कक्षीय राशियाँ

कक्षीय तत्व विशिष्ट कक्षा की विशिष्ट रूप से पहचान करने के लिए आवश्यक पैरामीटर हैं। आकाशीय यांत्रिकी में इन तत्वों को केप्लर कक्षा का उपयोग करते हुए दो-पिंड प्रणालियों में माना जाता है। गणितीय रूप से एक ही कक्षा का वर्णन करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, लेकिन कुछ योजनाएँ, जिनमें से प्रत्येक में छह मापदंडों का एक सेट होता है, आमतौर पर खगोल विज्ञान और कक्षीय यांत्रिकी में उपयोग की जाती हैं।

एक वास्तविक कक्षा और उसके तत्व अन्य वस्तुओं द्वारा गुरुत्वाकर्षण गड़बड़ी (खगोल विज्ञान) और सामान्य सापेक्षता के प्रभाव के कारण समय के साथ बदलते हैं। एक केपलर कक्षा एक विशेष समय पर कक्षा का एक आदर्श, गणितीय सन्निकटन है।

केप्लरियन तत्व

इस आरेख में, कक्षीय तल (खगोल विज्ञान) (पीला) एक संदर्भ तल (धूसर) को काटता है। पृथ्वी की परिक्रमा करने वाले उपग्रहों के लिए, संदर्भ तल आमतौर पर पृथ्वी का विषुवतीय तल होता है, और सौर कक्षाओं में उपग्रहों के लिए यह क्रांतिवृत्त का तल होता है। चौराहे को कक्षीय नोड कहा जाता है, क्योंकि यह द्रव्यमान के केंद्र को आरोही और अवरोही नोड्स से जोड़ता है। संदर्भ तल, वसंत बिंदु (♈︎) के साथ मिलकर, एक संदर्भ फ़्रेम स्थापित करता है।

जोहान्स केप्लर और उनके केप्लर के नियमों के बाद पारंपरिक कक्षीय तत्व छह केप्लरियन तत्व हैं।

जब एक जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है, तो दो परिक्रमा करने वाले पिंड अलग-अलग प्रक्षेपवक्र का पता लगाते हैं। इनमें से प्रत्येक प्रक्षेपवक्र का ध्यान द्रव्यमान के सामान्य केंद्र पर है। जब एक पिंड पर केंद्रित एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है, तो केवल विपरीत पिंड का प्रक्षेपवक्र स्पष्ट होता है; केप्लरियन तत्व इन गैर-जड़त्वीय ट्रैजेक्टोरियों का वर्णन करते हैं। एक कक्षा में केप्लरियन तत्वों के दो सेट होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि संदर्भ बिंदु के रूप में किस पिंड का उपयोग किया जाता है। संदर्भ निकाय (आमतौर पर सबसे विशाल) को प्राथमिक (खगोल विज्ञान) कहा जाता है, दूसरे निकाय को द्वितीयक कहा जाता है। जरूरी नहीं कि प्राथमिक में माध्यमिक की तुलना में अधिक द्रव्यमान हो, और यहां तक ​​कि जब पिंड समान द्रव्यमान के हों, कक्षीय तत्व प्राथमिक की पसंद पर निर्भर करते हैं।

दीर्घवृत्त के आकार और आकार को दो तत्व परिभाषित करते हैं:

• सनकीपन (कक्षा) (e)—दीर्घवृत्त का आकार, वर्णन करता है कि यह एक वृत्त की तुलना में कितना लम्बा है (आरेख में चिह्नित नहीं)।
• सेमीमेजर एक्सिस (a) - apse का योग दो से विभाजित। क्लासिक दो-निकाय कक्षाओं के लिए, अर्ध-प्रमुख अक्ष पिंडों के केंद्रों के बीच की दूरी है, द्रव्यमान के केंद्र से पिंडों की दूरी नहीं।

दो तत्व कक्षीय तल (खगोल विज्ञान) के अभिविन्यास को परिभाषित करते हैं जिसमें दीर्घवृत्त एम्बेडेड होता है:

• झुकाव (i) - संदर्भ तल के संबंध में दीर्घवृत्त का लंबवत झुकाव, आरोही नोड पर मापा जाता है (जहां कक्षा संदर्भ तल से ऊपर की ओर गुजरती है, हरा कोण i आरेख में)। झुकाव कोण को कक्षीय तल और संदर्भ तल के बीच चौराहे की रेखा के लंबवत मापा जाता है। दीर्घवृत्त पर कोई भी तीन बिंदु दीर्घवृत्त कक्षीय तल को परिभाषित करेंगे। विमान और दीर्घवृत्त दोनों त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित द्वि-आयामी वस्तुएं हैं।
• आरोही नोड का देशांतर (Ω) - दीर्घवृत्त के आरोही नोड को क्षैतिज रूप से उन्मुख करता है (जहां कक्षा संदर्भ तल के माध्यम से ऊपर की ओर गुजरती है, जिसका प्रतीक है ☊) संदर्भ फ्रेम के वसंत बिंदु के संबंध में (♈︎ द्वारा चिन्हित)। इसे संदर्भ तल में मापा जाता है, और इसे हरे रंग के कोण के रूप में दिखाया जाता है Ω आरेख में।

शेष दो तत्व इस प्रकार हैं:

• पेरीपसिस का तर्क (ω) कक्षीय तल में दीर्घवृत्त के उन्मुखीकरण को आरोही नोड से पेरीपसिस तक मापे गए कोण के रूप में परिभाषित करता है (उपग्रह वस्तु का निकटतम बिंदु प्राथमिक वस्तु के पास आता है जिसके चारों ओर यह परिक्रमा करता है, नीला कोण ω आरेख में)।
• सही विसंगति (ν, θ, या f) युग (खगोल विज्ञान) में (t₀) एक विशिष्ट समय (युग) पर दीर्घवृत्त के साथ परिक्रमा करने वाले पिंड की स्थिति को परिभाषित करता है।

औसत विसंगति M गणितीय रूप से सुविधाजनक काल्पनिक कोण है जो समय के साथ रैखिक रूप से बदलता रहता है, लेकिन जो वास्तविक ज्यामितीय कोण के अनुरूप नहीं होता है। इसे वास्तविक विसंगति में बदला जा सकता है ν, जो अप्सिस (केंद्रीय निकाय के निकटतम दृष्टिकोण) और किसी भी समय परिक्रमा करने वाली वस्तु की स्थिति के बीच दीर्घवृत्त के तल में वास्तविक ज्यामितीय कोण का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार, सही विसंगति को लाल कोण के रूप में दिखाया गया है ν आरेख में, और माध्य विसंगति नहीं दिखाई गई है।

झुकाव के कोण, आरोही नोड के देशांतर, और पेरीपसिस के तर्क को संदर्भ समन्वय प्रणाली से संबंधित कक्षा के उन्मुखीकरण को परिभाषित करने वाले यूलर कोण के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है।

ध्यान दें कि गैर-अण्डाकार प्रक्षेपवक्र भी मौजूद हैं, लेकिन बंद नहीं हैं, और इस प्रकार कक्षाएँ नहीं हैं। यदि विलक्षणता एक से अधिक है, तो प्रक्षेपवक्र एक अतिपरवलय है। यदि सनकीपन एक के बराबर है और कोणीय गति शून्य है, तो प्रक्षेपवक्र रेडियल प्रक्षेपवक्र है। यदि विलक्षणता एक है और कोणीय गति है, तो प्रक्षेपवक्र एक अतिशयोक्ति है।

आवश्यक पैरामीटर

संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम और एक मनमाना युग (खगोल विज्ञान) (समय में एक निर्दिष्ट बिंदु) को देखते हुए, एक मनमाना और अपरंपरागत कक्षा को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए वास्तव में छह पैरामीटर आवश्यक हैं।

ऐसा इसलिए है क्योंकि समस्या में स्वतंत्रता की छह डिग्री (यांत्रिकी) शामिल हैं। ये तीन स्थानिक आयामों के अनुरूप हैं जो स्थिति को परिभाषित करते हैं (x, y, z कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में), साथ ही इनमें से प्रत्येक आयाम में वेग। इन्हें कक्षीय अवस्था वैक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है, लेकिन यह अक्सर कक्षा का प्रतिनिधित्व करने का एक असुविधाजनक तरीका होता है, यही कारण है कि इसके बजाय केप्लरियन तत्वों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

कभी-कभी संदर्भ फ्रेम के भाग के बजाय युग को सातवें कक्षीय पैरामीटर माना जाता है।

यदि युग को उस क्षण के रूप में परिभाषित किया जाता है जब तत्वों में से एक शून्य होता है, तो अनिर्दिष्ट तत्वों की संख्या घटाकर पांच कर दी जाती है। (कक्षा को परिभाषित करने के लिए छठा पैरामीटर अभी भी जरूरी है; यह केवल संख्यात्मक रूप से सम्मेलन द्वारा शून्य पर सेट है या वास्तविक दुनिया घड़ी समय के संबंध में युग की परिभाषा में स्थानांतरित हो गया है।)

वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन

केप्लरियन तत्वों को कक्षीय स्थिति वैक्टर (स्थिति के लिए एक त्रि-आयामी वेक्टर और वेग के लिए दूसरा) मैन्युअल परिवर्तनों या कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर के साथ प्राप्त किया जा सकता है। अन्य कक्षीय मापदंडों की गणना केप्लरियन तत्वों से की जा सकती है जैसे कि कक्षीय अवधि, apsis | apoapsis, और periapsis। (पृथ्वी की परिक्रमा करते समय, अंतिम दो शब्दों को अपोजी और पेरिगी के रूप में जाना जाता है।) केप्लरियन तत्व सेटों में अर्ध-प्रमुख अक्ष के बजाय अवधि निर्दिष्ट करना आम है, क्योंकि प्रत्येक की गणना दूसरे से की जा सकती है बशर्ते मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर, GM, केंद्रीय निकाय के लिए दिया जाता है।

युग (खगोल विज्ञान) में औसत विसंगति के बजाय, औसत विसंगति M, मतलब देशांतर, सच्ची विसंगति ν₀, या (शायद ही कभी) विलक्षण विसंगति का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, युग में माध्य विसंगति के बजाय माध्य विसंगति का अर्थ उस समय से है t सातवें कक्षीय तत्व के रूप में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। कभी-कभी यह माना जाता है कि युग में औसत विसंगति शून्य है (युग की उपयुक्त परिभाषा चुनकर), केवल पांच अन्य कक्षीय तत्वों को निर्दिष्ट करने के लिए छोड़ दिया जाता है।

विभिन्न खगोलीय पिंडों के लिए तत्वों के विभिन्न सेटों का उपयोग किया जाता है। विलक्षणता, e, और या तो अर्ध-प्रमुख अक्ष, a, या पेरीपसिस की दूरी, q, कक्षा के आकार और आकार को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किया जाता है। आरोही नोड का देशांतर, Ω, झुकाव, i, और पेरीपसिस का तर्क, ω, या पेरीपसिस का देशांतर, ϖ, इसके तल में कक्षा का अभिविन्यास निर्दिष्ट करें। या तो युग में देशांतर, L₀, युग में औसत विसंगति, M₀, या पेरिहेलियन मार्ग का समय, T₀, कक्षा में एक ज्ञात बिंदु निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किया जाता है। किए गए विकल्प इस बात पर निर्भर करते हैं कि वसंत विषुव या नोड को प्राथमिक संदर्भ के रूप में उपयोग किया जाता है या नहीं। अर्ध-प्रमुख अक्ष ज्ञात होता है यदि माध्य गति और द्रव्यमान#गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान ज्ञात हो। यह या तो औसत विसंगति को देखना भी काफी सामान्य है (M) या औसत देशांतर (L) बिना किसी के सीधे व्यक्त किया गया M₀ या L₀ मध्यवर्ती चरणों के रूप में, समय के संबंध में एक बहुपद समारोह के रूप में। अभिव्यक्ति की यह विधि माध्य गति को समेकित करेगी (n) गुणांकों में से एक के रूप में बहुपद में। सूरत वह होगी L या M अधिक जटिल तरीके से व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन हमें एक कम कक्षीय तत्व की आवश्यकता होगी।

कक्षीय अवधि के उद्धरणों के पीछे माध्य गति को भी अस्पष्ट किया जा सकता है P.

Sets of orbital elements

Object	Elements used
Major planet	e, a, i, Ω, ϖ, L0
Comet	e, q, i, Ω, ω, T0
Asteroid	e, a, i, Ω, ω, M0
Two-line elements	e, i, Ω, ω, n, M0

यूलर कोण परिवर्तन

कोण Ω, i, ω यूलर कोण हैं (इसी के अनुरूप α, β, γ उस लेख में प्रयुक्त अंकन में) समन्वय प्रणाली के उन्मुखीकरण को दर्शाता है

x̂,ŷ,ẑजड़त्वीय समन्वय फ्रेम सेÎ,Ĵ,K̂कहाँ पे:

• Î,Ĵकेंद्रीय निकाय के भूमध्यरेखीय तल में है।Îवसंत विषुव की दिशा में है।Ĵके लंबवत हैÎऔर साथÎसंदर्भ विमान को परिभाषित करता है।K̂संदर्भ तल के लंबवत है। सौर मंडल में निकायों के कक्षीय तत्व (ग्रह, धूमकेतु, क्षुद्रग्रह, ...) आमतौर पर उस विमान के रूप में ग्रहण का उपयोग करते हैं।
• x̂,ŷकक्षीय तल में और साथ हैंx̂परिकेंद्र (पेरीपसिस) की दिशा में।ẑकक्षा के तल के लंबवत है।ŷपरस्पर लंबवत हैx̂तथाẑ.

फिर, से परिवर्तनÎ,Ĵ,K̂फ्रेम को समन्वयित करेंx̂,ŷ,ẑयूलर कोणों के साथ फ्रेम Ω, i, ω है:

${\begin{aligned}x_{1}&=\cos \Omega \cdot \cos \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{2}&=\sin \Omega \cdot \cos \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{3}&=\sin i\cdot \sin \omega ;\\\,\\y_{1}&=-\cos \Omega \cdot \sin \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{2}&=-\sin \Omega \cdot \sin \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{3}&=\sin i\cdot \cos \omega \ ;\\\,\\z_{1}&=\sin i\cdot \sin \Omega \ ;\\z_{2}&=-\sin i\cdot \cos \Omega \ ;\\z_{3}&=\cos i\ ;\\\,\end{aligned}}$

$\left[{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}\cos \omega &\sin \omega &0\\-\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos i&\sin i\\0&-\sin i&\cos i\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{ccc}\cos \Omega &\sin \Omega &0\\-\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{array}}\right]\,;$

कहाँ पे

${\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} &=x_{1}\mathbf {\hat {I}} +x_{2}\mathbf {\hat {J}} +x_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {y}} &=y_{1}\mathbf {\hat {I}} +y_{2}\mathbf {\hat {J}} +y_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {z}} &=z_{1}\mathbf {\hat {I}} +z_{2}\mathbf {\hat {J}} +z_{3}\mathbf {\hat {K}} ~.\\\,\end{aligned}}$

व्युत्क्रम परिवर्तन, जो xyz प्रणाली में 3 (या 2) निर्देशांक दिए गए I-J-K प्रणाली में 3 निर्देशांक की गणना करता है, व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है। व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के नियमों के अनुसार, 3 आव्यूहों के गुणनफल का व्युत्क्रम आव्यूह तीन आव्यूहों के क्रम को उल्टा करके और तीन यूलर कोणों के संकेतों को बदलकर प्राप्त किया जाता है।

से परिवर्तनx̂,ŷ,ẑयूलर कोणों के लिए Ω, i, ω है:

${\begin{aligned}\Omega &=\operatorname {arg} \left(-z_{2},z_{1}\right)\\i&=\operatorname {arg} \left(z_{3},{\sqrt {{z_{1}}^{2}+{z_{2}}^{2}}}\right)\\\omega &=\operatorname {arg} \left(y_{3},x_{3}\right)\\\,\end{aligned}}$

कहाँ पे arg(x,y) ध्रुवीय तर्क को दर्शाता है जिसकी गणना मानक फ़ंक्शन के साथ की जा सकती है atan2(y,x) कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपलब्ध है।

कक्षा भविष्यवाणी

एक पूरी तरह से गोलाकार केंद्रीय निकाय और शून्य गड़बड़ी की आदर्श स्थितियों के तहत, औसत विसंगति को छोड़कर सभी कक्षीय तत्व स्थिरांक हैं। माध्य विसंगति समय के साथ रैखिक रूप से बदलती है, माध्य गति द्वारा बढ़ाई जाती है,:$n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.$ इसलिए यदि किसी क्षण t₀ कक्षीय पैरामीटर हैं [e₀, a₀, i₀, Ω₀, ω₀, M₀], फिर समय पर तत्व t = t₀ + δt द्वारा दिया गया है [e₀, a₀, i₀, Ω₀, ω₀, M₀ + n δt]

गड़बड़ी और तात्विक विचरण

Main article: Perturbation (astronomy)

अविचलित, दो-निकाय समस्या|दो-निकाय, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण कक्षाएँ हमेशा शंकु खंड होती हैं, इसलिए केप्लरियन तत्व दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय को परिभाषित करते हैं। वास्तविक कक्षाओं में गड़बड़ी होती है, इसलिए केप्लरियन तत्वों का एक दिया गया सेट केवल युग में कक्षा का सटीक वर्णन करता है। कक्षीय तत्वों का विकास प्राथमिक के अलावा अन्य पिंडों के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव, प्राथमिक की गोलाकारता, वायुमंडलीय ड्रैग (भौतिकी), सापेक्षता के सिद्धांत, विकिरण दबाव, विद्युत चुम्बकीय बलों आदि के कारण होता है।

केप्लरियन तत्वों का उपयोग अक्सर युग के निकट उपयोगी भविष्यवाणियों के लिए किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, वास्तविक प्रक्षेपवक्र को केप्लरियन कक्षाओं के अनुक्रम के रूप में तैयार किया जा सकता है जो वास्तविक प्रक्षेपवक्र (चुंबन या स्पर्श) को फैलाते हैं। उन्हें तथाकथित ग्रहों के समीकरणों, विभेदक समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है, जो जोसेफ लुइस लाग्रेंज, कार्ल फ्रेडरिक गॉस, चार्ल्स-यूजीन डेलाउने, हेनरी पोंकारे | पोंकारे, या जॉर्ज विलियम हिल द्वारा विकसित विभिन्न रूपों में आते हैं।

दो-पंक्ति तत्व

Main article: Two-line element set

केप्लरियन तत्वों के मापदंडों को कई स्वरूपों में पाठ के रूप में एन्कोड किया जा सकता है। उनमें से सबसे आम नासा / नोराड दो-पंक्ति तत्व (टीएलई) प्रारूप है, मूल रूप से 80 कॉलम पंच कार्ड के साथ उपयोग के लिए डिज़ाइन किया गया था, लेकिन अभी भी उपयोग में है क्योंकि यह सबसे सामान्य प्रारूप है, और सभी आधुनिक डेटा स्टोरेज द्वारा भी इसे आसानी से नियंत्रित किया जा सकता है।

एप्लिकेशन और ऑब्जेक्ट ऑर्बिट के आधार पर, 30 दिनों से पुराने टीएलई से प्राप्त डेटा अविश्वसनीय हो सकता है। कक्षीय स्थितियों की गणना SGP/SGP4/SDP4/SGP8/SDP8 एल्गोरिदम के माध्यम से TLEs से की जा सकती है। रेफरी>Seidelmann, K.P., ed. (1992). खगोलीय पंचांग के लिए व्याख्यात्मक पूरक (1st ed.). Mill Valley, CA: University Science Books. </रेफरी>

दो-पंक्ति तत्व का उदाहरण: रेफरी> "स्रोत". Heavens-Above.com. orbit data. Archived from the original on 27 September 2007. </रेफरी> <पूर्व> 1 27651U 03004A 07083.49636287 .00000119 00000-0 30706-4 0 2692 2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249 </पूर्व>

Delaunay चर

चंद्रमा की गति के अपने अध्ययन के दौरान चार्ल्स-यूजीन डेलाउने द्वारा डेलाउने कक्षीय तत्वों को पेश किया गया था। आमतौर पर Delaunay चर कहा जाता है, वे विहित चर का एक सेट हैं, जो क्रिया-कोण निर्देशांक हैं। कोण कुछ केप्लरियन कोणों के सरल योग हैं:

• $\ell =M+\omega +\Omega ~:$ औसत विसंगति
• $g=\omega +\Omega ~:$ पेरीपसिस का तर्क, और
• $h=\Omega ~:$ आरोही नोड का देशांतर

उनके संबंधित संयुग्म गति के साथ, L, G, तथा H. क्षण L, G, तथा H क्रिया-कोण निर्देशांक हैं और केप्लरियन तत्वों के अधिक विस्तृत संयोजन हैं a, e, तथा i.

Delaunay चर का उपयोग आकाशीय यांत्रिकी में अनुत्क्रमणीय गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए पदानुक्रमित ट्रिपल सिस्टम में कोज़ाई-लिडोव दोलनों की जांच करते समय।Delaunay चर का लाभ यह है कि वे अच्छी तरह से परिभाषित और गैर-एकवचन (को छोड़कर) रहते हैं h, जिसे सहन किया जा सकता है) जब e और / या i बहुत छोटे होते हैं: जब परीक्षण कण की कक्षा बहुत करीब गोलाकार होती है ($e\approx 0$), या बहुत करीब "सपाट" ($i\approx 0$).

यह भी देखें

• स्पष्ट देशांतर
• क्षुद्रग्रह परिवार, क्षुद्रग्रह जो समान उचित कक्षीय तत्वों को साझा करते हैं
• बीटा कोण
• पंचांग
• भू-संभावित मॉडल
• कक्षीय राज्य वैक्टर
• उचित कक्षीय तत्व
• ओस्कुलेटिंग ऑर्बिट

बाहरी संबंध

• Gurfil, Pini (2005). "Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits". J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079–1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. doi:10.2514/1.14760.

• "Tutorial". AMSAT. Keplerian elements. Archived from the original on 14 October 2002.

• "Orbits Tutorial". marine.rutgers.edu. Archived from the original on 19 April 2021. Retrieved 30 July 2019.

• "Orbital elements visualizer". orbitalmechanics.info.

• Report No. 3 (PDF). celestrak (Report). Spacetrack. North American Aerospace Defense Command (NORAD). – a serious treatment of orbital elements

• "FAQ". Celestrak. Two-Line Elements. Archived from the original on 26 March 2016.

• "The JPL HORIZONS online ephemeris". – also furnishes orbital elements for a large number of solar system objects

• "Mean orbital parameters". ssd.jpl.nasa.gov. Planetary satellites. JPL / NASA.

• "Introduction to exporting". ssd.jpl.nasa.gov. JPL planetary and lunar ephemerides. JPL / NASA.

• "State vectors: VEC2TLE". MindSpring (software). Archived from the original on 3 March 2016. – access to VEC2TLE software

• "Function 'iauPlan94'" (C software source). IAU SOFA C Library. – orbital elements of the major planets