अलघुकरणीय बहुपद: Difference between revisions

Revision as of 01:05, 10 December 2022

गणित में, एक अलघुकरणीय बहुपद मोटे तौर पर एक ऐसा बहुपद है जिसे दो गैर-निरंतर बहुपदों के गुणनफल में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है। अलघुकरणीयता का गुण उन गुणांकों की प्रकृति पर निर्भर करता है जो संभावित कारकों के लिए स्वीकार किए जाते हैं, यानी वह क्षेत्र जिससे बहुपद के गुणांक और इसके संभावित कारक संबंधित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, बहुपद $x 2 - 2$ पूर्णांक गुणांकों वाला एक बहुपद है, लेकिन चूंकि प्रत्येक पूर्णांक भी एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद भी है। यदि इसे पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है, तो यह अलघुकरणीय है, लेकिन यह $\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)$ कारक के रूप में यदि इसे वास्तविक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है। एक का कहना है कि बहुपद $x 2 - 2$ पूर्णांकों पर अलघुकरणीय है लेकिन वास्तविक पर नहीं।

एक अभिन्न क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों के लिए बहुपद अलघुकरणीयता पर विचार किया जा सकता है, और दो सामान्य परिभाषाएं हैं। सबसे अधिक बार, एक अभिन्न क्षेत्र $R$ पर एक बहुपद को अलघुकरणीय कहा जाता है यदि यह दो बहुपदों का गुणनफल नहीं है, जिनके गुणांक $R$ में हैं, और $R$ , में इकाई नहीं हैं। समान रूप से, इस परिभाषा के लिए, एक अलघुकरणीय बहुपद $R$ पर बहुपदों के छल्लों में एक अलघुकरणीय तत्व है। यदि $R$ एक क्षेत्र है, तो अलघुकरणीयता की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। दूसरी परिभाषा के लिए, एक बहुपद अलघुकरणीय है यदि इसे एक ही क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है, जिसमें दोनों की सकारात्मक डिग्री है। समतुल्य रूप से, एक बहुपद अलघुकरणीय है यदि यह अभिन्न क्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में अलघुकरणीय है। उदाहरण के लिए, बहुपद $2(x^{2}-2)\in \mathbb {Z} [x]$ दूसरी परिभाषा के लिए अलघुकरणीय है, न कि पहली परिभाषा के लिए। दूसरी ओर, $x^{2}-2$ $\mathbb {Z} [x]$ में अलघुकरणीय है दो परिभाषाओं के लिए, जबकि यह $\mathbb {R} [x]$ में लघुकरणीय है।

एक बहुपद जो कि गुणांक वाले किसी भी क्षेत्र पर अलघुकरणीय है, वह बिल्कुल अलघुकरणीय है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, एक अविभाजित बहुपद पूरी तरह से अलघुकरणीय है और केवल यदि इसकी डिग्री एक है। दूसरी ओर, कई अनिश्चित के साथ, किसी भी डिग्री के पूरी तरह से अलघुकरणीय बहुपद होते हैं, जैसे कि $x^{2}+y^{n}-1,$ किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए।

एक बहुपद जो अलघुकरणीय नहीं होता है उसे कभी-कभी एक लघुकरणीय बहुपद कहा जाता है।^[1]^[2]

बहुपद गुणनखंडन और बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार के अध्ययन में अलघुकरणीय बहुपद स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।

अभाज्य बहुपदों की अभाज्य संख्याओं से तुलना करना सहायक होता है- अभाज्य संख्याएँ (समान परिमाण की संबंधित ऋणात्मक संख्याओं के साथ) अलघुकरणीय पूर्णांक हैं। वे "अलघुकरणीयता" की अवधारणा के कई सामान्य गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो समान रूप से अलघुकरणीय बहुपदों पर लागू होते हैं, जैसे कि अभाज्य या अलघुकरणीय कारकों में अनिवार्य रूप से अद्वितीय गुणनखंडन। जब गुणांक वलय एक क्षेत्र या अन्यअद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र होता है, तो एक अलघुकरणीय बहुपद को एक अभाज्य बहुपद भी कहा जाता है, क्योंकि यह एक प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है।

परिभाषा

यदि F एक क्षेत्र है, तो एक गैर-निरंतर बहुपद F पर अप्रासंगिक है यदि इसके गुणांक F से संबंधित हैं और इसे F में गुणांक वाले दो गैर-निरंतर बहुपदों के गुणनफल में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है।

पूर्णांक गुणांक वाले एक बहुपद, या, अधिक प्रायः, एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र R में गुणांक के साथ, कभी-कभी अलघुकरणीय (या R पर अलघुकरणीय) कहा जाता है यदि यह बहुपद रिंग का एक अलघुकरणीय तत्व है, अर्थात यह उल्टा नहीं, शून्य नहीं है, और R में गुणांक वाले दो गैर-व्युत्क्रम योग्य बहुपदों के गुणनफल में कारक नहीं हो सकते। यह परिभाषा एक क्षेत्र में गुणांक की स्थिति के लिए दी गई परिभाषा को सामान्यीकृत करती है, क्योंकि, एक क्षेत्र के ऊपर, गैर-निरंतर बहुपद वास्तव में बहुपद हैं जो गैर-व्युत्क्रम और गैर-शून्य हैं।

एक अन्य परिभाषा का प्रायः उपयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि एक बहुपद R पर अलघुकरणीय है यदि यह R के अंशों के क्षेत्र (परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, यदि R पूर्णांक है) पर अलघुकरणीय है। इस लेख में इस दूसरी परिभाषा का प्रयोग नहीं किया गया है।

कारक की प्रकृति

एक कारक के लिए एक स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति की अनुपस्थिति का मतलब यह नहीं है कि एक बहुपद अलघुकरणीय है। जब एक बहुपद को गुणनखंडों में कम किया जा सकता है, तो ये गुणनखंड स्पष्ट बीजगणितीय व्यंजक या अंतर्निहित व्यंजक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, $x^{2}+2$ को सम्मिश्र संख्याओं पर $\left(x-{\sqrt {2}}i\right)\left(x+{\sqrt {2}}i\right)$ के रूप में स्पष्ट रूप से विभाजित किया जा सकता है। हालांकि, एबेल-रफिनी प्रमेय में कहा गया है कि 4 से अधिक किसी भी डिग्री के बहुपद हैं जिनके लिए जटिल कारक मौजूद हैं जिनकी कोई स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति नहीं है। इस तरह के कारक को सरल रूप में लिखा जा सकता है, जैसे, $\left(x-x_{1}\right),$ जहां $x_{1}$ को समीकरण के एक विशेष समाधान के रूप में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है जो बहुपद को 0 के बराबर निर्धारित करता है। इसके अलावा, किसी भी प्रकार के कारकों को मूलनिर्धारण एल्गोरिदम (कलन विधि ) द्वारा प्राप्त संख्यात्मक सन्निकटन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए उदाहरण के लिए $\left(x-1.2837\ldots \right)$ ।

सरल उदाहरण

निम्नलिखित छह बहुपद कम करने योग्य और अलघुकरणीय बहुपदों के कुछ प्रारंभिक गुणों को प्रदर्शित करते हैं।

{\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}

पूर्णांकों पर, पहले तीन बहुपद लघुकरणीय है (तीसरा एक लघुकरणीय है क्योंकि कारक 3 पूर्णांकों में व्युत्क्रमणीय नहीं है) अंतिम दो अलघुकरणीय हैं। (चौथा, निश्चित रूप से, पूर्णांकों पर बहुपद नहीं है।)

परिमेय संख्याओं पर, पहले दो और चौथे बहुपद लघुकरणीय है, लेकिन अन्य तीन बहुपद अलघुकरणीय है (परिमेय पर एक बहुपद के रूप में, 3 एक इकाई है, और इसलिए, एक कारक के रूप में नहीं गिना जाता है)।

वास्तविक संख्याओं के ऊपर, पहले पांच बहुपद लघुकरणीय है, लेकिन $p_{6}(x)$ अलघुकरणीय है।

सम्मिश्र संख्याओं पर, सभी छह बहुपद लघुकरणीय है।

जटिल संख्याओं पर

जटिल क्षेत्र पर, और प्रायः, एक बीजगणितीय रूप से सीमित क्षेत्र पर, एक अविभाजित बहुपद अलघुकरणीय है और केवल यदि इसकी डिग्री एक है। इस तथ्य को जटिल संख्याओं की स्थिति में बीजगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है और सामान्य रूप से बीजगणितीय रूप से सीमित होने की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-निरंतर अविभाज्य बहुपद के रूप में कारक हो सकते हैं।

a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)

जहाँ $n$ डिग्री है, $a$ अग्रणी गुणांक है और $z_{1},\dots ,z_{n}$ बहुपद के शून्य हैं (जरूरी नहीं कि अलग हों, और जरूरी नहीं कि स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्तियां हों)।

सम्मिश्र संख्याओं पर प्रत्येक डिग्री के अलघुकरणीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं। उदाहरण के लिए बहुपद हैं

x^{n}+y^{n}-1,

जो फर्मेट वक्र को परिभाषित करता है, प्रत्येक सकारात्मक n के लिए अलघुकरणीय है।

वास्तविक से अधिक

वास्तविकताओं के क्षेत्र में, एक अलघुकरणीय अविभाजित बहुपद की डिग्री या तो एक या दो है। अधिक सटीक रूप से, अलघुकरणीय बहुपद एक डिग्री के बहुपद और द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ हैं जिसका एक ऋणात्मक विविक्तक $b^{2}-4ac$ है। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-निरंतर अविभाज्य बहुपद को अधिकतम दो डिग्री के बहुपदों के गुणनफल के रूप में कारक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $x^{4}+1$ वास्तविक संख्याओं को $\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),$ के रूप में कारक बनाता है। और इसे आगे कारक नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि दोनों कारकों में एक ऋणात्मक विविक्तक है। $\left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0$

अद्वितीय गुणनखंडन गुण

एक फ़ील्ड F पर प्रत्येक बहुपद को एक गैर-शून्य स्थिरांक और अलघुकरणीय (F से अधिक) बहुपदों की एक परिमित संख्या के गुणनफल में कारक बनाया जा सकता है। यह अलघुकरणीय कारकों के क्रम और गैर-शून्य स्थिरांक वाले कारकों के गुणन तक अद्वितीय है जिसका गुणनफल 1 है।

एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर वही प्रमेय सही है, लेकिन साधारण बहुपद की धारणा का उपयोग करके अधिक सटीक रूप से तैयार किया गया है। एक साधारण बहुपद एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर एक बहुपद है, जैसे कि 1 इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है।

$F$ को एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र होने दें। $F$ पर एक गैर-स्थिर अलघुकरणीय बहुपद साधारण है। और केवल यदि यह $F$ के अंशों के क्षेत्र में अलघुकरणीय है। $F$ पर प्रत्येक बहुपद को एक गैर-शून्य स्थिरांक और गैर-निरंतर अलघुकरणीय साधारण बहुपद की एक परिमित संख्या के गुणनफल में विघटित किया जा सकता है। गैर-शून्य स्थिरांक स्वयं $F$ की एक इकाई के गुणनफल और $F$ के अलघुकरणीय तत्वों की एक परिमित संख्या में विघटित हो सकता है। दोनों गुणनखंड कारकों के क्रम और $F$ की एक इकाई द्वारा कारकों के गुणन तक अद्वितीय हैं।

यह वह प्रमेय है जो प्रेरित करता है कि एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर अलघुकरणीय बहुपद की परिभाषा प्रायः यह मानती है कि बहुपद गैर-निरंतर है।

सभी कलन विधि जो वर्तमान में पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर बहुपदों के गुणनखंडन के लिए कार्यान्वित किए जाते हैं, इस परिणाम का उपयोग करते हैं (बहुपदों का गुणनखंडन देखें)।

पूर्णांकों और परिमित क्षेत्रों पर

पूर्णांकों $\mathbb {Z}$ पर एक बहुपद की अलघुकरणीयता का संबंध $p$ तत्व (अभाज्य $p$ के लिए ) के क्षेत्र $\mathbb {F} _{p}$ से है विशेष रूप से, यदि $\mathbb {Z}$ पर एक अविभाज्य बहुपद $f$ $\mathbb {F} _{p}$ पर अलघुकरणीय है कुछ अभाज्य $p$ के लिए जो $f$ के प्रमुख गुणांक (चर की उच्चतम शक्ति का गुणांक) को विभाजित नहीं करता है, तो $\mathbb {\mathbb {Q} }$ (अर्थात, यह पूर्णांक गुणांक वाले दो गैर-निरंतर बहुपदों का गुणनफल नहीं है) पर अलघुकरणीय है। आइनस्टीन का मानदंड इस गुण का प्रकार है जहां $p^{2}$ पर अलघुकरणीयता भी सम्मिलित है।

हालांकि, व्युत्क्रम सच नहीं है- मनमाने ढंग से बड़ी डिग्री के बहुपद हैं जो पूर्णांकों पर अलघुकरणीय हैं और प्रत्येक परिमित क्षेत्र पर लघुकरणीय हैं।^[3] ऐसे बहुपद का एक सरल उदाहरण $x^{4}+1$ है।

पूर्णांकों पर अलघुकरणीयता और अलघुकरणीयता सापेक्षों p के बीच संबंध पिछले परिणाम की तुलना में गहन है- आज तक, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर गुणनखंडन और अलघुकरणीयता के लिए सभी कार्यान्वित एल्गोरिदम एक उपनित्यक्रम के रूप में परिमित क्षेत्रों पर गुणनखंड का उपयोग करते हैं।

एक क्षेत्र $\mathbb {F} _{q}$ पर डिग्री की संख्या $n$ अलघुकरणीय मोनिक बहुपद, $q$ के लिए एक अभाज्य शक्ति द्वारा दी गई है।^[4]

N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},

कहाँ पे $μ$ मोबियस फ़ंक्शन है। के लिये $q = 2$ , ऐसे बहुपद आमतौर पर छद्म आयामी बाइनरी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

कुछ अर्थों में, शून्य या एक गुणांक वाले लगभग सभी बहुपद पूर्णांकों पर अलघुकरणीय होते हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि डेडेकाइंड जीटा फंक्शन के लिए रीमैन परिकल्पना का एक संस्करण माना जाता है, तो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर गुणांक वाले बहुपद के लिए पूर्णांकों पर अलघुकरणीय होने की संभावना ${0, 1}$ डिग्री बढ़ने पर एक की ओर जाता है।^[5]^[6]

एल्गोरिदम

बहुपदों के अद्वितीय गुणनखंड गुण का अर्थ यह नहीं है कि किसी दिए गए बहुपद के गुणनखंड की हमेशा गणना की जा सकती है। यहां तक कि एक बहुपद की अप्रासंगिकता भी हमेशा एक संगणना द्वारा सिद्ध नहीं हो सकती है: ऐसे क्षेत्र हैं जिन पर मनमाना बहुपदों की अनियमितता को तय करने के लिए कोई एल्गोरिदम मौजूद नहीं हो सकता है।^[7] बहुपदों के गुणनखंडन और इरेड्यूसिबिलिटी तय करने के लिए एल्गोरिद्म कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं, परिमित क्षेत्रों और इन क्षेत्रों के परिमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार पर बहुपदों के लिए जाना जाता है और कार्यान्वित किया जाता है। ये सभी एल्गोरिदम परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों के गुणनखंडन के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

क्षेत्र विस्तार

इरेड्यूसिबल बहुपद और बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार की धारणाएं निम्नलिखित तरीके से दृढ़ता से संबंधित हैं।

मान लें कि x क्षेत्र K के क्षेत्र विस्तार L का एक तत्व है। इस तत्व को बीजगणितीय कहा जाता है यदि यह K में गुणांक वाले एक गैर-शून्य बहुपद के एक फ़ंक्शन का शून्य है। बहुपदों में से x एक जड़ है, वहां बिल्कुल वही है जो मोनिक बहुपद है और न्यूनतम डिग्री है, जिसे एक्स का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है। एल के एक बीजगणितीय तत्व x का न्यूनतम बहुपद अप्रासंगिक है, और अद्वितीय मोनिक इरेड्यूसबल बहुपद है जिसमें से x एक जड़ है। एक्स का न्यूनतम बहुपद प्रत्येक बहुपद को विभाजित करता है जिसकी जड़ के रूप में एक्स है (यह एबेल की इरेड्यूसबिलिटी प्रमेय है)।

इसके विपरीत यदि $P(X)\in K[X]$ क्षेत्र K पर एक अविभाजित बहुपद है, मान लीजिए $L=K[X]/P(X)$ बहुपद वलय का भागफल वलय हो $K[X]$ आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा # एक सेट द्वारा उत्पन्न आदर्श $P$ . फिर $L$ एक क्षेत्र है अगर और केवल अगर $P$ अपूरणीय है $K$ . इस मामले में अगर $x$ की छवि है $X$ में $L$ , का न्यूनतम बहुपद $x$ का भागफल है $P$ इसके प्रमुख गुणांक द्वारा।

उपरोक्त का एक उदाहरण जटिल संख्याओं की मानक परिभाषा है $\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).$ यदि एक बहुपद $P$ एक अलघुकरणीय कारक है $Q$ ऊपर $K$ , जिसके पास एक से अधिक डिग्री है, जिसके लिए कोई आवेदन कर सकता है $Q$ एक बीजगणितीय विस्तार के पूर्ववर्ती निर्माण, जिसमें एक विस्तार प्राप्त करने के लिए $P$ की तुलना में कम से कम एक अधिक रूट है $K$ . इस निर्माण को दोहराते हुए, अंततः एक क्षेत्र प्राप्त होता है जिस पर $P$ रैखिक कारकों में कारक। रिंग आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय इस क्षेत्र को विखंडन क्षेत्र कहा जाता है $P$ .

एक अभिन्न डोमेन से अधिक

यदि R एक अभिन्न डोमेन है, तो R का एक तत्व f जो न तो शून्य है और न ही एक इकाई है, अगर कोई गैर-इकाइयां g और h नहीं हैं, तो f = gh के साथ। कोई दिखा सकता है कि प्रत्येक प्रमुख तत्व अप्रासंगिक है;^[8] इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है, लेकिन अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन में है। बहुपद वलय F [x] एक फ़ील्ड F (या कोई अद्वितीय-कारक डोमेन) पर फिर से एक अद्वितीय कारक डोमेन है। आगमनात्मक रूप से, इसका मतलब यह है कि n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी (एक अंगूठी आर पर) एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है यदि आर के लिए भी यही सच है।

यह भी देखें

गॉस लेम्मा (बहुपद)
रैशनल रूट प्रमेय, यह पता लगाने की एक विधि है कि क्या एक बहुपद में तर्कसंगत गुणांक के साथ एक रैखिक कारक है
ईसेनस्टीन की कसौटी
पेरॉन की अलघुकरणीयता कसौटी
हिल्बर्ट की अलघुकरणीयता प्रमेय
कोहन की अलघुकरणीयता कसौटी
एक टोपोलॉजिकल स्पेस का अलघुकरणीय घटक
परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों का गुणनखंडन
Quartic function § Reducible quartics
Cubic function § Factorization
एक अपूरणीय मामला, तीन वास्तविक जड़ों वाला इरेड्यूसिबल क्यूबिक
Quadratic equation § Quadratic factorization

↑ Gallian 2012, p. 311
↑ Mac Lane & Birkhoff 1999 do not explicitly define "reducible", but they use it in several places. For example: "For the present, we note only that any reducible quadratic or cubic polynomial must have a linear factor." (p. 268).
↑ David Dummit; Richard Foote (2004). "ch. 9, Proposition 12". सार बीजगणित. Wiley. p. 309. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Jacobson 2009, §4.13
↑ Breuillard, Emmanuel; Varjú, Péter P. (2018). "बड़ी डिग्री के यादृच्छिक बहुपदों की इरेड्यूसबिलिटी". arXiv:1810.13360 [math.NT].
↑ Hartnett, Kevin. "समीकरणों के ब्रह्मांड में, वस्तुतः सभी प्रधान हैं". Quanta Magazine. Retrieved 2019-01-13.
↑ Fröhlich, A.; Shepherson, J.C. (1955), "On the factorisation of polynomials in a finite number of steps", Mathematische Zeitschrift, 62 (1): 331–4, doi:10.1007/BF01180640, ISSN 0025-5874, S2CID 119955899
↑ Consider p a prime that is reducible: p = ab. Then p | ab ⇒ p | a or p | b. Say p | a ⇒ a = pc, then we have: p = ab = pcb ⇒ p(1 − cb) = 0. Because R is a domain, we have cb = 1. So b is a unit, and p is irreducible.

संदर्भ

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556. This classical book covers most of the content of this article.
Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8th ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0, pp. 91.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (1997), Handbook of applied cryptography, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8523-0, pp. 154.

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स्थिर बहुपद
सकारात्मक असर
गुणक
अंक शास्त्र
इकाई (अंगूठी सिद्धांत)
अंशों का क्षेत्र
अविभाज्य बहुपद
बिल्कुल अप्रासंगिक
बीजगणित का मौलिक प्रमेय
प्रधान आदर्श
बहुपद की अंगूठी
निहित समारोह
बीजगणतीय अभिव्यक्ति
रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम
जटिल संख्या
एक बहुपद की डिग्री
बीजीय रूप से बंद क्षेत्र
विभेदक
महत्तम सामान्य भाजक
छद्म आयामी द्विआधारी अनुक्रम
निश्चित रूप से उत्पन्न फ़ील्ड एक्सटेंशन
कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली
परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों का गुणनखंडन
एक समारोह का शून्य
फील्ड एक्सटेंशन
भागफल की अंगूठी
नेतृत्व गुणांक
विभाजन क्षेत्र
प्रधान तत्व
तर्कसंगत जड़ प्रमेय

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Irreducible Polynomial". MathWorld.
Irreducible Polynomial at PlanetMath.
Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.

[1] Gallian 2012, p. 311

[2] Mac Lane & Birkhoff 1999 do not explicitly define "reducible", but they use it in several places. For example: "For the present, we note only that any reducible quadratic or cubic polynomial must have a linear factor." (p. 268).

[3] David Dummit; Richard Foote (2004). "ch. 9, Proposition 12". सार बीजगणित. Wiley. p. 309. ISBN 0-471-43334-9.

[4] Jacobson 2009, §4.13

[5] Breuillard, Emmanuel; Varjú, Péter P. (2018). "बड़ी डिग्री के यादृच्छिक बहुपदों की इरेड्यूसबिलिटी". arXiv:1810.13360 [math.NT].

[6] Hartnett, Kevin. "समीकरणों के ब्रह्मांड में, वस्तुतः सभी प्रधान हैं". Quanta Magazine. Retrieved 2019-01-13.

[7] Fröhlich, A.; Shepherson, J.C. (1955), "On the factorisation of polynomials in a finite number of steps", Mathematische Zeitschrift, 62 (1): 331–4, doi:10.1007/BF01180640, ISSN 0025-5874, S2CID 119955899

[8] Consider p a prime that is reducible: p = ab. Then p | ab ⇒ p | a or p | b. Say p | a ⇒ a = pc, then we have: p = ab = pcb ⇒ p(1 − cb) = 0. Because R is a domain, we have cb = 1. So b is a unit, and p is irreducible.

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@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{more footnotes|date=March 2015}}
 {{about|non-factorizable polynomials|polynomials which are not a composition of polynomials|Indecomposable polynomial}}
-गणित में, एक अलघुकरणीय [[बहुपद]], मोटे तौर पर बोल रहा है, एक बहुपद है जिसे दो निरंतर बहुपद | गैर-निरंतर बहुपदों के उत्पाद में शामिल नहीं किया जा सकता है। इरेड्यूसबिलिटी की संपत्ति उन गुणांकों की प्रकृति पर निर्भर करती है जो संभावित कारकों के लिए स्वीकार किए जाते हैं, अर्थात, वह [[क्षेत्र (गणित)]] जिसमें बहुपद के गुणांक और इसके संभावित कारक शामिल होने चाहिए। उदाहरण के लिए, बहुपद {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} [[पूर्णांक]] गुणांकों वाला एक बहुपद है, लेकिन चूंकि प्रत्येक पूर्णांक भी एक [[वास्तविक संख्या]] है, यह वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद भी है। यदि इसे पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है, तो यह अप्रासंगिक है, लेकिन यह कारक है <math>\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)</math> यदि इसे वास्तविक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है। एक कहता है कि बहुपद {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} पूर्णांकों पर अप्रासंगिक है लेकिन वास्तविक पर नहीं।
+गणित में, एक अलघुकरणीय [[बहुपद]] मोटे तौर पर एक ऐसा बहुपद है जिसे दो गैर-निरंतर बहुपदों के गुणनफल में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है। अलघुकरणीयता का गुण उन गुणांकों की प्रकृति पर निर्भर करता है जो संभावित कारकों के लिए स्वीकार किए जाते हैं, यानी वह [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] जिससे बहुपद के गुणांक और इसके संभावित कारक संबंधित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, बहुपद {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} [[पूर्णांक]] गुणांकों वाला एक बहुपद है, लेकिन चूंकि प्रत्येक पूर्णांक भी एक [[वास्तविक संख्या]] है, इसलिए यह वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद भी है। यदि इसे पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है, तो यह अलघुकरणीय है, लेकिन यह <math>\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)</math> कारक के रूप में यदि इसे वास्तविक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है। एक का कहना है कि बहुपद {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} पूर्णांकों पर अलघुकरणीय है लेकिन वास्तविक पर नहीं।
-एक [[अभिन्न डोमेन]] में गुणांक वाले बहुपदों के लिए बहुपद इरेड्यूसबिलिटी पर विचार किया जा सकता है, और दो सामान्य परिभाषाएँ हैं। बहुधा, एक अभिन्न डोमेन पर एक बहुपद {{mvar|R}} यदि यह उन दो बहुपदों का गुणनफल नहीं है, जिनमें उनके गुणांक हैं, तो उन्हें अप्रासंगिक कहा जाता है {{mvar|R}}, और यूनिट (रिंग थ्योरी) में नहीं हैं {{mvar|R}}. समान रूप से, इस परिभाषा के लिए, एक अलघुकरणीय बहुपद बहुपदों के वलयों में एक [[अलघुकरणीय तत्व]] है {{mvar|R}}. यदि {{mvar|R}} एक क्षेत्र है, अलघुकरणीयता की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। दूसरी परिभाषा के लिए, एक बहुपद अप्रासंगिक है यदि इसे एक ही डोमेन में गुणांक वाले बहुपदों में शामिल नहीं किया जा सकता है, जिसमें दोनों की सकारात्मक डिग्री है। समतुल्य रूप से, एक बहुपद अप्रासंगिक है यदि यह अभिन्न डोमेन के अंशों के क्षेत्र में अलघुकरणीय है। उदाहरण के लिए, बहुपद <math>2(x^2-2)\in \Z[x]</math> दूसरी परिभाषा के लिए अप्रासंगिक है, और पहली परिभाषा के लिए नहीं। दूसरी ओर, <math>x^2-2</math> में अपूरणीय है <math>\Z[x]</math> दो परिभाषाओं के लिए, जबकि इसमें कम किया जा सकता है <math>\R[x].</math>
+एक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न क्षेत्र]] में गुणांक वाले बहुपदों के लिए बहुपद अलघुकरणीयता पर विचार किया जा सकता है, और दो सामान्य परिभाषाएं हैं। सबसे अधिक बार, एक अभिन्न क्षेत्र {{mvar|R}} पर एक बहुपद को अलघुकरणीय कहा जाता है यदि यह दो बहुपदों का गुणनफल नहीं है, जिनके गुणांक {{mvar|R}} में हैं, और {{mvar|R}}, में इकाई नहीं हैं। समान रूप से, इस परिभाषा के लिए, एक अलघुकरणीय बहुपद {{mvar|R}} पर बहुपदों के छल्लों में एक [[अलघुकरणीय तत्व]] है। यदि {{mvar|R}} एक क्षेत्र है, तो अलघुकरणीयता की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। दूसरी परिभाषा के लिए, एक बहुपद अलघुकरणीय है यदि इसे एक ही क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है, जिसमें दोनों की सकारात्मक डिग्री है। समतुल्य रूप से, एक बहुपद अलघुकरणीय है यदि यह अभिन्न क्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में अलघुकरणीय है। उदाहरण के लिए, बहुपद <math>2(x^2-2)\in \Z[x]</math> दूसरी परिभाषा के लिए अलघुकरणीय है, न कि पहली परिभाषा के लिए। दूसरी ओर, <math>x^2-2</math>   <math>\Z[x]</math> में अलघुकरणीय है दो परिभाषाओं के लिए, जबकि यह <math>\R[x]</math> में लघुकरणीय है।
-एक बहुपद जो कि गुणांक वाले किसी भी क्षेत्र पर अप्रासंगिक है, बिल्कुल अलघुकरणीय है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, एक अविभाजित बहुपद पूरी तरह से अप्रासंगिक है यदि और केवल यदि इसकी डिग्री एक है। दूसरी ओर, कई [[अनिश्चित (चर)]] के साथ, किसी भी डिग्री के बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद होते हैं, जैसे कि <math>x^2 + y^n - 1,</math> किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{math|''n''}}.
-एक बहुपद जो अप्रासंगिक नहीं है, उसे कभी-कभी एक कम करने योग्य बहुपद कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Gallian|2012|p=311}}</ref><ref>{{harvnb|Mac Lane|Birkhoff|1999}} do not explicitly define "reducible", but they use it in several places. For example: "For the present, we note only that any reducible quadratic or cubic polynomial must have a linear factor." (p. 268).</ref>
+एक बहुपद जो कि गुणांक वाले किसी भी क्षेत्र पर अलघुकरणीय है, वह बिल्कुल अलघुकरणीय है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, एक अविभाजित बहुपद पूरी तरह से अलघुकरणीय है और केवल यदि इसकी डिग्री एक है। दूसरी ओर, कई [[अनिश्चित (चर)|अनिश्चित]] के साथ, किसी भी डिग्री के पूरी तरह से अलघुकरणीय बहुपद होते हैं, जैसे कि <math>x^2 + y^n - 1,</math> किसी भी धनात्मक पूर्णांक {{math|''n''}} के लिए।
-[[बहुपद गुणनखंडन]] और [[बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार]] के अध्ययन में इरेड्यूसिबल बहुपद स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।
-अभाज्य बहुपदों की [[अभाज्य संख्या]]ओं से तुलना करना सहायक होता है: अभाज्य संख्याएँ (समान परिमाण की संबंधित ऋणात्मक संख्याओं के साथ) अलघुकरणीय पूर्णांक हैं। वे अप्रासंगिकता की अवधारणा के कई सामान्य गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो समान रूप से अलघुकरणीय बहुपदों पर लागू होते हैं, जैसे कि प्रमुख या अलघुकरणीय कारकों में अनिवार्य रूप से अद्वितीय गुणनखंडन। जब गुणांक वलय एक क्षेत्र या अन्य [[अद्वितीय गुणनखंड डोमेन]] होता है, तो एक अलघुकरणीय बहुपद को एक प्रमुख बहुपद भी कहा जाता है, क्योंकि यह एक प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है।
+एक बहुपद जो अलघुकरणीय नहीं होता है उसे कभी-कभी एक लघुकरणीय बहुपद कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Gallian|2012|p=311}}</ref><ref>{{harvnb|Mac Lane|Birkhoff|1999}} do not explicitly define "reducible", but they use it in several places. For example: "For the present, we note only that any reducible quadratic or cubic polynomial must have a linear factor." (p. 268).</ref>
+[[बहुपद गुणनखंडन]] और [[बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार]] के अध्ययन में अलघुकरणीय बहुपद स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।
+अभाज्य बहुपदों की [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] से तुलना करना सहायक होता है- अभाज्य संख्याएँ (समान परिमाण की संबंधित ऋणात्मक संख्याओं के साथ) अलघुकरणीय पूर्णांक हैं। वे "अलघुकरणीयता" की अवधारणा के कई सामान्य गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो समान रूप से अलघुकरणीय बहुपदों पर लागू होते हैं, जैसे कि अभाज्य या अलघुकरणीय कारकों में अनिवार्य रूप से अद्वितीय गुणनखंडन। जब गुणांक वलय एक क्षेत्र या अन्य[[अद्वितीय गुणनखंड डोमेन|अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र]] होता है, तो एक अलघुकरणीय बहुपद को एक अभाज्य बहुपद भी कहा जाता है, क्योंकि यह एक प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है।
 == परिभाषा ==
-यदि F एक क्षेत्र है, तो एक गैर-निरंतर बहुपद 'F पर अपरिवर्तनीय' है यदि इसके गुणांक F से संबंधित हैं और इसे F में गुणांक वाले दो गैर-निरंतर बहुपदों के उत्पाद में शामिल नहीं किया जा सकता है।
+यदि ''F'' एक क्षेत्र है, तो एक गैर-निरंतर बहुपद ''F'' पर अप्रासंगिक है यदि इसके गुणांक ''F'' से संबंधित हैं और इसे ''F'' में गुणांक वाले दो गैर-निरंतर बहुपदों के गुणनफल में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है।
-पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद, या अधिक आम तौर पर, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन R में गुणांक के साथ, कभी-कभी इर्रिड्यूसिबल (या R पर इर्रेड्यूबल) कहा जाता है यदि यह बहुपद रिंग का एक इर्रिड्यूसिबल तत्व है, अर्थात यह इकाई नहीं है (रिंग थ्योरी), शून्य नहीं, और आर में गुणांक वाले दो गैर-उलटने योग्य बहुपदों के उत्पाद में शामिल नहीं किया जा सकता है। यह परिभाषा एक क्षेत्र में गुणांक के मामले के लिए दी गई परिभाषा को सामान्यीकृत करती है, क्योंकि, एक क्षेत्र पर, गैर- निरंतर बहुपद वास्तव में ऐसे बहुपद हैं जो गैर-उलटा और गैर-शून्य हैं।
+पूर्णांक गुणांक वाले एक बहुपद, या, अधिक प्रायः, एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र ''R'' में गुणांक के साथ, कभी-कभी अलघुकरणीय (या ''R'' पर अलघुकरणीय) कहा जाता है यदि यह बहुपद रिंग का एक अलघुकरणीय तत्व है, अर्थात यह उल्टा नहीं, शून्य नहीं है, और ''R'' में गुणांक वाले दो गैर-व्युत्क्रम योग्य बहुपदों के गुणनफल में कारक नहीं हो सकते। यह परिभाषा एक क्षेत्र में गुणांक की स्थिति के लिए दी गई परिभाषा को सामान्यीकृत करती है, क्योंकि, एक क्षेत्र के ऊपर, गैर-निरंतर बहुपद वास्तव में बहुपद हैं जो गैर-व्युत्क्रम और गैर-शून्य हैं।
-एक अन्य परिभाषा का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि एक बहुपद आर पर अप्रासंगिक है यदि यह आर के अंशों के क्षेत्र ([[परिमेय संख्या]]ओं का क्षेत्र, यदि आर पूर्णांक है) पर अप्रासंगिक है। इस आलेख में इस दूसरी परिभाषा का उपयोग नहीं किया गया है।
+एक अन्य परिभाषा का प्रायः उपयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि एक बहुपद ''R'' पर अलघुकरणीय है यदि यह ''R'' के अंशों के क्षेत्र ([[परिमेय संख्या|परिमेय संख्याओं]] का क्षेत्र, यदि ''R'' पूर्णांक है) पर अलघुकरणीय है। इस लेख में इस दूसरी परिभाषा का प्रयोग नहीं किया गया है।
 === कारक की प्रकृति ===
-एक कारक के लिए एक स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति की अनुपस्थिति का मतलब यह नहीं है कि एक बहुपद अलघुकरणीय है। जब एक बहुपद को गुणनखंडों में कम किया जा सकता है, तो ये गुणनखंड स्पष्ट बीजगणितीय व्यंजक या अन्तर्निहित फलन हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, <math>x^2 + 2</math> के रूप में जटिल संख्याओं पर स्पष्ट रूप से तथ्य किया जा सकता है <math>\left(x - \sqrt{2}i\right)\left(x + \sqrt{2}i\right);</math> हालाँकि, एबेल-रफ़िनी प्रमेय कहता है कि 4 से अधिक किसी भी डिग्री के बहुपद हैं जिनके लिए जटिल कारक मौजूद हैं जिनकी कोई स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति नहीं है। इस तरह के एक कारक को बस के रूप में लिखा जा सकता है, कहते हैं, <math>\left(x - x_1\right),</math> कहाँ पे <math>x_1</math> स्पष्ट रूप से समीकरण के एक विशेष समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है जो बहुपद को 0 के बराबर सेट करता है। इसके अलावा, किसी भी प्रकार के कारकों को मूल-खोज एल्गोरिदम द्वारा प्राप्त संख्यात्मक सन्निकटन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए <math>\left(x - 1.2837\ldots\right).</math>
+एक कारक के लिए एक स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति की अनुपस्थिति का मतलब यह नहीं है कि एक बहुपद अलघुकरणीय है। जब एक बहुपद को गुणनखंडों में कम किया जा सकता है, तो ये गुणनखंड स्पष्ट बीजगणितीय व्यंजक या अंतर्निहित व्यंजक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, <math>x^2 + 2</math> को सम्मिश्र संख्याओं पर <math>\left(x - \sqrt{2}i\right)\left(x + \sqrt{2}i\right)</math> के रूप में स्पष्ट रूप से विभाजित किया जा सकता है। हालांकि, एबेल-रफिनी प्रमेय में कहा गया है कि 4 से अधिक किसी भी डिग्री के बहुपद हैं जिनके लिए जटिल कारक मौजूद हैं जिनकी कोई स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति नहीं है। इस तरह के कारक को सरल रूप में लिखा जा सकता है, जैसे, <math>\left(x - x_1\right),</math> जहां <math>x_1</math> को समीकरण के एक विशेष समाधान के रूप में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है जो बहुपद को 0 के बराबर निर्धारित करता है। इसके अलावा, किसी भी प्रकार के कारकों को मूलनिर्धारण एल्गोरिदम (कलन विधि ) द्वारा प्राप्त संख्यात्मक सन्निकटन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए उदाहरण के लिए <math>\left(x - 1.2837\ldots\right)</math>।
 == सरल उदाहरण ==
-निम्नलिखित छह बहुपद कम करने योग्य और अलघुकरणीय बहुपदों के कुछ प्रारंभिक गुणों को प्रदर्शित करते हैं:
+निम्नलिखित छह बहुपद कम करने योग्य और अलघुकरणीय बहुपदों के कुछ प्रारंभिक गुणों को प्रदर्शित करते हैं।
 :<math>\begin{align}
@@ Line 37: / Line 37: @@
    p_6(x) &= x^2 + 1\, = {(x - i)(x + i)}
 \end{align}</math>
-पूर्णांकों पर, पहले तीन बहुपदों को घटाया जा सकता है (तीसरा एक कम किया जा सकता है क्योंकि कारक 3 पूर्णांकों में व्युत्क्रमणीय नहीं है); अंतिम दो अप्रासंगिक हैं। (चौथा, ज़ाहिर है, पूर्णांकों पर बहुपद नहीं है।)
+पूर्णांकों पर, पहले तीन बहुपद लघुकरणीय है (तीसरा एक लघुकरणीय है क्योंकि कारक 3 पूर्णांकों में व्युत्क्रमणीय नहीं है) अंतिम दो अलघुकरणीय हैं। (चौथा, निश्चित रूप से, पूर्णांकों पर बहुपद नहीं है।)
-परिमेय संख्याओं पर, पहले दो और चौथे बहुपदों को कम किया जा सकता है, लेकिन अन्य तीन बहुपदों को कम किया जा सकता है (राशनिकों पर बहुपद के रूप में, 3 एक इकाई (रिंग सिद्धांत) है, और इसलिए, एक कारक के रूप में नहीं गिना जाता है) .
+परिमेय संख्याओं पर, पहले दो और चौथे बहुपद लघुकरणीय है, लेकिन अन्य तीन बहुपद अलघुकरणीय है (परिमेय पर एक बहुपद के रूप में, 3 एक इकाई है, और इसलिए, एक कारक के रूप में नहीं गिना जाता है)।
-वास्तविक संख्याओं पर, पहले पांच बहुपदों को घटाया जा सकता है, लेकिन <math>p_6(x)</math> अलघुकरणीय है।
+वास्तविक संख्याओं के ऊपर, पहले पांच बहुपद लघुकरणीय है, लेकिन <math>p_6(x)</math> अलघुकरणीय है।
-सम्मिश्र संख्याओं पर, सभी छह बहुपदों को घटाया जा सकता है।
+सम्मिश्र संख्याओं पर, सभी छह बहुपद लघुकरणीय है।
 == जटिल संख्याओं पर ==
-[[जटिल क्षेत्र]] पर, और अधिक आम तौर पर, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक अविभाजित बहुपद अप्रासंगिक होता है यदि और केवल यदि इसकी बहुपद की डिग्री एक है। इस तथ्य को जटिल संख्याओं के मामले में बीजगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है और सामान्य रूप से बीजगणितीय रूप से बंद होने की स्थिति के रूप में जाना जाता है।
+[[जटिल क्षेत्र]] पर, और प्रायः, एक बीजगणितीय रूप से सीमित क्षेत्र पर, एक अविभाजित बहुपद अलघुकरणीय है और केवल यदि इसकी डिग्री एक है। इस तथ्य को जटिल संख्याओं की स्थिति में बीजगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है और सामान्य रूप से बीजगणितीय रूप से सीमित होने की स्थिति के रूप में जाना जाता है।
-यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-निरंतर अविभाज्य बहुपद के रूप में गुणनखंड किया जा सकता है
+यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-निरंतर अविभाज्य बहुपद के रूप में कारक हो सकते हैं।
 :<math>a\left(x - z_1\right) \cdots \left(x - z_n\right)</math>
-कहाँ पे <math>n</math> डिग्री है, <math>a</math> प्रमुख गुणांक है और <math>z_1, \dots, z_n</math> बहुपद के शून्य हैं (आवश्यक रूप से अलग नहीं हैं, और जरूरी नहीं कि स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति हो)।
+जहाँ <math>n</math> डिग्री है, <math>a</math> अग्रणी गुणांक है और <math>z_1, \dots, z_n</math> बहुपद के शून्य हैं (जरूरी नहीं कि अलग हों, और जरूरी नहीं कि स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्तियां हों)।
-सम्मिश्र संख्याओं पर हर डिग्री के अलघुकरणीय [[बहुभिन्नरूपी बहुपद]] हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद
+सम्मिश्र संख्याओं पर प्रत्येक डिग्री के अलघुकरणीय [[बहुभिन्नरूपी बहुपद]] हैं। उदाहरण के लिए बहुपद हैं
-:<math>x^n + y^n - 1,</math> जो [[फर्मेट वक्र]] को परिभाषित करता है, प्रत्येक सकारात्मक एन के लिए अप्रासंगिक है।
+:<math>x^n + y^n - 1,</math>
+:जो [[फर्मेट वक्र]] को परिभाषित करता है, प्रत्येक सकारात्मक ''n'' के लिए अलघुकरणीय है।
 == वास्तविक से अधिक ==
-वास्तविक संख्या के ऊपर, एक अलघुकरणीय अविभाजित बहुपद के बहुपद की घात या तो एक या दो होती है। अधिक सटीक रूप से, अलघुकरणीय बहुपद एक डिग्री के बहुपद और [[द्विघात बहुपद]] हैं <math>ax^2 + bx + c</math> जिनके पास एक नकारात्मक भेदभाव है <math>b^2 - 4ac.</math> यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-निरंतर अविभाज्य बहुपद को अधिकतम दो डिग्री के बहुपदों के उत्पाद के रूप में कारक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>x^4 + 1</math> के रूप में वास्तविक संख्या से अधिक कारक <math>\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right)\left(x^2 - \sqrt{2}x + 1\right),</math> और इसे आगे कारक नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि दोनों कारकों में एक नकारात्मक विभेदक है: <math>\left(\pm\sqrt{2}\right)^2 - 4 = -2 < 0.</math>
+वास्तविकताओं के क्षेत्र में, एक अलघुकरणीय अविभाजित बहुपद की डिग्री या तो एक या दो है। अधिक सटीक रूप से, अलघुकरणीय बहुपद एक डिग्री के बहुपद और [[द्विघात बहुपद]] <math>ax^2 + bx + c</math> हैं जिसका एक ऋणात्मक विविक्तक <math>b^2 - 4ac</math> है। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-निरंतर अविभाज्य बहुपद को अधिकतम दो डिग्री के बहुपदों के गुणनफल के रूप में कारक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>x^4 + 1</math> वास्तविक संख्याओं को <math>\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right)\left(x^2 - \sqrt{2}x + 1\right),</math> के रूप में कारक बनाता है। और इसे आगे कारक नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि दोनों कारकों में एक ऋणात्मक विविक्तक है। <math>\left(\pm\sqrt{2}\right)^2 - 4 = -2 < 0</math>
+== अद्वितीय गुणनखंडन गुण ==
+{{main|अद्वितीय गुणनखंडन गुण}}
-== अद्वितीय गुणनखंडन गुण ==
+एक फ़ील्ड ''{{math|''F''}}'' पर प्रत्येक बहुपद को एक गैर-शून्य स्थिरांक और अलघुकरणीय (''{{math|''F''}}'' से अधिक) बहुपदों की एक परिमित संख्या के गुणनफल में कारक बनाया जा सकता है। यह अलघुकरणीय कारकों के क्रम और गैर-शून्य स्थिरांक वाले कारकों के गुणन [[तक]] अद्वितीय है जिसका गुणनफल 1 है।
-{{main|Unique factorization domain}}
-एक क्षेत्र पर हर बहुपद {{math|''F''}} एक गैर-शून्य स्थिरांक और एक सीमित संख्या में अप्रासंगिक (ओवर {{math|''F''}}) बहुपद। यह अपघटन कारकों के क्रम और गैर-शून्य स्थिरांक वाले कारकों के गुणन [[तक]] अद्वितीय है जिसका उत्पाद 1 है।
-एक अद्वितीय कारककरण डोमेन पर वही प्रमेय सही है, लेकिन आदिम बहुपद की धारणा का उपयोग करके अधिक सटीक रूप से तैयार किया गया है। एक [[आदिम बहुपद (रिंग थ्योरी)]] एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन पर एक बहुपद है, जैसे कि 1 इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है।
+एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर वही प्रमेय सही है, लेकिन साधारण बहुपद की धारणा का उपयोग करके अधिक सटीक रूप से तैयार किया गया है। एक साधारण बहुपद एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर एक बहुपद है, जैसे कि 1 इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है।
-होने देना {{math|''F''}} एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन हो। एक गैर-निरंतर अलघुकरणीय बहुपद {{math|''F''}} आदिम है। एक आदिम बहुपद से अधिक {{math|''F''}} अपूरणीय है {{math|''F''}} अगर और केवल अगर यह के अंशों के क्षेत्र में अप्रासंगिक है {{math|''F''}}. हर बहुपद खत्म {{math|''F''}} गैर-शून्य स्थिरांक और गैर-निरंतर इरेड्यूसिबल आदिम बहुपदों की एक परिमित संख्या के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है। गैर-शून्य स्थिरांक स्वयं की इकाई (रिंग थ्योरी) के उत्पाद में विघटित हो सकता है {{math|''F''}} और अलघुकरणीय तत्वों की एक परिमित संख्या {{math|''F''}}. कारकों के क्रम और एक इकाई द्वारा कारकों के गुणन तक दोनों कारक अद्वितीय हैं {{math|''F''}}.
+{{math|''F''}} को एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र होने दें। {{math|''F''}} पर एक गैर-स्थिर अलघुकरणीय बहुपद साधारण है। और केवल यदि यह {{math|''F''}} के अंशों के क्षेत्र में अलघुकरणीय है। {{math|''F''}} पर प्रत्येक बहुपद को एक गैर-शून्य स्थिरांक और गैर-निरंतर अलघुकरणीय साधारण बहुपद की एक परिमित संख्या के गुणनफल में विघटित किया जा सकता है। गैर-शून्य स्थिरांक स्वयं {{math|''F''}} की एक इकाई के गुणनफल और {{math|''F''}} के अलघुकरणीय तत्वों की एक परिमित संख्या में विघटित हो सकता है। दोनों गुणनखंड कारकों के क्रम और {{math|''F''}} की एक इकाई द्वारा कारकों के गुणन तक अद्वितीय हैं।
-यह वह प्रमेय है जो प्रेरित करता है कि एक अद्वितीय कारककरण डोमेन पर अलघुकरणीय बहुपद की परिभाषा अक्सर यह मानती है कि बहुपद गैर-निरंतर है।
+यह वह प्रमेय है जो प्रेरित करता है कि एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर अलघुकरणीय बहुपद की परिभाषा प्रायः यह मानती है कि बहुपद गैर-निरंतर है।
-सभी [[कलन विधि]] जो वर्तमान में पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर बहुपदों के गुणनखंडन के लिए कार्यान्वयन#कंप्यूटर विज्ञान हैं, इस परिणाम का उपयोग करते हैं (देखें [[बहुपदों का गुणनखंडन]])।
+सभी [[कलन विधि]] जो वर्तमान में पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर बहुपदों के गुणनखंडन के लिए कार्यान्वित किए जाते हैं, इस परिणाम का उपयोग करते हैं ([[बहुपदों का गुणनखंडन]] देखें)।
 == पूर्णांकों और परिमित क्षेत्रों पर ==
-पूर्णांकों पर एक बहुपद की अप्रासंगिकता <math>\mathbb{Z}</math> क्षेत्र से संबंधित है <math>\mathbb{F}_p</math> का <math>p</math> तत्व (एक प्रधान के लिए <math>p</math>). विशेष रूप से, यदि एक अविभाज्य बहुपद {{mvar|''f''}} ऊपर <math>\mathbb Z</math> अपूरणीय है <math>\mathbb{F}_p</math> कुछ प्रधान के लिए <math>p</math> के प्रमुख गुणांक को विभाजित नहीं करता है {{math|''f''}} (चर की उच्चतम शक्ति का गुणांक), फिर {{math|''f''}} अपूरणीय है <math>\mathbb{\Q}</math> (अर्थात, यह पूर्णांक गुणांक वाले दो गैर-निरंतर बहुपदों का गुणनफल नहीं है)। आइज़ेंस्ताइन की कसौटी इस संपत्ति का एक प्रकार है जहां इरेड्यूसबिलिटी खत्म हो जाती है <math>p^2</math> भी शामिल है।
+पूर्णांकों <math>\mathbb{Z}</math> पर एक बहुपद की अलघुकरणीयता का संबंध <math>p</math> तत्व (अभाज्य <math>p</math> के लिए ) के क्षेत्र <math>\mathbb{F}_p</math>से है विशेष रूप से, यदि <math>\mathbb{Z}</math> पर एक अविभाज्य बहुपद {{mvar|''f''}}  <math>\mathbb{F}_p</math> पर अलघुकरणीय है कुछ अभाज्य <math>p</math> के लिए जो {{mvar|''f''}}  के प्रमुख गुणांक (चर की उच्चतम शक्ति का गुणांक) को विभाजित नहीं करता है, तो <math>\mathbb{\Q}</math> (अर्थात, यह पूर्णांक गुणांक वाले दो गैर-निरंतर बहुपदों का गुणनफल नहीं है) पर अलघुकरणीय है। आइनस्टीन का मानदंड इस गुण का प्रकार है जहां <math>p^2</math>पर अलघुकरणीयता भी सम्मिलित है।
+हालांकि, व्युत्क्रम सच नहीं है- मनमाने ढंग से बड़ी डिग्री के बहुपद हैं जो पूर्णांकों पर अलघुकरणीय हैं और प्रत्येक परिमित क्षेत्र पर लघुकरणीय हैं।<ref>{{cite book|title=सार बीजगणित|url=https://archive.org/details/abstractalgebra00dumm_304|url-access=limited|year=2004|publisher=Wiley |isbn=0-471-43334-9|page=[https://archive.org/details/abstractalgebra00dumm_304/page/n322 309]|author=David Dummit|author2=Richard Foote|chapter=ch. 9, Proposition 12}}</ref>  ऐसे बहुपद का एक सरल उदाहरण <math>x^4 + 1</math> है।
-हालांकि, उलटा सच नहीं है: मनमाने ढंग से बड़ी डिग्री के बहुपद हैं जो पूर्णांकों पर अपरिवर्तनीय हैं और हर परिमित क्षेत्र पर कम हो जाते हैं।<ref>{{cite book|title=सार बीजगणित|url=https://archive.org/details/abstractalgebra00dumm_304|url-access=limited|year=2004|publisher=Wiley |isbn=0-471-43334-9|page=[https://archive.org/details/abstractalgebra00dumm_304/page/n322 309]|author=David Dummit|author2=Richard Foote|chapter=ch. 9, Proposition 12}}</ref> ऐसे बहुपद का एक सरल उदाहरण है <math>x^4 + 1.</math>
+पूर्णांकों पर अलघुकरणीयता और अलघुकरणीयता सापेक्षों ''p'' के बीच संबंध पिछले परिणाम की तुलना में गहन है- आज तक, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर गुणनखंडन और अलघुकरणीयता के लिए सभी कार्यान्वित एल्गोरिदम एक [[सबरूटीन|उपनित्यक्रम]] के रूप में परिमित क्षेत्रों पर गुणनखंड का उपयोग करते हैं।
-पूर्णांकों पर इरेड्यूसिबिलिटी और इरेड्यूसिबिलिटी मोडुलो पी के बीच संबंध पिछले परिणाम की तुलना में अधिक गहरा है: आज तक, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर गुणनखंडन और इरेड्यूसिबिलिटी के लिए सभी कार्यान्वित एल्गोरिदम एक [[सबरूटीन]] के रूप में परिमित क्षेत्रों पर गुणनखंड का उपयोग करते हैं।
-डिग्री की संख्या {{math|''n''}} एक क्षेत्र पर अलघुकरणीय [[मोनिक बहुपद]] <math>\mathbb{F}_q</math> के लिये {{math|''q''}} एक प्रमुख शक्ति द्वारा दिया जाता है<ref>{{harvnb|Jacobson|2009|loc=§4.13}}</ref>
+एक क्षेत्र <math>\mathbb{F}_q</math>पर डिग्री की संख्या {{math|''n''}} अलघुकरणीय [[मोनिक बहुपद]], {{math|''q''}} के लिए एक अभाज्य शक्ति द्वारा दी गई है।<ref>{{harvnb|Jacobson|2009|loc=§4.13}}</ref>
 :<math>N(q, n) = \frac{1}{n}\sum_{d\mid n} \mu(d)q^\frac{n}{d},</math>
 कहाँ पे {{math|''μ''}} मोबियस फ़ंक्शन है। के लिये {{math|1=''q'' = 2}}, ऐसे बहुपद आमतौर पर छद्म आयामी बाइनरी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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अलघुकरणीय बहुपद: Difference between revisions

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Revision as of 01:05, 10 December 2022

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परिभाषा

कारक की प्रकृति

सरल उदाहरण

जटिल संख्याओं पर

वास्तविक से अधिक

अद्वितीय गुणनखंडन गुण

पूर्णांकों और परिमित क्षेत्रों पर

एल्गोरिदम

क्षेत्र विस्तार

एक अभिन्न डोमेन से अधिक

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अलघुकरणीय बहुपद: Difference between revisions

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