ट्रान्सेंडैंटल समीकरण

अनुप्रयुक्त गणित में, अबीजीय समीकरण वास्तविक (या समिश्र) संख्याओं पर एक समीकरण है जो बीजगणितीय नहीं है, अर्थात यदि इसका कम से कम एक पक्ष एक अबीजीय फलन का वर्णन करता है। इसके कुछ उदाहरण निम्नलिखित है:

${\begin{aligned}x&=e^{-x}\\x&=\cos x\\2^{x}&=x^{2}\end{aligned}}$

किसी अबीजीय समीकरण को प्राथमिक फलनों के बीच एक समीकरण होने की आवश्यकता नहीं होती है, हालांकि अधिकांश प्रकाशित उदाहरण हैं।

कुछ स्थितियों में, किसी अबीजीय समीकरण को एक समतुल्य बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तित करके हल किया जा सकता है। ऐसे ही कुछ रूपांतरणों का संक्षिप्त वर्णन नीचे दिया गया है; संगणक बीजगणित प्रणालियां अधिक व्यापक रूपांतरण प्रदान कर सकती हैं।

हालांकि, सामान्यतः, केवल सन्निकट हल प्राप्त किया जा सकता हैं।

एक बीजगणितीय समीकरण में रूपांतरण

एकल चर में अबीजीय समीकरणों के कुछ वर्गों के लिए उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करने के लिए एड हॉक विधियाँ विद्यमान हैं, जिन्हें तब हल किया जा सकता है।

चरघातांकी समीकरण

यदि अज्ञात, मान लीजिए x, केवल घातांकों में प्रकट होता है:

• प्राकृतिक लघुगणक को दोनों पक्षों पर लागू करने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण।

$4^{x}=3^{x^{2}-1}\cdot 2^{5x},$ $x\ln 4=(x^{2}-1)\ln 3+5x\ln 2$ में परिवर्तित हो जाता है, जो कि $x^{2}\ln 3+x(5\ln 2-\ln 4)-\ln 3=0$ में सरलीकृत हो जाता है, जिसका हल है

$x={\frac {-3\ln 2\pm {\sqrt {9(\ln 2)^{2}-4(\ln 3)^{2}}}}{2\ln 3}}.$

यह कार्य नहीं करेगा यदि संकलन "आधार रेखा पर" होता है, जैसा कि $4^{x}=3^{x^{2}-1}+2^{5x}$ में है।

• यदि सभी "आधार स्थिरांक" को पूर्णांक या किसी संख्या q की परिमेय घातों के रूप में लिखा जा सकता है, तो y=q^x को प्रतिस्थापित करना सफल हो सकता है, उदाहरण।

$2^{x-1}+4^{x-2}-8^{x-2}=0,$ y=2^x का उपयोग करके ${\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{16}}y^{2}-{\frac {1}{64}}y^{3}=0$ में परिवर्तित हो जाता है, जिसका हल $y\in \{0,-4,8\}$ है, इसलिए $x=\log _{2}8=3$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।

यह तब काम नहीं करेगा जब वर्ग या x की उच्च घात किसी घातांक (एक्सपोनेंट) में होती है, या यदि "आधार स्थिरांक" उभयनिष्ठ q को "सहभाजित" नहीं करते हैं।

• कभी-कभी, y=xe^x को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है; y के हल ज्ञात होने के बाद, x के लिए लैम्बर्ट W फलन को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

$x^{2}e^{2x}+2=3xe^{x}$ में परिवर्तित हो जाता है $y^{2}+2=3y,$ जिसके हल हैं $y\in \{1,2\},$ इसलिए $x\in \{W_{0}(1),W_{0}(2),W_{-1}(1),W_{-1}(2)\}$, जहाँ $W_{0}$ और $W_{-1}$ बहु-मूल्यवान $W$ फलन की वास्तविक-मूल्यवान शाखाओं को दर्शाते हैं।

लघुगणकीय समीकरण

यदि अज्ञात x केवल लघुगणक फलन के आर्ग्यूमेंट्स में होता है:

• दोनों पक्षों में घातांक लगाने से बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सकता है, उदाहरण।

$2\log _{5}(3x-1)-\log _{5}(12x+1)=0$ घातांक का उपयोग करके $5.$ से ${\frac {(3x-1)^{2}}{12x+1}}=1,$ को आधार बनाता है, जिसका हल $x\in \{0,2\}$ है। यदि केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार किया जाए, तो $x=0$ एक हल नहीं है, क्योंकि यह दिए गए समीकरण में एक अवास्तविक उप-व्यंजक $\log _{5}(-1)$ की ओर अग्रसारित करता है।

इसके लिए मूल समीकरण में एक विशिष्ट आधार के सापेक्ष में लघुगणकों के पूर्णांक-गुणांक रैखिक संयोजनों और x में बहुपद होने के लिए लघुगणक आर्ग्यूमेंट्स की आवश्यकता होती है।

• यदि सभी "लघुगणक कॉल" का एक विशिष्ट आधार $b$ और एक विशिष्ट आर्ग्यूमेंट व्यंजक $f(x),$ है, तो $y=\log _{b}(f(x))$ को प्रतिस्थापित करने से एक सरल समीकरण हो सकता है, उदाहरण।

$5\ln(\sin x^{2})+6=7{\sqrt {\ln(\sin x^{2})+8}}$ रूपांतरण, $y=\ln(\sin x^{2}),$ से $5y+6=7{\sqrt {y+8}},$ का उपयोग करते हुए जो बीजगणितीय है और इसे हल किया जा सकता है। उसके बाद, प्रतिस्थापन समीकरण के व्युत्क्रम संचालन को लागू करने से ${\sqrt {\arcsin \exp y}}=x$ प्राप्त होता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण

यदि अज्ञात x केवल त्रिकोणमितीय कार्यों के तर्क के रूप में होता है:

• पायथागॉरियन सर्वसमिकाओं और त्रिकोणमितीय योग और कई सूत्रों को लागू करते हुए, $\sin(nx+a),\cos(mx+b),\tan(lx+c),...$ रूप के आर्ग्यूमेंट्स को पूर्णांक 22$n,m,l,...$ के साथ, माना $\sin x$, रूप के आर्ग्यूमेंट्स में परिवर्तित किया जा सकता है, इसके पश्चात, $y=\sin(x)$ को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है, उदाहरण।

$\sin(x+a)=(\cos ^{2}x)-1$ में परिवर्तित हो जाता है $(\sin x)(\cos a)+{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}(\sin a)=1-(\sin ^{2}x)-1$, और, प्रतिस्थापन के बाद, करने के लिए $y(\cos a)+{\sqrt {1-y^{2}}}(\sin a)=-y^{2}$ जो बीजगणितीय है और हल किया जा सकता है। इसके बाद $x=2k\pi +\arcsin y$ लगाने पर हल प्राप्त होता है।

अतिपरवलीय (हाइपरबोलिक) समीकरण

यदि अज्ञात x अतिपरवलीय फलनों के आर्ग्यूमेंट्स के भीतर केवल रैखिक व्यंजकों में होता है,

• उनके परिभाषित घातीय व्यंजकों द्वारा उन्हें प्रकट करने और $y=exp(x)$ को प्रतिस्थापित करने से एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है, उदाहरण।

$3\cosh x=4+\sinh(2x-6)$ प्रकट होता है ${\frac {3}{2}}(e^{x}+{\frac {1}{e^{x}}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(e^{x})^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{(e^{x})^{2}}}\right),$ जो समीकरण में परिवर्तित हो जाता है ${\frac {3}{2}}(y+{\frac {1}{y}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{y^{2}}}\right),$ जो बीजगणितीय है और हल किया जा सकता है। $x=\ln y$ को लागू करने से मूल समीकरण के हल प्राप्त होते हैं।

सन्निकट हल

अबीजीय समीकरणों के सन्निकट संख्यात्मक हल संख्यात्मक, विश्लेषणात्मक सन्निकटन या ग्राफिकल विधियों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

यादृच्छिक समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों को रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम कहा जाता है।

कुछ स्थितियों में, ज़ीरो के निकट टेलर श्रृंखला का उपयोग करके समीकरण को अच्छी तरह से सन्निकट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $k\approx 1$ के लिए, $\sin x=kx$ के हल लगभग $(1-k)x-x^{3}/6=0$ के हल हैं, अर्थात् $x=0$ और $x=\pm {\sqrt {6}}{\sqrt {1-k}}$।

एक ग्राफिकल हल के लिए, एक विधि है कि एक एकल चर अबीजीय समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक निर्भर चर के बराबर सेट करना और हल खोजने के लिए उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का उपयोग करके दो ग्राफ़ों को प्लॉट करना है (चित्र देखें)।

अन्य हल

• उच्च-क्रम समीकरणों की कुछ अबीजीय प्रणालियों को अज्ञातों के "पृथक्करण" द्वारा हल किया जा सकता है, उन्हें बीजगणितीय समीकरणों में कम किया जा सकता है।
• अबीजीय समीकरणों/असमानताओं को हल करते समय निम्नलिखित का भी उपयोग किया जा सकता है: यदि $x_{0}$ समीकरण $f(x)=g(x)$ और $f(x)\leq c\leq g(x)$ का हल है, तो इस हल को $f(x_{0})=g(x_{0})=c$ को संतुष्ट करना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम $\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)$ को हल करना चाहते हैं। दिए गए समीकरण को $-1<x<3$ के लिए परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $f(x)=\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)$ और $g(x)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)$ हैं। यह दिखाना आसान है कि $f(x)\leq 2$ और $g(x)\geq 2$ इसलिए यदि समीकरण का कोई हल है, तो उसे $f(x)=g(x)=2$ को संतुष्ट करना होगा। $f(x)=2$ से हमें $x=1\in (-1,3)$ मिलते हैं। वास्तव में, $f(1)=g(1)=2$ और इसलिए $x=1$ ही समीकरण का एकमात्र वास्तविक हल है।

यह भी देखें

• श्रीमती मिनिवर की समस्या

संदर्भ

• John P. Boyd (2014). Solving Transcendental Equations: The Chebyshev Polynomial Proxy and Other Numerical Rootfinders, Perturbation Series, and Oracles. Other Titles in Applied Mathematics. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). doi:10.1137/1.9781611973525. ISBN 978-1-61197-351-8.