उचित सामान्यीकृत अपघटन

उचित सामान्यीकृत अपघटन (पीजीडी) परिसीमा मान समस्या (बीवीपी) को हल करने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है, यानी, सीमा स्थितियों के एक सम्मुच्चय द्वारा बाधित आंशिक अंतर समीकरण, जैसे पॉइसन समीकरण या लाप्लास समीकरण है।

पीजीडी कलन विधि क्रमिक संवर्धन द्वारा बीवीपी के समाधान के अनुमान की गणना करता है। इसका अर्थ यह है कि, प्रत्येक पुनरावृत्ति में, एक नया घटक (या प्रणाली) की गणना की जाती है और सन्निकटन में जोड़ा जाता है। सिद्धांत रूप में, जितने अधिक प्रणाली प्राप्त होंगे, सैद्धांतिक समाधान सन्निकटन के उतना ही निकट होगा। उचित आयतीय अपघटन प्रमुख घटकों के विपरीत, पीजीडी प्रणाली आवश्यक रूप से एक दूसरे के लिए आयतीय नहीं हैं।

केवल सबसे प्रासंगिक पीजीडी प्रणाली का चयन करके, समाधान का एक लघुकृत अनुक्रम प्रतिरूप प्राप्त किया जाता है। इस वजह से, पीजीडी को एक आयामी कमी एल्गोरिथ्म माना जाता है।

विवरण

उचित सामान्यीकृत अपघटन एक विधि की विशेषता है

1. समस्या का एक परिवर्तनशील सूत्रीकरण,
2. परिमित तत्व विधि की शैली में किसी फलन के कार्यछेत्र का विवेकीकरण,
3. यह धारणा कि समाधान को एक अलग प्रतिनिधित्व के रूप में अनुमानित किया जा सकता है
4. समाधान खोजने के लिए एक संख्यात्मक बहुभक्षक कलन विधि।

विभिन्न सूत्रीकरण

पीजीडी में सबसे अधिक कार्यान्वित परिवर्तनीय सूत्रीकरण बुब्नोव-गैलेर्किन विधि है, हालाँकि अन्य कार्यान्वयन मौजूद हैं ।

कार्यछेत्र विवेकीकरण

कार्यछेत्र का विवेकीकरण प्रक्रियाओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित सम्मुच्चय है जो (ए) परिमित तत्व जाल का निर्माण, (बी) संदर्भ तत्वों पर आधार फलन की परिभाषा (जिसे आकार फलन भी कहा जाता है) और (सी) संदर्भ तत्वों की प्रतिचित्रण को आच्छादित करता है

अलग प्रतिनिधित्व

पीजीडी मानता है कि एक (बहुआयामी) समस्या के समाधान को फॉर्म के एक अलग प्रतिनिधित्व के रूप में अनुमानित किया जा सकता है

$$\mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdot \mathbf {X_{2}} _{i}(x_{2})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d}),$$

जहां जोड़ की संख्या एन और कार्यात्मक उत्पाद 'एक्स₁(एक्स₁), एक्स₂(एक्स₂), ..., एक्स_d(एक्स_d)' है, प्रत्येक एक चर (या चर) पर निर्भर करता है, जो पहले से अज्ञात है।

लौलुप कलन विधि

समस्या के ग्रीडी कलन विधि के लिए एक लौलुप कलन विधि, सामान्यतः निश्चित बिंदु कलन विधि को लागू करके समाधान खोजा जाता है। एल्गोरिथम के प्रत्येक पुनरावृत्ति i के लिए, समाधान के एक प्रणाली की गणना की जाती है। प्रत्येक प्रणाली में कार्यात्मक उत्पादों 'एक्स₁(एक्स₁), ..., एक्स_d(एक्स_d)' के संख्यात्मक मानों का एक सम्मुच्चय होता है, जो समाधान के सन्निकटन को समृद्ध करता है। कलन विधि की लौलुप प्रकृति के कारण, 'सुधार' के स्थान पर 'समृद्ध' शब्द का उपयोग किया जाता है, क्योंकि कुछ तरीके वास्तव में दृष्टिकोण को खराब कर सकते हैं। एक निश्चित त्रुटि सीमा के नीचे समाधान का अनुमान प्राप्त करने के लिए आवश्यक गणना प्रणाली की संख्या पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म के रोक मानदंड पर निर्भर करती है।

विशेषताएँ

पीजीडी उच्च-आयामी समस्याओं को हल करने के लिए उपयुक्त है, क्योंकि यह पारम्परिक दृष्टिकोण की सीमाओं को पार करता है। विशेष रूप से, पीजीडी आयामीता के अभिशाप से बचाता है, क्योंकि वियुग्मित समस्याओं को हल करना बहुआयामी समस्याओं को हल करने की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत कम महंगा है।

इसलिए, पीजीडी समस्या के मापदंडों को अतिरिक्त निर्देशांक के रूप में सम्मुच्चय करके प्राचलिक समस्याओं को बहुआयामी ढांचे में फिर से अनुकूलित करने में सक्षम बनाता है:

$$\mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},\ldots ,x_{d};k_{1},\ldots ,k_{p})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d})\cdot \mathbf {K_{1}} _{i}(k_{1})\cdots \mathbf {K_{p}} _{i}(k_{p}),$$

जहां कार्यात्मक उत्पादों की एक श्रृंखला K₁(k₁), K₂(k₂), ..., K_p(k_p), प्रत्येक मापदण्ड (या मापदण्ड) के आधार पर, समीकरण में सम्मिलित किया गया है।

इस स्तिथि में, समाधान के प्राप्त सन्निकटन को कम्प्यूटेशनल लघुपुस्तिका कहा जाता है: एक सामान्य मेटा-प्रतिरूप जिसमें सम्मिलित मापदंडों के हर संभावित मूल्य के लिए सभी विशेष समाधान सम्मिलित होते हैं।

विरल उपसमष्‍टि लर्निंग

विरल उपसमष्‍टि लर्निंग (एसएसएल) विधि पैरामीट्रिक प्रतिरूप के संख्यात्मक समाधान का अनुमान लगाने के लिए पदानुक्रमित संयोजन के उपयोग का लाभ उठाती है। पारंपरिक प्रक्षेपण-आधारित कम अनुक्रम प्रतिरूपण के संबंध में, कोलोकेशन का उपयोग पैरामीट्रिक स्पेस के विरल अनुकूली नमूने के आधार पर गैर-घुसपैठ दृष्टिकोण को सक्षम बनाता है। यह स्पष्ट रूप में मापदंडों से कार्यात्मक निर्भरता सीखने के साथ-साथ पैरामीट्रिक समाधान उपस्थान की निम्न-आयामी संरचना को पुनर्प्राप्त करने की अनुमति देता है। पैरामीट्रिक समाधान का एक विरल निम्न-रैंक अनुमानित टेंसर प्रतिनिधित्व एक वृद्धिशील साहचर्य के माध्यम से बनाया जा सकता है जिसके लिए केवल एक नियतात्मक समाधानकर्ता के प्रक्षेपण तक पहुंच की आवश्यकता होती है। गैर-घुसपैठ इस दृष्टिकोण को सीधे तौर पर गैर-रैखिकता या गैर-संबंधी कमजोर रूपों की विशेषता वाली चुनौतीपूर्ण समस्याओं पर लागू करती है।