एपिग्राफ (गणित)

Not to be confused with epigraph (literature).

एक फंक्शन का एपिग्राफ

एक फ़ंक्शन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि उसके ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल समूह है। यह क्षेत्र समारोह का एपिग्राफ है।

गणित में, किसी फंक्शन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$का विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ समुच्चय (गणित) है, जिसे $\operatorname {epi} f,$निरूपित किया जाता है I कार्टेशियन उत्पाद में सभी बिंदुओं की $X\times \mathbb {R}$ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर स्थित है। सख्त एपिग्राफ $\operatorname {epi} _{S}f$ में बिंदुओं का समूह है $X\times \mathbb {R}$ ठीक इसके ग्राफ़ के ऊपर है।

महत्वपूर्ण रूप से, चूँकि $f$ ग्राफ और एपिग्राफ दोनों में $X\times [-\infty ,\infty ],$ बिंदु शामिल हैं एपिग्राफ में उपसमुच्चय $X\times \mathbb {R} ,$ में पूरी तरह से बिंदु होते हैं, जो $f.$ यदि फ़ंक्शन $\pm \infty$ को एक मान के रूप में लेता है तो पूरी तरह से मूल्य के रूप में $\operatorname {graph} f$ नहीं इसके एपिग्राफ का एक उपसमुच्चय हो $\operatorname {epi} f.$ उदाहरण के लिए, यदि $f\left(x_{0}\right)=\infty$ फिर बिंदु $\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)$ का होगा $\operatorname {graph} f$ लेकिन नहीं $\operatorname {epi} f.$ ये दो सेट फिर भी निकटता से संबंधित हैं क्योंकि ग्राफ को सदैव एपिग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

वास्तविक विश्लेषण में निरंतर कार्य वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन परंपरागत रूप से एक फ़ंक्शन के उनके ग्राफ़ के अध्ययन से जुड़ा हुआ है, जो समूह हैं जो इन कार्यों के बारे में ज्यामितीय जानकारी (और अंतर्ज्ञान) प्रदान करते हैं। एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्रों में इसी उद्देश्य की पूर्ति करते हैं, जिसमें प्राथमिक फोकस $[-\infty ,\infty ]$ उत्तल कार्यों पर होता है , सदिश स्थान (जैसे $\mathbb {R}$ या $\mathbb {R} ^{2}$) में मान वाले निरंतर कार्यों के अतिरिक्त है. ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य तौर पर, ऐसे कार्यों के लिए, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान किसी फ़ंक्शन के एपिग्राफ से उसके ग्राफ की तुलना में अधिक आसानी से प्राप्त होता है। इसी तरह वास्तविक विश्लेषण में ग्राफ़ का उपयोग कैसे किया जाता है, एपिग्राफ का उपयोग अधिकांशतः एक उत्तल फ़ंक्शन के गुणों की ज्यामितीय व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, परिकल्पना तैयार करने या सिद्ध करने में सहायता करने के लिए, या प्रति उदाहरण के निर्माण में सहायता के लिए है।

परिभाषा

एपिग्राफ की परिभाषा एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्रेरित थी, जहां graph का $f:X\to Y$ सेट के रूप में परिभाषित किया गया है

$\operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.$

epigraph }} या supergraph एक समारोह का  $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ सेट है

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}\{x\}\times [f(x),\infty )~~~{\text{ (all sets being unioned are pairwise disjoint). }}\end{alignedat}}$

संघ में खत्म $x\in f^{-1}(\mathbb {R} )$ जो अंतिम पंक्ति, सेट के दाहिने हाथ की ओर ऊपर दिखाई देता है $\{x\}\times [f(x),\infty )$ से मिलकर एक खड़ी किरण होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है $(x,f(x))$ और सभी बिंदुओं में $X\times \mathbb {R}$ इसके ठीक ऊपर। इसी प्रकार, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर या उसके नीचे बिंदुओं का सेट उसका हाइपोग्राफ़ (गणित) हैhypograph. strict epigraph }} हटाए गए ग्राफ़ के साथ एपिग्राफ है:

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\right\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times (f(x),\infty )~~~{\text{ (all sets being unioned are pairwise disjoint, some may be empty). }}\end{alignedat}}$

अन्य सेटों के साथ संबंध

इस तथ्य के बावजूद कि $f$ में से एक (या दोनों) ले सकते हैं $\pm \infty$ एक मूल्य के रूप में (जिस स्थिति में इसका ग्राफ होगा not का उपसमुच्चय हो $X\times \mathbb {R}$), का एपिग्राफ $f$ फिर भी का एक सबसेट के रूप में परिभाषित किया गया है $X\times \mathbb {R}$ के बजाय $X\times [-\infty ,\infty ].$ यह जानबूझकर है क्योंकि कब $X$ एक सदिश स्थान है तो ऐसा है $X\times \mathbb {R}$ लेकिन $X\times [-\infty ,\infty ]$ है never एक वेक्टर स्थान (विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा के बाद से $[-\infty ,\infty ]$ सदिश स्थान नहीं है)। अधिक सामान्यतः, यदि $X$ तब कुछ सदिश समष्टि का केवल एक अरिक्त उपसमुच्चय होता है $X\times [-\infty ,\infty ]$ कभी भी नहीं है subset का any सदिश स्थल। एपिग्राफ सदिश स्थान का एक उपसमुच्चय होने के कारण वास्तविक विश्लेषण और कार्यात्मक विश्लेषण (और अन्य क्षेत्रों) से संबंधित उपकरणों को अधिक आसानी से लागू करने की अनुमति देता है।

फ़ंक्शन का डोमेन (कोडोमेन के बजाय) इस परिभाषा के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं है; यह कोई रैखिक स्थान हो सकता हैया एक मनमाना सेट भीके बजाय $\mathbb {R} ^{n}$.

सख्त एपिग्राफ $\operatorname {epi} _{S}f$ और ग्राफ $\operatorname {graph} f$ हमेशा जुदा होते हैं।

एक समारोह का एपिग्राफ $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ इसके ग्राफ और सख्त एपिग्राफ से संबंधित है

$\,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f$

जहां सेट समानता रखती है अगर और केवल अगर $f$ वास्तविक मूल्यवान है। हालांकि,

$\operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,\left[X\times \mathbb {R} \right]$ हमेशा रखता है।

== एपिग्राफ == से कार्यों का पुनर्निर्माण

एपिग्राफ खाली सेट है अगर और केवल अगर फ़ंक्शन समान रूप से अनंत के बराबर है।

जिस तरह किसी भी फ़ंक्शन को उसके ग्राफ़ से फिर से बनाया जा सकता है, उसी तरह किसी भी विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को भी बनाया जा सकता है $f$ पर $X$ इसके एपिग्राफ से पुनर्निर्माण किया जा सकता है $E:=\operatorname {epi} f$ (यहां तक ​​कि जब $f$ लेता है $\pm \infty$ मान के रूप में)। दिया गया $x\in X,$ मूल्य $f(x)$ चौराहे से बनाया जा सकता है $E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)$ का $E$ खड़ी रेखा के साथ $\{x\}\times \mathbb {R}$ के माध्यम से गुजरते हुए $x$ निम्नलिखित नुसार:

<उल>

मामला 1: $E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)=\varnothing$ अगर और केवल अगर $f(x)=\infty ,$</ली>

केस 2: $E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)=\{x\}\times \mathbb {R}$ अगर और केवल अगर $f(x)=-\infty ,$</ली>

केस 3: अन्यथा, $E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)$ रूप का अनिवार्य रूप से है $\{x\}\times [f(x),\infty ),$ जिससे का मूल्य $f(x)$ अंतराल का न्यूनतम लेकर प्राप्त किया जा सकता है।

उपरोक्त प्रेक्षणों को मिलाकर एक सूत्र दिया जा सकता है $f(x)$ के अनुसार $E:=\operatorname {epi} f.$ विशेष रूप से, किसी के लिए $x\in X,$ :$f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}$ जहां परिभाषा के अनुसार, $\inf _{}\varnothing :=\infty .$ इसी फॉर्मूले का इस्तेमाल पुनर्निर्माण के लिए भी किया जा सकता है $f$ इसके सख्त एपिग्राफ से $E:=\operatorname {epi} _{S}f.$

कार्यों के गुणों और उनके अभिलेखों के बीच संबंध

एक फलन उत्तल फलन होता है यदि और केवल यदि इसका पुरालेख एक उत्तल समुच्चय है। एक वास्तविक affine समारोह का एपिग्राफ $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ में एक आधा स्थान (ज्यामिति) है $\mathbb {R} ^{n+1}.$ एक समारोह अर्ध-निरंतरता है अगर और केवल अगर इसका एपिग्राफ बंद सेट है।

यह भी देखें

• Effective domain
• Hypograph (mathematics)
• Proper convex function

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• समारोह (गणित)
• सेट (गणित)
• कार्तीय गुणन
• किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
• वास्तविक मूल्यवान समारोह
• उत्तल समारोह
• सदिश स्थल
• किसी फ़ंक्शन का डोमेन
• सबसे कम
• अर्द्ध निरंतरता

संदर्भ

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ. ISBN 0-691-01586-4.