ट्रीविअलिटी (गणित): Difference between revisions

Revision as of 17:22, 7 January 2023

गणित में, विशेषण ट्रिविअल का उपयोग अक्सर एक दावे या एक मामले को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जिसे संदर्भ से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, या एक वस्तु जिसमें एक साधारण संरचना होती है (जैसे, समूह, टोपोलॉजिकल स्पेस)।^[1]^[2] संज्ञा ट्रिविअलता आमतौर पर कुछ सबूत या परिभाषा के एक साधारण तकनीकी स्वरूप को संदर्भित करती है। गणितीय भाषा में शब्द की उत्पत्ति मध्यकालीन ट्रिवियम पाठ्यक्रम से हुई है, जो अधिक कठिन क्वाड्रिवियम पाठ्यक्रम से अलग है।^[1]^[3] ट्रिविअल के विपरीत नॉन ट्रिविअल है, जो आमतौर पर यह इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एक उदाहरण या समाधान सरल नहीं है, या यह कि एक कथन या प्रमेय को सिद्ध करना सरल नहीं है।^[2]

विचाराधीन स्थिति ट्रिविअल है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है तो ट्रिविअल पूर्णतया नहीं है। और इस बारे में एक तर्क हो सकता है कि किसी समस्या को कितनी शीघ्रता और आसानी से पहचाना जाना चाहिए जिससे समस्या को ट्रिविअल माना जा सके। इसलिए, ट्रीविअलिटी गणित और तर्कशास्त्र में सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत गुण नहीं है।

ट्रिविअल और नॉन ट्रिविअल समाधान

गणित में, ट्रिविअल शब्द का प्रयोग प्रायः एक बहुत ही सरल संरचना वाली वस्तुओं (जैसे, समूह, टोपोलॉजिकल स्पेस) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। इनमें अन्य सम्मलित हैं

रिक्त समुच्चय : सेट (गणित) जिसमें कोई या शून्य सदस्य नहीं है
ट्रिविअल समुच्चय : गणितीय समूह (गणित) जिसमें केवल पहचान तत्व होता है
ट्रिविअल रिंग : सिंगलटन सेट पर परिभाषित रिंग (गणित)।

"ट्रिवियल" का उपयोग एक ऐसे समीकरण के समाधान का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जिसकी संरचना बहुत सरल है, लेकिन पूर्णता के लिए इसे छोड़ा नहीं जा सकता है। इन समाधानों को ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अवकल समीकरण पर विचार कीजिए।

y'=y

जहाँ

y=y(x)

एक फलन (गणित) है जिसका व्युत्पन्न है

y'

. ट्रिविअल समाधान 0 (संख्या)#संबंधित गणितीय शब्द है

y(x)=0

जबकि एक नॉन-ट्रिविअल समाधान घातीय फलन है

y(x)=e^{x}.

अवकल समीकरण

f''(x)=-\lambda f(x)

सीमा शर्तों के साथ

f(0)=f(L)=0

गणित और भौतिकी में महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में एक बॉक्स में एक कण का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, या एक तार पर एक स्थायी तरंग। इसमें हमेशा समाधान सम्मलित होता है

f(x)=0

, जिसे स्पष्ट माना जाता है और इसलिए ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कुछ स्थितियों में, अन्य समाधान (साइन तरंगें) भी हो सकते हैं, जिन्हें नॉन-ट्रिविअल समाधान कहा जाता है।^[4] इसी तरह, गणितज्ञ प्रायः फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का वर्णन करते हुए कहते हैं कि समीकरण के लिए कोई नॉन-ट्रिविअल पूर्णांक समाधान नहीं हैं

a^{n}+b^{n}=c^{n}

, जहाँ n 2 से बड़ा है। स्पष्ट रूप से, समीकरण के कुछ हल हैं। उदाहरण के लिए,

a=b=c=0

किसी भी एन के लिए एक समाधान है, किंतु ऐसे समाधान स्पष्ट हैं और थोड़े प्रयास से प्राप्त किए जा सकते हैं, और इसलिए ट्रिविअल हैं।

गणितीय तर्क में

ट्रिविअल किसी प्रमाण की थकावट से किसी आसान प्रमाण का भी उल्लेख कर सकता है, जिसे पूर्णता के लिए अनदेखा नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितीय आगमन द्वारा उपपत्तियों के दो भाग होते हैं: आधार स्थिति जो दर्शाती है कि प्रमेय किसी विशेष प्रारंभिक मान (जैसे n = 0 या n = 1) के लिए सत्य है, और आगमनात्मक चरण जो दर्शाता है कि यदि प्रमेय सत्य है n के एक निश्चित मूल्य के लिए, फिर यह मूल्य n + 1 के लिए भी सही है। आधार मामला प्रायः ट्रिविअल होता है और इसे इस तरह पहचाना जाता है, चूंकि ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ आधार मामला कठिन होता है किंतु आगमनात्मक कदम ट्रिविअल होता है। इसी तरह, कोई यह सिद्ध करना चाहता है कि एक निश्चित सेट के सभी सदस्यों के पास कुछ संपत्ति है। सबूत का मुख्य भाग नॉन-खाली सेट की स्थितियों पर विचार करेगा और सदस्यों की विस्तार से जांच करेगा; ऐसी स्थितियों में जहां सेट खाली है, खाली सेट के सभी सदस्यों के पास संपत्ति ट्रिविअल रूप से है, क्योंकि कोई भी नहीं है (अधिक के लिए रिक्त सत्य देखें)।

विचाराधीन स्थिति ट्रिविअल है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है तो ट्रिविअल बिल्कुल नहीं। और इस बात पर तर्क हो सकता है कि समस्या को ट्रिविअल मानने के लिए कितनी जल्दी और आसानी से समस्या को पहचाना जाना चाहिए। निम्नलिखित उदाहरण ट्रिविअलता निर्णय की व्यक्तिपरकता और अस्पष्टता दिखाते हैं।

गणितीय समुदाय में एक सामान्य मज़ाक यह कहना है कि ट्रिविअल सिद्ध का पर्यायवाची है - अर्थात, किसी भी प्रमेय को सत्य सिद्ध होने के बाद ट्रिविअल माना जा सकता है।^[1]* दो गणितज्ञ जो एक प्रमेय पर चर्चा कर रहे हैं: पहला गणितज्ञ कहता है कि प्रमेय ट्रिविअल है। स्पष्टीकरण के लिए दूसरे के अनुरोध के जवाब में, वह फिर बीस मिनट की व्याख्या के साथ आगे बढ़ता है। स्पष्टीकरण के अंत में, दूसरा गणितज्ञ सहमत है कि प्रमेय ट्रिविअल है। किंतु क्या हम यह कह सकते हैं कि यह प्रमेय ट्रिविअल है पूर्ण रूप से इसे सिद्ध करने में बहुत समय और प्रयास लगे?
जब एक गणितज्ञ कहता है कि एक प्रमेय ट्रिविअल है, किंतु वह इसे इस समय स्वयं सिद्ध करने में असमर्थ है कि वह इसे ट्रिविअल कहता है। तो क्या प्रमेय ट्रिविअल है?
प्रायः, एक मजाक के रूप में, एक समस्या को सहज रूप से स्पष्ट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कलन में अनुभवी कोई व्यक्ति निम्नलिखित कथन को ट्रिविअल मानेगा: $\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}$ चूंकि, अभिन्न कलन के ज्ञान के बिना किसी के लिए, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है, इसलिए ट्रिविअल नहीं है।

ट्रिविअलता संदर्भ पर भी निर्भर करती है। कार्यात्मक विश्लेषण में एक सबूत संभवतः, एक संख्या दी जाएगी, ट्रिविअल रूप से एक बड़ी संख्या के अस्तित्व को मान लेगी। चूंकि, प्रारंभिक संख्या सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बुनियादी परिणामों को सिद्ध करते समय, सबूत बहुत अच्छी तरह से इस टिप्पणी पर टिका हो सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है - एक बयान जिसे स्वयं सिद्ध किया जाना चाहिए या एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाना चाहिए, इसलिए ट्रिविअल नहीं है ( अधिक जानकारी के लिए, पीनो के स्वयंसिद्ध देखें)।

ट्रिविअल प्रमाण

कुछ ग्रंथों में, एक ट्रिविअल प्रमाण एक भौतिक निहितार्थ (अनुमान का नियम) P→Q से जुड़े एक बयान को संदर्भित करता है, जहां परिणामी Q, हमेशा सत्य होता है।^[5] यहां, भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर सबूत तुरंत अनुसरण करता है जिसमें पूर्ववर्ती (तर्क) पी के सत्य मान के बावजूद निहितार्थ सत्य है, यदि परिणाम सत्य के रूप में तय किया गया है।^[5]

एक संबंधित अवधारणा एक खाली सच्चाई है, जहां भौतिक निहितार्थ P→Q में पूर्ववर्ती P झूठा है।^[5]इस स्थितियों में, परिणामी क्यू के सत्य मूल्य की परवाह किए बिना निहितार्थ हमेशा सत्य होता है - फिर से भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर।^[5]

उदाहरण

संख्या सिद्धांत में, पूर्णांक संख्या N का विभाजक खोजना प्रायः महत्वपूर्ण होता है। किसी भी संख्या N के चार स्पष्ट कारक होते हैं: ±1 और ±N। इन्हें ट्रिविअल कारक कहा जाता है। कोई अन्य कारक, यदि वह सम्मलित है, तो उसे नॉन-ट्रिविअल कहा जाएगा।^[6]
सजातीय मैट्रिक्स (गणित) समीकरण $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ , जहाँ $A$ एक निश्चित मैट्रिक्स है, $\mathbf {x}$ एक अज्ञात वेक्टर है, और $\mathbf {0}$ शून्य वेक्टर है, एक स्पष्ट समाधान है $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ . इसे ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कोई अन्य समाधान, के साथ $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ , नॉन ट्रिविअल कहलाते हैं।^[7]
समूह सिद्धांत में, एक बहुत ही सरल समूह होता है जिसमें केवल एक तत्व होता है; इसे प्रायः ट्रिविअल समूह कहा जाता है। अन्य सभी समूह, जो अधिक जटिल हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाते हैं।
ग्राफ सिद्धांत में, ट्रिविअल ग्राफ़ एक ग्राफ़ होता है जिसमें केवल 1 शीर्ष होता है और कोई किनारा नहीं होता है।
डेटाबेस सिद्धांत में एक अवधारणा है जिसे कार्यात्मक निर्भरता कहा जाता है, लिखित $X\to Y$ . निर्भरता $X\to Y$ सत्य है यदि Y, X का उपसमुच्चय है, तो इस प्रकार की निर्भरता को ट्रिविअल कहा जाता है। अन्य सभी निर्भरताएँ, जो कम स्पष्ट हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाती हैं।
यह दिखाया जा सकता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन के ज़ेटा फ़ंक्शन में ऋणात्मक सम संख्याओं -2, -4, पर शून्य हैं ... चूंकि प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान है, फिर भी इस परिणाम को सामान्य रूप से ट्रिविअल नहीं कहा जाएगा; चूंकि, यह इस स्थितियों में है, क्योंकि इसके अन्य शून्य सामान्यतः अज्ञात हैं और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और इसमें खुले प्रश्न सम्मलित हैं (जैसे कि रीमैन परिकल्पना )। तदनुसार, ऋणात्मक सम संख्याओं को फलन का ट्रिविअल शून्य कहा जाता है, जबकि अन्य शून्यों को नॉन-ट्रिविअल माना जाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "मामूली". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-14.
↑ ^2.0 ^2.1 "गणित: तुच्छ". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-14.
↑ Ayto, John (1990). शब्द उत्पत्ति का शब्दकोश. University of Texas Press. p. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC 33022699.
↑ Zachmanoglou, E. C.; Thoe, Dale W. (1986). अनुप्रयोगों के साथ आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय. p. 309. ISBN 9780486652511.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). गणितीय प्रमाण: उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण (2nd ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 68. ISBN 978-0-3-2139053-0.
↑ Yan, Song Y. (2002). कम्प्यूटिंग के लिए संख्या सिद्धांत (2nd, illustrated ed.). Berlin: Springer. p. 250. ISBN 3-540-43072-5.
↑ Jeffrey, Alan (2004). इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित (Sixth ed.). CRC Press. p. 502. ISBN 1-58488-488-6.

बाहरी कड़ियाँ

Trivial entry at MathWorld

श्रेणी: गणितीय शब्दावली

[:1-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "मामूली". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-14.

[:2-2] 2.0 ^2.1 "गणित: तुच्छ". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-14.

[3] Ayto, John (1990). शब्द उत्पत्ति का शब्दकोश. University of Texas Press. p. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC 33022699.

[4] Zachmanoglou, E. C.; Thoe, Dale W. (1986). अनुप्रयोगों के साथ आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय. p. 309. ISBN 9780486652511.

[Chartrand-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). गणितीय प्रमाण: उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण (2nd ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 68. ISBN 978-0-3-2139053-0.

[6] Yan, Song Y. (2002). कम्प्यूटिंग के लिए संख्या सिद्धांत (2nd, illustrated ed.). Berlin: Springer. p. 250. ISBN 3-540-43072-5.

[7] Jeffrey, Alan (2004). इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित (Sixth ed.). CRC Press. p. 502. ISBN 1-58488-488-6.

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-गणित में, विशेषण तुच्छ का उपयोग प्रायः एक दावे या स्तिथि को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जिसे संदर्भ से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, या कोई वस्तु जिसमें एक सरल संरचना होती है (जैसे, [[ समूह (गणित) ]], [[ टोपोलॉजिकल स्पेस ]])।<ref name=":1">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/मामूली.html|title=मामूली|last=Weisstein|first=Eric W.| website=mathworld.wolfram.com| language=en|access-date=2019-12-14}}</ref><ref name=":2">{{Cite web| url=https://www.mathwords.com/t/trivial.htm|title=गणित: तुच्छ|website=www.mathwords.com|access-date=2019-12-14}}</ref> संज्ञा तुच्छता सामान्यतः किसी प्रमाण या परिभाषा के सरल तकनीकी पहलू को संदर्भित करती है। गणितीय भाषा में शब्द की उत्पत्ति मध्यकालीन [[ ट्रिवियम (शिक्षा) ]] पाठ्यक्रम से हुई है, जो अधिक कठिन चतुर्भुज पाठ्यक्रम से अलग है।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book|title=शब्द उत्पत्ति का शब्दकोश|last=Ayto|first=John|date=1990|publisher=University of Texas Press| isbn=1-55970-214-1|pages=542|oclc=33022699}}</ref> तुच्छ के विपरीत गैर-तुच्छ है, जो सामान्यतः यह इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एक उदाहरण या समाधान सरल नहीं है, या कथन या प्रमेय सिद्ध करना आसान नहीं है।<ref name=":2" />
+गणित में, विशेषण ट्रिविअल का उपयोग अक्सर एक दावे या एक मामले को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जिसे संदर्भ से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, या एक वस्तु जिसमें एक साधारण संरचना होती है (जैसे, [[समूह]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस]])।<ref name=":1">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/मामूली.html|title=मामूली|last=Weisstein|first=Eric W.| website=mathworld.wolfram.com| language=en|access-date=2019-12-14}}</ref><ref name=":2">{{Cite web| url=https://www.mathwords.com/t/trivial.htm|title=गणित: तुच्छ|website=www.mathwords.com|access-date=2019-12-14}}</ref> संज्ञा ट्रिविअलता आमतौर पर कुछ सबूत या परिभाषा के एक साधारण तकनीकी स्वरूप को संदर्भित करती है। गणितीय भाषा में शब्द की उत्पत्ति मध्यकालीन [[ट्रिवियम]] पाठ्यक्रम से हुई है, जो अधिक कठिन क्वाड्रिवियम पाठ्यक्रम से अलग है।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book|title=शब्द उत्पत्ति का शब्दकोश|last=Ayto|first=John|date=1990|publisher=University of Texas Press| isbn=1-55970-214-1|pages=542|oclc=33022699}}</ref> ट्रिविअल के विपरीत नॉन ट्रिविअल है, जो आमतौर पर यह इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एक उदाहरण या समाधान सरल नहीं है, या यह कि एक कथन या प्रमेय को सिद्ध करना सरल नहीं है।<ref name=":2" />
-विचाराधीन स्थिति तुच्छ है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है इसलिए तुच्छ नहीं है। और इस बात पर तर्क हो सकता है कि समस्या को तुच्छ मानने के लिए कितनी जल्दी और आसानी से समस्या को पहचाना जाना चाहिए। इसलिए, तुच्छता गणित और तर्क में सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत संपत्ति नहीं है।
+विचाराधीन स्थिति ट्रिविअल है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है तो ट्रिविअल पूर्णतया नहीं है। और इस बारे में एक तर्क हो सकता है कि किसी समस्या को कितनी शीघ्रता और आसानी से पहचाना जाना चाहिए जिससे समस्या को ट्रिविअल माना जा सके। इसलिए, ट्रीविअलिटी गणित और तर्कशास्त्र में सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत गुण नहीं है।
-== तुच्छ और गैर तुच्छ समाधान ==
+== ट्रिविअल और नॉन ट्रिविअल समाधान ==
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-गणित में, तुच्छ शब्द का प्रयोग प्रायः एक बहुत ही सरल संरचना वाली वस्तुओं (जैसे, समूह, टोपोलॉजिकल स्पेस) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। इनमें अन्य सम्मलित हैं
+गणित में, ट्रिविअल शब्द का प्रयोग प्रायः एक बहुत ही सरल संरचना वाली वस्तुओं (जैसे, समूह, टोपोलॉजिकल स्पेस) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। इनमें अन्य सम्मलित हैं
-*[[ खाली सेट ]]: [[ सेट (गणित) ]] जिसमें कोई या शून्य सदस्य नहीं है
+*[[ खाली सेट | रिक्त समुच्चय]] : [[ सेट (गणित) ]] जिसमें कोई या शून्य सदस्य नहीं है
-* [[ तुच्छ समूह ]]: गणितीय समूह (गणित) जिसमें केवल [[ पहचान तत्व ]] होता है
+* [[ तुच्छ समूह | ट्रिविअल समुच्चय]] : गणितीय समूह (गणित) जिसमें केवल [[ पहचान तत्व ]] होता है
-*[[ तुच्छ अंगूठी ]]: [[ सिंगलटन सेट ]] पर परिभाषित रिंग (गणित)।
+*[[ तुच्छ अंगूठी | ट्रिविअल रिंग]] : [[ सिंगलटन सेट ]] पर परिभाषित रिंग (गणित)।
+"ट्रिवियल" का उपयोग एक ऐसे [[समीकरण]] के समाधान का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जिसकी संरचना बहुत सरल है, लेकिन पूर्णता के लिए इसे छोड़ा नहीं जा सकता है। इन समाधानों को ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, [[अवकल समीकरण]] पर विचार कीजिए।<math display="block">y'=y</math>जहाँ <math>y = y(x)</math> एक फलन (गणित) है जिसका व्युत्पन्न है <math>y'</math>. ट्रिविअल समाधान 0 (संख्या)#संबंधित गणितीय शब्द है<math display="block">y(x) = 0</math>जबकि एक नॉन-ट्रिविअल समाधान घातीय फलन है<math display="block">y(x) = e^x .</math>अवकल समीकरण <math>f''(x) = -\lambda f(x)</math> सीमा शर्तों के साथ <math>f(0) = f(L) = 0</math> गणित और भौतिकी में महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में एक बॉक्स में एक कण का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, या एक तार पर एक स्थायी तरंग। इसमें हमेशा समाधान सम्मलित होता है <math>f(x) = 0</math>, जिसे स्पष्ट माना जाता है और इसलिए ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कुछ स्थितियों में, अन्य समाधान (साइन तरंगें) भी हो सकते हैं, जिन्हें नॉन-ट्रिविअल समाधान कहा जाता है।<ref>{{cite book |first=E. C. |last=Zachmanoglou |first2=Dale W. |last2=Thoe |title=अनुप्रयोगों के साथ आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय|year=1986 |isbn= 9780486652511|page=309 |url=https://books.google.com/books?id=YRT0W31HbTwC&pg=PA309 }}</ref>
- ट्रिवियल का उपयोग एक ऐसे [[ समीकरण ]] के समाधान का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जिसकी एक बहुत ही सरल संरचना है, किंतु पूर्णता के लिए छोड़ा नहीं जा सकता। इन समाधानों को 'तुच्छ समाधान' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, [[ अंतर समीकरण ]] पर विचार करें
+इसी तरह, गणितज्ञ प्रायः फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का वर्णन करते हुए कहते हैं कि समीकरण के लिए कोई नॉन-ट्रिविअल पूर्णांक समाधान नहीं हैं <math>a^n + b^n = c^n</math>, जहाँ n 2 से बड़ा है। स्पष्ट रूप से, समीकरण के कुछ हल हैं। उदाहरण के लिए, <math>a = b = c = 0</math> किसी भी एन के लिए एक समाधान है, किंतु ऐसे समाधान स्पष्ट हैं और थोड़े प्रयास से प्राप्त किए जा सकते हैं, और इसलिए ट्रिविअल हैं।
-<math display="block">y'=y</math>
-कहां <math>y = y(x)</math> एक फलन (गणित) है जिसका व्युत्पन्न है <math>y'</math>. तुच्छ समाधान 0 (संख्या)#संबंधित गणितीय शब्द है
-<math display="block">y(x) = 0</math>
-जबकि एक गैर-तुच्छ समाधान घातीय कार्य है
-<math display="block">y(x) = e^x .</math>
-अंतर समीकरण <math>f''(x) = -\lambda f(x)</math> सीमा शर्तों के साथ <math>f(0) = f(L) = 0</math> गणित और भौतिकी में महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में एक बॉक्स में एक कण का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, या एक तार पर एक स्थायी तरंग। इसमें हमेशा समाधान सम्मलित होता है <math>f(x) = 0</math>, जिसे स्पष्ट माना जाता है और इसलिए तुच्छ समाधान कहा जाता है। कुछ स्थितियों में, अन्य समाधान (साइन तरंगें) भी हो सकते हैं, जिन्हें गैर-तुच्छ समाधान कहा जाता है।<ref>{{cite book |first=E. C. |last=Zachmanoglou |first2=Dale W. |last2=Thoe |title=अनुप्रयोगों के साथ आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय|year=1986 |isbn= 9780486652511|page=309 |url=https://books.google.com/books?id=YRT0W31HbTwC&pg=PA309 }}</ref>
-इसी तरह, गणितज्ञ प्रायः फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का वर्णन करते हुए कहते हैं कि समीकरण के लिए कोई गैर-तुच्छ पूर्णांक समाधान नहीं हैं <math>a^n + b^n = c^n</math>, जहाँ n 2 से बड़ा है। स्पष्ट रूप से, समीकरण के कुछ हल हैं। उदाहरण के लिए, <math>a = b = c = 0</math> किसी भी एन के लिए एक समाधान है, किंतु ऐसे समाधान स्पष्ट हैं और थोड़े प्रयास से प्राप्त किए जा सकते हैं, और इसलिए तुच्छ हैं।
 == गणितीय तर्क में ==
-तुच्छ किसी प्रमाण की थकावट से किसी आसान प्रमाण का भी उल्लेख कर सकता है, जिसे पूर्णता के लिए अनदेखा नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितीय आगमन द्वारा उपपत्तियों के दो भाग होते हैं: आधार स्थिति जो दर्शाती है कि प्रमेय किसी विशेष प्रारंभिक मान (जैसे n = 0 या n = 1) के लिए सत्य है, और आगमनात्मक चरण जो दर्शाता है कि यदि प्रमेय सत्य है n के एक निश्चित मूल्य के लिए, फिर यह मूल्य n + 1 के लिए भी सही है। आधार मामला प्रायः तुच्छ होता है और इसे इस तरह पहचाना जाता है, चूंकि ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ आधार मामला कठिन होता है किंतु आगमनात्मक कदम तुच्छ होता है। इसी तरह, कोई यह सिद्ध  करना चाहता है कि एक निश्चित सेट के सभी सदस्यों के पास कुछ संपत्ति है। सबूत का मुख्य भाग गैर-खाली सेट की स्थितियों पर विचार करेगा और सदस्यों की विस्तार से जांच करेगा; ऐसी स्थितियों में जहां सेट खाली है, खाली सेट के सभी सदस्यों के पास संपत्ति तुच्छ रूप से है, क्योंकि कोई भी नहीं है (अधिक के लिए रिक्त सत्य देखें)।
+ट्रिविअल किसी प्रमाण की थकावट से किसी आसान प्रमाण का भी उल्लेख कर सकता है, जिसे पूर्णता के लिए अनदेखा नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितीय आगमन द्वारा उपपत्तियों के दो भाग होते हैं: आधार स्थिति जो दर्शाती है कि प्रमेय किसी विशेष प्रारंभिक मान (जैसे n = 0 या n = 1) के लिए सत्य है, और आगमनात्मक चरण जो दर्शाता है कि यदि प्रमेय सत्य है n के एक निश्चित मूल्य के लिए, फिर यह मूल्य n + 1 के लिए भी सही है। आधार मामला प्रायः ट्रिविअल होता है और इसे इस तरह पहचाना जाता है, चूंकि ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ आधार मामला कठिन होता है किंतु आगमनात्मक कदम ट्रिविअल होता है। इसी तरह, कोई यह सिद्ध  करना चाहता है कि एक निश्चित सेट के सभी सदस्यों के पास कुछ संपत्ति है। सबूत का मुख्य भाग नॉन-खाली सेट की स्थितियों पर विचार करेगा और सदस्यों की विस्तार से जांच करेगा; ऐसी स्थितियों में जहां सेट खाली है, खाली सेट के सभी सदस्यों के पास संपत्ति ट्रिविअल रूप से है, क्योंकि कोई भी नहीं है (अधिक के लिए रिक्त सत्य देखें)।
-विचाराधीन स्थिति तुच्छ है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है तो तुच्छ बिल्कुल नहीं। और इस बात पर तर्क हो सकता है कि समस्या को तुच्छ मानने के लिए कितनी जल्दी और आसानी से समस्या को पहचाना जाना चाहिए। निम्नलिखित उदाहरण तुच्छता निर्णय की व्यक्तिपरकता और अस्पष्टता दिखाते हैं।
+विचाराधीन स्थिति ट्रिविअल है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है तो ट्रिविअल बिल्कुल नहीं। और इस बात पर तर्क हो सकता है कि समस्या को ट्रिविअल मानने के लिए कितनी जल्दी और आसानी से समस्या को पहचाना जाना चाहिए। निम्नलिखित उदाहरण ट्रिविअलता निर्णय की व्यक्तिपरकता और अस्पष्टता दिखाते हैं।
-* गणितीय समुदाय में एक सामान्य मज़ाक यह कहना है कि तुच्छ सिद्ध का पर्यायवाची है - अर्थात, किसी भी प्रमेय को सत्य सिद्ध  होने के बाद तुच्छ माना जा सकता है।<ref name=":1" />* दो गणितज्ञ जो एक प्रमेय पर चर्चा कर रहे हैं: पहला गणितज्ञ कहता है कि प्रमेय तुच्छ है। स्पष्टीकरण के लिए दूसरे के अनुरोध के जवाब में, वह फिर बीस मिनट की व्याख्या के साथ आगे बढ़ता है। स्पष्टीकरण के अंत में, दूसरा गणितज्ञ सहमत है कि प्रमेय तुच्छ है। किंतु क्या हम यह कह सकते हैं कि यह प्रमेय तुच्छ है पूर्ण रूप से इसे सिद्ध करने में बहुत समय और प्रयास लगे?
+* गणितीय समुदाय में एक सामान्य मज़ाक यह कहना है कि ट्रिविअल सिद्ध का पर्यायवाची है - अर्थात, किसी भी प्रमेय को सत्य सिद्ध  होने के बाद ट्रिविअल माना जा सकता है।<ref name=":1" />* दो गणितज्ञ जो एक प्रमेय पर चर्चा कर रहे हैं: पहला गणितज्ञ कहता है कि प्रमेय ट्रिविअल है। स्पष्टीकरण के लिए दूसरे के अनुरोध के जवाब में, वह फिर बीस मिनट की व्याख्या के साथ आगे बढ़ता है। स्पष्टीकरण के अंत में, दूसरा गणितज्ञ सहमत है कि प्रमेय ट्रिविअल है। किंतु क्या हम यह कह सकते हैं कि यह प्रमेय ट्रिविअल है पूर्ण रूप से इसे सिद्ध करने में बहुत समय और प्रयास लगे?
-* जब एक गणितज्ञ कहता है कि एक प्रमेय तुच्छ है, किंतु वह इसे इस समय स्वयं सिद्ध करने में असमर्थ है कि वह इसे तुच्छ कहता है। तो क्या प्रमेय तुच्छ है?
+* जब एक गणितज्ञ कहता है कि एक प्रमेय ट्रिविअल है, किंतु वह इसे इस समय स्वयं सिद्ध करने में असमर्थ है कि वह इसे ट्रिविअल कहता है। तो क्या प्रमेय ट्रिविअल है?
-* प्रायः, एक मजाक के रूप में, एक समस्या को सहज रूप से स्पष्ट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कलन में अनुभवी कोई व्यक्ति निम्नलिखित कथन को तुच्छ मानेगा:<math display="block">\int_0^1 x^2\, dx = \frac{1}{3}</math>चूंकि, अभिन्न कलन के ज्ञान के बिना किसी के लिए, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है, इसलिए तुच्छ नहीं है।
+* प्रायः, एक मजाक के रूप में, एक समस्या को सहज रूप से स्पष्ट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कलन में अनुभवी कोई व्यक्ति निम्नलिखित कथन को ट्रिविअल मानेगा:<math display="block">\int_0^1 x^2\, dx = \frac{1}{3}</math>चूंकि, अभिन्न कलन के ज्ञान के बिना किसी के लिए, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है, इसलिए ट्रिविअल नहीं है।
-तुच्छता संदर्भ पर भी निर्भर करती है। [[ कार्यात्मक विश्लेषण ]] में एक सबूत संभवतः, एक संख्या दी जाएगी, तुच्छ रूप से एक बड़ी संख्या के अस्तित्व को मान लेगी। चूंकि, प्रारंभिक संख्या सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बुनियादी परिणामों को सिद्ध करते समय, सबूत बहुत अच्छी तरह से इस टिप्पणी पर टिका हो सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है - एक बयान जिसे स्वयं सिद्ध किया जाना चाहिए या एक [[ स्वयंसिद्ध ]] के रूप में लिया जाना चाहिए, इसलिए तुच्छ नहीं है ( अधिक जानकारी के लिए, पीनो के स्वयंसिद्ध देखें)।
+ट्रिविअलता संदर्भ पर भी निर्भर करती है। [[ कार्यात्मक विश्लेषण ]] में एक सबूत संभवतः, एक संख्या दी जाएगी, ट्रिविअल रूप से एक बड़ी संख्या के अस्तित्व को मान लेगी। चूंकि, प्रारंभिक संख्या सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बुनियादी परिणामों को सिद्ध करते समय, सबूत बहुत अच्छी तरह से इस टिप्पणी पर टिका हो सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है - एक बयान जिसे स्वयं सिद्ध किया जाना चाहिए या एक [[ स्वयंसिद्ध ]] के रूप में लिया जाना चाहिए, इसलिए ट्रिविअल नहीं है ( अधिक जानकारी के लिए, पीनो के स्वयंसिद्ध देखें)।
-=== तुच्छ प्रमाण ===
+=== ट्रिविअल प्रमाण ===
-कुछ ग्रंथों में, एक तुच्छ प्रमाण एक भौतिक निहितार्थ (अनुमान का नियम) P→Q से जुड़े एक बयान को संदर्भित करता है, जहां परिणामी Q, हमेशा सत्य होता है।<ref name="Chartrand">{{cite book| first1=Gary| last1=Chartrand| author1-link=Gary Chartrand|first2=Albert D.|last2=Polimeni|last3=Zhang|first3=Ping|author3-link=Ping Zhang (graph theorist)| title=गणितीय प्रमाण: उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण|url=https://archive.org/details/mathematicalproo00char| url-access=limited| year=2008| publisher=Pearson/Addison Wesley| location=Boston| isbn=978-0-3-2139053-0| page=[https://archive.org/details/mathematicalproo00char/page/n43 68]| edition=2nd}}</ref> यहां, भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर सबूत तुरंत अनुसरण करता है जिसमें [[ पूर्ववर्ती (तर्क) ]] पी के सत्य मान के बावजूद निहितार्थ सत्य है, यदि परिणाम सत्य के रूप में तय किया गया है।<ref name="Chartrand" />
+कुछ ग्रंथों में, एक ट्रिविअल प्रमाण एक भौतिक निहितार्थ (अनुमान का नियम) P→Q से जुड़े एक बयान को संदर्भित करता है, जहां परिणामी Q, हमेशा सत्य होता है।<ref name="Chartrand">{{cite book| first1=Gary| last1=Chartrand| author1-link=Gary Chartrand|first2=Albert D.|last2=Polimeni|last3=Zhang|first3=Ping|author3-link=Ping Zhang (graph theorist)| title=गणितीय प्रमाण: उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण|url=https://archive.org/details/mathematicalproo00char| url-access=limited| year=2008| publisher=Pearson/Addison Wesley| location=Boston| isbn=978-0-3-2139053-0| page=[https://archive.org/details/mathematicalproo00char/page/n43 68]| edition=2nd}}</ref> यहां, भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर सबूत तुरंत अनुसरण करता है जिसमें [[ पूर्ववर्ती (तर्क) ]] पी के सत्य मान के बावजूद निहितार्थ सत्य है, यदि परिणाम सत्य के रूप में तय किया गया है।<ref name="Chartrand" />
 एक संबंधित अवधारणा एक खाली सच्चाई है, जहां भौतिक निहितार्थ P→Q में पूर्ववर्ती P झूठा है।<ref name="Chartrand" />इस स्थितियों में, परिणामी क्यू के सत्य मूल्य की परवाह किए बिना निहितार्थ हमेशा सत्य होता है - फिर से भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर।<ref name="Chartrand" />
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 == उदाहरण ==
-*[[ संख्या सिद्धांत ]] में, पूर्णांक संख्या N का वि[[ भाजक ]] खोजना प्रायः महत्वपूर्ण होता है। किसी भी संख्या N के चार स्पष्ट कारक होते हैं: ±1 और ±N। इन्हें तुच्छ कारक कहा जाता है। कोई अन्य कारक, यदि वह सम्मलित है, तो उसे गैर-तुच्छ कहा जाएगा।<ref>{{cite book |first=Song Y. |last=Yan |title=कम्प्यूटिंग के लिए संख्या सिद्धांत|location=Berlin |publisher=Springer |edition=2nd, illustrated |year=2002 |isbn=3-540-43072-5 |page=250 |url=https://books.google.com/books?id=lIvPz7k41SEC&pg=PA250 }}</ref>
+*[[ संख्या सिद्धांत ]] में, पूर्णांक संख्या N का वि[[ भाजक ]] खोजना प्रायः महत्वपूर्ण होता है। किसी भी संख्या N के चार स्पष्ट कारक होते हैं: ±1 और ±N। इन्हें ट्रिविअल कारक कहा जाता है। कोई अन्य कारक, यदि वह सम्मलित है, तो उसे नॉन-ट्रिविअल कहा जाएगा।<ref>{{cite book |first=Song Y. |last=Yan |title=कम्प्यूटिंग के लिए संख्या सिद्धांत|location=Berlin |publisher=Springer |edition=2nd, illustrated |year=2002 |isbn=3-540-43072-5 |page=250 |url=https://books.google.com/books?id=lIvPz7k41SEC&pg=PA250 }}</ref>
-* सजातीय [[ मैट्रिक्स (गणित) ]] समीकरण <math>A\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>, कहां <math>A</math> एक निश्चित मैट्रिक्स है, <math>\mathbf{x}</math> एक अज्ञात वेक्टर है, और <math>\mathbf{0}</math> शून्य वेक्टर है, एक स्पष्ट समाधान है <math>\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>. इसे तुच्छ समाधान कहा जाता है। कोई अन्य समाधान, के साथ <math>\mathbf{x}\neq\mathbf{0}</math>, गैर तुच्छ कहलाते हैं।<ref>{{cite book |first=Alan |last=Jeffrey |title=इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित|publisher=CRC Press |edition=Sixth |year=2004 |isbn=1-58488-488-6 |page=502 |url=https://books.google.com/books?id=KWAqz3m2xYUC&pg=PA502 }}</ref>
+* सजातीय [[ मैट्रिक्स (गणित) ]] समीकरण <math>A\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>, जहाँ <math>A</math> एक निश्चित मैट्रिक्स है, <math>\mathbf{x}</math> एक अज्ञात वेक्टर है, और <math>\mathbf{0}</math> शून्य वेक्टर है, एक स्पष्ट समाधान है <math>\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>. इसे ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कोई अन्य समाधान, के साथ <math>\mathbf{x}\neq\mathbf{0}</math>, नॉन ट्रिविअल कहलाते हैं।<ref>{{cite book |first=Alan |last=Jeffrey |title=इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित|publisher=CRC Press |edition=Sixth |year=2004 |isbn=1-58488-488-6 |page=502 |url=https://books.google.com/books?id=KWAqz3m2xYUC&pg=PA502 }}</ref>
-* [[ समूह सिद्धांत ]] में, एक बहुत ही सरल समूह होता है जिसमें केवल एक तत्व होता है; इसे प्रायः तुच्छ समूह कहा जाता है। अन्य सभी समूह, जो अधिक जटिल हैं, गैर-तुच्छ कहलाते हैं।
+* [[ समूह सिद्धांत ]] में, एक बहुत ही सरल समूह होता है जिसमें केवल एक तत्व होता है; इसे प्रायः ट्रिविअल समूह कहा जाता है। अन्य सभी समूह, जो अधिक जटिल हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाते हैं।
-*[[ ग्राफ सिद्धांत ]] में, तुच्छ ग्राफ़ एक ग्राफ़ होता है जिसमें केवल 1 शीर्ष होता है और कोई किनारा नहीं होता है।
+*[[ ग्राफ सिद्धांत ]] में, ट्रिविअल ग्राफ़ एक ग्राफ़ होता है जिसमें केवल 1 शीर्ष होता है और कोई किनारा नहीं होता है।
-*[[ डेटाबेस सिद्धांत ]] में एक अवधारणा है जिसे [[ कार्यात्मक निर्भरता ]] कहा जाता है, लिखित <math> X \to Y </math>. निर्भरता <math> X \to Y </math> सत्य है यदि Y, X का उपसमुच्चय है, तो इस प्रकार की निर्भरता को तुच्छ कहा जाता है। अन्य सभी निर्भरताएँ, जो कम स्पष्ट हैं, गैर-तुच्छ कहलाती हैं।
+*[[ डेटाबेस सिद्धांत ]] में एक अवधारणा है जिसे [[ कार्यात्मक निर्भरता ]] कहा जाता है, लिखित <math> X \to Y </math>. निर्भरता <math> X \to Y </math> सत्य है यदि Y, X का उपसमुच्चय है, तो इस प्रकार की निर्भरता को ट्रिविअल कहा जाता है। अन्य सभी निर्भरताएँ, जो कम स्पष्ट हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाती हैं।
-* यह दिखाया जा सकता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन के ज़ेटा फ़ंक्शन में ऋणात्मक सम संख्याओं -2, -4, पर शून्य हैं ... चूंकि प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान है, फिर भी इस परिणाम को सामान्य रूप से तुच्छ नहीं कहा जाएगा; चूंकि, यह इस स्थितियों में है, क्योंकि इसके अन्य शून्य सामान्यतः अज्ञात हैं और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और इसमें खुले प्रश्न सम्मलित हैं (जैसे कि [[ रीमैन परिकल्पना ]])। तदनुसार, ऋणात्मक सम संख्याओं को फलन का तुच्छ शून्य कहा जाता है, जबकि अन्य शून्यों को गैर-तुच्छ माना जाता है।
+* यह दिखाया जा सकता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन के ज़ेटा फ़ंक्शन में ऋणात्मक सम संख्याओं -2, -4, पर शून्य हैं ... चूंकि प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान है, फिर भी इस परिणाम को सामान्य रूप से ट्रिविअल नहीं कहा जाएगा; चूंकि, यह इस स्थितियों में है, क्योंकि इसके अन्य शून्य सामान्यतः अज्ञात हैं और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और इसमें खुले प्रश्न सम्मलित हैं (जैसे कि [[ रीमैन परिकल्पना ]])। तदनुसार, ऋणात्मक सम संख्याओं को फलन का ट्रिविअल शून्य कहा जाता है, जबकि अन्य शून्यों को नॉन-ट्रिविअल माना जाता है।
 == यह भी देखें ==
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 * [[ गणितीय शब्दजाल की सूची ]]
 * [[ पैथोलॉजिकल (गणित) ]]
-* [[ तुच्छता ]]
+* [[ तुच्छता | ट्रिविअलता]]
-* [[ तुच्छ उपाय ]]
+* [[ तुच्छ उपाय | ट्रिविअल उपाय]]
-* [[ तुच्छ प्रतिनिधित्व ]]
+* [[ तुच्छ प्रतिनिधित्व | ट्रिविअल प्रतिनिधित्व]]
-* [[ तुच्छ टोपोलॉजी ]]
+* [[ तुच्छ टोपोलॉजी | ट्रिविअल टोपोलॉजी]]
 == संदर्भ ==

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