पॉइसन मैनिफ़ोल्ड

विभेदक ज्योमेट्री में, गणित का एक क्षेत्र, पॉइसन मैनिफोल्ड, पॉइसन संरचना से युक्त एक स्मूथ मैनिफोल्ड है। पॉइसन मैनिफोल्ड की धारणा सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड को सामान्य बनाती है, जो बदले में हैमिल्टनियन यांत्रिकी से चरण स्थान को सामान्य बनाती है।

एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर एक पॉइसन संरचना (या पॉइसन ब्रैकेट)। $M$ एक फ़ंक्शन है

$$\{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$$

सदिश स्थल पर ${C^{\infty }}(M)$ सुचारू कार्य पर $M$, इसे एक उत्पाद नियम (जिसे पॉइसन बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है) के अधीन एक लाई बीजगणित में बना दिया गया है।

मैनिफोल्ड्स पर पॉइसन संरचनाएं 1977 में आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ द्वारा प्रस्तुत की गईं और विश्लेषणात्मक यांत्रिकी पर उनके कार्यों में उनकी प्रारंभिक उपस्थिति के कारण, फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन के नाम पर रखा गया है।

परिचय

मौलिक यांत्रिकी के चरण स्थानों से लेकर सिंपलेक्टिक और पॉइसन मैनिफोल्ड्स तक

मौलिक यांत्रिकी में, एक भौतिक प्रणाली के चरण स्थान में स्थिति के सभी संभावित मान और प्रणाली द्वारा अनुमत गति चर सम्मिलित होते हैं। यह स्वाभाविक रूप से पॉइसन ब्रैकेट/सिंपलेक्टिक फॉर्म (नीचे देखें) से संपन्न है, जो किसी को हैमिल्टन समीकरण तैयार करने और समय में चरण स्थान के माध्यम से प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, $n$-आयामी यूक्लिडियन स्पेस (अथार्थ कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के रूप में $\mathbb {R} ^{n}$ में स्वतंत्र रूप से घूमने वाले एक कण में चरण स्पेस $\mathbb {R} ^{2n}$ होता है। निर्देशांक $(q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})$ क्रमशः स्थिति और सामान्यीकृत संवेग का वर्णन करते हैं। वेधशालाओं का स्थान, अथार्थ $\mathbb {R} ^{2n}$ पर सुचारू कार्य, स्वाभाविक रूप से पॉइसन ब्रैकेट नामक एक बाइनरी ऑपरेशन से संपन्न है, जिसे $\{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसा ब्रैकेट लाई ब्रैकेट के मानक गुणों को संतुष्ट करता है, जो कि साथ ही फ़ंक्शंस के उत्पाद, अर्थात् लीबनिज़ पहचान $\{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h$ के साथ एक और अनुकूलता प्रदान करता है। समान रूप से, $\mathbb {R} ^{2n}$ पर पॉइसन ब्रैकेट को सिंपलेक्टिक फॉर्म $\omega :=\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}$ का उपयोग करके पुन: तैयार किया जा सकता है। वास्तव में , यदि कोई फ़ंक्शन $f$ से जुड़े हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र $X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q_{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\partial _{p_{i}}$ पर विचार करता है, तो पॉइसन ब्रैकेट को $\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).$के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

अधिक अमूर्त अंतर ज्यामितीय शब्दों में, कॉन्फ़िगरेशन स्थान एक $n$-आयामी स्मूथ मैनिफोल्ड $Q$ है, और चरण स्थान इसका कोटैंजेंट बंडल $T^{*}Q$ (आयाम $2n$ का मैनिफोल्ड) है। उत्तरार्द्ध स्वाभाविक रूप से एक विहित सहानुभूतिपूर्ण रूप से सुसज्जित है, जो विहित निर्देशांक में ऊपर वर्णित के साथ मेल खाता है। सामान्य रूप से , डार्बौक्स प्रमेय के अनुसार, कोई भी इच्छित सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड $(M,\omega )$ विशेष निर्देशांक स्वीकार करता है, जहां फॉर्म $\omega$ और ब्रैकेट $\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})$ क्रमशः, सिंपलेक्टिक फॉर्म और $\mathbb {R} ^{2n}$ के पॉइसन ब्रैकेट के समान होते हैं। इसलिए सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति मौलिक हैमिल्टनियन यांत्रिकी का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक गणितीय सेटिंग है।

पॉइसन मैनिफोल्ड्स सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स के आगे सामान्यीकरण हैं, जो पॉइसन ब्रैकेट द्वारा संतुष्ट गुणों को स्वयंसिद्ध करने से उत्पन्न होते हैं। $\mathbb {R} ^{2n}$. अधिक सटीक रूप से, एक पॉइसन मैनिफोल्ड में एक स्मूथ मैनिफोल्ड होता है $M$ (जरूरी नहीं कि समान आयाम का हो) एक अमूर्त कोष्ठक के साथ $\{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$, जिसे अभी भी पॉइसन ब्रैकेट कहा जाता है, जो आवश्यक रूप से एक सहानुभूतिपूर्ण रूप से उत्पन्न नहीं होता है $\omega$, लेकिन समान बीजगणितीय गुणों को संतुष्ट करता है।

पॉइसन ज्यामिति, सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति से निकटता से संबंधित है: उदाहरण के लिए, प्रत्येक पॉइसन ब्रैकेट मैनिफोल्ड के सिम्पलेक्टिक सबमैनिफोल्ड्स में एक पत्ते को निर्धारित करता है। हालाँकि, पॉइसन ज्यामिति के अध्ययन के लिए ऐसी तकनीकों की आवश्यकता होती है जो आमरूप से सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति में नियोजित नहीं होती हैं, जैसे कि लाई ग्रुपोइड्स और लाई अलजेब्रॉइड्स का सिद्धांत।

इसके अलावा, संरचनाओं के प्राकृतिक उदाहरण भी हैं जो नैतिक रूप से सहानुभूतिपूर्ण होने चाहिए, लेकिन विलक्षणता प्रदर्शित करते हैं, अथार्थ उनके सहानुभूतिपूर्ण स्वरूप को विकृत होने की अनुमति दी जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, एक समूह द्वारा सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड का सहज भागफल स्थान (टोपोलॉजी) लक्षणरूपता द्वारा समूह कार्रवाई एक पॉइसन मैनिफोल्ड है, जो सामान्य रूप से सिम्पलेक्टिक नहीं है। यह स्थिति एक भौतिक प्रणाली के मामले को मॉडल करती है जो समरूपता (भौतिकी) के तहत अपरिवर्तनीय है: समरूपता द्वारा मूल चरण स्थान को प्राप्त करने वाला कम चरण स्थान, सामान्य रूप से अब सहानुभूतिपूर्ण नहीं है, लेकिन पॉइसन है।

इतिहास

हालाँकि पॉइसन मैनिफोल्ड की आधुनिक परिभाषा केवल 70-80 के दशक में सामने आई, लेकिन इसकी उत्पत्ति उन्नीसवीं सदी में हुई। एलन वीनस्टीन ने पॉइसन ज्यामिति के प्रारंभिक इतिहास को इस प्रकार संश्लेषित किया: <ब्लॉकक्वोट> पॉइसन ने मौलिक गतिशीलता के लिए एक उपकरण के रूप में अपने कोष्ठक का आविष्कार किया। जैकोबी ने इन कोष्ठकों के महत्व को समझा और उनके बीजगणितीय गुणों को स्पष्ट किया और ली ने उनकी ज्यामिति का अध्ययन शुरू किया।</ब्लॉककोट>

वास्तव में , गति के नए अभिन्न अंग को प्राप्त करने के लिए, शिमोन डेनिस पॉइसन ने 1809 में प्रस्तुत किया था जिसे अब हम पॉइसन ब्रैकेट कहते हैं, अथार्थ वे मात्राएँ जो गति के दौरान संरक्षित रहती हैं। अधिक सटीक रूप से, उन्होंने साबित किया कि, यदि दो कार्य करते हैं $f$ और $g$ गतियों के अभिन्न अंग हैं, तो एक तीसरा कार्य है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है $\{f,g\}$, जो गति का भी अभिन्न अंग है। हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, जहां किसी भौतिक प्रणाली की गतिशीलता को किसी दिए गए फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है $h$ (आमरूप से प्रणाली की ऊर्जा), गति का एक अभिन्न अंग बस एक कार्य है $f$ जिसके साथ पॉइसन-आवागमन करता है $h$, यानि ऐसा कि $\{f,h\}=0$. जिसे पॉइसन प्रमेय के नाम से जाना जाएगा, उसे इस प्रकार तैयार किया जा सकता है

$$\{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.$$

पॉइसन की गणनाओं ने कई पृष्ठों पर कब्जा कर लिया, और उनके परिणामों को दो दशक बाद कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा फिर से खोजा और सरल बनाया गया। जैकोबी बाइनरी ऑपरेशन के रूप में पॉइसन ब्रैकेट के सामान्य गुणों की पहचान करने वाले पहले व्यक्ति थे। इसके अलावा, उन्होंने दो फ़ंक्शंस के (पॉइसन) ब्रैकेट और उनके संबंधित हैमिल्टनियन सदिश फ़ील्ड्स के सदिश फ़ील्ड्स | (लाइ) ब्रैकेट के बीच संबंध स्थापित किया, यानी।

$$X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],$$

गति के अभिन्न अंग पर पॉइसन के प्रमेय को दोबारा तैयार करने (और इसका बहुत छोटा प्रमाण देने) के लिए। पॉइसन ब्रैकेट पर जैकोबी के काम ने अंतर समीकरणों की समरूपता पर सोफस लाई के अग्रणी अध्ययन को प्रभावित किया, जिसके कारण लाई समूह और लाई बीजगणित की खोज हुई। उदाहरण के लिए, जिसे अब रैखिक पॉइसन संरचनाएं कहा जाता है (अर्थात एक सदिश स्थान पर पॉइसन कोष्ठक जो रैखिक कार्यों को रैखिक कार्यों में भेजते हैं) सटीक रूप से ली बीजगणित संरचनाओं के अनुरूप होते हैं। इसके अलावा, एक रेखीय पॉइसन संरचना की अभिन्नता (नीचे देखें) एक लाई समूह से संबंधित लाई बीजगणित की अभिन्नता से निकटता से संबंधित है।

बीसवीं सदी में आधुनिक विभेदक ज्यामिति का विकास हुआ, लेकिन केवल 1977 में आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने स्मूथ मैनिफ़ोल्ड पर ज्यामितीय वस्तुओं के रूप में पॉइसन संरचनाओं को प्रस्तुत किया।पॉइसन मैनिफोल्ड्स का एलन वेनस्टीन के मूलभूत 1983 के पेपर में आगे अध्ययन किया गया, जहां कई बुनियादी संरचना प्रमेयों को पहली बार साबित किया गया था। इन कार्यों ने बाद के दशकों में पॉइसन ज्यामिति के विकास पर बहुत बड़ा प्रभाव डाला, जो आज अपना खुद का एक क्षेत्र है, और साथ ही उदाहरण के लिए गहराई से उलझा हुआ है। गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति, एकीकृत प्रणाली टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत।

औपचारिक परिभाषा

पॉइसन संरचनाओं को परिभाषित करने के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण हैं: उनके बीच स्विच करना प्रथागत और सुविधाजनक है।

कोष्ठक के रूप में

होने देना $M$ एक स्मूथ मैनिफोल्ड हो और चलो ${C^{\infty }}(M)$ सुचारू वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के वास्तविक बीजगणित को निरूपित करें $M$, जहां गुणन को बिंदुवार परिभाषित किया गया है। एक पॉइसन ब्रैकेट (या पॉइसन संरचना) पर $M$ एक $\mathbb {R}$-बिलिनियर मानचित्र मानचित्र

$\{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)$

पॉइसन बीजगणित की संरचना को परिभाषित करना ${C^{\infty }}(M)$, अथार्थ निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करना:

• तिरछी समरूपता: $\{f,g\}=-\{g,f\}$.
• जैकोबी पहचान: $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$.
• सामान्य लाइबनिज नियम|लीबनिज का नियम: $\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}$.

पहली दो स्थितियाँ यह सुनिश्चित करती हैं $\{\cdot ,\cdot \}$ एक लाई-बीजगणित संरचना को परिभाषित करता है ${C^{\infty }}(M)$, जबकि तीसरा इसकी गारंटी देता है, प्रत्येक के लिए $f\in {C^{\infty }}(M)$, रेखीय मानचित्र $X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)$ बीजगणित की व्युत्पत्ति (विभेदक बीजगणित) है ${C^{\infty }}(M)$, यानी, यह एक सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है $X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)$ से संबद्ध हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र कहा जाता है $f$.

स्थानीय निर्देशांक चुनना $(U,x^{i})$, कोई भी पॉइसन ब्रैकेट द्वारा दिया गया है

$$\{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},$$

के लिए $\pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}$ समन्वय कार्यों का पॉइसन ब्रैकेट।

बायसदिश के रूप में

स्मूथ मैनिफोल्ड पर एक पॉइसन बाइसदिश $M$ एक मल्टीसदिश क्षेत्र है $\pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma {\big (}\wedge ^{2}TM{\big )}$ गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करना $[\pi ,\pi ]=0$, कहाँ

$[\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)$

मल्टीसदिश क्षेत्र पर स्काउटन-निजेनहुइस ब्रैकेट को दर्शाता है। स्थानीय निर्देशांक चुनना $(U,x^{i})$, कोई भी पॉइसन बायसदिश द्वारा दिया जाता है

$$\pi _{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},$$

के लिए $\pi ^{ij}$ तिरछा-सममितीय सुचारू कार्य करता है $U$.

परिभाषाओं की समतुल्यता

होने देना $\{\cdot ,\cdot \}$ लीबनिज़ के नियम को संतुष्ट करने वाला एक द्विरेखीय तिरछा-सममित ब्रैकेट (जिसे लगभग लाई ब्रैकेट भी कहा जाता है) बनें; फिर फ़ंक्शन $\{f,g\}$ का वर्णन किया जा सकता है

$$\{f,g\}=\pi (df\wedge dg),$$

एक अद्वितीय चिकने बायसदिश क्षेत्र के लिए $\pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)$. इसके विपरीत, किसी भी सुचारू बायसदिश क्षेत्र को देखते हुए $\pi$ पर $M$, वही सूत्र $\{f,g\}=\pi (df\wedge dg)$ लगभग लाई ब्रैकेट को परिभाषित करता है $\{\cdot ,\cdot \}$ जो स्वचालित रूप से लीबनिज़ के नियम का पालन करता है।

फिर निम्नलिखित अभिन्नता स्थितियाँ समतुल्य हैं:

• $\{\cdot ,\cdot \}$ जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है (इसलिए यह एक पॉइसन ब्रैकेट है);
• $\pi$ संतुष्ट $[\pi ,\pi ]=0$ (इसलिए यह एक पॉइसन बायसदिश है);
• वो नक्शा ${C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}$ एक लाई बीजगणित समरूपता है, अथार्थ हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र संतुष्ट हैं $[X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}$;
• लेखाचित्र ${\rm {Graph}}(\pi )\subset TM\oplus T^{*}M$ एक डिराक संरचना को परिभाषित करता है, अथार्थ एक लैग्रेंजियन सबबंडल $D\subset TM\oplus T^{*}M$ जो मानक कूरेंट ब्रैकेट के अंतर्गत बंद है।

उपरोक्त चार आवश्यकताओं में से किसी के बिना एक पॉइसन संरचना को लगभग पॉइसन संरचना भी कहा जाता है।

होलोमॉर्फिक पॉइसन संरचनाएं

वास्तविक स्मूथ मैनिफ़ोल्ड के लिए पॉइसन संरचना की परिभाषा को जटिल मामले में भी अनुकूलित किया जा सकता है।

'होलोमॉर्फिक पॉइसन मैनिफोल्ड' एक जटिल मैनिफोल्ड है $M$ जिसका शीफ ​​(गणित) होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का ${\mathcal {O}}_{M}$ पॉइसन बीजगणित का एक समूह है। समान रूप से, याद रखें कि एक होलोमोर्फिक बाइसदिश क्षेत्र $\pi$ एक जटिल विविधता पर $M$ एक अनुभाग है $\pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)$ ऐसा है कि ${\bar {\partial }}\pi =0$. फिर एक होलोमोर्फिक पॉइसन संरचना $M$ समीकरण को संतुष्ट करने वाला एक होलोमोर्फिक बाइसदिश क्षेत्र है $[\pi ,\pi ]=0$. होलोमोर्फिक पॉइसन मैनिफोल्ड्स को पॉइसन-निजेनहुइस संरचनाओं के संदर्भ में भी चित्रित किया जा सकता है। वास्तविक पॉइसन संरचनाओं के लिए कई परिणाम, उदा. उनकी अभिन्नता के संबंध में, होलोमोर्फिक तक भी विस्तार करें। होलोमोर्फिक पॉइसन संरचनाएं सामान्यीकृत जटिल संरचना के संदर्भ में स्वाभाविक रूप से प्रकट होती हैं: स्थानीय रूप से, कोई भी सामान्यीकृत जटिल मैनिफोल्ड एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड और एक होलोमोर्फिक पॉइसन मैनिफोल्ड का उत्पाद होता है।

सिंपलेक्टिक पत्तियां

एक पॉइसन मैनिफोल्ड को स्वाभाविक रूप से संभवतः विभिन्न आयामों के नियमित रूप से विसर्जित सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड में विभाजित किया जाता है, जिसे इसकी सिंपलेक्टिक पत्तियां कहा जाता है। ये हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्रों द्वारा फैलाए गए फोलिएशन # फोलिएशन और इंटीग्रैबिलिटी के अधिकतम अभिन्न उपमान के रूप में उत्पन्न होते हैं।

पॉइसन संरचना की रैंक

याद रखें कि किसी भी द्विसदिश क्षेत्र को तिरछी समरूपता के रूप में माना जा सकता है $\pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )$. छवि ${\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM$ इसलिए मूल्यों से मिलकर बनता है ${X_{f}}(x)$ सभी हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र का प्रत्येक पर मूल्यांकन किया गया $x\in M$.

का पद $\pi$ एक बिंदु पर $x\in M$ प्रेरित रैखिक मानचित्रण की रैंक है $\pi _{x}^{\sharp }$. एक बिंदु $x\in M$ पॉइसन संरचना के लिए नियमित कहा जाता है $\pi$ पर $M$ यदि और केवल यदि की रैंक $\pi$ के खुले पड़ोस पर स्थिर है $x\in M$; अन्यथा, इसे एकवचन बिंदु कहा जाता है। नियमित बिंदु एक खुले घने उपस्थान का निर्माण करते हैं $M_{\mathrm {reg} }\subseteq M$; कब $M_{\mathrm {reg} }=M$, अथार्थ नक्शा $\pi ^{\sharp }$ स्थिर रैंक का है, पॉइसन संरचना $\pi$ नियमित कहा जाता है. नियमित पॉइसन संरचनाओं के उदाहरणों में तुच्छ और गैर-विक्षिप्त संरचनाएं सम्मिलित हैं (नीचे देखें)।

नियमित मामला

नियमित पॉइसन मैनिफोल्ड के लिए, छवि ${\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM$ एक वितरण (विभेदक ज्यामिति) है; इसलिए, फ्रोबेनियस प्रमेय (विभेदक टोपोलॉजी) द्वारा यह जांचना आसान है कि यह अनैच्छिक है, $M$ पत्तों में विभाजन स्वीकार करता है। इसके अलावा, पॉइसन बाइसदिश प्रत्येक पत्ती को अच्छी तरह से प्रतिबंधित करता है, जो इसलिए सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड बन जाता है।

गैर-नियमित मामला

वितरण के बाद से एक गैर-नियमित पॉइसन मैनिफोल्ड के लिए स्थिति अधिक जटिल है ${\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM$ एकवचन वितरण (विभेदक ज्यामिति) है, अथार्थ सदिश उप-स्थान ${\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M$ अलग-अलग आयाम हैं.

के लिए एक अभिन्न उपमान ${\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)$ एक पथ-संबद्ध सबमैनिफोल्ड है $S\subseteq M$ संतुष्टि देने वाला $T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)$ सभी के लिए $x\in S$. का अभिन्न उपमान $\pi$ स्वचालित रूप से नियमित रूप से विसर्जित मैनिफोल्ड्स, और अधिकतम इंटीग्रल सबमैनिफोल्ड्स होते हैं $\pi$ की पत्तियाँ कहलाती हैं $\pi$.

इसके अलावा, प्रत्येक पत्ता $S$ एक प्राकृतिक प्रतीकात्मक रूप धारण करता है $\omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)$ स्थिति द्वारा निर्धारित किया जाता है $[{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)$ सभी के लिए $f,g\in {C^{\infty }}(M)$ और $x\in S$. तदनुसार, कोई सहानुभूतिपूर्ण पत्तियों की बात करता है $\pi$. इसके अलावा, दोनों जगह $M_{\mathrm {reg} }$ नियमित बिंदुओं और इसके पूरक को सिंपलेक्टिक पत्तियों द्वारा संतृप्त किया जाता है, इसलिए सिंपलेक्टिक पत्तियां या तो नियमित या एकवचन हो सकती हैं।

वीनस्टीन विभाजन प्रमेय

गैर-नियमित मामले में भी सहानुभूति पत्तियों के अस्तित्व को दिखाने के लिए, कोई वीनस्टीन विभाजन प्रमेय (या डार्बौक्स-वेनस्टीन प्रमेय) का उपयोग कर सकता है।इसमें कहा गया है कि कोई भी पॉइसन मैनिफोल्ड है $(M^{n},\pi )$ एक बिंदु के आसपास स्थानीय रूप से विभाजित होता है $x_{0}\in M$ एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड के उत्पाद के रूप में $(S^{2k},\omega )$ और एक अनुप्रस्थ पॉइसन सबमैनिफोल्ड $(T^{n-2k},\pi _{T})$ पर लुप्त हो रहा है $x_{0}$. अधिक सटीक रूप से, यदि $\mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k$, स्थानीय निर्देशांक हैं $(U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})$ जैसे कि पॉइसन बायसदिश $\pi$ योग के रूप में विभाजित होता है

$$\pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},$$

कहाँ $\phi ^{ij}(x_{0})=0$. ध्यान दें कि, जब रैंक की $\pi$ अधिकतम है (उदाहरण के लिए पॉइसन संरचना नॉनडीजेनरेट है), कोई सहानुभूति संरचनाओं के लिए मौलिक डार्बौक्स के प्रमेय को पुनः प्राप्त करता है।

उदाहरण

तुच्छ पॉइसन संरचनाएं

हर अनेक गुना $M$ तुच्छ पॉइसन संरचना रखता है $\{f,g\}=0$, समकक्ष रूप से बायसदिश द्वारा वर्णित है $\pi =0$. का हर बिंदु $M$ इसलिए यह एक शून्य-आयामी सिंप्लेक्सिक पत्ता है।

नॉनडीजेनरेट पॉइसन संरचनाएं

एक द्विसदिश क्षेत्र $\pi$ नॉनडीजेनरेट यदि कहा जाता है $\pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM$ एक सदिश बंडल समरूपता है। नॉनडीजेनरेट पॉइसन बाइसदिश क्षेत्र वास्तव में सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड के समान ही हैं $(M,\omega )$.

वास्तव में, नॉनडीजेनरेट बायसदिश क्षेत्रों के बीच एक विशेषण पत्राचार है $\pi$ और नॉनडीजेनरेट फॉर्म|नॉनडीजेनरेट 2-फॉर्म $\omega$, द्वारा दिए गए

$$\pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},$$

कहाँ $\omega$ द्वारा एन्कोड किया गया है $\omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,\quad v\mapsto \omega (v,\cdot )$. आगे, $\pi$ पॉइसन सटीक रूप से यदि और केवल यदि है $\omega$ बन्द है; ऐसे मामले में, ब्रैकेट हैमिल्टनियन यांत्रिकी से विहित पॉइसन ब्रैकेट बन जाता है:

$$\{f,g\}:=\omega (X_{f},X_{g}).$$

गैर-पतित पॉइसन संरचनाओं में केवल एक सहानुभूति पत्ती होती है, अर्थात् $M$ स्वयं, और उनका पॉइसन बीजगणित $({\mathcal {C}}^{\infty }(M),\{\cdot ,\cdot \})$ पॉइसन रिंग बनें।

रैखिक पॉइसन संरचनाएं

एक पॉइसन संरचना $\{\cdot ,\cdot \}$ एक सदिश स्थान पर $V$ रैखिक तब कहा जाता है जब दो रैखिक फलनों का कोष्ठक अभी भी रैखिक हो।

रैखिक पॉइसन संरचनाओं के साथ सदिश रिक्त स्थान का वर्ग वास्तव में (दोहरे) ले बीजगणित के साथ मेल खाता है। वास्तव में, द्वैत ${\mathfrak {g}}^{*}$ किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित का $({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])$ एक रेखीय पॉइसन ब्रैकेट होता है, जिसे साहित्य में लाई-पॉइसन, किरिलोव-पॉइसन या केकेएस (बर्ट्राम कॉन्स्टेंट -अलेक्जेंडर किरिलोव-जीन-मैरी सौरिउ) संरचना के नाम से जाना जाता है:

$$\{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),$$

कहाँ $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}$ और व्युत्पन्न $d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R}$ बिडुअल के तत्वों के रूप में व्याख्या की जाती है ${\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}$. समान रूप से, पॉइसन बायसदिश को स्थानीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$\pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},$$

कहाँ $x^{i}$ पर निर्देशांक हैं ${\mathfrak {g}}^{*}$ और $c_{k}^{ij}$ के संबद्ध संरचना स्थिरांक हैं ${\mathfrak {g}}$,

इसके विपरीत, कोई भी रैखिक पॉइसन संरचना $\{\cdot ,\cdot \}$ पर $V$ इस रूप का होना चाहिए, अथार्थ वहां एक प्राकृतिक लाई बीजगणित संरचना मौजूद है ${\mathfrak {g}}:=V^{*}$ जिसका लाई-पॉइसन ब्रैकेट ठीक हो जाता है $\{\cdot ,\cdot \}$.

ली-पोइसन संरचना की सहानुभूतिपूर्ण पत्तियाँ ${\mathfrak {g}}^{*}$ की सहसंयुक्त क्रिया की कक्षाएँ हैं $G$ पर ${\mathfrak {g}}^{*}$.

फ़ाइबरवाइज रैखिक पॉइसन संरचनाएं

पिछले उदाहरण को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक सदिश बंडल के कुल स्थान पर एक पॉइसन संरचना $E\to M$ फ़ाइबरवाइज रैखिक कहा जाता है जब दो सुचारू कार्यों का ब्रैकेट $E\to \mathbb {R}$, जिसके तंतुओं पर प्रतिबंध रैखिक हैं, तंतुओं तक सीमित होने पर भी रैखिक है। समतुल्य, पॉइसन बायसदिश क्षेत्र $\pi$ संतुष्ट करने के लिए कहा गया है $(m_{t})^{*}\pi =t\pi$ किसी के लिए $t>0$, कहाँ $m_{t}:E\to E$ अदिश गुणन है $v\mapsto tv$.

रैखिक पॉइसन संरचनाओं के साथ सदिश बंडलों का वर्ग वास्तव में (दोहरे) लेई बीजगणित के साथ मेल खाता है। वास्तव में, द्वैत $A^{*}$ किसी भी लाई बीजगणित का $(A,[\cdot ,\cdot ])$ एक फ़ाइबरवाइज रैखिक पॉइसन ब्रैकेट रखता है, द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

$$\{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),$$

कहाँ $\mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )$ द्वारा मूल्यांकन है $\alpha$. समान रूप से, पॉइसन बायसदिश को स्थानीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$\pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},$$

कहाँ $x^{i}$ एक बिंदु के चारों ओर निर्देशांक हैं $x\in M$, $y_{a}$ फाइबर निर्देशांक चालू हैं $A^{*}$, एक स्थानीय फ्रेम के लिए दोहरी $e_{a}$ का $A$, और $B_{a}^{i}$ और $C_{ab}^{c}$ के संरचना कार्य हैं $A$, अथार्थ अद्वितीय सुचारू कार्य संतोषजनक

$$\rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.$$

इसके विपरीत, कोई भी फ़ाइबरवाइज रैखिक पॉइसन संरचना $\{\cdot ,\cdot \}$ पर $E$ इस रूप का होना चाहिए, अथार्थ वहां एक प्राकृतिक लाई बीजगणित संरचना मौजूद है $A:=E^{*}$ जिसका लाई-पॉइसन ब्रैकेट ठीक हो गया है $\{\cdot ,\cdot \}$. की सहानुभूतिपूर्ण पत्तियाँ $A^{*}$ ली बीजगणित#प्रथम गुणों के कोटैंजेंट बंडल हैं ${\mathcal {O}}\subseteq A$; समान रूप से, यदि $A$ एक लाई ग्रुपॉइड के लिए अभिन्न अंग है ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$, वे अन्य लाई ग्रुपॉयड से ली ग्रुपॉइड#कंस्ट्रक्शन की कक्षाओं के जुड़े हुए घटक हैं $T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}$.

के लिए $M=\{*\}$ एक रैखिक पॉइसन संरचनाओं को पुनः प्राप्त करता है, जबकि के लिए $A=TM$ फ़ाइबरवाइज़ लीनियर पॉइसन संरचना कोटैंजेंट बंडल की कैनोनिकल सिम्पलेक्टिक संरचना द्वारा दी गई नॉनडिजेनरेट संरचना है $T^{*}M$.

अन्य उदाहरण और निर्माण

• सदिश समष्टि पर कोई भी स्थिर द्विसदिश क्षेत्र स्वचालित रूप से एक पॉइसन संरचना है; वास्तव में, जेकोबीएटर में सभी तीन पद शून्य हैं, जो एक स्थिर कार्य वाला ब्रैकेट है।
• सतह पर कोई भी बाइसदिश क्षेत्र (टोपोलॉजी) | 2-आयामी मैनिफोल्ड स्वचालित रूप से एक पॉइसन संरचना है; वास्तव में, $[\pi ,\pi ]$ एक 3-सदिश क्षेत्र है, जो आयाम 2 में हमेशा शून्य होता है।
• कोई भी पॉइसन बाइसदिश क्षेत्र दिया गया $\pi$ 3-मैनिफोल्ड|3-आयामी मैनिफोल्ड पर $M$, बायसदिश क्षेत्र $f\pi$, किसी के लिए $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$, स्वचालित रूप से पॉइसन है।
• कार्टेशियन उत्पाद $(M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})$ दो पॉइसन मैनिफोल्ड्स का $(M_{0},\pi _{0})$ और $(M_{1},\pi _{1})$ यह फिर से एक पॉइसन मैनिफोल्ड है।
• होने देना ${\mathcal {F}}$ आयाम का एक (नियमित) पत्ते बनें $2r$ पर $M$ और $\omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})$ एक बंद पत्ते दो-रूप जिसके लिए शक्ति $\omega ^{r}$ कहीं गायब नहीं है. यह विशिष्ट रूप से एक नियमित पॉइसन संरचना को निर्धारित करता है $M$ की सहानुभूतिपूर्ण पत्तियों की आवश्यकता के द्वारा $\pi$ पत्ते बनना $S$ का ${\mathcal {F}}$ प्रेरित सिंपलेक्टिक फॉर्म से सुसज्जित $\omega |_{S}$.
• होने देना $G$ एक लाई समूह बनें एक पॉइसन मैनिफोल्ड पर लाई समूह कार्रवाई $(M,\pi )$ पॉइसन डिफियोमोर्फिज्म द्वारा। यदि क्रिया स्वतंत्र क्रिया और उचित क्रिया है, तो भागफल मैनिफोल्ड हो जाता है $M/G$ एक पॉइसन संरचना विरासत में मिली है $\pi _{M/G}$ से $\pi$ (अर्थात्, यह एकमात्र ऐसा है जो सबमर्शन (गणित) $(M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})$ एक पॉइसन मानचित्र है)।

पॉइसन कोहोमोलॉजी

पॉइसन कोहोमोलॉजी समूह $H^{k}(M,\pi )$ पॉइसन मैनिफोल्ड के कोचेन कॉम्प्लेक्स के कोहोमोलॉजी समूह हैं

$$\ldots \xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)\xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet +1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}$$

जहां ऑपरेटर $d_{\pi }=[\pi ,-]$ Schouten-Nijenhuis ब्रैकेट के साथ है $\pi$. ध्यान दें कि इस तरह के अनुक्रम को प्रत्येक बायसदिश के लिए परिभाषित किया जा सकता है $M$; स्थिति $d_{\pi }\circ d_{\pi }=0$ के बराबर है $[\pi ,\pi ]=0$, अर्थात। $M$ पॉइसन होना.

रूपवाद का उपयोग करना $\pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM$, कोई राम परिसर का से एक रूपवाद प्राप्त करता है $(\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})$ पॉइसन कॉम्प्लेक्स के लिए $({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })$, एक समूह समरूपता को प्रेरित करना $H_{dR}^{\bullet }(M)\to H^{\bullet }(M,\pi )$. गैर-अपक्षयी मामले में, यह एक समरूपता बन जाता है, जिससे कि एक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड की पॉइसन कोहॉमोलॉजी पूरी तरह से अपने उसके पास मेमने की तरह गर्भाशय है को पुनः प्राप्त कर लेती है।

पॉइसन कोहोमोलॉजी की सामान्य रूप से गणना करना कठिन है, लेकिन निम्न डिग्री समूहों में पॉइसन संरचना पर महत्वपूर्ण ज्यामितीय जानकारी होती है:

• $H^{0}(M,\pi )$ कासिमिर फ़ंक्शंस का स्थान है, अथार्थ अन्य सभी के साथ पॉइसन-कम्यूटिंग के सुचारू कार्य (या, समकक्ष, सहानुभूतिपूर्ण पत्तियों पर स्थिर कार्य);
• $H^{1}(M,\pi )$ पोइसन सदिश क्षेत्र मॉड्यूलो हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र का स्थान है;
• $H^{2}(M,\pi )$ पोइसन संरचना मोडुलो तुच्छ विकृतियों के अनंतिम विकृतियों का स्थान है;
• $H^{3}(M,\pi )$ अनंत सूक्ष्म विकृतियों को वास्तविक विकृतियों तक विस्तारित करने के लिए अवरोधों का स्थान है।

मॉड्यूलर वर्ग

पॉइसन मैनिफोल्ड का मॉड्यूलर वर्ग पहले पॉइसन कोहोमोलॉजी समूह में एक वर्ग है, जो हैमिल्टनियन प्रवाह के तहत वॉल्यूम फॉर्म अपरिवर्तनीय के अस्तित्व में बाधा है। इसे कोस्ज़ुल द्वारा प्रस्तुत किया गया था और वीनस्टीन. याद रखें कि विचलन#एक सदिश क्षेत्र के वक्ररेखीय निर्देशांक में $X\in {\mathfrak {X}}(M)$ किसी दिए गए वॉल्यूम फॉर्म के संबंध में $\lambda$ कार्य है ${\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ द्वारा परिभाषित ${\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}$. वॉल्यूम फॉर्म के संबंध में पॉइसन मैनिफ़ोल्ड का मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र $\lambda$, सदिश क्षेत्र है $X_{\lambda }$ हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्रों के विचलन द्वारा परिभाषित: $X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})$.

मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र एक पॉइसन 1-कोसाइकिल है, अथार्थ यह संतुष्ट करता है ${\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0$. इसके अलावा, दो वॉल्यूम फॉर्म दिए गए हैं $\lambda _{1}$ और $\lambda _{2}$, के अंतर $X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}$ एक हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र है। तदनुसार, पॉइसन कोहोमोलॉजी वर्ग $[X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )$ वॉल्यूम फॉर्म की मूल पसंद पर निर्भर नहीं है $\lambda$, और इसे पॉइसन मैनिफोल्ड का मॉड्यूलर वर्ग कहा जाता है।

एक पॉइसन मैनिफोल्ड को यूनिमॉड्यूलर कहा जाता है यदि उसका मॉड्यूलर वर्ग गायब हो जाता है। ध्यान दें कि ऐसा तभी होता है जब वॉल्यूम फॉर्म मौजूद हो $\lambda$ जैसे कि मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र $X_{\lambda }$ गायब हो जाता है, अथार्थ ${\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0$ हरएक के लिए $f$; दूसरे शब्दों में, $\lambda$ किसी भी हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र के प्रवाह के तहत अपरिवर्तनीय है। उदाहरण के लिए:

• सिम्प्लेक्टिक संरचनाएं हमेशा एक-मॉड्यूलर होती हैं, क्योंकि लिउविल फॉर्म सभी हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्रों के तहत अपरिवर्तनीय है;
• रैखिक पॉइसन संरचनाओं के लिए मॉड्यूलर वर्ग अनन्तिमल वर्ण है ${\mathfrak {g}}$, चूंकि मानक लेबेस्ग माप से संबद्ध मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र पर है ${\mathfrak {g}}^{*}$ पर स्थिर सदिश क्षेत्र है ${\mathfrak {g}}^{*}$. तब ${\mathfrak {g}}^{*}$ पोइसन मैनिफोल्ड के रूप में यूनिमॉड्यूलर है यदि और केवल यदि यह लाई बीजगणित के रूप में यूनिमॉड्यूलर समूह है;
• नियमित पॉइसन संरचनाओं के लिए मॉड्यूलर वर्ग अंतर्निहित सिंपलेक्टिक फोलिएशन के रीब वर्ग से संबंधित है (पहले लीफवाइज कोहोमोलॉजी समूह का एक तत्व, जो फोलिएशन के स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्रों द्वारा वॉल्यूम सामान्य फॉर्म अपरिवर्तनीय के अस्तित्व में बाधा डालता है)।

पॉइसन होमोलॉजी

पॉइसन कोहोमोलॉजी की शुरुआत 1977 में स्वयं लिचनेरोविक्ज़ ने की थी;एक दशक बाद, जीन-ल्यूक ब्रिलिंस्की ने ऑपरेटर का उपयोग करते हुए पॉइसन मैनिफोल्ड्स के लिए एक होमोलॉजी सिद्धांत प्रस्तुत किया $\partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]$. पॉइसन होमोलॉजी और कोहोमोलॉजी से संबंधित कई परिणाम सिद्ध हो चुके हैं। उदाहरण के लिए, ओरिएंटेबल यूनिमॉड्यूलर पॉइसन मैनिफोल्ड्स के लिए, पॉइसन होमोलॉजी पॉइसन कोहोमोलॉजी के लिए आइसोमोर्फिक साबित होती है: यह जू द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था और इवांस-लू-वेनस्टीन।

पॉइसन मानचित्र

एक सहज नक्शा $\varphi :M\to N$ पॉइसन मैनिफ़ोल्ड्स के बीच को a कहा जाता हैPoisson map यदि यह पॉइसन संरचनाओं का सम्मान करता है, अथार्थ निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से एक रखती है (उपरोक्त पॉइसन संरचनाओं की समकक्ष परिभाषाओं के साथ तुलना करें):

• पॉइसन कोष्ठक $\{\cdot ,\cdot \}_{M}$ और $\{\cdot ,\cdot \}_{N}$ संतुष्ट ${\{f,g\}_{N}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x)$ हरएक के लिए $x\in M$ और सुचारू कार्य $f,g\in {C^{\infty }}(N)$ * बायसदिश क्षेत्र $\pi _{M}$ और $\pi _{N}$ हैं $\varphi$-संबंधित, अथार्थ $\pi _{N}=\varphi _{*}\pi _{M}$
• हर सुचारु कार्य से जुड़े हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र $H\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N)$ हैं $\varphi$-संबंधित, अथार्थ $X_{H}=\varphi _{*}X_{H\circ \phi }$
• अंतर $d\varphi :(TM,{\rm {Graph}}(\pi _{M}))\to (TN,{\rm {Graph}}(\pi _{N}))$ एक डिराक रूपवाद है।

एक एंटी-पॉइसन मानचित्र एक तरफ ऋण चिह्न के साथ समान स्थितियों को संतुष्ट करता है।

पॉइसन मैनिफोल्ड्स एक श्रेणी की वस्तुएं हैं ${\mathfrak {Poiss}}$, पॉइसन मानचित्रों के साथ रूपवाद। यदि एक पॉइसन मानचित्र $\varphi :M\to N$ यह भी एक भिन्नरूपता है, तो हम कहते हैं $\varphi$ एक पॉइसन-डिफोमोर्फिज्म।

उदाहरण

• उत्पाद पॉइसन मैनिफोल्ड को देखते हुए $(M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})$, विहित अनुमान $\mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}$, के लिए $i\in \{0,1\}$, पॉइसन मानचित्र हैं।
• एक सिम्प्लेक्टिक पत्ती, या एक खुले उपस्थान का समावेशन मानचित्रण, एक पॉइसन मानचित्र है।
• दो लाई बीजगणित दिए गए हैं ${\mathfrak {g}}$ और ${\mathfrak {h}}$, किसी भी लाई बीजगणित समरूपता का द्वैत ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ एक पॉइसन मानचित्र प्रेरित करता है ${\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}$ उनकी रैखिक पॉइसन संरचनाओं के बीच।
• दो लाई बीजगणित दिए गए हैं $A\to M$ और $B\to M$, किसी भी लाई बीजगणित रूपवाद का द्वैत $A\to B$ पहचान के ऊपर एक पॉइसन मानचित्र उत्पन्न होता है $B^{*}\to A^{*}$ उनकी फ़ाइबरवाइज रैखिक पॉइसन संरचना के बीच।

किसी को ध्यान देना चाहिए कि पॉइसन मानचित्र की धारणा मूल रूप से सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म से भिन्न है। उदाहरण के लिए, उनकी मानक सहानुभूति संरचनाओं के साथ, कोई पॉइसन मानचित्र मौजूद नहीं हैं $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}$, जबकि सहानुभूतिपूर्ण मानचित्र प्रचुर मात्रा में हैं।

प्रतीकात्मक अनुभूतियाँ

पॉइसन मैनिफोल्ड एम पर एक सिम्पलेक्टिक अहसास में एक सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड सम्मिलित होता है $(P,\omega )$ पॉइसन मानचित्र के साथ $\phi :(P,\omega )\to (M,\pi )$ जो कि एक विशेषणात्मक निमज्जन है। मोटे रूप से कहें तो, एक सहानुभूतिपूर्ण अहसास की भूमिका एक जटिल (पतित) पॉइसन को एक बड़े, लेकिन आसान (गैर-पतित) से गुजरते हुए मैनिफोल्ड कम करना है।

ध्यान दें कि कुछ लेखक इस अंतिम शर्त के बिना सहानुभूति बोध को परिभाषित करते हैं (ताकि, उदाहरण के लिए, एक सहानुभूति मैनिफोल्ड में एक सहानुभूति पत्ती का समावेश एक उदाहरण हो) और पूर्ण को एक सहानुभूति बोध कहते हैं जहां $\phi$ एक विशेषण निमज्जन है. (पूर्ण) सहानुभूति बोध के उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

• तुच्छ पॉइसन संरचना के लिए $(M,0)$, एक के रूप में लेता है $P$ कोटैंजेंट बंडल $T^{*}M$, इसके टॉटोलॉजिकल एक-रूप के साथ, और जैसा $\phi$प्रक्षेपण $T^{*}M\to M$.
• एक गैर-पतित पॉइसन संरचना के लिए $(M,\omega )$ एक के रूप में लेता है $P$ अनेक गुना $M$ स्वयं और जैसा $\phi$ पहचान $M\to M$.
• लाई-पोइसन संरचना के लिए ${\mathfrak {g}}^{*}$, एक के रूप में लेता है $P$ कोटैंजेंट बंडल $T^{*}G$ एक लाई समूह का $G$ एकीकृत ${\mathfrak {g}}$ और के रूप में $\phi$ दोहरा नक्शा $\phi :T^{*}G\to {\mathfrak {g}}^{*}$ (बाएँ या दाएँ) अनुवाद की पहचान में अंतर का $G\to G$.

एक सिम्पलेक्सिक अहसास $\phi$ पूर्ण कहा जाता है यदि, किसी पूर्ण सदिश क्षेत्र हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र के लिए $X_{H}$, सदिश क्षेत्र $X_{H\circ \phi }$ पूर्ण भी है. जबकि प्रत्येक पॉइसन मैनिफोल्ड के लिए सहानुभूतिपूर्ण अहसास हमेशा मौजूद रहते हैं (और कई अलग-अलग प्रमाण उपलब्ध हैं), पूर्ण नहीं होते हैं, और उनका अस्तित्व पॉइसन मैनिफोल्ड्स के लिए इंटीग्रेबिलिटी समस्या में एक मौलिक भूमिका निभाता है (नीचे देखें)।

पॉइसन मैनिफोल्ड्स का एकीकरण

कोई भी पॉइसन मैनिफ़ोल्ड $(M,\pi )$ इसके कोटैंजेंट बंडल पर बीजगणित की एक संरचना उत्पन्न होती है $T^{*}M\to M$, जिसे कोटैंजेंट बीजगणित भी कहा जाता है। एंकर मानचित्र द्वारा दिया गया है $\pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM$ जबकि लेट ब्रैकेट चालू है $\Gamma (T^{*}M)=\Omega ^{1}(M)$ परिभाषित किया जाता है

$$[\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-\iota _{\pi ^{\sharp }(\beta )}d\alpha ={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta ).$$

पॉइसन मैनिफोल्ड्स के लिए परिभाषित कई धारणाओं की व्याख्या इसके लाई बीजगणित के माध्यम से की जा सकती है $T^{*}M$:

• सिंपलेक्टिक फोलिएशन, लाई अलजेब्रॉइड के एंकर द्वारा प्रेरित सामान्य (एकवचन) फोलिएशन है;
• सहानुभूति पत्तियाँ लाई बीजगणित की कक्षाएँ हैं;
• एक पॉइसन संरचना पर $M$ ठीक ठीक तब नियमित होता है जब संबद्ध लाई बीजगणित होता है $T^{*}M$ है;
• पॉइसन कोहोमोलॉजी समूह ली अलजेब्रॉइड कोहोमोलॉजी समूहों के साथ मेल खाते हैं $T^{*}M$ तुच्छ प्रतिनिधित्व में गुणांक के साथ;
• पॉइसन मैनिफोल्ड का मॉड्यूलर वर्ग संबंधित लाई बीजगणित के मॉड्यूलर वर्ग के साथ मेल खाता है $T^{*}M$.

इस बात पर ध्यान देना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि लाई बीजगणित $T^{*}M$ हमेशा एक लाई ग्रुपॉइड के साथ एकीकृत नहीं होता है।

सिंपलेक्टिक ग्रुपोइड्स

एsymplectic groupoid एक लाई ग्रुपॉइड है ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$ एक साथ एक सिम्पलेक्सिक फॉर्म के साथ $\omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})$ जो गुणक भी है, अथार्थ यह समूह गुणन के साथ निम्नलिखित बीजगणितीय संगतता को संतुष्ट करता है: $m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega$. समान रूप से, का ग्राफ $m$ का लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड होने के लिए कहा गया है $({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )$. अनेक परिणामों में से, का आयाम ${\mathcal {G}}$ का आयाम स्वचालित रूप से दोगुना है $M$. सिम्प्लेक्टिक ग्रुपॉइड की धारणा 80 के दशक के अंत में कई लेखकों द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रस्तुत की गई थी।

एक मौलिक प्रमेय बताता है कि किसी भी सहानुभूति समूह का आधार स्थान एक अद्वितीय पॉइसन संरचना को स्वीकार करता है $\pi$ जैसे कि स्रोत मानचित्र $s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )$ और लक्ष्य मानचित्र $t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )$ क्रमशः, एक पॉइसन मानचित्र और एक पॉइसन-विरोधी मानचित्र हैं। इसके अलावा, लाई बीजगणित ${\rm {Lie}}({\mathcal {G}})$ कोटैंजेंट बीजगणित के समरूपी है $T^{*}M$ पॉइसन मैनिफ़ोल्ड से संबद्ध $(M,\pi )$. इसके विपरीत, यदि कोटैंजेंट बंडल $T^{*}M$ एक पॉइसन मैनिफोल्ड का कुछ लाई ग्रुपॉइड के साथ अभिन्न अंग है ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$, तब ${\mathcal {G}}$ स्वचालित रूप से एक सिंपलेक्टिक ग्रुपॉइड है। तदनुसार, पॉइसन मैनिफोल्ड के लिए इंटीग्रैबिलिटी समस्या में एक (सिम्पलेक्टिक) लाई ग्रुपॉइड ढूंढना सम्मिलित है जो इसके कोटैंजेंट बीजगणित को एकीकृत करता है; जब ऐसा होता है, तो पॉइसन संरचना को इंटीग्रेबल कहा जाता है।

जबकि कोई भी पॉइसन मैनिफोल्ड एक स्थानीय एकीकरण को स्वीकार करता है (अर्थात एक सहानुभूति समूह जहां गुणन को केवल स्थानीय रूप से परिभाषित किया जाता है),इसकी इंटीग्रेबिलिटी में सामान्य टोपोलॉजिकल रुकावटें हैं, जो लाई अलजेब्रॉइड्स के इंटीग्रेबिलिटी सिद्धांत से आ रही हैं। इस तरह की रुकावटों का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि एक पॉइसन मैनिफोल्ड तभी एकीकृत है जब यह पूर्ण सहानुभूतिपूर्ण अहसास को स्वीकार करता है। उम्मीदवार $\Pi (M,\pi )$ किसी दिए गए पॉइसन मैनिफ़ोल्ड को एकीकृत करने वाले सिम्प्लेक्टिक ग्रुपॉइड के लिए $(M,\pi )$ इसे पॉइसन होमोटॉपी ग्रुपॉइड कहा जाता है और यह कोटैंजेंट अलजेब्रॉइड का केवल लाई बीजगणित # वेनस्टीन समूह है $T^{*}M\to M$, जिसमें पथ (टोपोलॉजी) के एक विशेष वर्ग के बानाच स्थान का भागफल सम्मिलित है $T^{*}M$ एक उपयुक्त समकक्ष संबंध द्वारा. समान रूप से, $\Pi (M,\pi )$ इसे अनंत-आयामी सहानुभूति भागफल के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

एकीकरण के उदाहरण

• तुच्छ पॉइसन संरचना $(M,0)$ हमेशा पूर्णांकीय होता है, सिम्प्लेक्टिक ग्रुपॉइड एबेलियन (योज्य) समूहों का बंडल होता है $T^{*}M\rightrightarrows M$ विहित सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ।
• एक गैर-पतित पॉइसन संरचना $M$ सदैव पूर्णांकीय होता है, सहानुभूति ग्रुपॉइड युग्म ग्रुपॉइड होता है $M\times M\rightrightarrows M$ एक साथ सिंपलेक्टिक फॉर्म के साथ $s^{*}\omega -t^{*}\omega$ (के लिए $\pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}$).
• एक लाई-पोइसन संरचना पर ${\mathfrak {g}}^{*}$ हमेशा पूर्णांकीय होता है, सिम्प्लेक्टिक ग्रुपॉइड (कोएडजॉइंट प्रतिनिधित्व) एक्शन ग्रुपॉइड होता है $G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}$, के लिए $G$ का बस जुड़ा हुआ स्थान इंटीग्रेशन ${\mathfrak {g}}$, साथ में विहित सहानुभूतिपूर्ण रूप $T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}$.
• एक लाई-पोइसन संरचना पर $A^{*}$ पूर्णांकीय है यदि और केवल यदि लाई बीजगणित $A\to M$ एक लाई ग्रुपॉइड के लिए अभिन्न अंग है ${\mathcal {G}}\rightrightarrows M$, सिम्प्लेक्टिक ग्रुपॉइड कोटैंजेंट ग्रुपॉइड है $T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}$ विहित सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ।

सबमैनिफोल्ड्स

का एक पॉइसन सबमैनिफोल्ड $(M,\pi )$ एक निमज्जित उपमानव है $N\subseteq M$ ऐसे कि विसर्जन मानचित्र $(N,\pi _{\mid N})\hookrightarrow (M,\pi )$ एक पॉइसन मानचित्र है. समान रूप से, कोई पूछता है कि प्रत्येक हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र $X_{f}$, के लिए $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$, स्पर्शरेखा है $N$.

यह परिभाषा बहुत स्वाभाविक है और कई अच्छे गुणों को संतुष्ट करती है, जैसे दो पॉइसन सबमैनिफोल्ड की ट्रांसवर्सेलिटी (गणित) फिर से एक पॉइसन सबमैनिफोल्ड है। हालाँकि, इसमें कुछ समस्याएँ भी हैं:

• पॉइसन सबमैनिफोल्ड दुर्लभ हैं: उदाहरण के लिए, सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड के एकमात्र पॉइसन सबमैनिफोल्ड खुले सेट हैं;
• परिभाषा कार्यात्मक रूप से व्यवहार नहीं करती है: यदि $\Phi :(M,\pi _{M})\to (N,\pi _{N})$ एक पॉइसन मानचित्र एक पॉइसन सबमैनिफोल्ड के अनुप्रस्थ है $Q$ का $N$, सबमैनिफोल्ड $\Phi ^{-1}(Q)$ का $M$ जरूरी नहीं कि पॉइसन हो।

इन समस्याओं को दूर करने के लिए, व्यक्ति अक्सर पॉइसन ट्रांसवर्सल (मूल रूप से कोसिम्प्लेक्टिक सबमैनिफोल्ड कहा जाता है) की धारणा का उपयोग करता है।इसे सबमैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $X\subseteq M$ जो प्रत्येक सिंपलेक्टिक पत्ती पर अनुप्रस्थ है $S$ और ऐसा कि चौराहा $X\cap S$ का एक सिम्प्लेक्टिक सबमैनिफोल्ड है $(S,\omega _{S})$. यह किसी भी पॉइसन ट्रांसवर्सल का अनुसरण करता है $X\subseteq (M,\pi )$ एक विहित पॉइसन संरचना विरासत में मिली है $\pi _{X}$ से $\pi$. नॉनडीजेनरेट पॉइसन मैनिफोल्ड के मामले में $(M,\pi )$ (जिसका एकमात्र सिंपलेक्टिक पत्ता है $M$ स्वयं), पॉइसन ट्रांसवर्सल्स सिम्प्लेक्टिक सबमैनिफोल्ड्स के समान ही हैं।

सबमैनिफोल्ड्स के अधिक सामान्य वर्ग पॉइसन ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिनमें ली-डिराक सबमैनिफोल्ड्स, पॉइसन-डिराक सबमैनिफोल्ड्स, कोइसोट्रोपिक सबमैनिफोल्ड्स और प्री-पॉइसन सबमैनिफोल्ड्स सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

• नंबू-पॉइसन मैनिफोल्ड
• पॉइसन-लाई समूह
• पॉइसन सुपरमैनिफोल्ड
• कोंटसेविच परिमाणीकरण सूत्र

किताबें और सर्वेक्षण

• Bhaskara, K. H.; Viswanath, K. (1988). पॉइसन बीजगणित और पॉइसन मैनिफोल्ड्स. Longman. ISBN 0-582-01989-3.
• Cannas da Silva, Ana; Weinstein, Alan (1999). गैर-अनुवांशिक बीजगणित के लिए ज्यामितीय मॉडल. AMS Berkeley Mathematics Lecture Notes, 10.
• Dufour, J.-P.; Zung, N.T. (2005). पॉइसन संरचनाएं और उनके सामान्य रूप. Vol. 242. Birkhäuser Progress in Mathematics.
• Crainic, Marius; Loja Fernandes, Rui; Mărcuț, Ioan (2021). पॉइसन ज्यामिति पर व्याख्यान. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6667-1. पिछला संस्करण [1] पर उपलब्ध है।
• Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1984). भौतिकी में सिम्पलेक्टिक तकनीकें. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-24866-3.
• Libermann, Paulette; Marle, C.-M. (1987). सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति और विश्लेषणात्मक यांत्रिकी. Dordrecht: Reidel. ISBN 90-277-2438-5.
• Vaisman, Izu (1994). पॉइसन मैनिफोल्ड्स की ज्यामिति पर व्याख्यान. Birkhäuser. पिंग जू द्वारा समीक्षा भी देखें एम्स का बुलेटिन.
• Weinstein, Alan (1998). "पॉइसन ज्यामिति". Differential Geometry and Its Applications. 9 (1–2): 213–238. doi:10.1016/S0926-2245(98)00022-9.

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