अभिसरण श्रृंखला

गणित में, संख्याओं के अनंत क्रम के पदों के योग को श्रृंखला कहते है। अधिक सटीकता से एक अनंत अनुक्रम $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$श्रृंखला को S से दर्शाया जाता है,

$S=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.$

जहाँ n आंशिक योग Sn अनुक्रम के पहले n पदों का योग है; वह है,

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

एक श्रृंखला अभिसरण होती है जब $(S_{1},S_{2},S_{3},\dots )$ इसके आंशिक योग अनुक्रम की सीमा पूर्वनिर्धारित होती हैं; इसका मतलब है कि, सूचकांकों द्वारा दिए गए क्रम में एक के बाद एक जोड़ते समय $a_{k}$ आंशिक योग प्राप्त होता है जो पूर्वनिर्धारित संख्या के करीब और करीब होती जाती है। अधिक सटीकता से, एक श्रृंखला अभिसरण करती है यदि कोई अक्रमतः लघु धनात्मक संख्या $\varepsilon$ के लिए संख्या $\ell$ उपलब्ध है तो एक पर्याप्त रूप से दीर्घ पूर्णांक है $N$,वह है $n\geq N$,

$\left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .$

यदि श्रृंखला अभिसरण है, तो (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) संख्या $\ell$ श्रृंखला का योग कहा जाता है।

समान अंकन

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

यदि श्रृंखला अभिसारी है तो इसके योग के लिए उपयोग किया जाता है। यहअंकन उसी के समान है जिसका उपयोग योग के लिए किया जाता है: a + b, a और b को जोड़ने के साथ-साथ इस जोड़ के परिणाम को दर्शाता है, जिसे a और b का योग कहा जाता है ।

कोई भी श्रंखला जो अभिसारी नहीं है, अपसारी या भिन्न श्रंखला कहलाती है।

अभिसारी और अपसारी श्रृंखला के उदाहरण

• प्राकृतिक संख्या के व्युत्क्रम एक भिन्न श्रृंखला (हार्मोनिक श्रृंखला ) उत्पन्न करते हैं:

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .$

• धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रम के संकेतों को बदलने से एक अभिसरण श्रृंखला (वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला) उत्पन्न होती है:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)$

• अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रम एक भिन्न श्रृंखला का निर्माण करते हैं (इसलिए अभाज्य संख्याओं का समुच्चय लघु समुच्चय (कॉम्बिनेटरिक्स) है; अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों के योग का विचलन देखें):

  ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .$

• त्रिकोणीय संख्याओं के व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला का उत्पादन करते हैं:

  ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.$

• कारख़ाने का्स के व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करते हैं (देखें ई (गणितीय स्थिरांक) | यूलर की संख्या):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.$

• वर्ग संख्याओं के व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला (बेसल समस्या) उत्पन्न करते हैं:

  ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.$

• दो की शक्ति का व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करता है (इसलिए 2 की शक्तियों का सेट छोटा सेट (कॉम्बिनेटरिक्स) है):

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.$

• ज्यामितीय श्रृंखला के व्युत्क्रम | किसी भी n>1 की घात एक अभिसारी श्रृंखला का निर्माण करते हैं:

  ${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.$

• दो की शक्ति के व्युत्क्रम के संकेतों को बदलने से भी एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न होती है:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.$

• किसी भी n>1 की शक्तियों के व्युत्क्रम के संकेतों को बदलने से अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न होती है:

  ${1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.$

• फाइबोनैचि संख्याओं के व्युत्क्रम एक अभिसरण श्रृंखला उत्पन्न करते हैं (पारस्परिक फाइबोनैचि स्थिरांक देखें। ψ):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .$

अभिसरण परीक्षण

Main article: Convergence tests

यह निर्धारित करने की कई विधियाँ हैं कि कोई श्रृंखला अभिसरण करती है या अपसारी श्रृंखला।

यदि नीली श्रृंखला, $\Sigma b_{n}$अभिसरण सिद्ध किया जा सकता है, फिर छोटी श्रृंखला, $\Sigma a_{n}$ जुटना चाहिए। गर्भनिरोधक द्वारा, यदि लाल श्रृंखला $\Sigma a_{n}$ तब विचलन सिद्ध होता है $\Sigma b_{n}$ भी हटना चाहिए।

प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण। क्रम की शर्तें $\left\{a_{n}\right\}$ की तुलना दूसरे अनुक्रम से की जाती है $\left\{b_{n}\right\}$. यदि,

सभी एन के लिए, $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$, और ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ अभिसरण करता है, तो ऐसा करता है ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$ हालाँकि, अगर, सभी एन के लिए, $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$, और ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ विचलन करता है, तो ऐसा करता है ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$ अनुपात परीक्षण। मान लें कि सभी 'एन' के लिए, $a_{n}$ शून्य नहीं है। मान लीजिए कि मौजूद है $r$ ऐसा है कि

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

यदि r < 1, तो श्रेणी पूर्णतः अभिसारी है। अगर r > 1, फिर श्रृंखला विचलन करती है। अगर r = 1, अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है, और श्रृंखला अभिसरण या विचलन कर सकती है।

जड़ परीक्षण या एन रूट टेस्ट। मान लीजिए कि प्रश्न में अनुक्रम की शर्तें गैर-ऋणात्मक हैं। 'आर' को इस प्रकार परिभाषित करें:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

जहां लिम सुपर श्रेष्ठ सीमा को दर्शाता है (संभवतः ∞; यदि सीमा मौजूद है तो यह समान मान है)।

यदि आर <1, तो श्रृंखला अभिसरित होती है। अगर r > 1, फिर श्रृंखला विचलन करती है। अगर r = 1, मूल परीक्षण अनिर्णायक है, और श्रृंखला अभिसरण या विचलन कर सकती है।

अनुपात परीक्षण और मूल परीक्षण दोनों एक ज्यामितीय श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित हैं, और इस तरह वे समान स्थितियों में काम करते हैं। वास्तव में, यदि अनुपात परीक्षण काम करता है (जिसका अर्थ है कि सीमा मौजूद है और 1 के बराबर नहीं है) तो मूल परीक्षण भी काम करता है; हालाँकि, इसका विलोम सत्य नहीं है। रूट परीक्षण इसलिए अधिक आम तौर पर लागू होता है, लेकिन एक व्यावहारिक मामले के रूप में आमतौर पर देखी जाने वाली श्रृंखलाओं के लिए सीमा की गणना करना अक्सर मुश्किल होता है।

अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण। अभिसरण या विचलन स्थापित करने के लिए श्रृंखला की तुलना एक अभिन्न से की जा सकती है। होने देना $f(n)=a_{n}$ एक सकारात्मक और नीरस कार्य करें। अगर

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$

फिर श्रृंखला अभिसरण करती है। लेकिन अगर इंटीग्रल अलग हो जाता है, तो श्रृंखला भी ऐसा करती है।

सीमा तुलना परीक्षण। अगर $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$, और सीमा $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ मौजूद है और फिर शून्य नहीं है ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ अभिसरण अगर और केवल अगर ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ अभिसरण।

वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण। 'लीबनिज कसौटी' के रूप में भी जाना जाता है, वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण बताता है कि प्रपत्र की एक वैकल्पिक श्रृंखला के लिए ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$, अगर $\left\{a_{n}\right\}$ नीरस रूप से घट रहा है, और अनंत पर 0 की सीमा है, तो श्रृंखला अभिसरण करती है।

कॉची संक्षेपण परीक्षण। अगर $\left\{a_{n}\right\}$ तब एक सकारात्मक मोनोटोन घटता क्रम है ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ अभिसरण अगर और केवल अगर ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$ अभिसरण।

डिरिचलेट का परीक्षण

हाबिल की परीक्षा

सशर्त और पूर्ण अभिसरण

किसी भी क्रम के लिए $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}$, $a_{n}\leq \left|a_{n}\right|$ सभी के लिए एन। इसलिए,

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|.$

इसका मतलब है कि अगर ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ जुट जाता है, तब ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ अभिसरण भी करता है (लेकिन इसके विपरीत नहीं)।

यदि श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ अभिसरण, फिर श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ पूर्णतः अभिसारी है। चर के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए घातीय फलन की मैक्लॉरिन श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसारी है।

यदि श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ अभिसरण लेकिन श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ विचलन, फिर श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ सशर्त रूप से अभिसरण है। लघुगणक फलन की मैकलॉरिन श्रृंखला $\ln(1+x)$ के लिए सशर्त अभिसरण है x = 1.

रीमैन श्रृंखला प्रमेय में कहा गया है कि यदि कोई श्रृंखला सशर्त अभिसरण करती है, तो श्रृंखला की शर्तों को इस तरह पुनर्व्यवस्थित करना संभव है कि श्रृंखला किसी भी मूल्य में परिवर्तित हो जाती है, या यहां तक ​​कि विचलन भी करती है।

समान अभिसरण

Main article: Uniform convergence

होने देना $\left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}$ कार्यों का एक क्रम हो। श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ समान रूप से f में अभिसरण करने के लिए कहा जाता है यदि अनुक्रम $\{s_{n}\}$ द्वारा परिभाषित आंशिक रकम की

$s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है।

वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट नामक कार्यों की अनंत श्रृंखला के लिए तुलना परीक्षण का एक एनालॉग है।

कॉची अभिसरण मानदंड

कॉशी का अभिसरण परीक्षण बताता है कि एक श्रृंखला

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

अभिसरण करता है अगर और केवल अगर आंशिक रकम का क्रम एक कॉची अनुक्रम है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक के लिए $\varepsilon >0,$ एक सकारात्मक पूर्णांक है $N$ ऐसा कि सभी के लिए $n\geq m\geq N$ अपने पास

$\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon ,$

जो बराबर है

$\lim _{n\to \infty \atop m\to \infty }\sum _{k=n}^{n+m}a_{k}=0.$

यह भी देखें

• सामान्य अभिसरण
• गणितीय श्रृंखला की सूची

बाहरी संबंध

• "Series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.