ट्रांसवर्स-फील्ड आइसिंग मॉडल

अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल शास्त्रीय आइसिंग मॉडल का एक क्वांटम संस्करण है। इसमें स्पिन अनुमानों के संरेखण या विरोधी संरेखण द्वारा निर्धारित निकटतम पड़ोसी इंटरैक्शन के साथ एक जाली की सुविधा है $z$ अक्ष, साथ ही एक बाहरी चुंबकीय क्षेत्र लंबवत $z$ अक्ष (सामान्यता की हानि के बिना, के साथ $x$ अक्ष) जो एक एक्स-अक्ष स्पिन दिशा के लिए दूसरे पर एक ऊर्जावान पूर्वाग्रह बनाता है।

इस सेटअप की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि, क्वांटम अर्थ में, स्पिन प्रक्षेपण $x$ अक्ष और स्पिन प्रक्षेपण के साथ $z$ अक्ष अवलोकन योग्य मात्रा में परिवर्तन नहीं कर रहे हैं। यानी इन दोनों को एक साथ नहीं देखा जा सकता. इसका मतलब है कि शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी इस मॉडल का वर्णन नहीं कर सकती है, और एक क्वांटम उपचार की आवश्यकता है।

विशेष रूप से, मॉडल में निम्नलिखित क्वांटम हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है:

$H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }Z_{i}Z_{j}+g\sum _{j}X_{j}\right)$

यहां, सबस्क्रिप्ट जाली साइटों और योग को संदर्भित करते हैं $\sum _{\langle i,j\rangle }$ निकटतम पड़ोसी साइटों के जोड़े पर किया जाता है $i$ और $j$. $X_{j}$ और $Z_{j}$ स्पिन बीजगणित (स्पिन 1/2 के मामले में पाउली मैट्रिसेस) के तत्वों का प्रतिनिधित्व संबंधित साइटों के स्पिन चर पर कार्य करता है। यदि वे एक ही साइट पर हैं तो वे एक-दूसरे के साथ आवागमन का विरोध करते हैं और यदि अलग-अलग साइटों पर हैं तो वे एक-दूसरे के साथ आवागमन करते हैं। $J$ ऊर्जा के आयामों वाला एक प्रीफ़ेक्टर है, और $g$ एक अन्य युग्मन गुणांक है जो निकटतम पड़ोसी इंटरैक्शन की तुलना में बाहरी क्षेत्र की सापेक्ष ताकत निर्धारित करता है।

1डी अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल के चरण

नीचे चर्चा एक आयामी मामले तक सीमित है जहां प्रत्येक जाली साइट एक द्वि-आयामी जटिल हिल्बर्ट स्थान है (यानी यह एक स्पिन 1/2 कण का प्रतिनिधित्व करती है)। यहाँ सादगी के लिए $X$ और $Z$ प्रत्येक के लिए सामान्यीकृत निर्धारक -1 है। हैमिल्टनियन के पास एक है $\mathbb {Z} _{2}$ समरूपता समूह, क्योंकि यह सभी स्पिनों को फ़्लिप करने के एकात्मक ऑपरेशन के तहत अपरिवर्तनीय है $z$ दिशा। अधिक सटीक रूप से, समरूपता परिवर्तन एकात्मक द्वारा दिया जाता है $\prod _{j}X_{j}$.

1डी मॉडल दो चरणों को स्वीकार करता है, यह इस पर निर्भर करता है कि क्या जमीनी स्थिति (विशेष रूप से, अध:पतन के मामले में, एक जमीनी स्थिति जो मैक्रोस्कोपिक रूप से उलझी हुई स्थिति नहीं है) उपरोक्त को तोड़ती है या संरक्षित करती है $\prod _{j}X_{j}$ स्पिन-फ्लिप समरूपता। का चिन्ह $J$ सकारात्मक के साथ प्रणाली के रूप में, गतिशीलता को प्रभावित नहीं करता $J$ नकारात्मक के साथ सिस्टम में मैप किया जा सकता है $J$ एक प्रदर्शन करके $\pi$ चारों ओर घूमना $X_{j}$ हर दूसरी साइट के लिए $j$.

मॉडल को सभी युग्मन स्थिरांकों के लिए सटीक रूप से हल किया जा सकता है। हालाँकि, ऑन-साइट स्पिन के संदर्भ में समाधान आमतौर पर स्पिन चर के संदर्भ में स्पष्ट रूप से लिखने के लिए बहुत असुविधाजनक है। जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन द्वारा परिभाषित फर्मिओनिक चर के संदर्भ में समाधान को स्पष्ट रूप से लिखना अधिक सुविधाजनक है, इस मामले में उत्तेजित राज्यों में एक सरल क्वासिपार्टिकल या क्वासिहोल विवरण होता है।

आदेश दिया गया चरण

कब $|g|<1$, सिस्टम को आदेशित चरण में कहा जाता है। इस चरण में जमीनी स्थिति स्पिन-फ्लिप समरूपता को तोड़ देती है। इस प्रकार, ज़मीनी स्थिति वास्तव में दो गुना ख़राब है। के लिए $J>0$ यह चरण लौहचुम्बकत्व क्रम को प्रदर्शित करता है, जबकि के लिए $J<0$ प्रतिलौहचुंबकत्व ऑर्डर मौजूद है।

बिल्कुल, अगर $|\psi _{1}\rangle$ तो, हैमिल्टनियन का एक जमीनी राज्य है $|\psi _{2}\rangle \equiv \prod _{j}X_{j}|\psi _{1}\rangle \neq |\psi _{1}\rangle$ एक जमीनी राज्य भी है, और साथ में भी $|\psi _{1}\rangle$ और $|\psi _{2}\rangle$ पतित भूमि राज्य स्थान का विस्तार करें। एक सरल उदाहरण के रूप में, जब $g=0$ और $J>0$, जमीनी अवस्थाएँ हैं $|\ldots \uparrow \uparrow \uparrow \ldots \rangle$ और $|\ldots \downarrow \downarrow \downarrow \ldots \rangle$, यानी, सभी स्पिनों के साथ संरेखित $z$ एक्सिस।

यह एक गैप्ड चरण है, जिसका अर्थ है कि सबसे कम ऊर्जा उत्तेजित अवस्था(ओं) की ऊर्जा जमीनी अवस्था की ऊर्जा से एक गैर-शून्य मात्रा (थर्मोडायनामिक सीमा में गैर-लुप्तप्राय) से अधिक है। विशेष रूप से, यह ऊर्जा अंतर है $2|J|(1-|g|)$.

अव्यवस्थित चरण

इसके विपरीत, जब $|g|>1$कहा जाता है कि सिस्टम अव्यवस्थित चरण में है। जमीनी अवस्था स्पिन-फ्लिप समरूपता को बरकरार रखती है, और गैर-विक्षिप्त है। एक सरल उदाहरण के रूप में, जब $g$ अनंत है, जमीनी अवस्था है $|\ldots \rightarrow \rightarrow \rightarrow \ldots \rangle$, जो कि स्पिन के साथ है $+x$ प्रत्येक साइट पर दिशा.

यह भी एक गैप्ड चरण है। ऊर्जा का अंतर है $2|J|(|g|-1)$

अंतराल रहित चरण

कब $|g|=1$, सिस्टम एक क्वांटम चरण संक्रमण से गुजरता है। इस मूल्य पर $g$, सिस्टम में अंतरहीन उत्तेजनाएं हैं और इसके कम-ऊर्जा व्यवहार को द्वि-आयामी आइसिंग अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया गया है। इस अनुरूप सिद्धांत का केंद्रीय प्रभार है $c=1/2$, और 1 से कम केंद्रीय चार्ज के साथ एकात्मक न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) का सबसे सरल है। पहचान ऑपरेटर के अलावा, सिद्धांत में दो प्राथमिक क्षेत्र हैं, एक स्केलिंग आयामों के साथ $(1/16,1/16)$ और दूसरा स्केलिंग आयामों के साथ $(1/2,1/2)$.

जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन

जॉर्डन-विग्नर ट्रांसफॉर्मेशन के रूप में ज्ञात अत्यधिक गैर-स्थानीय परिवर्तन का उपयोग करके, स्पिन चर को फर्मियोनिक चर के रूप में फिर से लिखना संभव है।

साइट पर एक फर्मियन निर्माण ऑपरेटर $j$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $c_{j}^{\dagger }={\frac {1}{2}}(Z_{j}+iY_{j})\prod _{k<j}X_{k}$. फिर अनुप्रस्थ क्षेत्र इज़िंग हैमिल्टनियन (एक अनंत श्रृंखला मानते हुए और सीमा प्रभावों को अनदेखा करते हुए) को पूरी तरह से सृजन और विनाश ऑपरेटरों वाले स्थानीय द्विघात शब्दों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। <ब्लॉककोट>$H=-J\sum _{j}(c_{j}^{\dagger }c_{j+1}+c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}+2g(c_{j}^{\dagger }c_{j}-1/2))$यह हैमिल्टनियन कुल फर्मियन संख्या को संरक्षित करने में विफल रहता है और इससे संबंधित नहीं है $U(1)$ वैश्विक सतत समरूपता, की उपस्थिति के कारण $c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}$ अवधि। हालाँकि, यह फर्मियन समता को संरक्षित करता है। अर्थात्, हैमिल्टनियन क्वांटम ऑपरेटर के साथ आवागमन करता है जो इंगित करता है कि फ़र्मियन की कुल संख्या सम है या विषम, और यह समता प्रणाली के समय के विकास के तहत नहीं बदलती है। हैमिल्टनियन गणितीय रूप से माध्य क्षेत्र बोगोलीउबोव-डी गेनेस औपचारिकता में एक सुपरकंडक्टर के समान है और इसे उसी मानक तरीके से पूरी तरह से समझा जा सकता है। सटीक उत्तेजना स्पेक्ट्रम और आइगेनवैल्यू को फूरियर द्वारा गति स्थान में परिवर्तित करके और हैमिल्टनियन को विकर्ण करके निर्धारित किया जा सकता है। मेजराना फर्मियन के संदर्भ में $a_{j}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}$ और $b_{j}=-i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})$, हैमिल्टनियन और भी सरल रूप लेता है (एक योगात्मक स्थिरांक तक): <ब्लॉककोट>$H=i\sum _{j}J(a_{j+1}b_{j}+gb_{j}a_{j})$.

क्रेमर्स-वानियर द्वैत

पाउली मैट्रिसेस का एक गैर-स्थानीय मानचित्रण जिसे क्रेमर्स-वानियर द्वैत परिवर्तन के रूप में जाना जाता है, निम्नानुसार किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}$$

फिर, टिल्ड्स के साथ नए परिभाषित पाउली मैट्रिसेस के संदर्भ में, जो मूल पाउली मैट्रिसेस के समान बीजगणितीय संबंधों का पालन करते हैं, हैमिल्टनियन बस है $H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j})$. यह इंगित करता है कि युग्मन पैरामीटर वाला मॉडल $g$ युग्मन पैरामीटर वाले मॉडल से दोहरा है $g^{-1}$, और आदेशित चरण और अव्यवस्थित चरण के बीच द्वंद्व स्थापित करता है। ऊपर वर्णित मेजराना फर्मियन के संदर्भ में, यह द्वंद्व तुच्छ रीलेबलिंग में अधिक स्पष्ट रूप से प्रकट होता है $a_{j}\to b_{j},b_{j}\to a_{j+1}$.

ध्यान दें कि आइसिंग श्रृंखला की सीमाओं पर कुछ सूक्ष्म विचार हैं; इनके फलस्वरूप पतन और $\mathbb {Z} _{2}$ क्रमबद्ध और अव्यवस्थित चरणों के समरूपता गुण क्रेमर्स-वानियर द्वैत के तहत बदल जाते हैं।

सामान्यीकरण

क्यू-स्टेट क्वांटम पॉट्स मॉडल और $Z_{q}$ क्वांटम घड़ी मॉडल जाली प्रणालियों के लिए अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल का सामान्यीकरण है $q$ प्रति साइट स्थितियाँ। अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल उस मामले का प्रतिनिधित्व करता है जहां $q=2$ .

शास्त्रीय आइसिंग मॉडल

क्वांटम अनुप्रस्थ क्षेत्र आइसिंग मॉडल में $d$ आयाम अनिसोट्रोपिक आइसिंग मॉडल के दोहरे हैं $d+1$ आयाम.