माध्य से वर्ग विचलन

माध्य से वर्ग विचलन (एसडीएम) वर्ग विचलन के परिणामस्वरूप होता है। संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, विचरण की परिभाषा या तो एसडीएम का अपेक्षित मूल्य है (सैद्धांतिक वितरण पर विचार करते समय) या इसका औसत मूल्य (वास्तविक प्रायोगिक डेटा के लिए)। भिन्नता के विश्लेषण के लिए गणना में एसडीएम के योग का विभाजन शामिल है।

पृष्ठभूमि

सांख्यिकीय मूल्य के अध्ययन से इसमें शामिल गणनाओं की समझ में काफी वृद्धि होती है

$\operatorname {E} (X^{2})$, जहाँ $\operatorname {E}$ अपेक्षित मान ऑपरेटर है.

माध्य $\mu$ और विचरण $\sigma ^{2}$ के साथ एक यादृच्छिक चर $X$ के लिए,

$\sigma ^{2}=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.$

इसलिए,

$\operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+\mu ^{2}.$

उपरोक्त से, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

$\operatorname {E} \left(\sum \left(X^{2}\right)\right)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2},$

$\operatorname {E} \left(\left(\sum X\right)^{2}\right)=n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}.$

नमूना विचरण

Main article: नमूना विचरण

नमूना विचरण की गणना करने के लिए आवश्यक वर्ग विचलनों का योग (यह तय करने से पहले कि n या n - 1 से विभाजित करना है या नहीं) की गणना सबसे आसानी से की जाती है

$S=\sum x^{2}-{\frac {\left(\sum x\right)^{2}}{n}}$

दो व्युत्पन्न अपेक्षाओं से इस योग का अपेक्षित मूल्य ऊपर है

$\operatorname {E} (S)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-{\frac {n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}}{n}}$

जो ये दर्शाता हे

$\operatorname {E} (S)=(n-1)\sigma ^{2}.$

यह σ² के निष्पक्ष नमूना अनुमान की गणना में विभाजक n-1 के उपयोग को प्रभावी ढंग से सिद्ध करता है।

विभाजन - विचरण का विश्लेषण

Main article: Partition of sums of squares

ऐसी स्थिति में जहां आकार n वाले विभिन्न उपचार समूहों के लिए डेटा उपलब्ध है_i जहां i 1 से k तक भिन्न होता है, तो यह माना जाता है कि प्रत्येक समूह का अपेक्षित माध्य है

$\operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}$

और प्रत्येक उपचार समूह का भिन्नता जनसंख्या भिन्नता से अपरिवर्तित है $\sigma ^{2}$.

शून्य परिकल्पना के तहत कि उपचारों का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, तो प्रत्येक $T_{i}$ शून्य होगा.

अब वर्गों के तीन योगों की गणना करना संभव है:

व्यक्ति

$I=\sum x^{2}$

$\operatorname {E} (I)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}$

उपचार

$T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)$

$\operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}$

$\operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}$

शून्य परिकल्पना के तहत कि उपचारों से कोई मतभेद नहीं होता और सब कुछ होता है $T_{i}$ शून्य हैं, अपेक्षा सरल हो जाती है

$\operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.$

संयोजन

$C=\left(\sum x\right)^{2}/n$

$\operatorname {E} (C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}$

वर्गीकृत विचलनों का योग

शून्य परिकल्पना के तहत, I, T और C के किसी भी जोड़े के अंतर पर कोई निर्भरता नहीं होती है $\mu$, केवल $\sigma ^{2}$.

$\operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}$ कुल वर्ग विचलन अर्थात वर्गों का कुल योग

$\operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}$ उपचार वर्ग विचलन अर्थात वर्गों का योग समझाया गया

$\operatorname {E} (I-T)=(n-k)\sigma ^{2}$ अवशिष्ट वर्ग विचलन अर्थात वर्गों का अवशिष्ट योग

स्थिरांक (n − 1), (k − 1), और (n − k) को आम तौर पर स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) की संख्या के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

एक बहुत ही सरल उदाहरण में, दो उपचारों से 5 अवलोकन उत्पन्न होते हैं। पहला उपचार तीन मान 1, 2, और 3 देता है, और दूसरा उपचार दो मान 4, और 6 देता है।

$I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66$

$T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62$

$C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.2$

दे रही है

कुल वर्ग विचलन = 66 − 51.2 = 14.8 स्वतंत्रता की 4 डिग्री के साथ।

उपचार वर्ग विचलन = 62 − 51.2 = 10.8 1 डिग्री स्वतंत्रता के साथ।

अवशिष्ट वर्ग विचलन = 66 − 62 = 4 स्वतंत्रता की 3 डिग्री के साथ।

यह भी देखें

• पूर्ण विचलन
• विचरण की गणना के लिए एल्गोरिदम
• त्रुटियाँ और अवशेष
• कम से कम वर्गों
• मतलब चुकता त्रुटि
• वर्गों का अवशिष्ट योग
• मूल-माध्य-वर्ग विचलन
• विचरण अपघटन

संदर्भ

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