ट्रीविअलिटी (गणित): Difference between revisions

Revision as of 18:14, 7 January 2023

गणित में, विशेषण ट्रिविअल का उपयोग सामान्यतः एक दावे या एक स्थितियों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जिसे संदर्भ से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, या एक वस्तु जिसमें एक साधारण संरचना होती है (जैसे, समूह, टोपोलॉजिकल स्पेस)।^[1]^[2] संज्ञा ट्रिविअलता आमतौर पर कुछ सबूत या परिभाषा के एक साधारण तकनीकी स्वरूप को संदर्भित करती है। गणितीय भाषा में शब्द की उत्पत्ति मध्यकालीन ट्रिवियम पाठ्यक्रम से हुई है, जो अधिक कठिन क्वाड्रिवियम पाठ्यक्रम से अलग है।^[1]^[3] ट्रिविअल के विपरीत नॉन ट्रिविअल है, जो आमतौर पर यह इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एक उदाहरण या समाधान सरल नहीं है, या यह कि एक कथन या प्रमेय को सिद्ध करना सरल नहीं है।^[2]

विचाराधीन स्थिति ट्रिविअल है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है तो ट्रिविअल पूर्णतया नहीं है। और इस बारे में एक तर्क हो सकता है कि किसी समस्या को कितनी शीघ्रता और आसानी से पहचाना जाना चाहिए जिससे समस्या को ट्रिविअल माना जा सके। इसलिए, ट्रीविअलिटी गणित और तर्कशास्त्र में सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत गुण नहीं है।

ट्रिविअल और नॉन ट्रिविअल समाधान

गणित में, ट्रिविअल शब्द का प्रयोग प्रायः एक बहुत ही सरल संरचना वाली वस्तुओं (जैसे, समूह, टोपोलॉजिकल स्पेस) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। इनमें अन्य सम्मलित हैं

रिक्त समुच्चय : समुच्चय (गणित) जिसमें कोई या शून्य सदस्य नहीं है
ट्रिविअल समुच्चय : गणितीय समूह (गणित) जिसमें केवल पहचान तत्व होता है
ट्रिविअल रिंग : सिंगलटन समुच्चय पर परिभाषित रिंग (गणित)।

"ट्रिवियल" का उपयोग एक ऐसे समीकरण के समाधान का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जिसकी संरचना बहुत सरल है, लेकिन पूर्णता के लिए इसे छोड़ा नहीं जा सकता है। इन समाधानों को ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अवकल समीकरण पर विचार कीजिए।

y'=y

जहाँ

y=y(x)

एक फलन (गणित) है जिसका व्युत्पन्न है

y'

. ट्रिविअल समाधान 0 (संख्या)#संबंधित गणितीय शब्द है

y(x)=0

जबकि एक नॉन-ट्रिविअल समाधान घातीय फलन है

y(x)=e^{x}.

अवकल समीकरण

f''(x)=-\lambda f(x)

सीमा अनुबंधों के साथ

f(0)=f(L)=0

गणित और भौतिकी में महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में एक बॉक्स में एक कण का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, या एक तार पर एक स्थायी तरंग। इसमें स्थायी रूप में समाधान सम्मलित होता है

f(x)=0

, जिसे स्पष्ट माना जाता है और इसलिए ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कुछ स्थितियों में, अन्य समाधान (साइन तरंगें) भी हो सकते हैं, जिन्हें नॉन-ट्रिविअल समाधान कहा जाता है।^[4] इसी तरह, गणितज्ञ प्रायः फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का वर्णन करते हुए कहते हैं कि समीकरण के लिए कोई नॉन-ट्रिविअल पूर्णांक समाधान नहीं हैं

a^{n}+b^{n}=c^{n}

, जहाँ n 2 से बड़ा है। स्पष्ट रूप से, समीकरण के कुछ हल हैं। उदाहरण के लिए,

a=b=c=0

किसी भी एन के लिए एक समाधान है, किंतु ऐसे समाधान स्पष्ट हैं और थोड़े प्रयास से प्राप्त किए जा सकते हैं, और इसलिए ट्रिविअल हैं।

गणितीय तर्क में

ट्रिविअल भी किसी प्रमाण के आसान स्थितियों का उल्लेख कर सकता है, जिसे पूर्णता के लिए अनदेखा नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिए, गणितीय आगमन द्वारा उपपत्तियों के दो भाग होते हैं: "बेस केस" जो दर्शाता है कि प्रमेय किसी विशेष प्रारंभिक मान (जैसे n = 0 या n = 1) के लिए सत्य है, और आगमनात्मक चरण जो दिखाता है कि यदि प्रमेय n के एक निश्चित मान के लिए सत्य है, तो यह मान n + 1 के लिए भी सत्य है। बेस केस सामान्यतः ट्रिविअल होता है और इस तरह पहचाना जाता है, यद्यपि ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ बेस केस सरल नही होता है लेकिन आगमनात्मक कदम ट्रिविअल होता है। इसी तरह, कोई यह साबित करना चाहता है कि कुछ संपत्ति एक निश्चित समुच्चय के सभी सदस्यों के पास है। प्रमाण का मुख्य भाग एक नॉन-रिक्त समुच्चय के स्थितियों सदस्यों की विस्तार से जांच करेगा; ऐसे स्थितियों में जहां समुच्चय रिक्त है, रिक्त समुच्चय के सभी सदस्यों के पास संपत्ति ट्रिविअल रूप से है, क्योंकि कोई भी नहीं है (अधिक के लिए रिक्त समुच्चय देखें)।

विचाराधीन स्थिति ट्रिविअल है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सच है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है तो ट्रिविअल सम्पूर्ण रूप में नहीं। और इस बारे में एक तर्क हो सकता है कि किसी समस्या को कितनी शीघ्रता और आसानी से पहचाना जाना चाहिए ताकि समस्या को ट्रिविअल माना जा सके। निम्नलिखित उदाहरण ट्रिविअलता के निर्णय की विषयपरकता और अस्पष्टता को दर्शाते हैं।

गणितीय समुदाय में एक सामान्य मज़ाक यह कहना है कि ट्रिविअल सिद्ध का पर्यायवाची है - अर्थात, किसी भी प्रमेय को सत्य सिद्ध होने के बाद ट्रिविअल माना जा सकता है।^[1]* दो गणितज्ञ जो एक प्रमेय पर चर्चा कर रहे हैं: पहला गणितज्ञ कहता है कि प्रमेय ट्रिविअल है। स्पष्टीकरण के लिए दूसरे के अनुरोध के जवाब में, वह फिर बीस मिनट की व्याख्या के साथ आगे बढ़ता है। स्पष्टीकरण के अंत में, दूसरा गणितज्ञ सहमत है कि प्रमेय ट्रिविअल है। किंतु क्या हम यह कह सकते हैं कि यह प्रमेय ट्रिविअल है पूर्ण रूप से इसे सिद्ध करने में बहुत समय और प्रयास लगे?
जब एक गणितज्ञ कहता है कि एक प्रमेय ट्रिविअल है, किंतु वह इसे इस समय स्वयं सिद्ध करने में असमर्थ है कि वह इसे ट्रिविअल कहता है। तो क्या प्रमेय ट्रिविअल है?
प्रायः, एक मजाक के रूप में, एक समस्या को सहज रूप से स्पष्ट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कैलकुलस में अनुभवी कोई व्यक्ति निम्नलिखित कथन को ट्रिविअल मानेगा: $\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}$ चूंकि, अभिन्न कलन के ज्ञान के बिना किसी के लिए, यह सम्पूर्ण रूप में स्पष्ट नहीं है, इसलिए ट्रिविअल नहीं है।

ट्रिविअलता संदर्भ पर भी निर्भर करती है। कार्यात्मक विश्लेषण में एक प्रमाण संभवतः, एक संख्या दी जाएगी, ट्रिविअल रूप से एक बड़ी संख्या के अस्तित्व को मान लेगी। चूंकि, प्रारंभिक संख्या सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में मूलभूत परिणामों को सिद्ध करते समय, सबूत बहुत अच्छी तरह से इस टिप्पणी पर टिका हो सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है - एएक कथन जिसे स्वयं सिद्ध किया जाना चाहिए या एक सूक्ति के रूप में लिया जाना चाहिए, इसलिए ट्रिविअल नहीं है (अधिक के लिए, पीनो के सूक्तियों को देखें)।

ट्रिविअल प्रमाण

कुछ ग्रंथों में, एक ट्रिविअल प्रमाण भौतिक निहितार्थ P→Q से जुड़े एक कथन को संदर्भित करता है, जहां परिणामी Q, सदैव सत्य होता है।^[5] यहां, भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर प्रमाण तुरंत अनुसरण करता है जिसमें पूर्ववर्ती (तर्क) P के सत्य मूल्य की परवाह किए बिना निहितार्थ सत्य है, यदि परिणामी सत्य के रूप में माना गया है।^[5]

एक संबंधित अवधारणा एक निहितार्थ सत्य है, जहां भौतिक निहितार्थ P→Q में पूर्ववर्ती P गलत है।^[5] इन स्थितियों में, परिणामी Q के सत्य मूल्य का ध्यान न देते हुए निहितार्थ सदैव सत्य होता है - फिर से भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर।^[5]

उदाहरण

संख्या सिद्धांत में, पूर्णांक संख्या N का वि भाजक खोजना प्रायः महत्वपूर्ण होता है। किसी भी संख्या N के चार स्पष्ट कारक होते हैं: ±1 और ±N। इन्हें ट्रिविअल कारक कहा जाता है। कोई अन्य कारक, यदि वह सम्मलित है, तो उसे नॉन-ट्रिविअल कहा जाएगा।^[6]
सजातीय मैट्रिक्स (गणित) समीकरण $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ , जहाँ $A$ एक निश्चित मैट्रिक्स है, $\mathbf {x}$ एक अज्ञात वेक्टर है, और $\mathbf {0}$ शून्य वेक्टर है, एक स्पष्ट समाधान है $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ . इसे ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कोई अन्य समाधान, के साथ $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ , नॉन ट्रिविअल कहलाते हैं।^[7]
समूह सिद्धांत में, एक बहुत ही सरल समूह होता है जिसमें केवल एक तत्व होता है; इसे प्रायः ट्रिविअल समूह कहा जाता है। अन्य सभी समूह, जो अधिक जटिल हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाते हैं।
ग्राफ सिद्धांत में, ट्रिविअल ग्राफ़ एक ग्राफ़ होता है जिसमें केवल 1 शीर्ष होता है और कोई किनारा नहीं होता है।
डेटाबेस सिद्धांत में एक अवधारणा है जिसे कार्यात्मक निर्भरता कहा जाता है, लिखित $X\to Y$ . निर्भरता $X\to Y$ सत्य है यदि Y, X का उपसमुच्चय है, तो इस प्रकार की निर्भरता को ट्रिविअल कहा जाता है। अन्य सभी निर्भरताएँ, जो कम स्पष्ट हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाती हैं।
यह दिखाया जा सकता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन के ज़ेटा फ़ंक्शन में ऋणात्मक सम संख्याओं -2, -4, पर शून्य हैं, चूंकि प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान है, फिर भी इस परिणाम को सामान्य रूप से ट्रिविअल नहीं कहा जाएगा; चूंकि, यह इन स्थितियों में है, क्योंकि इसके अन्य शून्य सामान्यतः अज्ञात हैं और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और इसमें खुले प्रश्न सम्मलित हैं (जैसे कि रीमैन परिकल्पना )। तदनुसार, ऋणात्मक सम संख्याओं को फलन का ट्रिविअल शून्यक कहा जाता है, जबकि अन्य शून्यों को नॉन-ट्रिविअल माना जाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "मामूली". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-14.
↑ ^2.0 ^2.1 "गणित: तुच्छ". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-14.
↑ Ayto, John (1990). शब्द उत्पत्ति का शब्दकोश. University of Texas Press. p. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC 33022699.
↑ Zachmanoglou, E. C.; Thoe, Dale W. (1986). अनुप्रयोगों के साथ आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय. p. 309. ISBN 9780486652511.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). गणितीय प्रमाण: उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण (2nd ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 68. ISBN 978-0-3-2139053-0.
↑ Yan, Song Y. (2002). कम्प्यूटिंग के लिए संख्या सिद्धांत (2nd, illustrated ed.). Berlin: Springer. p. 250. ISBN 3-540-43072-5.
↑ Jeffrey, Alan (2004). इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित (Sixth ed.). CRC Press. p. 502. ISBN 1-58488-488-6.

बाहरी कड़ियाँ

Trivial entry at MathWorld

श्रेणी: गणितीय शब्दावली

[:1-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "मामूली". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-14.

[:2-2] 2.0 ^2.1 "गणित: तुच्छ". www.mathwords.com. Retrieved 2019-12-14.

[3] Ayto, John (1990). शब्द उत्पत्ति का शब्दकोश. University of Texas Press. p. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC 33022699.

[4] Zachmanoglou, E. C.; Thoe, Dale W. (1986). अनुप्रयोगों के साथ आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय. p. 309. ISBN 9780486652511.

[Chartrand-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). गणितीय प्रमाण: उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण (2nd ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 68. ISBN 978-0-3-2139053-0.

[6] Yan, Song Y. (2002). कम्प्यूटिंग के लिए संख्या सिद्धांत (2nd, illustrated ed.). Berlin: Springer. p. 250. ISBN 3-540-43072-5.

[7] Jeffrey, Alan (2004). इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित (Sixth ed.). CRC Press. p. 502. ISBN 1-58488-488-6.

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 गणित में, ट्रिविअल शब्द का प्रयोग प्रायः एक बहुत ही सरल संरचना वाली वस्तुओं (जैसे, समूह, टोपोलॉजिकल स्पेस) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। इनमें अन्य सम्मलित हैं
-*[[ खाली सेट | रिक्त समुच्चय]] : [[ सेट (गणित) | समुच्चय (गणित)]]  जिसमें कोई या शून्य सदस्य नहीं है
+*[[ खाली सेट | रिक्त समुच्चय]] : [[ सेट (गणित) |समुच्चय (गणित)]] जिसमें कोई या शून्य सदस्य नहीं है
-* [[ तुच्छ समूह | ट्रिविअल समुच्चय]] : गणितीय समूह (गणित) जिसमें केवल [[ पहचान तत्व ]] होता है
+* [[ तुच्छ समूह | ट्रिविअल समुच्चय]] : गणितीय समूह (गणित) जिसमें केवल [[ पहचान तत्व |पहचान तत्व]] होता है
-*[[ तुच्छ अंगूठी | ट्रिविअल रिंग]] : [[ सिंगलटन सेट | सिंगलटन समुच्चय]]  पर परिभाषित रिंग (गणित)।
+*[[ तुच्छ अंगूठी | ट्रिविअल रिंग]] : [[ सिंगलटन सेट |सिंगलटन समुच्चय]] पर परिभाषित रिंग (गणित)।
 "ट्रिवियल" का उपयोग एक ऐसे [[समीकरण]] के समाधान का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जिसकी संरचना बहुत सरल है, लेकिन पूर्णता के लिए इसे छोड़ा नहीं जा सकता है। इन समाधानों को ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, [[अवकल समीकरण]] पर विचार कीजिए।<math display="block">y'=y</math>जहाँ <math>y = y(x)</math> एक फलन (गणित) है जिसका व्युत्पन्न है <math>y'</math>. ट्रिविअल समाधान 0 (संख्या)#संबंधित गणितीय शब्द है<math display="block">y(x) = 0</math>जबकि एक नॉन-ट्रिविअल समाधान घातीय फलन है<math display="block">y(x) = e^x .</math>अवकल समीकरण <math>f''(x) = -\lambda f(x)</math> सीमा अनुबंधों के साथ <math>f(0) = f(L) = 0</math> गणित और भौतिकी में महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में एक बॉक्स में एक कण का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, या एक तार पर एक स्थायी तरंग। इसमें स्थायी रूप में समाधान सम्मलित होता है <math>f(x) = 0</math>, जिसे स्पष्ट माना जाता है और इसलिए ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कुछ स्थितियों में, अन्य समाधान (साइन तरंगें) भी हो सकते हैं, जिन्हें नॉन-ट्रिविअल समाधान कहा जाता है।<ref>{{cite book |first=E. C. |last=Zachmanoglou |first2=Dale W. |last2=Thoe |title=अनुप्रयोगों के साथ आंशिक विभेदक समीकरणों का परिचय|year=1986 |isbn= 9780486652511|page=309 |url=https://books.google.com/books?id=YRT0W31HbTwC&pg=PA309 }}</ref>
 इसी तरह, गणितज्ञ प्रायः फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का वर्णन करते हुए कहते हैं कि समीकरण के लिए कोई नॉन-ट्रिविअल पूर्णांक समाधान नहीं हैं <math>a^n + b^n = c^n</math>, जहाँ n 2 से बड़ा है। स्पष्ट रूप से, समीकरण के कुछ हल हैं। उदाहरण के लिए, <math>a = b = c = 0</math> किसी भी एन के लिए एक समाधान है, किंतु ऐसे समाधान स्पष्ट हैं और थोड़े प्रयास से प्राप्त किए जा सकते हैं, और इसलिए ट्रिविअल हैं।
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 विचाराधीन स्थिति ट्रिविअल है या नहीं, इसका निर्णय इस बात पर निर्भर करता है कि कौन इस पर विचार करता है क्योंकि स्थिति किसी ऐसे व्यक्ति के लिए स्पष्ट रूप से सच है जिसके पास इसका पर्याप्त ज्ञान या अनुभव है, जबकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए जिसने इसे कभी नहीं देखा है, इसे समझना और भी कठिन हो सकता है तो ट्रिविअल सम्पूर्ण रूप में नहीं। और इस बारे में एक तर्क हो सकता है कि किसी समस्या को कितनी शीघ्रता और आसानी से पहचाना जाना चाहिए ताकि समस्या को ट्रिविअल माना जा सके। निम्नलिखित उदाहरण ट्रिविअलता के निर्णय की विषयपरकता और अस्पष्टता को दर्शाते हैं।
-* गणितीय समुदाय में एक सामान्य मज़ाक यह कहना है कि ट्रिविअल सिद्ध का पर्यायवाची है - अर्थात, किसी भी प्रमेय को सत्य सिद्ध  होने के बाद ट्रिविअल माना जा सकता है।<ref name=":1" />* दो गणितज्ञ जो एक प्रमेय पर चर्चा कर रहे हैं: पहला गणितज्ञ कहता है कि प्रमेय ट्रिविअल है। स्पष्टीकरण के लिए दूसरे के अनुरोध के जवाब में, वह फिर बीस मिनट की व्याख्या के साथ आगे बढ़ता है। स्पष्टीकरण के अंत में, दूसरा गणितज्ञ सहमत है कि प्रमेय ट्रिविअल है। किंतु क्या हम यह कह सकते हैं कि यह प्रमेय ट्रिविअल है पूर्ण रूप से इसे सिद्ध करने में बहुत समय और प्रयास लगे?
+* गणितीय समुदाय में एक सामान्य मज़ाक यह कहना है कि ट्रिविअल सिद्ध का पर्यायवाची है - अर्थात, किसी भी प्रमेय को सत्य सिद्ध होने के बाद ट्रिविअल माना जा सकता है।<ref name=":1" />* दो गणितज्ञ जो एक प्रमेय पर चर्चा कर रहे हैं: पहला गणितज्ञ कहता है कि प्रमेय ट्रिविअल है। स्पष्टीकरण के लिए दूसरे के अनुरोध के जवाब में, वह फिर बीस मिनट की व्याख्या के साथ आगे बढ़ता है। स्पष्टीकरण के अंत में, दूसरा गणितज्ञ सहमत है कि प्रमेय ट्रिविअल है। किंतु क्या हम यह कह सकते हैं कि यह प्रमेय ट्रिविअल है पूर्ण रूप से इसे सिद्ध करने में बहुत समय और प्रयास लगे?
 * जब एक गणितज्ञ कहता है कि एक प्रमेय ट्रिविअल है, किंतु वह इसे इस समय स्वयं सिद्ध करने में असमर्थ है कि वह इसे ट्रिविअल कहता है। तो क्या प्रमेय ट्रिविअल है?
 * प्रायः, एक मजाक के रूप में, एक समस्या को सहज रूप से स्पष्ट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कैलकुलस में अनुभवी कोई व्यक्ति निम्नलिखित कथन को ट्रिविअल मानेगा:<math display="block">\int_0^1 x^2\, dx = \frac{1}{3}</math>चूंकि, अभिन्न कलन के ज्ञान के बिना किसी के लिए, यह सम्पूर्ण रूप में स्पष्ट नहीं है, इसलिए ट्रिविअल नहीं है।
-ट्रिविअलता संदर्भ पर भी निर्भर करती है। [[ कार्यात्मक विश्लेषण ]] में एक प्रमाण संभवतः, एक संख्या दी जाएगी, ट्रिविअल रूप से एक बड़ी संख्या के अस्तित्व को मान लेगी। चूंकि, प्रारंभिक संख्या सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में मूलभूत परिणामों को सिद्ध करते समय, सबूत बहुत अच्छी तरह से इस टिप्पणी पर टिका हो सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है - एएक कथन जिसे स्वयं सिद्ध किया जाना चाहिए या एक सूक्ति के रूप में लिया जाना चाहिए, इसलिए ट्रिविअल नहीं है (अधिक के लिए, पीनो के सूक्तियों को देखें)।
+ट्रिविअलता संदर्भ पर भी निर्भर करती है। [[ कार्यात्मक विश्लेषण |कार्यात्मक विश्लेषण]] में एक प्रमाण संभवतः, एक संख्या दी जाएगी, ट्रिविअल रूप से एक बड़ी संख्या के अस्तित्व को मान लेगी। चूंकि, प्रारंभिक संख्या सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में मूलभूत परिणामों को सिद्ध करते समय, सबूत बहुत अच्छी तरह से इस टिप्पणी पर टिका हो सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी होता है - एएक कथन जिसे स्वयं सिद्ध किया जाना चाहिए या एक सूक्ति के रूप में लिया जाना चाहिए, इसलिए ट्रिविअल नहीं है (अधिक के लिए, पीनो के सूक्तियों को देखें)।
 === ट्रिविअल प्रमाण ===
-कुछ ग्रंथों में, एक ट्रिविअल प्रमाण भौतिक निहितार्थ P→Q से जुड़े एक कथन को संदर्भित करता है, जहां परिणामी Q, सदैव सत्य होता है।<ref name="Chartrand">{{cite book| first1=Gary| last1=Chartrand| author1-link=Gary Chartrand|first2=Albert D.|last2=Polimeni|last3=Zhang|first3=Ping|author3-link=Ping Zhang (graph theorist)| title=गणितीय प्रमाण: उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण|url=https://archive.org/details/mathematicalproo00char| url-access=limited| year=2008| publisher=Pearson/Addison Wesley| location=Boston| isbn=978-0-3-2139053-0| page=[https://archive.org/details/mathematicalproo00char/page/n43 68]| edition=2nd}}</ref> यहां, भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर प्रमाण तुरंत अनुसरण करता है जिसमें [[ पूर्ववर्ती (तर्क) |पूर्ववर्ती (तर्क)]] P के सत्य मूल्य की परवाह किए बिना निहितार्थ सत्य है, यदि परिणामी सत्य के रूप में माना  गया है।<ref name="Chartrand" />
+कुछ ग्रंथों में, एक ट्रिविअल प्रमाण भौतिक निहितार्थ P→Q से जुड़े एक कथन को संदर्भित करता है, जहां परिणामी Q, सदैव सत्य होता है।<ref name="Chartrand">{{cite book| first1=Gary| last1=Chartrand| author1-link=Gary Chartrand|first2=Albert D.|last2=Polimeni|last3=Zhang|first3=Ping|author3-link=Ping Zhang (graph theorist)| title=गणितीय प्रमाण: उन्नत गणित के लिए एक संक्रमण|url=https://archive.org/details/mathematicalproo00char| url-access=limited| year=2008| publisher=Pearson/Addison Wesley| location=Boston| isbn=978-0-3-2139053-0| page=[https://archive.org/details/mathematicalproo00char/page/n43 68]| edition=2nd}}</ref> यहां, भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर प्रमाण तुरंत अनुसरण करता है जिसमें [[ पूर्ववर्ती (तर्क) |पूर्ववर्ती (तर्क)]] P के सत्य मूल्य की परवाह किए बिना निहितार्थ सत्य है, यदि परिणामी सत्य के रूप में माना गया है।<ref name="Chartrand" />
 एक संबंधित अवधारणा एक निहितार्थ सत्य है, जहां भौतिक निहितार्थ P→Q में पूर्ववर्ती P गलत है।<ref name="Chartrand" /> इन स्थितियों में, परिणामी Q के सत्य मूल्य का ध्यान न देते हुए निहितार्थ सदैव सत्य होता है - फिर से भौतिक निहितार्थ की परिभाषा के आधार पर।<ref name="Chartrand" />
 == उदाहरण ==
-*[[ संख्या सिद्धांत ]] में, पूर्णांक संख्या N का वि[[ भाजक ]] खोजना प्रायः महत्वपूर्ण होता है। किसी भी संख्या N के चार स्पष्ट कारक होते हैं: ±1 और ±N। इन्हें ट्रिविअल कारक कहा जाता है। कोई अन्य कारक, यदि वह सम्मलित है, तो उसे नॉन-ट्रिविअल कहा जाएगा।<ref>{{cite book |first=Song Y. |last=Yan |title=कम्प्यूटिंग के लिए संख्या सिद्धांत|location=Berlin |publisher=Springer |edition=2nd, illustrated |year=2002 |isbn=3-540-43072-5 |page=250 |url=https://books.google.com/books?id=lIvPz7k41SEC&pg=PA250 }}</ref>
+*[[ संख्या सिद्धांत | संख्या सिद्धांत]] में, पूर्णांक संख्या N का वि[[ भाजक | भाजक]] खोजना प्रायः महत्वपूर्ण होता है। किसी भी संख्या N के चार स्पष्ट कारक होते हैं: ±1 और ±N। इन्हें ट्रिविअल कारक कहा जाता है। कोई अन्य कारक, यदि वह सम्मलित है, तो उसे नॉन-ट्रिविअल कहा जाएगा।<ref>{{cite book |first=Song Y. |last=Yan |title=कम्प्यूटिंग के लिए संख्या सिद्धांत|location=Berlin |publisher=Springer |edition=2nd, illustrated |year=2002 |isbn=3-540-43072-5 |page=250 |url=https://books.google.com/books?id=lIvPz7k41SEC&pg=PA250 }}</ref>
-* सजातीय [[ मैट्रिक्स (गणित) ]] समीकरण <math>A\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>, जहाँ <math>A</math> एक निश्चित मैट्रिक्स है, <math>\mathbf{x}</math> एक अज्ञात वेक्टर है, और <math>\mathbf{0}</math> शून्य वेक्टर है, एक स्पष्ट समाधान है <math>\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>. इसे ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कोई अन्य समाधान, के साथ <math>\mathbf{x}\neq\mathbf{0}</math>, नॉन ट्रिविअल कहलाते हैं।<ref>{{cite book |first=Alan |last=Jeffrey |title=इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित|publisher=CRC Press |edition=Sixth |year=2004 |isbn=1-58488-488-6 |page=502 |url=https://books.google.com/books?id=KWAqz3m2xYUC&pg=PA502 }}</ref>
+* सजातीय [[ मैट्रिक्स (गणित) |मैट्रिक्स (गणित)]] समीकरण <math>A\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>, जहाँ <math>A</math> एक निश्चित मैट्रिक्स है, <math>\mathbf{x}</math> एक अज्ञात वेक्टर है, और <math>\mathbf{0}</math> शून्य वेक्टर है, एक स्पष्ट समाधान है <math>\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>. इसे ट्रिविअल समाधान कहा जाता है। कोई अन्य समाधान, के साथ <math>\mathbf{x}\neq\mathbf{0}</math>, नॉन ट्रिविअल कहलाते हैं।<ref>{{cite book |first=Alan |last=Jeffrey |title=इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित|publisher=CRC Press |edition=Sixth |year=2004 |isbn=1-58488-488-6 |page=502 |url=https://books.google.com/books?id=KWAqz3m2xYUC&pg=PA502 }}</ref>
-* [[ समूह सिद्धांत ]] में, एक बहुत ही सरल समूह होता है जिसमें केवल एक तत्व होता है; इसे प्रायः ट्रिविअल समूह कहा जाता है। अन्य सभी समूह, जो अधिक जटिल हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाते हैं।
+* [[ समूह सिद्धांत | समूह सिद्धांत]] में, एक बहुत ही सरल समूह होता है जिसमें केवल एक तत्व होता है; इसे प्रायः ट्रिविअल समूह कहा जाता है। अन्य सभी समूह, जो अधिक जटिल हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाते हैं।
-*[[ ग्राफ सिद्धांत ]] में, ट्रिविअल ग्राफ़ एक ग्राफ़ होता है जिसमें केवल 1 शीर्ष होता है और कोई किनारा नहीं होता है।
+*[[ ग्राफ सिद्धांत | ग्राफ सिद्धांत]] में, ट्रिविअल ग्राफ़ एक ग्राफ़ होता है जिसमें केवल 1 शीर्ष होता है और कोई किनारा नहीं होता है।
-*[[ डेटाबेस सिद्धांत ]] में एक अवधारणा है जिसे [[ कार्यात्मक निर्भरता ]] कहा जाता है, लिखित <math> X \to Y </math>. निर्भरता <math> X \to Y </math> सत्य है यदि Y, X का उपसमुच्चय है, तो इस प्रकार की निर्भरता को ट्रिविअल कहा जाता है। अन्य सभी निर्भरताएँ, जो कम स्पष्ट हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाती हैं।
+*[[ डेटाबेस सिद्धांत | डेटाबेस सिद्धांत]] में एक अवधारणा है जिसे [[ कार्यात्मक निर्भरता |कार्यात्मक निर्भरता]] कहा जाता है, लिखित <math> X \to Y </math>. निर्भरता <math> X \to Y </math> सत्य है यदि Y, X का उपसमुच्चय है, तो इस प्रकार की निर्भरता को ट्रिविअल कहा जाता है। अन्य सभी निर्भरताएँ, जो कम स्पष्ट हैं, नॉन-ट्रिविअल कहलाती हैं।
-* यह दिखाया जा सकता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन के ज़ेटा फ़ंक्शन में ऋणात्मक सम संख्याओं -2, -4, पर शून्य हैं ... चूंकि प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान है, फिर भी इस परिणाम को सामान्य रूप से ट्रिविअल नहीं कहा जाएगा; चूंकि, यह इस स्थितियों में है, क्योंकि इसके अन्य शून्य सामान्यतः अज्ञात हैं और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और इसमें खुले प्रश्न सम्मलित हैं (जैसे कि [[ रीमैन परिकल्पना ]])। तदनुसार, ऋणात्मक सम संख्याओं को फलन का ट्रिविअल शून्य कहा जाता है, जबकि अन्य शून्यों को नॉन-ट्रिविअल माना जाता है।
+* यह दिखाया जा सकता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन के ज़ेटा फ़ंक्शन में ऋणात्मक सम संख्याओं -2, -4, पर शून्य हैं, चूंकि प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान है, फिर भी इस परिणाम को सामान्य रूप से ट्रिविअल नहीं कहा जाएगा; चूंकि, यह इन स्थितियों में है, क्योंकि इसके अन्य शून्य सामान्यतः अज्ञात हैं और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और इसमें खुले प्रश्न सम्मलित हैं (जैसे कि [[ रीमैन परिकल्पना |रीमैन परिकल्पना]] )। तदनुसार, ऋणात्मक सम संख्याओं को फलन का ट्रिविअल शून्यक कहा जाता है, जबकि अन्य शून्यों को नॉन-ट्रिविअल माना जाता है।
 == यह भी देखें ==
-* अध: [[ पतन (गणित) ]]
+* अध: [[ पतन (गणित) |पतन (गणित)]]
 * प्रारंभिक और अंतिम वस्तुएं
 * [[ गणितीय शब्दजाल की सूची ]]

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