ऑर्थोनॉर्मलिटी

रैखिक बीजगणित में, आंतरिक गुणन अंतराल में दो सदिश प्रसामान्य लांबिक होते हैं यदि वे लंबकोणीय(या एक पंक्ति के साथ लंबवत) एकांक सदिश होते हैं। सदिशों का एक समूह प्रसामान्य लांबिक समुच्चय का निर्माण करता है, यदि समूह में सभी सदिश परस्पर लंबकोणीय और सभी एकांक लंबाई के होते हैं। एक प्रसामान्य लांबिक समुच्चय जो एक आधार(रैखिक बीजगणित) बनाता है एक प्रसामान्य लांबिक आधार कहा जाता है।

सहज अवलोकन

सदिशों की लंबकोणीयता का निर्माण लंबवत सदिशों की सहज धारणा को उच्च-आयामी समष्‍टि तक विस्तारित करने की इच्छा से प्रेरित है। कार्तीय तल में, दो सदिशों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण 90°है(अर्थात्, यदि वे एक समकोण बनाते हैं)। इस परिभाषा को कार्तीय समष्‍टि में बिंदु गुणन को परिभाषित करके औपचारिक रूप दिया जा सकता है और यह निर्दिष्ट किया जा सकता है कि एक तल में दो सदिश लंबकोणीय होंगे यदि उनका बिंदु गुणन शून्य हो।

इसी प्रकार, सदिश के परिमाण का निर्माण किसी सदिश की लंबाई को उच्च-आयामी स्थानों तक विस्तृत करने की इच्छा से प्रेरित होता है। कार्तीय तल में, एक सदिश का परिमाण स्वयं के साथ बिंदु गुणन का वर्गमूल होता है। जैसे कि,

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$

रैखिक बीजगणित के कई महत्वपूर्ण सिद्धांत दो या दो से अधिक लंबकोणीय सदिशो के समूहों पर कार्य करते हैं। लेकिन अधिकांशता, यूनिट लंबाई के सदिश के साथ कार्य करना आसान होता है। अर्थात्, यह अधिकांशता केवल उन सदिशों पर पर कार्य करना सरल बनाते है जिनका परिमाण 1 के बराबर होता है। सदिशों के लंबकोणीय जोड़े को केवल एकांक लंबाई तक सीमित करने की धारणा पर्याप्त महत्वपूर्ण है जिससे इसे एक विशेष नाम दिया जा सकता है। दो सदिश जो लंबकोणीय हैं और जिनकी लंबाई एकांक है उन्हें प्रसामान्य लांबिक कहा जाता है।

सरल उदाहरण

क्या 2 डी यूक्लिडियन समष्‍टि में प्रसामान्य लांबिक सदिश एक जोड़ी की तरह दिखते हैं?

माना u =(x1, y1) और v =(x2, y2). x1, x2, y1, y2 पर प्रतिबंधों पर विचार करें जो u और v को एक ऑर्थोनॉर्मल जोड़ी बनाने के लिए आवश्यक हैं।

• लंबकोणीयता प्रतिबंध से, U.V = 0.
• U पर एकांक लंबाई प्रतिबंध से, || U|| = 1.
• V पर एकांक लंबाई प्रतिबंध से, || V|| = 1.

इन शर्तों का विस्तार करने से 3 समीकरण मिलते हैं:

1. $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad$
2. ${\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1$
3. ${\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1$

कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित करने पर, और समीकरण(2) तथा समीकरण(3) के अनुसार परिणाम r1 = r2 = 1 प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, सदिशों को इकाई लंबाई का होना आवश्यक होने पर सदिशों को इकाई वृत्त पर निर्भर होने से रोकता है।

प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण(1) $\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0$ हो जाता है। समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर $\tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}$ प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करने से कोटेंजेंट को बदलने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है -

$\tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)$

$\Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}$

उप्युक्त परिणाम से यह स्पष्ट है कि समतल में, प्रसामान्य लांबिक सदिश केवल एकांक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं जिनके कोणों में अंतर 90° के बराबर है।

परिभाषा

मान लीजिए ${\mathcal {V}}$ एक आंतरिक गुणन अंतराल है। सदिशों का एक समुच्य

$\left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}$

प्रसामान्य लांबिक कहा जाता है यदि और केवल यदि

$\forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}$

जँहा पर $\delta _{ij}\,$ क्रोनकर डेल्टा है और $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ आंतरिक गुणन अंतराल को ${\mathcal {V}}$ से प्रदर्शित किया गया है।

महत्व

ऑर्थोनॉर्मल समुच्चय विशेष रूप से अपने आप महत्वपूर्ण नहीं हैं। हालांकि, वे कुछ विशेषताओं को प्रदर्शित करते हैं जो इन्हें सदिश अंतराल पर ऑपरेटरों के विकर्ण की धारणा का अन्वेषण करने में महत्वपूर्ण बनाती हैं।

गुण

ऑर्थोनॉर्मल समुच्चय में कुछ बहुत ही आकर्षक गुण होते हैं, जो उन्हें विशेष रूप से काम करने में आसान बनाते हैं।

• प्रमेय। यदि {e₁, e₂, ..., e_n} सदिशों की एक प्रसामान्य लांबिक श्रृंखला है, तो
  $$\forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}$$
• प्रमेय। सदिशों की प्रत्येक प्रसामान्य लांबिक श्रृंखला रैखिक स्वतन्त्र होती है।

अस्तित्व

• ग्राम-श्मिट प्रमेय। यदि{v₁, v₂,...,v_n} आंतरिक गुणन अंतराल ${\mathcal {V}}$ में सदिशों की एक रैखिक स्वतंत्र सूची है, तब {e₁, e₂,...,e_n} सदिशों की एक प्रसामान्य लांबिक श्रृंखला ${\mathcal {V}}$ इस तरह से होगी कि स्पैन(e₁, e₂,...,e_n) = स्पैन(v₁, v₂,...,v_n)

ग्राम-श्मिट प्रमेय का प्रमाण रचनात्मक है और इसकी विस्तृत चर्चा अन्यत्र की जाती है। ग्राम-श्मित सिद्धांत, अभिगृहित विकल्प के साथ, निश्चित करता है कि प्रत्येक सदिश अंतराल में प्रसामान्य लांबिक आधार को स्वीकार करता हो। संभवतः प्रसामान्य लंबिकता का सबसे महत्वपूर्ण उपयोग है, क्योंकि यह तथ्य अंतराल के प्रसामान्य लांबिक सदिशों पर उनकी कार्य के संदर्भ में आंतरिक गुणन अंतराल पर संचालकों पर चर्चा करने की अनुमति देता है। क्या परिणाम और ऑपरेटर की विकर्णता के बीच एक गहरा संबंध है और यह प्रसामान्य लांबिक आधार सदिशों पर कैसे कार्य करता है। यह संबंध स्पेक्ट्रल प्रमेय की विशेषता है।

उदाहरण

मानक आधार

चतुर्थांश अंतराल Fⁿ के लिए मानक आधार है

{e1, e2,...,en}  जँहा	e1 =(1, 0, ..., 0)
	e2 =(0, 1, ..., 0)
	$\vdots$
	en =(0, 0, ..., 1)

कोई भी दो सदिश e_i, तथा e_j जहाँ i≠j प्रसामान्य लांबिक हैं, और सभी सदिश स्पष्ट रूप से इकाई लंबाई के हैं। अतः {e₁, e₂,...,e_n} प्रसामान्य लांबिक आधार बनाते है।

वास्तविक संख्या फलन

वास्तविक संख्या फलन को संदर्भित करते हुए, सामान्यता  L² को आंतरिक गुणन मान लिया जाता है जब तक कि इसे न कहा गया हो। दो फलन $\phi (x)$ तथा $\psi (x)$ एक अंतराल $[a,b]$ पर प्रसामान्य लांबिक हैं होते यदि

$(1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {}}$और

$(2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.$

फूरियर श्रृंखला

फूरियर श्रृंखला साइनसोइडल आधार फलन के संदर्भ में एक आवधिक कार्य को व्यक्त करने की एक विधि है। C[−π,π] को अंतराल [−π,π] पर निरंतर सभी वास्तविक-संख्या फलन का स्थान लेना तथा आंतरिक गुणन को लेना

$\langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx$

यह दिखाया जा सकता है

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N}$

एक प्रसामान्य लांबिक समूह बनाता है।

हालाँकि, यह बहुत कम महत्त्वपूर्ण है, क्योंकि C [π,, π] अनंत-आयामी है, और सदिशो का एक परमित समूह इसे विस्तृत नहीं कर सकता है। लेकिन, n के परिमित होने के प्रतिबंध को हटाने से समुच्चय C[−π,π] में सघन उपसमुच्चय बन जाता है और इसलिए C[−π,π] का एक प्रसामान्य लांबिक आधार बन जाता है।

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनलाइजेशन

स्रोत

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 106–110, ISBN 978-0-387-98258-8
• Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentals of Circuits and Filters (3rd ed.), Boca Raton: CRC Press, p. 62, ISBN 978-1-4200-5887-1

श्रेणी:रैखिक बीजगणित श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण