जब $x$ के लिए अधिक होता है, इस स्थिति में जटिलता के क्रम में परिणामी संकेत की गणना में इस गोलाई में आने वाली त्रुटियां गैर-शून्य काल्पनिक घटक को जन्म दे सकती हैं।

इसके अन्य (अधिक) कुशल एल्गोरिदम के लिए विम्मर 2012 देखें।

अनुप्रयोग

विभिन्न प्लेटफार्मों (पायथन, मैटलैब, मैथमेटिका) पर फ़फ़ियान की संख्यात्मक गणना के लिए यह फलन (विम्मर 2012) उपस्थित हैं।
फ़फ़ियान आधार के उचित ऑर्थोगोनल समूह परिवर्तन के अनुसार विकर्ण-सममित आव्यूह का अपरिवर्तनीय बहुपद है। इसी प्रकार यह चारित्रिक वर्गों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है। विशेष रूप से, इसका उपयोग रीमैनियन मैनिफोल्ड के यूलर वर्ग को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जिसका उपयोग सामान्यीकृत गॉस-बोनट प्रमेय में किया जाता है।
इस प्रकार किसी समतलीय ग्राफ में पूर्ण संयोजन की संख्या फ़फ़ियान द्वारा प्राप्त की जाती है, इसलिए एफकेटी एल्गोरिथ्म के माध्यम से बहुपद समय की गणना की जा सकती है। यह आश्चर्य की बात है कि सामान्य ग्राफ़ के लिए यह इस समस्या से बहुत कठिन है, तथाकथित शार्प-पी-कम्प्लीट या पी-कम्प्लीट के समान होता हैं। इस परिणाम का उपयोग आयत के डोमिनोज़ टाइलिंग की संख्या, भौतिकी में आइसिंग प्रारूप के विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी), या यंत्र अधिगम में मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों (ग्लोबर्सन & जैक्कालो 2007, श्राडोल्फ & कामेनेत्स्की 2009) की गणना करने के लिए किया जाता है। जहां अंतर्निहित ग्राफ समतलीय है। इसका उपयोग कुछ अन्यथा प्रतीत होने वाली कठिन समस्याओं के लिए कुशल एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है, जिसमें कुछ प्रकार के प्रतिबंधित क्वांटम गणना के कुशल सिमुलेशन भी सम्मिलित हैं। इसकी अधिक जानकारी के लिए होलोग्राफिक एल्गोरिदम पढ़ें।

यह भी देखें

↑ "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-03-05. Retrieved 2015-03-31.
↑ Bruijn, de, N.G. (1955). "निर्धारकों से जुड़े कुछ एकाधिक अभिन्नों पर". Journal of the Indian Mathematical Society. New Series. 19: 133–151. ISSN 0019-5839.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ A. C. Aitken. Determinants and matrices. Oliver and Boyd, Edinburgh, fourth edition, 1939.
↑ Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.
↑ Bunch, James R. "A note on the stable decomposition of skew-symmetric matrices." Mathematics of Computation 38.158 (1982): 475-479.

संदर्भ

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बाहरी संबंध

"Pfaffian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Pfaffian at PlanetMath.org
T. Jones, The Pfaffian and the Wedge Product (a demonstration of the proof of the Pfaffian/determinant relationship)
R. Kenyon and A. Okounkov, What is ... a dimer?
OEIS sequence A004003 (Number of domino tilings (or dimer coverings))
W. Ledermann "A note on skew-symmetric determinants" https://www.researchgate.net/publication/231827602_A_note_on_skew-symmetric_determinants

[1] "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-03-05. Retrieved 2015-03-31.

[2] Bruijn, de, N.G. (1955). "निर्धारकों से जुड़े कुछ एकाधिक अभिन्नों पर". Journal of the Indian Mathematical Society. New Series. 19: 133–151. ISSN 0019-5839.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[3] A. C. Aitken. Determinants and matrices. Oliver and Boyd, Edinburgh, fourth edition, 1939.

[4] Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.

[5] Bunch, James R. "A note on the stable decomposition of skew-symmetric matrices." Mathematics of Computation 38.158 (1982): 475-479.

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-गणित में, m×m [[तिरछा-सममित मैट्रिक्स]] के निर्धारक को हमेशा मैट्रिक्स प्रविष्टियों में [[बहुपद]] के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है, पूर्णांक गुणांक वाला बहुपद जो केवल m पर निर्भर करता है। जब m विषम होता है, तो बहुपद शून्य होता है। जब m सम होता है, तो यह घात m/2 का शून्येतर बहुपद होता है, और &pm;1 से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में तिरछा-सममित त्रिविकर्ण मैट्रिक्स पर सम्मेलन, फिर विशिष्ट बहुपद निर्धारित करता है, जिसे 'फ़फ़ियन' बहुपद कहा जाता है। इस बहुपद का मान, जब तिरछा-सममित मैट्रिक्स की प्रविष्टियों पर लागू किया जाता है, तो उस मैट्रिक्स का 'फ़फ़ियन' कहा जाता है। पफैफ़ियन शब्द की शुरुआत किसके द्वारा की गई थी? {{harvs|txt|authorlink=Arthur Cayley|last=Cayley|year=1852}}, जिन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उनका नाम [[जोहान फ्रेडरिक पफैफ़]] के नाम पर रखा।
+गणित में, m×m [[तिरछा-सममित मैट्रिक्स|विकर्ण-सममित आव्यूह]] के निर्धारक को सदैव आव्यूह प्रविष्टियों में [[बहुपद]] के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है, इस प्रकार किसी पूर्णांक के लिए उसके गुणांक वाले बहुपद में जो केवल m पर निर्भर करता है। जब m विषम होता है, तो बहुपद शून्य होता है। जब m सम होता है, तो यह घात m/2 का शून्येतर बहुपद के समान होता है, और इस प्रकार &pm;1 से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में विकर्ण-सममित त्रिविकर्ण आव्यूह पर संयोजन पुनः विशिष्ट बहुपद निर्धारित करता है, जिसे ''''फ़फ़ियान'''<nowiki/>' बहुपद कहा जाता है। इस बहुपद का मान, जब विकर्ण-सममित आव्यूह की प्रविष्टियों पर लागू किया जाता है, तो उस आव्यूह का 'फ़फ़ियान' कहा जाता है। फ़फ़ियान शब्द का प्रारंभ किसके द्वारा की गई थी? {{harvs|txt|authorlink=आर्थर कैयलेय|last=कैयलेय|year=1852}}, जिन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उनका नाम [[जोहान फ्रेडरिक पफैफ़]] के नाम पर रखा था।
-स्पष्ट रूप से, तिरछा-सममित मैट्रिक्स के लिए <math>A</math>,
+स्पष्ट रूप से, विकर्ण-सममित आव्यूह के लिए <math>A</math> का मान इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता हैं,
 : <math> \operatorname{pf}(A)^2=\det(A),</math>
-जो सबसे पहले साबित हुआ था {{harvs|txt|authorlink=Arthur Cayley|last=Cayley|year=1849}}, जो विभेदक समीकरणों की पफैफियन प्रणाली प्रणालियों पर काम में इन बहुपदों को पेश करने के लिए [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] का हवाला देते हैं। केली केवल पहली पंक्ति और पहले कॉलम में तिरछी समरूपता से विचलित होने वाले मैट्रिक्स पर अधिक सामान्य परिणाम पर विशेष ध्यान देकर यह संबंध प्राप्त करता है। ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स में पहले ऊपरी बाएँ प्रविष्टि को शून्य पर सेट करके प्राप्त किए गए दो मैट्रिक्स के Pfaffians का उत्पाद है और फिर क्रमशः, पहली पंक्ति के नकारात्मक स्थानान्तरण को पहले कॉलम में और नकारात्मक को कॉपी करता है। पहले कॉलम को पहली पंक्ति में स्थानांतरित करें। यह अवयस्कों पर निर्धारक का विस्तार करके और नीचे दिए गए प्रत्यावर्तन सूत्र को नियोजित करके प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जाता है।
+जो सर्वप्रथम {{harvs|txt|authorlink=Arthur Cayley|last=कैयलेय|year=1849}} द्वारा प्रमाणित हुआ था, जो विभेदक समीकरणों की फ़फ़ियान प्रणाली पर कार्य करने वाले इन बहुपदों को प्रस्तुत करने के लिए [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] का संकेत देते हैं। केली केवल पहली पंक्ति और पहले कॉलम में विकर्ण समरूपता से विचलित होने वाले आव्यूह पर अधिक सामान्य परिणाम पर विशेष ध्यान देकर यह संबंध प्राप्त करता है। ऐसे आव्यूह का निर्धारक मूल आव्यूह में पहले ऊपरी बाएँ प्रविष्टि को शून्य पर स्थित करके प्राप्त किए गए दो आव्यूह के फ़फ़ियान का उत्पाद है और पुनः क्रमशः, पहली पंक्ति के ऋणात्मक स्थानान्तरण को पहले कॉलम में और ऋणात्मक को कॉपी करता है। पहले कॉलम को पहली पंक्ति में स्थानांतरित किया जाता हैं। यह अवयस्कों पर निर्धारक का विस्तार करके और नीचे दिए गए प्रत्यावर्तन सूत्र को नियोजित करके प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जाता है।
 == उदाहरण ==
 : <math>A=\begin{bmatrix}  0 & a \\ -a & 0  \end{bmatrix}.\qquad\operatorname{pf}(A)=a.</math>
 : <math>B=\begin{bmatrix}   0     & a & b \\ -a & 0        & c  \\   -b      &  -c       & 0 \end{bmatrix}.\qquad\operatorname{pf}(B)=0.</math>
-(3 विषम है, इसलिए B का Pfaffian 0 है)
+(3 विषम है, इसलिए B का फ़फ़ियान 0 है)
 : <math>\operatorname{pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.</math>
-n × 2n तिरछा-सममित त्रिविकर्ण मैट्रिक्स का Pfaffian इस प्रकार दिया गया है
+n × 2n विकर्ण-सममित त्रिविकर्ण आव्यूह का फ़फ़ियान इस प्रकार दिया गया है।
 : <math>\operatorname{pf}\begin{bmatrix}
 & a_1 & 0 & 0\\ -a_1 & 0 & 0 & 0\\  0 & 0 &0 & a_2 \\ 0 & 0 & -a_2 &0&\ddots\\
@@ Line 18: / Line 18: @@
 &&&&&-a_n&0
 \end{bmatrix} = a_1 a_2\cdots a_n.</math>
-(ध्यान दें कि किसी भी तिरछा-सममित मैट्रिक्स को इस रूप में कम किया जा सकता है; तिरछा-सममित मैट्रिक्स #स्पेक्ट्रल सिद्धांत | तिरछा-सममित मैट्रिक्स का स्पेक्ट्रल सिद्धांत देखें।)
+(ध्यान दें कि किसी भी विकर्ण-सममित आव्यूह को इस रूप में कम किया जा सकता है, इसके आधार पर विकर्ण-सममित आव्यूह स्पेक्ट्रल सिद्धांत या विकर्ण-सममित आव्यूह का स्पेक्ट्रल सिद्धांत देखें।)
 == औपचारिक परिभाषा ==
-माना A = (a<sub>''i,j''</sub>) 2n × 2n तिरछा-सममित मैट्रिक्स हो। A के Pfaffian को सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है
+माना A = (a<sub>''i,j''</sub>) 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह हो। A के फ़फ़ियान को सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है
 :<math>\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)} \,, </math>
-जहां एस<sub>2''n''</sub> (2n) क्रम का [[सममित समूह]] है! और sgn(σ) σ का [[हस्ताक्षर (क्रम[[परिवर्तन]])]] है।
+जहां s<sub>2''n''</sub> (2n) क्रम का [[सममित समूह]] है! और sgn(σ) σ का [[हस्ताक्षर (क्रम[[परिवर्तन]])]] है।
-सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों के योग से बचने के लिए ए की तिरछी-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। मान लीजिए Π किसी समुच्चय के सभी विभाजनों का समुच्चय है {{mset|1, 2, ..., 2''n''}} आदेश की परवाह किए बिना जोड़े में। वहाँ हैं {{nowrap|1=(2''n'')!/(2<sup>''n''</sup>''n''!) = (2''n'' − 1)[[double factorial|!!]]}} ऐसे विभाजन. तत्व {{nowrap|''α'' ∈ Π}} के रूप में लिखा जा सकता है
+सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों के योग से बचने के लिए A की विकर्ण-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। मान लीजिए Π किसी समुच्चय के सभी विभाजनों का समुच्चय {{mset|1, 2, ..., 2''n''}} है, जिसके आदेश के बारे में सोचे बिना इसे जोड़े में प्रदर्शित कर सकते हैं। इसके लिए {{nowrap|1=(2''n'')!/(2<sup>''n''</sup>''n''!) = (2''n'' − 1)[[double factorial|!!]]}} ऐसे विभाजन तत्व हैं जिसे {{nowrap|''α'' ∈ Π}} के रूप में लिखा जा सकता है।
 : <math>\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}</math>
-साथ {{nowrap|''i''<sub>''k''</sub> < ''j''<sub>''k''</sub>}} और <math>i_1 < i_2 < \cdots < i_n</math>. होने देना
+इस प्रकार {{nowrap|''i''<sub>''k''</sub> < ''j''<sub>''k''</sub>}} और <math>i_1 < i_2 < \cdots < i_n</math> के लिए
 : <math>\pi_\alpha=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n -1 & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & i_n & j_{n} \end{bmatrix}</math>
-संगत क्रमपरिवर्तन हो. ऊपर दिए गए विभाजन α को देखते हुए, परिभाषित करें
+संगत क्रमपरिवर्तन हो. ऊपर दिए गए विभाजन α को देखते हुए इसे इस प्रकार परिभाषित करते हैं।
 : <math> A_\alpha =\operatorname{sgn}(\pi_\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.</math>
-A का Pfaffian तब द्वारा दिया जाता है
+A का फ़फ़ियान तब इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है।
 : <math>\operatorname{pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.</math>
-n विषम के लिए n×n तिरछा-सममित मैट्रिक्स का Pfaffian शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि विषम तिरछा-सममित मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है, क्योंकि तिरछा-सममित मैट्रिक्स के लिए,
+n विषम के लिए n×n विकर्ण-सममित आव्यूह का फ़फ़ियान शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि विषम विकर्ण-सममित आव्यूह का निर्धारक शून्य है, क्योंकि विकर्ण-सममित आव्यूह के लिए,
 <math display="block">\det\,A = \det\,A^\text{T} = \det\left(-A\right) = (-1)^n \det\,A,</math>
-और n विषम के लिए, इसका तात्पर्य है <math>\det\,A = 0</math>.
+और n विषम के लिए, इसका तात्पर्य <math>\det\,A = 0</math> है।
 === पुनरावर्ती परिभाषा ===
-परंपरा के अनुसार, 0×0 मैट्रिक्स का Pfaffian के बराबर है। तिरछा-सममित 2n×2n मैट्रिक्स A का Pfaffian {{nowrap|''n'' > 0}} की गणना पुनरावर्ती रूप से की जा सकती है
+इसके अनुसार 0×0 आव्यूह का फ़फ़ियान के समान है। जिसके लिए विकर्ण-सममित 2n×2n आव्यूह A का फ़फ़ियान {{nowrap|''n'' > 0}} की गणना पुनरावर्ती रूप से की जा सकती है।
 : <math>\operatorname{pf}(A)=\sum_{{j=1}\atop{j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta(i-j)}a_{ij}\operatorname{pf}(A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}),</math>
-जहां सूचकांक I को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, <math>\theta(i-j)</math> [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन]] है, और <math>A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}</math> ith और jth दोनों पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर मैट्रिक्स A को दर्शाता है।<ref>{{Cite web |url=http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2015-03-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305005223/http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf |archive-date=2016-03-05 |url-status=dead }}</ref> ध्यान दें कि विशेष विकल्प के लिए कैसे <math>i=1</math> यह सरल अभिव्यक्ति को कम करता है:
+जहां सूचकांक I को इस प्रकार चुना जा सकता है, जहाँ <math>\theta(i-j)</math> [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन|हेविसाइड स्टेप फलन]] है, और <math>A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}</math> iवें और jवें दोनों पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर आव्यूह A को दर्शाता है।<ref>{{Cite web |url=http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2015-03-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305005223/http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf |archive-date=2016-03-05 |url-status=dead }}</ref> यहाँ ध्यान दें कि विशेष विकल्प के लिए कैसे <math>i=1</math> यह सरल अभिव्यक्ति को कम करता है:
 : <math>\operatorname{pf}(A)=\sum_{j=2}^{2n}(-1)^{j}a_{1j}\operatorname{pf}(A_{\hat{1}\hat{\jmath}}).</math>
 === वैकल्पिक परिभाषाएँ ===
-कोई भी किसी भी तिरछा-सममित 2n×2n मैट्रिक्स से जुड़ सकता है {{nowrap|1=''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>)}} [[बाहरी बीजगणित]] के लिए
+कोई भी किसी भी विकर्ण-सममित 2n×2n आव्यूह से जुड़ सकता है, इस प्रकार {{nowrap|1=''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>)}} [[बाहरी बीजगणित|बाह्य बीजगणित]] के लिए
 : <math>\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j ,</math>
-कहाँ {{mset|''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, ..., ''e''<sub>2''n''</sub>}} R का मानक आधार है<sup>2n</sup>. फ़फ़ियन को फिर समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है
+जहाँ {{mset|''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, ..., ''e''<sub>2''n''</sub>}} R<sup>2n</sup> का मानक आधार है। यहाँ पर फ़फ़ियान को पुनः समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है।
 : <math>\frac{1}{n!}\omega^n = \operatorname{pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n},</math>
 यहाँ ω<sup>n</sup> ω की n प्रतियों के वेज उत्पाद को दर्शाता है।
-समान रूप से, हम बायवेक्टर पर विचार कर सकते हैं (जो तब अधिक सुविधाजनक होता है जब हम योग बाधा लागू नहीं करना चाहते हैं <math>i < j</math>):
+समान रूप से हम बायवेक्टर पर विचार कर सकते हैं (जो तब अधिक सुविधाजनक होता है जब हम योग बाधा <math>i < j</math> लागू नहीं करना चाहते हैं):<math display="block">\omega'=2 \omega = \sum_{i, j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j,</math>जो <math>\omega'^n = 2^n n! \operatorname{pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n}.</math> मान प्रदान करता है। निर्धारकों से जुड़े कई इंटीग्रल पर डी ब्रुइज़न के कार्य में फ़फ़ियान से विषम-आयामी आव्यूह का गैर-शून्य सामान्यीकरण दिया गया है।<ref>{{Cite journal |last=Bruijn |first=de, N.G. |date=1955 |title=निर्धारकों से जुड़े कुछ एकाधिक अभिन्नों पर|url=https://research.tue.nl/en/publications/on-some-multiple-integrals-involving-determinants |journal=Journal of the Indian Mathematical Society |series=New Series |volume=19 |pages=133–151 |issn=0019-5839}}</ref> इस प्रकार विशेष रूप से किसी के लिए <math>m\times m</math>-आव्यूह A, हम उपरोक्त औपचारिक परिभाषा का उपयोग करते हैं, किन्तु <math>n = \lfloor m/2\rfloor </math> स्थित करते हैं। यहाँ पर m विषम होने पर कोई यह दिखा सकता है कि यह एन के सामान्य फ़फ़ियान के समान है, इस प्रकार <math>(m+1) \times (m+1)</math>-आयामी विकर्ण सममित आव्यूह हैं जहाँ हमने <math>(m+1)</math>वें स्तंभ में m तत्व को जोड़ा है, इस प्रकार a में में 1 सम्मिलित है, तथा <math>(m+1)</math>वीं पंक्ति में m तत्व -1 सम्मिलित है, और कोने का तत्व शून्य है। इसके आधार पर फ़फ़ियान के सामान्य गुण, उदाहरण के लिए निर्धारक से संबंध, पुनः इस विस्तारित आव्यूह पर लागू होते हैं।
-<math display="block">\omega'=2 \omega = \sum_{i, j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j,</math>
-जो देता है <math>\omega'^n = 2^n n! \operatorname{pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n}.</math>
-निर्धारकों से जुड़े कई इंटीग्रल पर डी ब्रुइज़न के काम में पफैफ़ियन से विषम-आयामी मैट्रिक्स का गैर-शून्य सामान्यीकरण दिया गया है।<ref>{{Cite journal |last=Bruijn |first=de, N.G. |date=1955 |title=निर्धारकों से जुड़े कुछ एकाधिक अभिन्नों पर|url=https://research.tue.nl/en/publications/on-some-multiple-integrals-involving-determinants |journal=Journal of the Indian Mathematical Society |series=New Series |volume=19 |pages=133–151 |issn=0019-5839}}</ref> विशेष रूप से किसी के लिए <math>m\times m</math>-मैट्रिक्स ए, हम उपरोक्त औपचारिक परिभाषा का उपयोग करते हैं लेकिन सेट करते हैं <math>n = \lfloor m/2\rfloor </math>. एम ऑड के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि यह एन के सामान्य पफैफियन के बराबर है <math>(m+1) \times (m+1)</math>-आयामी तिरछा सममित मैट्रिक्स जहां हमने जोड़ा है <math>(m+1)</math>वें स्तंभ में एम तत्व 1, ए शामिल है <math>(m+1)</math>वीं पंक्ति में m तत्व -1 शामिल है, और कोने का तत्व शून्य है। Pfaffians के सामान्य गुण, उदाहरण के लिए निर्धारक से संबंध, फिर इस विस्तारित मैट्रिक्स पर लागू होते हैं।
-== गुण और पहचान ==
+== गुण और अभिन्न ==
 पफैफियंस में निम्नलिखित गुण होते हैं, जो निर्धारकों के समान होते हैं।
-* एक पंक्ति और स्तंभ को स्थिरांक से गुणा करना पफैफ़ियन को उसी स्थिरांक से गुणा करने के बराबर है।
+* एक पंक्ति और स्तंभ को स्थिरांक से गुणा करना फ़फ़ियान को उसी स्थिरांक से गुणा करने के समान होते हैं।
-* दो अलग-अलग पंक्तियों और संबंधित स्तंभों के साथ आदान-प्रदान से पफैफ़ियन का चिह्न बदल जाता है।
+* दो अलग-अलग पंक्तियों और संबंधित स्तंभों के साथ आदान-प्रदान से फ़फ़ियान का चिह्न परिवर्तित हो जाता है।
-* एक पंक्ति और संबंधित कॉलम का गुणज दूसरी पंक्ति और संबंधित कॉलम में जोड़ा जाने से Pfaffian का मान नहीं बदलता है।
+* एक पंक्ति और संबंधित कॉलम का गुणज दूसरी पंक्ति और संबंधित कॉलम में जोड़ा जाने से फ़फ़ियान का मान परिवर्तित नहीं होता हैं।
-इन गुणों का उपयोग करके, निर्धारकों की गणना के समान, Pfaffians की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।
+इन गुणों का उपयोग करके, निर्धारकों की गणना के समान, फ़फ़ियान की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।
 === विविध ===
-n × 2n तिरछा-सममित मैट्रिक्स ए के लिए
+n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह A के लिए
 : <math>\operatorname{pf}(A^\text{T}) = (-1)^n\operatorname{pf}(A).</math>
 : <math>\operatorname{pf}(\lambda A) = \lambda^n \operatorname{pf}(A).</math>
 : <math>\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A).</math>
-एक मनमाना 2n × 2n मैट्रिक्स बी के लिए,
+इसके आधार पर 2n × 2n आव्यूह B के लिए,
 : <math>\operatorname{pf}(BAB^\text{T})= \det(B)\operatorname{pf}(A).</math>
-इस समीकरण में B = A प्रतिस्थापित करने पर<sup>m</sup>, सभी पूर्णांकों के लिए m प्राप्त होता है
+इस समीकरण में B = A<sup>m</sup> प्रतिस्थापित करने पर, सभी पूर्णांकों के लिए m प्राप्त होता है
 : <math>\operatorname{pf}(A^{2m+1})= (-1)^{nm}\operatorname{pf}(A)^{2m+1}.</math>
 {{math proof|title=Proof of <math>\operatorname{pf}(BAB^\text{T})= \det(B)\operatorname{pf}(A)</math>|proof=
-As previously said, <math>A \mapsto \sum_{ij} A_{ij} e_i \wedge e_j \mapsto^{\wedge n} {2^n n!}Pf(A) e_1 \wedge \cdots \wedge e_{2n}</math>. The same with <math>BAB^\mathrm{T}</math>:
+जैसा कि पहले से कहा गया हैं कि <math>A \mapsto \sum_{ij} A_{ij} e_i \wedge e_j \mapsto^{\wedge n} {2^n n!}Pf(A) e_1 \wedge \cdots \wedge e_{2n}</math>. इसी प्रकार B के लिए <math>BAB^\mathrm{T}</math>:
 <math display="block">BAB^\mathrm{T} \mapsto \sum_{ijkl}B_{ik}B_{jl}A_{kl} e_i \wedge e_j = \sum_{kl} A_{il} f_k \wedge f_l \mapsto^{\wedge n} {2^n n!}Pf(A) f_1 \wedge \cdots \wedge f_{2n} = {2^n n!}Pf(BAB^\mathrm{T}) e_1 \wedge \cdots \wedge e_{2n},</math>
-where we defined <math>f_k = \sum_i B_{ik}e_i</math>.
+जहाँ हमने यह माना था कि <math>f_k = \sum_i B_{ik}e_i</math>.
-Since <math>f_1 \wedge \cdots \wedge f_{2n} = \det(B) e_1 \wedge \cdots \wedge e_{2n},</math> the proof is finished.
+चूंकि <math>f_1 \wedge \cdots \wedge f_{2n} = \det(B) e_1 \wedge \cdots \wedge e_{2n},</math> के आधार पर हम प्रमाण प्राप्त कर सकते हैं।
 }}
 {{Math proof|title=Proof of <math>\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A)</math>:|proof=
-Since <math>\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A)</math> is an equation of polynomials, it suffices to prove it for real matrices, and it would automatically apply for complex matrices as well.
+चूंकि <math>\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A)</math> बहुपदों का एक समीकरण है, यह वास्तविक आव्यूहों के लिए इसे सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है, और यह स्वचालित रूप से जटिल आव्यूहों के लिए भी लागू होगा।
-By the [[Skew-symmetric matrix#Spectral theory|spectral theory of skew-symmetric real matrices]], <math>A = Q\Sigma Q^\mathrm{T}</math>, where <math>Q</math> is orthogonal and
+[[तिरछा-सममित मैट्रिक्स#स्पेक्ट्रल सिद्धांत|तिरछा-सममित वास्तविक मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय सिद्धांत]] द्वारा, <math>A = Q\Sigma Q^\mathrm{T}</math>, जहाँ <math>Q</math> ओर्थोगोनल है और
 <math display="block">\Sigma = \begin{bmatrix}
 & a_1 & 0 & 0\\ -a_1 & 0 & 0 & 0\\  0 & 0 &0 & a_2 \\ 0 & 0 & -a_2 &0&\ddots\\
@@ Line 98: / Line 93: @@
 \end{bmatrix}
 </math>
-for real numbers <math>a_k</math>. Now apply the previous theorem, we have <math>pf(A)^2 = pf(\Sigma)^2 \det(Q)^4 = pf(\Sigma)^2 = \left(\prod a_i\right)^2 = \det(A)</math>.
+वास्तविक संख्या के लिए <math>a_k</math>. अब पिछले प्रमेय को लागू करें, जिसके लिए <math>pf(A)^2 = pf(\Sigma)^2 \det(Q)^4 = pf(\Sigma)^2 = \left(\prod a_i\right)^2 = \det(A)</math> के समान हैं।
 }}
-=== व्युत्पन्न पहचान ===
+=== व्युत्पन्न अभिन्न ===
-यदि A किसी चर x पर निर्भर करता है<sub>''i''</sub>, तो Pfaffian की ग्रेडिएंट द्वारा दी गई है
+यदि A किसी चर x पर निर्भर करता है<sub>''i''</sub>, तो फ़फ़ियान की ग्रेडिएंट द्वारा दी गई है
 : <math>\frac{1}{\operatorname{pf}(A)}\frac{\partial\operatorname{pf}(A)}{\partial x_i}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}\right),</math>
-और Pfaffian का [[ हेस्सियन मैट्रिक्स |हेस्सियन मैट्रिक्स]] द्वारा दिया गया है
+और फ़फ़ियान का [[ हेस्सियन मैट्रिक्स |हेस्सियन आव्यूह]] द्वारा दिया गया है
 : <math>\frac{1}{\operatorname{pf}(A)}\frac{\partial^2\operatorname{pf}(A)}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial^2 A}{\partial x_i\partial x_j}\right)-\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_j}\right)+\frac{1}{4}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}\right)\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_j}\right).</math>
+===अभिन्न का पता लगाना ===
+विकर्ण-सममित आव्यूह A और B के फ़फ़ियान के उत्पाद को घातांक के रूप में दर्शाया जा सकता है
-===पहचान का पता लगाएं ===
-तिरछा-सममित मैट्रिक्स ए और बी के Pfaffians के उत्पाद को घातांक के रूप में दर्शाया जा सकता है
 : <math>\textrm{pf}(A)\,\textrm{pf}(B) = \exp(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log(A^\text{T}B)).</math>
-मान लीजिए कि A और B 2n × 2n तिरछा-सममित आव्यूह हैं
+मान लीजिए कि A और B 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह हैं
 : <math> \mathrm{pf}(A)\,\mathrm{pf}(B) = \tfrac{1}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), \qquad \mathrm{where} \qquad s_l = - \tfrac{1}{2}(l - 1)!\,\mathrm{tr}((AB)^l)</math>
-और बी<sub>''n''</sub>(एस<sub>1</sub>,एस<sub>2</sub>,...,एस<sub>n</sub>) [[बेल बहुपद]] हैं।
+और B<sub>''n''</sub>(s<sub>1</sub>,s<sub>2</sub>,...,s<sub>n</sub>) [[बेल बहुपद]] हैं।
-=== ब्लॉक मैट्रिसेस ===
+=== ब्लॉक आव्यूह ===
-एक ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स के लिए
+एक ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह के लिए
 :: <math>A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix}  A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},</math>
 : <math>\operatorname{pf}(A_1\oplus A_2) =\operatorname{pf}(A_1)\operatorname{pf}(A_2).</math>
-एक मनमाना n × n मैट्रिक्स M के लिए:
+इसी प्रकार n × n आव्यूह में M मान के लिए:
 : <math>\operatorname{pf}\begin{bmatrix}  0 & M \\ -M^\text{T} & 0  \end{bmatrix} =
 (-1)^{n(n-1)/2}\det M.</math>
-तिरछा-सममित मैट्रिक्स के फ़फ़ियन की गणना करने के लिए अक्सर इसकी आवश्यकता होती है <math> S </math> ब्लॉक संरचना के साथ
+विकर्ण-सममित आव्यूह के फ़फ़ियान की गणना करने के लिए अधिकांशतः <math> S </math> ब्लॉक संरचना के साथ इसकी आवश्यकता होती है।
 : <math>
   S = \begin{pmatrix} M & Q\\-Q^\mathrm{T} & N \end{pmatrix}\,
 </math>
-कहाँ <math> M </math> और <math> N </math> तिरछा-सममित मैट्रिक्स हैं और <math> Q </math> सामान्य आयताकार मैट्रिक्स है.
+जहाँ <math> M </math> और <math> N </math> विकर्ण-सममित आव्यूह हैं और <math> Q </math> सामान्य आयताकार आव्यूह है।
-कब <math> M </math> उलटा है, के पास है
+इस प्रकार जब <math> M </math> व्युत्क्रम होता है, तब हमारे पास निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता हैं।
 : <math>
 \operatorname{pf}( S) = \operatorname{pf}( M)\operatorname{pf}( N+  Q^\mathrm{T}   M^{-1}  Q).
@@ Line 139: / Line 132: @@
 Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.</ref><ref>Bunch, James R. "A note on the stable decomposition of skew-symmetric matrices." Mathematics of Computation 38.158 (1982): 475-479.</ref>
 : <math>\begin{pmatrix}M& 0\\ 0 & N+Q^\mathrm{T} M^{-1} Q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I& 0\\ Q^\mathrm{T} M^{-1} & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} M& Q\\ -Q^\mathrm{T} & N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& -M^{-1} Q\\ 0& I \end{pmatrix}.</math>
-इस अपघटन में सर्वांगसमता परिवर्तन शामिल है जो पफैफ़ियन संपत्ति का उपयोग करने की अनुमति देता है <math> \operatorname{pf}(BAB^\mathrm{T}) = \operatorname{det}(B)\operatorname{pf}(A)</math>.
+इस अपघटन में सर्वांगसमता परिवर्तन सम्मिलित है, जो फ़फ़ियान मान <math> \operatorname{pf}(BAB^\mathrm{T}) = \operatorname{det}(B)\operatorname{pf}(A)</math> का उपयोग करने की अनुमति देता है।
-इसी प्रकार, जब <math> N </math> उलटा है, के पास है
+इसी प्रकार, जब <math> N </math> व्युत्क्रम होता है तब हमारे पास निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है।
 : <math>
 \operatorname{pf}( S) =
 \operatorname{pf}(N)\operatorname{pf}( M+ Q  N^{-1} Q^\mathrm{T}),
 </math>
-जैसा कि अपघटन को नियोजित करके देखा जा सकता है
+जैसा कि अपघटन को नियोजित करके देखा जा सकता है।
 : <math>\begin{pmatrix}M+Q N^{-1} Q^\mathrm{T}& 0\\ 0 & N\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I& -Q N^{-1}\\ 0 & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} M& Q\\ -Q^\mathrm{T} & N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& 0\\ N^{-1} Q^\mathrm{T}& I \end{pmatrix}.</math>
+== फ़फ़ियान की संख्यात्मक गणना करना ==
+मान लीजिए A 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह है
-== पफैफ़ियन की संख्यात्मक गणना करना ==
-मान लीजिए A 2n × 2n तिरछा-सममित आव्यूह है
 : <math>\textrm{pf}(A) = i^{(n^2)} \exp\left(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log((\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A)\right), </math>
-कहाँ <math>\sigma_y</math> दूसरा [[पॉल के मैट्रिक्स]] है, <math>I_n</math> आयाम n का पहचान मैट्रिक्स है और हमने [[मैट्रिक्स लघुगणक]] पर ट्रेस लिया।
+जहाँ <math>\sigma_y</math> दूसरा [[पॉल के मैट्रिक्स|पॉल के आव्यूह]] है, इस प्रकार <math>I_n</math> आयाम n का अभिन्न आव्यूह है, और हमने [[मैट्रिक्स लघुगणक|आव्यूह लघुगणक]] पर ट्रेस कर लिया जाता हैं।
-यह समानता Pfaffian#Trace पहचान पर आधारित है
+यह समानता फ़फ़ियान ट्रेस करके अभिन्नता पर इसे आधारित किया जाता है।
 : <math>\textrm{pf}(A)\,\textrm{pf}(B) = \exp\left(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log(A^\text{T}B)\right)</math>
-और उस अवलोकन पर <math>\textrm{pf}(\sigma_y\otimes I_n)=(-i)^{n^2}</math>.
+और उस अवलोकन <math>\textrm{pf}(\sigma_y\otimes I_n)=(-i)^{n^2}</math> पर यह मान प्राप्त होता हैं।
-चूंकि मैट्रिक्स के लघुगणक की गणना कम्प्यूटेशनल रूप से मांग वाला कार्य है, इसके बजाय कोई इसके सभी eigenvalues की गणना कर सकता है <math>((\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A)</math>, इन सभी का लॉग लें और उन्हें सारांशित करें। यह प्रक्रिया केवल मैट्रिक्स#गुणों के लघुगणक का उपयोग करती है <math>\operatorname{tr}{\log{(AB)}} = \operatorname{tr}{\log{(A)}} + \operatorname{tr}{\log{(B)}} </math>. इसे [[ वोल्फ्राम मैथमैटिका |वोल्फ्राम मैथमैटिका]] में ही कथन के साथ लागू किया जा सकता है:
+चूंकि आव्यूह के लघुगणक की गणना कम्प्यूटरीकृत रूप से प्राप्त किये जाने वाला एक फलन है, इसके अतिरिक्त कोई इसके सभी आईजन मान <math>((\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A)</math> की गणना कर सकता है, इन सभी का लॉग लेकर उन्हें सारांशित किया जाता हैं। यह प्रक्रिया केवल आव्यूह गुणों के लघुगणक <math>\operatorname{tr}{\log{(AB)}} = \operatorname{tr}{\log{(A)}} + \operatorname{tr}{\log{(B)}} </math> का उपयोग करती है,  इसे [[ वोल्फ्राम मैथमैटिका |वोल्फ्राम मैथमैटिका]] में ही कथन के साथ लागू किया जाता है:
 : <code> Pf[x_] := Module[{n = Dimensions[x]{{brackets|1}} / 2}, I^(n^2) Exp[ 1/2 Total[ Log[Eigenvalues[ Dot[Transpose[KroneckerProduct[PauliMatrix[2], IdentityMatrix[n]]], x] ]]]]] </code>
-हालाँकि, Pfaffian बड़ा होने पर यह एल्गोरिथ्म अस्थिर है। के eigenvalues <math>(\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A </math> आम तौर पर जटिल होगा, और इन जटिल eigenvalues के लघुगणक को आम तौर पर लिया जाता है <math> [-\pi, \pi] </math>. सारांश के तहत, वास्तविक मूल्यवान पफैफ़ियन के लिए, घातांक का तर्क फॉर्म में दिया जाएगा <math> x + k\pi/2 </math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>k</math>. कब <math>x</math> बहुत बड़ी है, जटिल चरण से परिणामी संकेत की गणना में गोलाई त्रुटियां गैर-शून्य काल्पनिक घटक को जन्म दे सकती हैं।
+चूंकि, फ़फ़ियान बड़ा होने पर यह एल्गोरिथ्म अस्थिर है। इसके लिए आइजन मान <math>(\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A </math> आम तौर पर जटिल होगा, और इन जटिल आइजन मान के लघुगणक को सामान्यतः <math> [-\pi, \pi] </math> पर प्राप्त कर लिया जाता है। इसे सारांशित करके वास्तविक मूल्यवान फ़फ़ियान के लिए, घातांक का तर्क फॉर्म <math> x + k\pi/2 </math> में दिया जाएगा। इस प्रकार कुछ पूर्णांकों के लिए <math>k</math> जब <math>x</math> के लिए अधिक होता है, इस स्थिति में जटिलता के क्रम में परिणामी संकेत की गणना में इस गोलाई में आने वाली त्रुटियां गैर-शून्य काल्पनिक घटक को जन्म दे सकती हैं।
-अन्य (अधिक) कुशल एल्गोरिदम के लिए देखें {{harvnb|Wimmer|2012}}.
+इसके अन्य (अधिक) कुशल एल्गोरिदम के लिए {{harvnb|विम्मर|2012}} देखें।
 == अनुप्रयोग ==
-* विभिन्न प्लेटफार्मों (पायथन, मैटलैब, मैथमेटिका) पर पफैफ़ियन की संख्यात्मक गणना के लिए कार्यक्रम मौजूद हैं। {{harv|Wimmer|2012}}.
+* विभिन्न प्लेटफार्मों (पायथन, मैटलैब, मैथमेटिका) पर फ़फ़ियान की संख्यात्मक गणना के लिए यह फलन {{harv|विम्मर|2012}} उपस्थित हैं।
-* Pfaffian आधार के उचित [[ऑर्थोगोनल समूह]] परिवर्तन के तहत तिरछा-सममित मैट्रिक्स का [[अपरिवर्तनीय बहुपद]] है। इस प्रकार, यह चारित्रिक वर्गों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है। विशेष रूप से, इसका उपयोग [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] के [[यूलर वर्ग]] को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसका उपयोग सामान्यीकृत गॉस-बोनट प्रमेय में किया जाता है।
+* फ़फ़ियान आधार के उचित [[ऑर्थोगोनल समूह]] परिवर्तन के अनुसार विकर्ण-सममित आव्यूह का [[अपरिवर्तनीय बहुपद]] है। इसी प्रकार यह चारित्रिक वर्गों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है। विशेष रूप से, इसका उपयोग [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] के [[यूलर वर्ग]] को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जिसका उपयोग सामान्यीकृत गॉस-बोनट प्रमेय में किया जाता है।
-* एक [[समतलीय ग्राफ]]़ में पूर्ण मिलान की संख्या Pfaffian द्वारा दी जाती है, इसलिए FKT एल्गोरिथ्म के माध्यम से बहुपद समय की गणना की जा सकती है। यह आश्चर्य की बात है कि सामान्य ग्राफ़ के लिए, समस्या बहुत कठिन है (तथाकथित शार्प-पी-कम्प्लीट|#पी-कम्प्लीट)। इस परिणाम का उपयोग आयत के [[डोमिनोज़ टाइलिंग]] की संख्या, भौतिकी में [[आइसिंग मॉडल]] के [[विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]], या [[ यंत्र अधिगम |यंत्र अधिगम]] में [[मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र]]ों की गणना करने के लिए किया जाता है ({{harvnb|Globerson|Jaakkola|2007}}; {{harvnb|Schraudolph|Kamenetsky|2009}}), जहां अंतर्निहित ग्राफ समतलीय है। इसका उपयोग कुछ अन्यथा प्रतीत होने वाली कठिन समस्याओं के लिए कुशल एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है, जिसमें कुछ प्रकार के [[प्रतिबंधित क्वांटम गणना]] के कुशल सिमुलेशन भी शामिल हैं। अधिक जानकारी के लिए [[ होलोग्राफिक एल्गोरिदम |होलोग्राफिक एल्गोरिदम]] पढ़ें।
+* इस प्रकार किसी [[समतलीय ग्राफ]] में पूर्ण संयोजन की संख्या फ़फ़ियान द्वारा प्राप्त की जाती है, इसलिए एफकेटी एल्गोरिथ्म के माध्यम से बहुपद समय की गणना की जा सकती है। यह आश्चर्य की बात है कि सामान्य ग्राफ़ के लिए यह इस समस्या से बहुत कठिन है, तथाकथित शार्प-पी-कम्प्लीट या पी-कम्प्लीट के समान होता हैं। इस परिणाम का उपयोग आयत के [[डोमिनोज़ टाइलिंग]] की संख्या, भौतिकी में [[आइसिंग मॉडल|आइसिंग प्रारूप]] के [[विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]], या [[ यंत्र अधिगम |यंत्र अधिगम]] में [[मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र|मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों]] ({{harvnb|ग्लोबर्सन|जैक्कालो|2007}}, {{harvnb|श्राडोल्फ|कामेनेत्स्की|2009}}) की गणना करने के लिए किया जाता है। जहां अंतर्निहित ग्राफ समतलीय है। इसका उपयोग कुछ अन्यथा प्रतीत होने वाली कठिन समस्याओं के लिए कुशल एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है, जिसमें कुछ प्रकार के [[प्रतिबंधित क्वांटम गणना]] के कुशल सिमुलेशन भी सम्मिलित हैं। इसकी अधिक जानकारी के लिए [[ होलोग्राफिक एल्गोरिदम |होलोग्राफिक एल्गोरिदम]] पढ़ें।
 == यह भी देखें ==
 *निर्धारक
-* [[डिमर मॉडल]]
+* [[डिमर मॉडल|डिमर प्रारूप]]
 * [[हफ़नियन]]
 * [[पॉलीओमिनो]]

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