अर्धसंभाव्यता वितरण

अर्धसंभाव्यता वितरण, संभाव्यता वितरण के समान गणितीय वस्तु है, किन्तु जो संभाव्यता सिद्धांत के कोलमोगोरोव के कुछ सिद्धांतों को शिथिल करता है। अर्धसंभावनाएं सामान्य संभावनाओं के साथ कई सामान्य विशेषताएं साझा करती हैं, जैसे, महत्वपूर्ण रूप से, वितरण के भार के संबंध में अपेक्षा मूल्य उत्पन्न करने की क्षमता। चूँकि, वे σ -एडिटिविटी सिद्धांत का उल्लंघन कर सकते हैं उन पर एकीकरण करने से परस्पर अनन्य स्थिति की संभावनाएं उत्पन्न नहीं होती हैं। वास्तव में, अर्धसंभाव्यता वितरण में नकारात्मक संभाव्यता घनत्व के क्षेत्र भी होते हैं, जो कि पहले सिद्धांत का खंडन करते हैं। अर्धसंभाव्यता वितरण क्वांटम यांत्रिकी के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं जब इसे चरण स्थान सूत्रण में विचार किया जाता है, जो क्वांटम प्रकाशिकी, समय-आवृत्ति विश्लेषण और अन्य जगहों में सामान्यत: प्रयुक्त होता है।

परिचय

Main article: ऑप्टिकल चरण स्थान

सबसे सामान्य रूप में, क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली की गतिशीलता हिल्बर्ट स्थान में मास्टर समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है: प्रणाली के घनत्व प्रचालक के लिए गति का समीकरण (सामान्यत: ${\widehat {\rho }}$ लिखा जाता है)। घनत्व प्रचालक को पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में परिभाषित किया गया है। यद्यपि इस समीकरण को बहुत छोटी प्रणालियों (यानी, कुछ कणों या स्वतंत्रता की डिग्री वाले सिस्टम) के लिए सीधे एकीकृत करना संभव है, यह बड़ी प्रणालियों के लिए जल्दी ही कठिन हो जाता है। चूँकि, यह सिद्ध करना संभव है घनत्व प्रचालक को सदैव विकर्ण आव्युह रूप में लिखा जा सकता है, बशर्ते कि यह अतिपूर्णता के आधार पर हो। जब घनत्व प्रचालक को इस प्रकार के पूर्ण आधार पर दर्शाया जाता है, तो इसे सामान्य फलन के समान विधि से लिखा जा सकता है, इस मूल्य पर कि फलन में अर्धसंभाव्यता वितरण की विशेषताएं होती हैं। प्रणाली का विकास तब पूरी प्रकार से अर्धसंभाव्यता वितरण फलन के विकास से निर्धारित होता है।

सुसंगत स्थितिएँ, अर्थात् विनाश संचालिका की सही स्वदेशी स्थितिएँ ${\widehat {a}}$ ऊपर वर्णित निर्माण में अपूर्ण आधार के रूप में कार्य करती हैं। परिभाषा के अनुसार, सुसंगत स्थिति में निम्नलिखित संपत्ति होती है,

${\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}$

उइनमें कुछ और रोचक गुण भी होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी दो सहारित स्थितिएँ एक-दूसरे के लिए सममान नहीं हैं। वास्तव में, यदि |α〉और |β〉 सुसंगत स्थितिओं की जोड़ी हैं, तो

$\langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).$

ध्यान दें कि ये स्थितिएँ, चूंकि, α | के साथ सही ढंग से इकाई सदिश हैं α〉 = 1। फॉक स्थिति के आधार की पूर्णता के कारण, सुसंगत स्थिति के आधार का चुनाव अतिपूर्ण होना चाहिए। अनौपचारिक प्रमाण दिखाने के लिए क्लिक करें।

सुसंगत स्थितिओं की अपूर्णता का प्रमाण
Integration over the complex पीlane can be written in terms of पीolar coordinates with $d^{2}\alpha =r\,dr\,d\theta$। Where exchanging sum and integral is allowed, we arrive at a simple integral expression of the gamma function: $|\psi \rangle ={\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |\psi \rangle \,d^{2}\alpha .$

चूँकि , सुसंगत स्थिति के आधार पर, यह सदैव संभव हैघनत्व संकारक को विकर्ण रूप में व्यक्त करना

${\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha$

जहाँ f चरण स्थान वितरण का प्रतिनिधित्व है। इस फलन f को अर्धसंभाव्यता घनत्व माना जाता है क्योंकि इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

• $\int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1$ (सामान्यीकरण)
• यदि $g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })$ प्रचालक है जिसे क्रमबद्ध Ω में सृजन और विनाश प्रचालकों की शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका अपेक्षित मूल्य है

$\langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}$ (ऑप्टिकल तुल्यता प्रमेय)।

फलन f अद्वितीय नहीं है। विभिन्न आदेशन Ω से जुड़ी परिवार की उपस्थित है, प्रत्येक अलग Ω क्रम से जुड़ा हुआ है। इनमें से सामान्य भौतिकी साहित्य में सबसे लोकप्रिय और ऐतिहासिक रूप से इनमें से पहला विग्नर अर्धसंभाव्यता वितरण,है जो सममित प्रचालक आदेशन से संबंधित है। विशेष रूप से क्वांटम ऑप्टिक्स में, अधिकांशतः रुचि के प्रचालक, विशेष रूप से कण संख्या प्रचालक, स्वाभाविक रूप से सामान्य क्रम में व्यक्त किए जाते हैं। उस स्थिति में, चरण स्थान वितरण का संगत प्रतिनिधित्व ग्लौबर-सुदर्शन पी प्रतिनिधित्व है। इन चरण स्थान वितरणों की अर्धसंभाव्य की स्वभाव से सर्वोत्तम समझ P प्रतिनिधित्व में होती है क्योंकि इसमें निम्नलिखित प्रमुख कथन है:

यदि क्वांटम प्रणाली में शास्त्रीय एनालॉग है, उदा। एक सुसंगत अवस्था या थर्मल विकिरण,तो P सामान्य संभाव्यता वितरण की तरह हर जगह गैर-नकारात्मक है। हालाँकि, यदि क्वांटम प्रणाली का कोई शास्त्रीय एनालॉग नहीं है, उदाहरण के लिए एक असंगत फॉक स्थिति या उलझा हुआ सिस्टम, तो P कहीं न कहीं ऋणात्मक है या डेल्टा फ़ंक्शन की तुलना में अधिक एकवचन है।

यह व्यापक कथन अन्य अभ्यावेदनों में निष्क्रिय है। उदाहरण के लिए, ईपीआर विरोधाभास स्थिति का विग्नर फलन सकारात्मक निश्चित है किन्तु इसका कोई शास्त्रीय रूपांतर नहीं है।

ऊपर परिभाषित अभ्यावेदन के अतिरिक्त, कई अन्य अर्धसंभाव्यता वितरण हैं जो चरण स्थान वितरण के वैकल्पिक अभ्यावेदन में उत्पन्न होते हैं। अन्य लोकप्रिय प्रतिनिधित्व हुसिमी क्यू प्रतिनिधित्व है, जो तब उपयोगी होता है जब प्रचालक सामान्य-विरोधी क्रम में हों। हाल ही में, सकारात्मक P प्रतिनिधित्व और सामान्यीकृत का व्यापक वर्ग P क्वांटम ऑप्टिक्स में जटिल समस्याओं को हल करने के लिए अभ्यावेदन का उपयोग किया गया है। ये सभी एक दूसरे के समान हैं और एक दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं, जैसा कि कोहेन का वर्ग वितरण फलन का है।

विशेषता कार्य

प्रायाप्रवृत्ति सिद्धांत के सामान्य रूप के साथ, क्वांटम अर्धसंभाव्यता को लक्षण समूहों के रूप में लिखा जा सकता है, जिनसे सभी प्रचालक प्रत्याशा मूल्यों को प्राप्त किया जा सकता है। एन मोड प्रणाली के विग्नर, ग्लॉबर पी और क्यू प्रवृत्तियों के लिए विशेषकर चरित्रिक फलन इस प्रकार हैं:

• $\chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})$
• $\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})$
• $\chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}}e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})$

यहाँ ${\widehat {\mathbf {a} }}$ और ${\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }$ प्रत्येक मोड के लिए विनाश और निर्माण प्रचालक वाले सदिश हैं। इन विशिष्ट फलन का उपयोग प्रचालक क्षणों के अपेक्षा मूल्यों का सीधे मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है। इन क्षणों में संहार और सृजन संचालकों का क्रम विशिष्ट विशिष्ट कार्य के लिए विशिष्ट होता है। उदाहरण के लिए, सामान्य क्रम सृष्टि ऑपरेटर्स पूर्ववत आन्तरिक) क्षणों की मूल्यांकन को इस प्रकार किया जा सकता है $\chi _{P}\,$से:

$\langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\rangle ={\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}){\Big |}_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}$

उसी प्रकार, विनाश और निर्माण प्रचालकों के सामान्य रूप से आदेशित और सममित रूप से आदेशित संयोजनों की अपेक्षा मूल्यों का मूल्यांकन क्रमशः क्यू और विग्नर वितरण के लिए विशेषता फलन से किया जा सकता है। अर्धसंभाव्यता फलन को स्वयं उपरोक्त विशिष्ट फलन के फूरियर परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया गया है। यानी,

$\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .$

यहाँ $\alpha _{j}\,$ और $\alpha _{k}^{*}$ ग्लॉबर पी और क्यू वितरण के स्थितियों में सुसंगत स्थिति आयाम के रूप में पहचाना जा सकता है, किन्तु विग्नर फलन के लिए केवल सी-संख्याएँ होती हैं। चूंकि सामान्य स्थान में विभेदन फूरियर स्थान में गुणन बन जाता है, इसलिए इन फलन से क्षणों की गणना निम्नलिखित विधि से की जा सकती है:

• $\langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$
• $\langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$
• $\langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$

यहाँ $(\cdots )_{S}$ सममित क्रम को दर्शाता है।

ये सभी अभ्यावेदन गॉसियन फलन , वीयरस्ट्रैस परिवर्तन, द्वारा कनवल्शन के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं।

• $W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta$
• $Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta$

या, उस संपत्ति का उपयोग करते हुए जो कनवल्शन साहचर्य है,

• $Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.$

यह इस प्रकार है कि

• $P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int Q(\beta ,\beta ^{*})e^{|\lambda |^{2}+\lambda ^{*}(\alpha -\beta )-\lambda (\alpha -\beta )^{*}}\,d^{2}\beta ~d^{2}\lambda ,$

अधिकांशतः भिन्न अभिन्न अंग, जो इंगित करता है कि पी अधिकांशतः वितरण है। समान घनत्व आव्युह के लिए क्यू सदैव पी से अधिक चौड़ा होता है। उदाहरण के लिए, तापीय स्थिति के लिए,

${\hat {\rho }}={\frac {1}{{\bar {n}}+1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\bar {n}}{1+{\bar {n}}}}\right)^{n}|n\rangle \langle n|~~,$

किसी के पास

$P(\alpha )={\frac {1}{\pi {\bar {n}}}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{\bar {n}}}},\qquad Q(\alpha )={\frac {1}{\pi (1+{\bar {n}})}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{1+{\bar {n}}}}}~~~.$

समय विकास और प्रचालक पत्राचार

उपरोक्त प्रत्येक रूपांतरण के बाद से ρ से वितरण फलन के लिए स्थानीय हैं, प्रत्येक वितरण के लिए गति का समीकरण समान परिवर्तन करके प्राप्त किया जा सकता है जैसा कि ${\dot {\rho }}$। इसके अतिरिक्त, चूंकि कोई भी मास्टर समीकरण जिसे लिंडब्लैड समीकरण में व्यक्त किया जा सकता है, वह पूरी प्रकार से घनत्व प्रचालक पर निर्माण और विनाश प्रचालकों के संयोजन की कार्रवाई द्वारा वर्णित है, इस प्रकार के संचालन के प्रत्येक अर्धसंभाव्यता फलन पर पड़ने वाले प्रभाव पर विचार करना उपयोगी है।

उदाहरण के लिए, विनाश संचालिका पर विचार करें ${\widehat {a}}_{j}\,$ जो ρ पर प्रभाव कर रहा है। पी वितरण के लिए चरित्रिक फलन के लिए हमें यह है

$\operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).$

फूरियर परिवर्तन के संबंध में लेना $\mathbf {z} \,$ खोजने के लिए ग्लौबर पी फलन पर संबंधित क्रिया प्राप्त करने के लिए हमें मिलता है

${\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).$

इस प्रक्रिया का पालन करके ऊपर दिए गए प्रत्येक वितरण के लिए, निम्नलिखित प्रचालक संबंधितताएँ पहचानी जा सकती हैं:

• ${\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
• $\rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
• ${\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
• $\rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$

यहाँ κ = 0, 1/2 या क्रमशः पी, विग्नर और क्यू वितरणों के लिए 1 है। इस प्रकार, मास्टर समीकरणों को समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है`।

उदाहरण

सुसंगत स्थिति

निर्माण के अनुसार, सुसंगत स्थिति $|\alpha _{0}\rangle$ के लिए पी डेल्टा समीकरण है:

$P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).$

विग्नर और क्यू प्रतिष्ठान उपरोक्त गॉसियन संलयन सूत्रों से सीधे रूप से आते हैं,

विग्नर प्रतिष्ठान:

$W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}$

क्यू प्रतिष्ठान:

$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.$

हुसिमी प्रतिनिधित्व को दो सुसंगत स्थितियों के आंतरिक उत्पाद के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके भी पाया जा सकता है,

$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}$

फॉक स्थिति

फॉक स्थिति $|n\rangle$ का पी प्रतिष्ठान है

$P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).$

चूँकि n>0 के लिए यह डेल्टा समीकरण से अधिक असमीकरण है, फ़ॉक स्थिति का कोई शास्त्रीय सहमति नहीं है। गॉसियन संकल्पों के साथ आगे बढ़ने पर गैर-शास्त्रीयता कम पारदर्शी होती है। यदि L_n लैगुएरे बहुपद है, तो W इसका है

$W(\alpha ,\alpha ^{*})=(-1)^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}\left(4|\alpha |^{2}\right)~,$

जो नकारात्मक हो सकता है किन्तु सीमित है।

उपभिन्नता से, क्यू सदैव सकारात्मक और सीमित रहता है

$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}~.$

डम्प्ड क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर

निम्नलिखित मास्टर समीकरण के साथ नम क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर पर विचार करें,

${\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}})+\gamma \langle n\rangle ({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }).$

इसका परिणाम फोककर-प्लैंक समीकरण में होता है,

${\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[(\gamma +i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +(\gamma -i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+{\frac {\gamma }{2}}(\langle n\rangle +\kappa ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),$

जहां क्रमशः पी, W, और क्यू प्रतिनिधित्व के लिए κ = 0, 1/2, 1 है।

यदि प्रणाली प्रारंभ में सुसंगत स्थिति में है $|\alpha _{0}\rangle$, तो इस समीकरण का हल है

$\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)\right]}}\exp {\left(-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-(\gamma +i\omega _{0})t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)}}\right)}~~.$